2 ой замечательный предел: Второй замечательный предел

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел

,

где

— иррациональное число.

Непосредственная подстановка бесконечности в выражение приводит к бесконечности вида .

Значит, если при непосредственном вычислении предела у вас получилась неопределённость такого вида, то решать задачу следует путём приведения ко второму замечательному пределу. Во всех этих задачах для получения второго замечательного предела требуется производить замену сложной функции более простой.

Второй замечательный предел может быть записан в другом виде, если положить тогда .

Из условия

получим

   (Alt)

Пример 1. Найти предел .

Решение. Подстановка вместо x бесконечности приводит к неопределённости:

.

Значит, нужно привести выражение ко второму замечательному пределу. Облегчим себе жизнь перед заменой сложной функции более простой, представив степень :

.

Заменяем функцию 6x переменной n, которая также стремится к бесконечности:

.

Это второй замечательный предел, индивидуальна только степень числа е:

.

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 2. Найти предел .

Решение. Непосредственная подстановка приводит к неопределённости «бесконечность делить на бесконечность в степени бесконечность»:

.

Бесконечность в показателе степени — признак того, что выражение можно привести к отношению двух вторых замечательных пределов. В самом деле, если числитель и знаменатель поделить почленно на

x, то слева и в числителе и в знаменателе будет уже по единице:

.

Почти второй замечательный предел. А чтобы это было не почти, а вторым замечательным пределом, нужно, чтобы во вторых слагаемых и в числителе, и в знаменателе были единицы. Для этого произведём замены функций:

.

.

Подставляем и получаем:

.

Это уже отношение вторых замечательных пределов, а степени выражений в числителе и знаменателе — индивидуальны:

.

Пример 3. Найти предел

Решение. Применяем разновидность (Alt) второго замечательного предела:

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

---

Второй замечательный предел служит средством решения многих задач физики, биологии, социальных наук. Показательная функция с основанием e возникает при выводе количественного закона, которому подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост количества древесины на лесных массивах, радиоактивный распад и т. д.

Для вывода этого закона используется формула сложных процентов

,

где — сумма, наращенная через t лет, — начальная сумма, p — процентная такса, t — время роста в годах.

При этом предполагается, что проценты присоединяются к начальной сумме в конце каждого года. Если же ввести условие присоединения процентов по отдельным частям года, равным 1/

n доле его, а процентная такса p по-прежнему пусть относится к целому году, то по истечении каждой такой части года наращенные суммы соответственно составят

По прошествии одного года начальная сумма обратится в , по прошествии двух лет — в , по прошествии t лет — в .

Если же предположить, что прирост процентов происходит непрерывно, т. е. число промежутков, на которые делится год, неограниченно возрастает (), а каждый из них стремится к нулю, то величина наращенной суммы выразится следующей формулой:

,

очень напоминающей второй замечательный предел.

Чтобы выразить этот предел через e, положим , тогда . Из условия следует, что , поэтому

Используя формулу альтернативного представления второго замечательного предела (Alt), приведённую в начале статьи, получим показательный закон роста:

.

Заменив p на -p, получим показательный закон убывания:

.

Например, если население страны возрастает на 2% в год, то по формуле показательного закона роста можно с неплохим приближением рассчитать численность населения страны через t лет: , где — численность населения в начале отсчёта.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Начало темы «Предел»

Что такое предел функции и как его найти

Первый замечательный предел

Продолжение темы «Предел»

Бесконечно малые

Второй замечательный предел, следствия, примеры

Второй замечательный (особый) предел часто вызывает трудности у студентов, хотя сам предел довольно прост и понятен на практике. Он позволяет раскрывать неопределенности вида единица в степени бесконечность . Замечательный предел имеет следующий вид

где «е»-экспонента.

Следствия второго замечательного предела

1)

2)
3)
4)
5)
6)

На практике следствия второго предела реже встречаются на практике чем он сам, однако без них некоторые задачи в простой способ не решить.

Примеры на замечательный предел

Рассмотрим некоторые примеры из сборника А.В. Тевяшев, А.Г. Литвин, Г.М. Кривошеева и др.»Высшая математика в примерах и задачах. Ч.5 Тесты» (Харьков, 2007, ст. 99).

Пример 6.1. Найти предел функции
а)

Решение.
Преобразуем функцию к виду при котором возможно применить формулу замечательного предела

В результате можем применить правило замечательного предела

 

б)

Решение.
Подобно предыдущему примеру превращаем функцию в скобках чтобы применить замечательный предел

Нужно отметить, что в этом примере и во многих подобных константы в степенях, как правило вклада не несут. Функцию можно расписать следующим образом

Предел умышленно расписан в виде произведения двух множителей чтобы Вы убедились что константы в степенях вклада не несут. Их цель запутать Вас, если плохо знаете теоретический материал или сомневаетесь в правильности решения. Во всех последующих примерах мы не будем расписывать примеры на произведение двух границ, однако помните, что они не меняют конечного результата (вклад — множитель единица).

————————————

в)

Решение.
Выполняем преобразование заданной функции

Запись в таком виде сделана специально, потому что степень нужно свести к подобному виду

В такой простой способ получили искомый предел функции. В дальнейшем необходимые замены или подсказки будут выделены цветом из общего решения.

 

г)

Решение.
Выполним замену переменных в пределе

и определенные преобразования для нахождения предела

Бывают случаи, когда прямо применить правило второго замечательного предела довольно сложно, в таких ситуациях используйте простые замены которые Вам понятны и позволяют в быстрый способ найти предел.

 

Пример 6. 2 Вычислить предел функции

а)

Решение.
Сводим функцию к правилу замечательного предела

Подставляем и вычисляем, выполняя нужные манипуляции с показателями

 

в)

Решение.
За известным уже алгоритмом преобразуем функцию

Применяя определение второго важного предела находим

 

Пример 6. 3 Определить предел функции
б)

Решение.
Сведем функцию для применения замечательного предела

Подставляем в границу и упрощаем

 

г)

Решение.
«Как найти предел ? — скажете Вы, ведь переменная равна минус бесконечности.
В этом примере видим что аргумент стремится к минус бесконечности, кроме того функция в скобках следует не до единицы, а до 2 при больших аргументах.

Учитывая что степень отрицательный получим следующее значение предела

Во всех примерах второго замечательного предела следует сначала проверять условие что выражение в скобках стремится к единице. Если нет, то предел функции в зависимости от степени будет равен или нулю или бесконечности. Те из Вас кто часто решает примеры такие проверки осуществляет автоматически. Остальные сводят границу в экспоненте в определенном степени, но все равно вылезает множителем или ноль или бесконечность. В конечном варианте правы все, однако в первом случае тратится гораздо меньше времени, которое так необходима на контрольных работах, тестах, ВНО. Поэтому выбирайте для себя простой путь и делайте в обучении правильные выводы.

 

Пример 6. 5 Найти предел функции
а)

Решение.
Заданный пример на вид отличается от предыдущих, однако решение получаем по такой же схеме. Выполняем преобразования функции в скобках под правило замечательного предела

Осталось в степени выделить обратный множитель

и подставить в границу

По такой схеме вычисляйте все подобные пределы, она проста и не требует дополнительных пояснений.

————————————

в)

Решение.
К рассматриваемому примеру великих преобразований делать не нужно. Он имеет достаточно простую запись и решение осуществляем в одну строку

Практикуйте с подобными пределами, используйте удобные для себя схемы сведения задач под необходимое правило. Не бойтесь делать ошибки — без них обучение не обходится!

Не знаете, как найти предел этого неравенства?

спросил 8 лет, 6 месяцев назад

Изменено 8 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь решить предел этого неравенства. Вопрос звучит следующим образом: Если $$4x — 92 — 4x + 7$$ для $x \geq 0$, найти $\lim_{x\to 4} f(x)$.

Я не очень понимаю, как решить эту проблему. Я попытался решить это с помощью односторонних ограничений и получил ответ 7, но я не уверен, как элегантно представить свой ответ. Я хочу знать, как представить свой ответ соответствующим математическим способом.

Но я не уверен, что это можно решить с помощью теоремы Сэндвича. Я бы тоже хотел узнать, возможно ли это.

Спасибо.

• пределы
92-4x+7 = 7$, а поскольку $f(x)$ зажато между ними, $\lim_{x \to 4} f(x) = 7$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я не знаю, является ли это общепринятым способом ответа, но вот мое решение: http://i.imgur.com/YggwNxO.png

Используя теорему о сэндвиче, мы находим, что f(x) равно «зажатый» между двумя функциями. Следовательно, там, где встречаются две функции, f(x) некуда идти, кроме одной и той же точки.

Попробуйте нарисовать его и посмотрите, что он вам скажет. Я думаю, вы найдете это очень интуитивным.

$\endgroup$

$\begingroup$

Проще говоря, x приближается к 4.

Поэтому подставьте 4 вместо x с обеих сторон. Вы получаете 7 <= f(x) <= 7 С помощью простой логики вы можете определить, что нет значений одновременно меньше 7 и больше 7, поэтому f(x) должно быть равно 7.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Как его рассчитать и что он означает

Что такое рентабельность инвестиций (ROI)?

Возврат инвестиций (ROI) – это показатель эффективности, используемый для оценки эффективности или прибыльности инвестиций или для сравнения эффективности ряда различных инвестиций. ROI пытается напрямую измерить сумму возврата на конкретную инвестицию по отношению к стоимости инвестиции.

Чтобы рассчитать рентабельность инвестиций, выгода (или доход) от инвестиций делится на стоимость инвестиций. Результат выражается в процентах или отношениях.

Ключевые выводы

• Возврат инвестиций (ROI) — популярный показатель рентабельности, используемый для оценки эффективности инвестиций.
• ROI выражается в процентах и ​​рассчитывается путем деления чистой прибыли (или убытка) инвестиции на ее первоначальную стоимость или затраты.
• ROI можно использовать для сравнения различных показателей и ранжирования инвестиций в различные проекты или активы.
• ROI не принимает во внимание период владения или течение времени, поэтому он может упускать альтернативные издержки инвестирования в другое место.
• Независимо от того, обеспечивает ли что-то хорошую рентабельность инвестиций, следует сравнивать с другими доступными возможностями.

Как рассчитать рентабельность инвестиций (ROI)

Как рассчитать рентабельность инвестиций (ROI)

Формула рентабельности инвестиций (ROI) выглядит следующим образом:

рентабельность инвестиций знак равно Текущая стоимость инвестиций − Стоимость инвестиций Стоимость инвестиций \begin{align} &\text{ROI} = \dfrac{\text{Текущая стоимость инвестиций}-\text{Стоимость инвестиций}}{\text{Стоимость инвестиций}}\\ \end{align} ROI = Стоимость инвестиций Текущая стоимость инвестиций — Стоимость инвестиций

«Текущая стоимость инвестиций» относится к доходам, полученным от продажи инвестиций, представляющих интерес. Поскольку рентабельность инвестиций измеряется в процентах, ее можно легко сравнить с доходами от других инвестиций, что позволяет сравнивать различные типы инвестиций с друг друга.

Понимание ROI

ROI — популярная метрика из-за ее универсальности и простоты. По сути, ROI можно использовать в качестве элементарного показателя рентабельности инвестиций. Это может быть рентабельность инвестиций в акции, рентабельность инвестиций, которую компания ожидает от расширения завода, или рентабельность инвестиций, полученная в результате сделки с недвижимостью.

Сам расчет не слишком сложен, и его относительно легко интерпретировать для широкого круга приложений. Если рентабельность инвестиций чистая положительная, она, вероятно, того стоит. Но если доступны другие возможности с более высоким ROI, эти сигналы могут помочь инвесторам исключить или выбрать лучшие варианты. Точно так же инвесторы должны избегать отрицательной рентабельности инвестиций, которая подразумевает чистый убыток.

Например, предположим, что Джо инвестировал 1000 долларов в Slice Pizza Corp. в 2017 году и через год продал акции за 1200 долларов. Чтобы рассчитать рентабельность этих инвестиций, разделите чистую прибыль (1200–1000 долл. США = 200 долларов США) на стоимость инвестиций (1 000 долларов США) для рентабельности инвестиций в размере 200/1 000 долларов США, или 20 %.

Имея эту информацию, можно было бы сравнить инвестиции в Slice Pizza с любыми другими проектами. Предположим, Джо также инвестировал 2000 долларов в Big-Sale Stores Inc. в 2014 году и продал акции на общую сумму 2800 долларов в 2017 году. Рентабельность активов Джо в Big-Sale составит 800/2000 долларов, или 40%.

Ограничения ROI

Примеры, подобные примеру Джо (выше), раскрывают некоторые ограничения использования ROI, особенно при сравнении инвестиций. В то время как окупаемость второй инвестиции Джо была в два раза выше, чем у первой инвестиции, время между покупкой Джо и продажей составляло один год для первой инвестиции и три года для второй.

Джо мог соответствующим образом скорректировать рентабельность многолетних инвестиций. Поскольку общая рентабельность инвестиций составляла 40 %, чтобы получить среднегодовую рентабельность инвестиций, Джо мог разделить 40 % на 3, чтобы получить 13,33 % в годовом исчислении. С учетом этой корректировки получается, что, хотя вторая инвестиция Джо принесла больше прибыли, первая инвестиция была на самом деле более эффективной.

ROI можно использовать в сочетании с нормой прибыли (RoR), которая учитывает временные рамки проекта. Можно также использовать чистую текущую стоимость (NPV), которая учитывает разницу в стоимости денег с течением времени из-за инфляции. Применение NPV при расчете RoR часто называют реальной нормой прибыли.

Изменения в ROI

В последнее время некоторые инвесторы и предприятия проявили интерес к разработке новых форм ROI, называемых «социальной отдачей от инвестиций» или SROI. SROI был первоначально разработан в конце 1990-х годов и учитывает более широкое воздействие проектов с использованием внефинансовой ценности (т. е. социальных и экологических показателей, которые в настоящее время не отражаются в обычных финансовых счетах).

SROI помогает понять ценностное предложение определенных экологических, социальных и управленческих (ESG) критериев, используемых в практике социально ответственного инвестирования (SRI). Например, компания может решить перерабатывать воду на своих фабриках и заменить все освещение на светодиодные лампы. Эти мероприятия влекут за собой немедленные затраты, которые могут отрицательно повлиять на традиционную рентабельность инвестиций, однако чистая выгода для общества и окружающей среды может привести к положительному показателю SROI.

Есть несколько других новых вариантов ROI, которые были разработаны для определенных целей. Статистика социальных сетей ROI определяет эффективность кампаний в социальных сетях, например, сколько кликов или лайков генерируется за единицу усилий. Точно так же маркетинговая статистика ROI пытается определить доход, связанный с рекламными или маркетинговыми кампаниями.

Так называемая окупаемость инвестиций в обучение относится к объему полученной и сохраненной информации в качестве отдачи от образования или повышения квалификации. По мере того, как мир прогрессирует и экономика меняется, в будущем наверняка будут разработаны несколько других нишевых форм ROI.

Что такое рентабельность инвестиций простыми словами?

По сути, рентабельность инвестиций (ROI) показывает, сколько денег вы вложили (или потеряли) в инвестициях или проектах после учета их стоимости.

Как рассчитать рентабельность инвестиций (ROI)?

Возврат инвестиций (ROI) рассчитывается путем деления прибыли, полученной от инвестиций, на стоимость этих инвестиций. Например, инвестиции с прибылью в 100 долларов и затратами в 100 долларов будут иметь рентабельность инвестиций 1 или 100% при выражении в процентах. Хотя рентабельность инвестиций — это быстрый и простой способ оценить успех инвестиций, он имеет ряд серьезных ограничений. Например, ROI не отражает стоимость денег во времени, и может быть сложно осмысленно сравнить ROI, потому что для получения прибыли одним инвестициям потребуется больше времени, чем другим. По этой причине профессиональные инвесторы склонны использовать другие показатели, такие как чистая приведенная стоимость (NPV) или внутренняя норма прибыли (IRR).

Что такое хороший ROI?

То, что считается «хорошей» рентабельностью инвестиций, будет зависеть от таких факторов, как готовность инвестора к риску и время, необходимое для того, чтобы инвестиции принесли доход. При прочих равных инвесторы, которые меньше рискуют, скорее всего, согласятся на более низкую рентабельность инвестиций в обмен на меньший риск. Аналогичным образом, инвестиции, окупаемость которых занимает больше времени, обычно требуют более высокой рентабельности инвестиций, чтобы быть привлекательными для инвесторов.

Какие отрасли имеют самый высокий ROI?

Исторически средняя рентабельность инвестиций S&P 500 составляла около 10% в год. Однако внутри этого могут быть значительные различия в зависимости от отрасли. Например, в течение 2020 года многие технологические компании добились годовой доходности, значительно превышающей этот порог в 10%. В то же время компании из других отраслей, например, энергетические и коммунальные, продемонстрировали гораздо более низкую рентабельность инвестиций, а в некоторых случаях понесли убытки по сравнению с прошлым годом.

No related posts.