Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:
| z=a+ib. | (1) |
Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.
Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).
На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:
Откуда имеем:
Подставляя (2) в (1), получим:
Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:
Откуда:
r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.
Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,… также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.
Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую
Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме.
Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).
Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).
Ответ. z=1(cos0+isin0).
Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. .
Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.
Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. , где φ=arccos(4/5).
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи
Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2). Перемножим эти числа:
| z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] |
или
| z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] | (5) |
В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |
| |z1z2|=|z1||z2|, | (6) |
т.
е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.
Далее имеем arg(z1z2)=φ1+φ2 или
| arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2), | (7) |
т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.
Пример 4. Умножить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (5):
Ответ. .
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2) и пусть z2≠0, т.е. r2≠0. Вычислим z1/z2:
Получили
Отсюда следует, что или
Далее , или
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.
Пример 5. Делить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (8):
Ответ. .
Геометрический смысл умножения и деления
На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z1 и z2. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z1z2, нужно вектор-радиус точки z1 повернуть против часовой стрелки на угол φ2 и растянуть в |z2| раз (при 0<|z2|<1 это будет сжатием).
Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z1z2 на z1 (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z1z2 на модуль числа z1, а аргумент равен: φ2=φ−φ1. В результате деления получим число z2.
Смотрите также:
Как возвести комплексное число в n-ую степень
2}}={\sqrt {1+3}}=2\) Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\) равен \(-{π\over3}\)
Получаем:
Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
Автор — Дмитрий Айстраханов
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Мария Николаевна Акбатырова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Московский государственный университет им.
М. В. Ломоносова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Наталья Анатольевна Люфт
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Новосибирскй педагогический университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Фёдор Владимирович Каузов
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Физика
- Химия
- Русский язык
- Английский язык
- Обществознание
- История России
- Биология
- География
- Информатика
Похожие статьи
- Периметр трапеции
- Как легко умножить на 0,2
- Как перевести км/час в м/мин?
- Как решать уравнения с помощью пропорции?
- ИВТ (НИУ ВШЭ) | Информатика и вычислительная техника
- Зачем отказываться от чипсов и чем их заменить?
- Пишем изложение: как запомнить больше информации?
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
Как преобразовать \\[3 — 3i\\] в тригонометрическую форму.
Ответить
Проверено
191,7 тыс.+ просмотров
Подсказка: Когда такое комплексное число, как указано выше, нужно преобразовать в тригонометрическую форму, мы напрямую сравниваем действительную и мнимую части данного комплексного числа с обобщенной тригонометрической формой комплексного числа. число, которое равно: —
\[ \Rightarrow \]\[r\cos \theta + i\left( {r\sin \theta } \right)\], где r — положительное число, \[\theta \ ] является основным аргументом.
Полный пошаговый ответ:
Итак, изначально в этом вопросе мы будем сравнивать действительную часть комплексного числа и обобщенную тригонометрическую форму.
\[ \Rightarrow \]\[r\cos \theta \]=3,
Далее,
\[ \Rightarrow \]\[\cos \theta \]=\[\dfrac{3}{r}\] \[\xrightarrow{{}}eqn1\]
Теперь сравним мнимую часть комплексного числа и обобщенную тригонометрическую форму
\[ \Rightarrow \]r\[\sin \theta \]=-3,
Далее ,
\[ \Rightarrow \]\[\sin \theta \]= \[\dfrac{3}{r}\] \[\xrightarrow{{}}eqn2\] 92}}}\],
Следовательно,
\[ \Rightarrow \]\[r = \pm 3\sqrt 2 \], но так как r положительное число, то
\[ \Rightarrow \]\[r = + 3\sqrt 2 \]
Теперь, взяв \[3\sqrt 2 \]common из \[3 — 3i\], мы получим
\[ \Rightarrow \]\[3\sqrt 2 \left( { \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + i\left( {\dfrac{{ — 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right)\]
Теперь мы сравним приведенное выше уравнение с \[r\left( {\cos\theta + i\sin\theta} \right)\]
После сравнения получаем \[\cos \theta\]=\[\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\] и \[\sin\theta\]=\[\left( {\dfrac{{ — 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\],
Для \[x \in \left[ { — \pi ,\pi } \right]\] вышеприведенное условие выполняется только тогда, когда \[\theta \]=\[ — \dfrac{\pi }{4}\ ].