3 в двоичной системе: Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

Содержание

Военно-техническая подготовка

4.1. Системы счисления

Система счисления (СС) — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

4.1.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются две цифры: 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа — запись этого числа в двоичной системе счисления. Пример:

0=0;
1=1;
2=10;
3=11;
7=111;
120=1111000;.

4.

1.2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются цифры от 0 до 7.

4.1.3. Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются цифры от 0 до 9. Это привычная нам система счисления, используемая для записи чисел в повседневной жизни.

4.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления — это система, в которой для записи чисел используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F.

Двоичные числа	Восьмеричные числа	Десятичные числа	Шестнадцатеричные числа
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Таблица представления чисел от 0 до 15 в различных системах счисления.

4.1.5. Элементы булевой алгебры

Булева алгебра — раздел математики, изучающий логические выражения и операции. Логические выражения представляют собой высказывания — некоторые утверждения, которым всегда можно сопоставить одно из двух логических значений:

ложь или истина (их можно обозначать как 0 и 1 , false и true).
Основными логическими операциями являются операции отрицания , логического И (конъюнкция) и логического ИЛИ (конъюнкция) . Именно с помощью них наиболее удобно оперировать с логическими выражениями. Производные логические операции могут быть выражены через них.

Отрицание — операция, применяемая к одному операнду, т.е. унарная операция. Выражение не A записывается как ¬A , A ̅ или ! A . Операции отрицания задается следующей таблицей истинности:

A	¬ A
0	1
1	0

Логическое И (конъюнкция) — операция, применяемая к двум операндам, т. е. бинарная операция. Выражение A и B записывается как A˄B , A ⋅ B или A&&B . Конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A	B	A ˄B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логическое ИЛИ (дизъюнкция) — еще одна бинарная операция. Выражение A или B записывается как A˅B , A+B или A||B . Дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A	B	A˅B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Остальные операции булевой алгебры могут быть записаны с использованием лишь этих трех операций. Приоритеты основных логических операций соответствуют приоритетам аналогичных операций в элементарной алгебре.

Отрицание.
Конъюнкция.
Дизъюнкция.

Глава 31. Двоичная система исчисления . Введение в электронику

ЦЕЛИ

После изучения этой главы студент должен быть в состоянии:

• Описать двоичную систему счисления.

• Перечислить значения разрядов для каждого бита двоичного числа.

• Преобразовывать двоичные числа в десятичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоичные.

• Преобразовывать десятичные числа в двоично-десятичный код.

• Преобразовывать числа в двоично-десятичном коде в десятичные.

Система счисления — это не более, чем код. Для каждой отдельной величины существует приписанный ей символ. Когда код известен, можно выполнять вычисления. Это возможно с помощью арифметики и высшей математики.

Простейшей системой счисления является двоичная. Двоичная система содержит только две цифры — 0 и 1. Эти цифры имеют такое же значение, как и в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления используется в цифровых и микропроцессорных цепях благодаря ее простоте. Двоичные данные представляются двоичными цифрами, называемыми битами. Термин бит означает двоичная цифра (разряд) (binary digit).

31-1. ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА

Десятичная система счисления называется системой с основанием 10, поскольку она использует десять цифр от 0 до 9. Двоичная система — это система с основанием два, поскольку она использует две цифры, 0 и 1. Положение 0 или 1 в двоичном числе показывает их значение в числе и называется значением разряда или его весом. Значения разрядов двоичного числа увеличиваются как степени 2.

Счет в двоичной системе начинается с чисел 0 и 1. Как и в десятичной системе счисления, каждая двоичная цифра отличается от предыдущей на единицу. Сумма единицы и нуля дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль, и при этом прибавляется единица в старшем разряде. На рис. 31-1 показана последовательность двоичных чисел, образованная по описанному алгоритму.

Рис. 31-1. Десятичные числа и эквивалентные двоичные числа.

Для определения наибольшего значения, которое может быть представлено данным количеством разрядов с основанием 2, используйте следующую формулу:

Наибольшее число = 2ⁿ — 1,

где n — число битов (или число использованных значений разрядов).

_{ПРИМЕР: два бита могут быть использованы для счета от 0 до 3, так как}

_{2ⁿ— 1 = 2²— 1 = 4–1 = 3.}

_{Четыре бита необходимы для счета от 0 до 15, так как}

_{2ⁿ — 1 = 2⁴ — 1 = 16 — 1 = 15.}

31-1. Вопросы

1. В чем преимущество двоичной системы счисления перед десятичной при использовании в цифровых цепях?

2. Как определить наибольшее значение двоичного числа при заданном числе разрядов?

3. Каково наибольшее значение двоичного числа с:

а. 4 битами,

б. 8 битами,

в. 12 битами,

г. 16 битами.

31-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ

Как установлено, двоичное число представляет собой число с весом каждого разряда. Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда. Метод вычисления двоичного числа показан на следующем примере:

_{ПРИМЕР:}

_{Число 45 является десятичным эквивалентом двоичного числа 101101.}

_{Дробные числа также могут быть представлены в двоичной форме путем размещения двоичных цифр справа от двоичной запятой, так же как и десятичные цифры размещаются справа от десятичной запятой. Все цифры справа от запятой имеют вес, представленный отрицательными степенями 2 или дробными значениями разрядов.}

_{Степень 2 ∙ Значение разряда}

_{2⁵ = 32}

_{2⁴ = 16}

_{2³ = 8}

_{2² = 4}

_{2¹ = 2}

_{2⁰ = 1}

_{десятичная запятая}

_{2^-1 = 1/2¹ = 1/2 = 0,5}

_{2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0,25}

_{2^-3 = 1/2³ = 1/8 = 0,125}

_{2^-4 = 1/2⁴ = 1/16 = 0,0625}

_{ПРИМЕР: Определить десятичное значение двоичного числа 111011,011.}

При работе с цифровым оборудованием часто бывает необходимо преобразовывать числа из двоичной системы в десятичную, и наоборот. Наиболее популярный способ преобразования десятичных чисел в двоичные — это последовательное деление десятичного числа на 2, с записью остатка после каждого деления. Остатки, взятые в обратном порядке, образуют двоичное число.

_{ПРИМЕР: Преобразовать 11 в двоичное число последовательным делением на 2. (Самый Младший Разряд).}

_{(1/2 = 0 означает, что 1 не делится на 2, так что 1 является остатком). Десятичное число 11 равно 1011 в двоичной системе.}

_{Этот процесс может быть упрощен путем записи чисел упорядоченным образом, как это показано на примере преобразования 25 в двоичное число.}

_{ПРИМЕР:}

_{Десятичное число 25 равно двоичному числу 11001. Дробные числа преобразовываются по другому: число умножается на 2 и целая часть записывается как двоичная дробь.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичную дробь 0,85 в двоичную дробь последовательным умножением на 2.}

_{Умножение на 2 продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Десятичная дробь 0,85 равна 0,110110 в двоичной форме.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичное число 20,65 в двоичное число. Разделите 20,65 на целую часть 20 и дробную 0,65 и примените описанные выше методы.}

_{Десятичное 20 — двоичному 10100}

_и

_{Комбинируя два числа, получим} 20,65₁₀ = 10100,1010011₂.

_{Это 12-разрядное число является приближенным, потому что преобразование дроби было прервано после получения 7 разрядов.}

31-2. Вопросы

1. Чему равно значение каждого разряда 8-разрядного двоичного числа?

2. Чему равно значение каждого разряда для 8 разрядов правее десятичной точки?

3. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 1001;

б. 11101111;

в. 11000010;

г. 10101010,1101;

д. 10110111,0001.

4. В чем состоит процесс преобразования десятичных чисел в двоичные?

5. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные:

а. 27;

б. 34,6;

в. 346;

г. 321,456;

д. 7465.

31-3. КОД 8421

Код 8421 — это двоично-десятичный код (ДДК), состоящий из четырех двоичных разрядов. Он используется для представления цифр от 0 до 9. Обозначение 8421 относится к двоичному весу 4 разрядов.

Степени 2: 2³ 2² 2¹ 2⁰

Двоичный вес: 8 4 2 1

Основным достоинством этого кода является то, что он допускает легкое преобразование из десятичной формы в двоичную, и наоборот. Поэтому двоично-десятичный код используется всегда, если не оговорено другое.

Каждая десятичная цифра (от 0 до 9) представляется двоичной комбинацией следующим образом:

Хотя с помощью четырех двоичных разрядов можно представить 16 чисел (2⁴), шесть кодовых комбинаций для чисел, больших 9 (1010,1011,1100, 1101, 1110 и 1111), в коде 8421 не используются.

Для того чтобы выразить любое десятичное число с помощью кода 8421, замените каждую десятичную цифру соответствующим 4-разрядным кодом.

_{ПРИМЕР: Преобразовать следующие десятичные числа в двоично-десятичный код: 5, 13, 124, 576, 8769.}

_{Для преобразования числа из двоично-десятичного кода в десятичную систему, разбейте число на группы по 4 разряда. После этого запишите десятичные цифры, соответствующие каждой 4-разрядной группе.}

_{ПРИМЕР: Преобразуйте числа, записанные двоично-десятичным кодом в десятичную систему: 10010101, 1001000, 1100111, 1001100101001, 1001100001110110.}

Замечание: Если в крайней группе слева не хватает разрядов до четырех, то к ней добавляются нули.

31-3. Вопросы

1. Что такое код 8421 и как он используется?

2. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоично-десятичный код:

а. 17;

б. 100;

в. 256;

г. 778;

д. 8573.

3. Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 1000 0010;

б. 0111 0000 0101;

в. 1001 0001 0011 0100;

г. 0001 0000 0000 0000;

д. 0100 0110 1000 1001.

РЕЗЮМЕ

• Двоичная система счисления — это простейшая система счисления.

• Двоичная система счисления содержит две цифры — 0 и 1.

• Двоичная система счисления используется для представления данных в цифровых и компьютерных системах.

• Двоичные данные представляются двоичными разрядами, которые называются битами.

• Термин бит происходит от названия двоичный разряд (binary digit)

• Значение каждого более высокого разряда двоичного числа увеличивается как степень 2.

• Наибольшее число, которое может быть представлено данным количеством разрядов в двоичной системе равно 2ⁿ — 1, где n — количество разрядов.

• Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда.

• Дробные числа представляются отрицательными степенями 2.

• Для преобразования десятичного числа в двоичное, десятичное число последовательно делится на 2, и после каждого деления записывается остаток. Эти остатки, расположенные в обратном порядке, образуют двоичное число.

• Код 8421 или двоично-десятичный код используется для представления цифр от 0 до 9.

• Достоинством двоично-десятичного кода является возможность легкого преобразования чисел из десятичной формы в двоичную и наоборот.

Глава 31. САМОПРОВЕРКА

1. Запишите в двоичной форме десятичные числа от 0 до 27.

2. Сколько двоичных разрядов нужно для представления десятичного числа 100?

3. Опишите процесс преобразования десятичного числа в двоичное число.

4. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятичные:

а. 100101,001011;

б. 111101110,11101110;

в. 10000001,00000101.

5. Опишите процесс преобразования десятичных чисел в двоично-десятичный код.

6. Преобразуйте следующие двоично-десятичные коды в десятичные числа:

а. 0100 0001 0000 0110;

б. 1001 0010 0100 0011;

в. 0101 0110 0111 1000.

3 в двоичном формате — Как преобразовать 3 из десятичного в двоичный?

3 в двоичном формате равно 11. В отличие от десятичной системы счисления, где мы используем цифры от 0 до 9 для представления числа, в двоичной системе мы используем только 2 цифры, которые равны 0 и 1 (биты). Мы использовали 2 бита для представления 3 в двоичном формате. В этой статье давайте узнаем, как преобразовать десятичное число 3 в двоичное.

Как преобразовать 3 в двоичный код?

Шаг 1: Разделите 3 на 2. Используйте целое частное, полученное на этом шаге, в качестве делимого для следующего шага. Повторяйте процесс, пока частное не станет равным 0,9.0006

Дивиденд	Остаток
3/2 = 1	1
1/2 = 0	1

Шаг 2: Запишите остаток снизу вверх, т.е. в обратном хронологическом порядке. Это даст двоичный эквивалент 3.

Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа 3 равен 11.

☛ Десятичный калькулятор для двоичных чисел

Давайте посмотрим на значение десятичного числа 3 в разных системах счисления.

3 в двоичном виде: 3₁₀ = 11₂
3 в восьмеричном: 3₁₀ = 3₈
3 в шестнадцатеричном формате: 3₁₀ = 3₁₆
11₂ в десятичном формате: 3₁₀

Описание проблемы:

Часто задаваемые вопросы о 3 в двоичном формате

Что такое 3 в двоичном формате?

3 в двоичном формате равно 11. Чтобы найти десятичный эквивалент в двоичном, разделите 3 последовательно на 2, пока частное не станет равным 0. Двоичный эквивалент можно получить, записывая остаток на каждом шаге деления снизу вверх.

☛ Двоичное преобразование в десятичное

Найдите значение 1 × 3 в двоичной форме.

Мы знаем, что 3 в двоичном формате равно 11, а 1 равно 1. Используя правила двоичного умножения (0 × 0 = 0; 0 × 1 = 0 ; 1 × 0 = 0 и 1 × 1 = 1), мы можем умножить 11 × 1 = 11, что равно 3 в десятичной системе счисления. [3 × 1 = 3]

Каков двоичный эквивалент числа 3 + 83?

3 в двоичной системе счисления равно 11, а 83 равно 1010011. Мы можем сложить двоичный эквивалент 3 и 83, используя правила двоичного сложения [0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10, обратите внимание, что 1 равно перенос на следующий бит]. Следовательно, (11)₂ + (1010011)₂ = (1010110)₂, что есть не что иное, как 86,9.0006

☛ Калькулятор двоично-десятичной системы счисления

Сколько бит имеет число 3 в двоичном формате?

Мы можем подсчитать количество нулей и единиц, чтобы увидеть, сколько битов используется для представления 3 в двоичном формате, т. е. 11. Таким образом, мы использовали 2 бита для представления 3 в двоичном формате.

Как преобразовать 3 в двоичный эквивалент?

Мы можем разделить 3 на 2 и продолжать деление, пока не получим 0. Записывайте остаток на каждом шаге.

3 mod 2 = 1 — LSB (младший значащий бит)
1 mod 2 = 1 — MSB (старший бит)

Записать остатки от MSB до LSB. Следовательно, десятичное число 3 в двоичном виде можно представить как 11.

☛ Также проверьте:

15 в двоичном виде — 1111
42 в двоичном формате — 101010
248 в двоичном формате — 11111000
134 в двоичном формате — 10000110
231 в двоичном формате — 11100111
18 в двоичном формате — 10010
90 в двоичном формате — 1011010

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Сколько значений можно представить тремя двоичными цифрами?

Система счисления — это система обработки чисел. Числовые форматы — это внутреннее представление числовых значений в архитектуре компьютера. Числовые значения хранятся в виде групп битов, таких как байты и слова. Существует четыре различных типа систем счисления, в основном используется десятичная система, а двоичная система используется компьютерами.

Четыре различных типа систем счисления,

1. Двоичная система счисления

В этой системе счисления используются только две цифры 0 и 1, за которыми следует основание 2. Двоичные цифры также известны как бит . Компьютеры понимают только двоичную систему.

2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления относится к основанию 8. Она содержит восемь символов, т.е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

3. Десятичная система счисления

Это система счисления, в которой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, за которыми следует основание 10. В математике обычно используется десятичная система.

4. Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе используются шестнадцать символов: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Бит в двоичном числе

Одна двоичная цифра называется битом. Двоичное число состоит только из 0 и 1. Это единственные две используемые цифры, и их комбинация по-разному используется для формирования разных значений/чисел.

Пример:

101 — трехбитное двоичное число

10100 — пятибитное двоичное число

Сколько значений может быть представлено трехзначным двоичным числом?

Трехзначный двоичный код просто означает расположение трех нулей и единиц всеми возможными способами для образования различных значений, например, 000, 001, 011, 100 и т. д. Поскольку цифр три, максимальное число способов их можно расположить так: 2 ³, что равно 8. Следовательно, это дает числа от 0 до 7. Ниже приведен способ определения числа на основе трехзначного двоичного числа, цифра единицы представляет 2 ⁰ x , the tens digit represents 2 ¹ x, the hundredth base represents 2 ² x, where x= 0 or 1.

Base 2 ² 2 ¹ 2 ⁰
Values  4 2 1
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
Максимальные значения представляют в 3 Дифунном бинарном.

Похожие вопросы

Вопрос 1. Сколько значений можно представить с помощью двузначного двоичного кода?

Решение:

Имеются 4 значения от 0 до 3, которые могут быть представлены двузначным двоичным кодом.
Base 2 ¹ 2 ⁰
Values  2 1
0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1

Вопрос 2: Сколько значений может быть представлено четырехзначным двоичным кодом?