4 в минус первой степени: 4 минус второй степени умножить на 4 в минус седьмой степени и разделить на 4…

2

Синус в минус первой степени это

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	– 1 ≤ x ≤ 1	– 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x	arccos x
град.	рад.	град.	рад.
– 1	– 90°	–	180°	π
–	– 60°	–	150°
–	– 45°	–	135°
–	– 30°	–	120°
	0°		90°
30°	60°
45°	45°
60°	30°
1	90°	0°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,,y>0 ;»> и 1″>

при и 1″>

при или

при 0,,y и 1″>

при 0 ;»> и 1″>

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

К ним обычно относят 6 функций:

• арксинус
  (обозначение: arcsin x; arcsin x — это угол, sin которого равен x),
• арккосинус (обозначение: arccos x; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
• арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x),
• арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x),
• арксеканс (обозначение: arcsec x),
• арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x).

Арксинус (y = arcsin x) – обратная функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.

Арккосинус (y = arccos x) – обратная функция к cos (x = cos y), которая имеет область определения и множество значений .

Другими словами возвращает угол по значению его cos.

Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция к tg (x = tg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg.

Арккотангенс (y = arcctg x) – обратная функция к ctg (x = ctg y), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg.

arcsec – арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.

arccosec – арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.

Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec

и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.

Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах, используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1 (« −1 » (минус первая степень) определяет функцию

x = f -1 (y), обратную функции y = f (x)).

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями:

где k – всякое целое число. При k = 0 у нас есть главные значения.

Для успешной работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами чисел нужно знать существующие между ними связи. Эти связи удобно записывать в виде формул.

В этой статье мы разберем основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg, для удобства работы и запоминания разобьем эти формулы по группам, дадим их вывод и доказательство, а также покажем примеры использования.

Навигация по странице.

Первые четыре блока формул представляют собой основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, в указанной статье сайта www.cleverstudents.ru Вы найдете и доказательство этих формул, и примеры их применения. Здесь мы не будем повторяться, а лишь приведем сами формулы, чтобы они все были в одном месте.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.

Эти формулы очевидны и напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Они показывают, чему равен синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.

Эти формулы также очевидны и следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Они определяют, чему равен арксинус синуса, арктангенс тангенса, арккосинус косинуса и арккотангенс котангенса. Заметим, что стоит быть очень внимательными к указанным условиям, так как если угол (число) α выходит за указанные пределы, то эти формулы использовать нельзя, ибо они дадут неверный результат.

Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Формулы этого блока показывают, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс отрицательного числа выражаются через arcsin , arccos , arctg и arcctg противоположного ему положительного числа. Эти формулы позволяют избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел, и перейти к работе с этими аркфункциями от положительных чисел.

Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа

Записанные формулы позволяют выразить арксинус числа через арккосинус этого же числа, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и арккотангенс через тангенс того же числа.

Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними

На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.

Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .

Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

Осталось показать вывод записанных формул.

Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.

Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.

Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:

• так как , то ;
• так как , то ;
• так как , то .

По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:

• так как , то ;
• так как , то ;
• так как , то .

Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:

• так как , то при ;
• так как , то при ;
• так как , то при .

Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .

arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.

Из формул связи тригонометрических и обратных тригонометрических функций, разобранных в предыдущем пункте, можно получить формулы, выражающие одну из аркфункций через другие аркфункции, например, выражающие арксинус одного числа, через арккосинус, арктангенс и арккотангенс другого числа.

Перечислим их.

По этим формулам можно заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно:

Вот формулы, выражающие арккосинус через арксинус, арктангенс и арккотангенс:

Формулы арктангенса через арксинус, арккосинус и арккотангенс имеют следующий вид:

Наконец, вот ряд формул с арккотангенсом:

Доказать все записанные формулы можно, отталкиваясь от определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, а также формул из предыдущего пункта.

Для примера, докажем, что . Известно, что при указанных a представляет собой угол (число) от минус пи пополам до пи пополам. Более того, по формуле синуса арктангенса имеем . Следовательно, при −1 является арксинусом числа a по определению, то есть, .

По аналогии можно доказать и остальные формулы, представленные в данном пункте статьи.

В заключение этого пункта покажем пример использования полученных формул. Для примера вычислим с их помощью, чему равен синус арккотангенса минус корня из трех. Обратившись к формуле вида , выражающей арккотангенс через арксинус, при имеем .

В данном примере мы могли вычислить требуемое значение и непосредственно: . Очевидно, что мы получили тот же результат.

Понятно, что для вычисления требуемого значения мы могли поступить и иначе, воспользовавшись формулой, выражающей синус через котангенс вида . Тогда решение выглядело бы так: . А можно было и сразу применить формулу синуса арккотангенса вида : .

Некоторые другие формулы

Основные формулы тригонометрии и формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса позволяют вывести ряд формул с arcsin , arccos , arctg и arcctg , еще не упомянутых в данной статье. Но заметим, что они уже достаточно специфичны, и приходится их использовать далеко не часто. Более того, такие формулы удобнее каждый раз выводить, нежели запоминать.

Для примера возьмем формулу половинного угла . Если добавить условие, что величина угла альфа принадлежит отрезку от нуля до пи, то будет справедливо равенство . При указанном условии угол альфа можно заменить на арккосинус числа a , что нам даст формулу вида , откуда можно получить следующую формулу, выражающую арккосинус через арксинус: .

Используя другие тригонометрические формулы, можно обнаружить ряд других связей между arcsin , arccos , arctg и arcctg .

В заключение этого пункта хочется сказать, что практическую пользу представляют даже не столько сами эти специфические формулы, связывающие arcsin , arccos , arctg и arcctg , сколько умения выполнять преобразования, используемых при выводе этих формул. Продолжением темы служит раздел теории преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Близорукость (миопия), узнайте что такое близорукость, портал vseozrenii.

Это вид патологии рефракции, когда фокус изображение предмета находится перед сетчаткой.

Что такое близорукость (миопия)?

Близорукость (миопия) — это вид оптического устройства глаза человека, когда фокус изображения предмета не попадает на сетчатку, а находится перед ней. Т.е. оптика преломляет свет сильнее, чем это необходимо, и он фокусируется до сетчатки, которая воспринимает изображение.

Близорукость — это неправильное устройство оптики глаза, когда фокус изображения попадает не на сетчатку, а находится перед ней. Такой пациент плохо видит вдаль.

Средний размер глаза человека в длину от роговицы до центра сетчатки составляет 23,5 мм. Близорукий глаз больше нормы на 1-2-3-5-7 мм, а, иногда, и более. Каждый прирост глаза на 1 мм в длину добавляет глазу 3,0 диоптрии миопии.

Близорукость – это минус или плюс?

Давайте вместе разберемся, почему близорукость – это «минус».

Как вы правильно понимаете, задача контактных линз или очков при близорукости (миопии) – рассеять лучи света, и перенести фокус дальше, чтобы он оказался точно в центре сетчатки глаза – макуле. В результате человек видит четко и ясно.

Диоптрии очков или контактных линз при близорукости, которые дают вогнутые рассеивающие стекла, обозначаются знаком минус «-», потому близорукость – это «минус».

Симптомы и признаки близорукости (миопии)

Основной симптомы близорукости – это:

• Ухудшение зрения вдаль
• размытость контуров предметов
• окружающий мир, буквально, сливается
• при этом сохранятся хорошее зрение вблизи

При миопии человек имеет плохое зрение вдаль, изображение предметов размыто, но вблизи сохраняется хорошее зрение

Пациенты с высокой степенью миопии хорошо видят практически у самого носа, когда дальнейшая точка ясного видения лежит не в бесконечности, а в нескольких сантиметрах от глаза. Вы, наверняка, видели таких людей, которые, сняв очки, буквально «носом упираются» в разглядываемый объект.

В зависимости от степени близорукости, зрение пациента может варьировать от легкой нечеткости вдали до полной размытости изображения.

Признаками близорукости, когда она сочетается с астигматизмом различных видов, являются не только рамытость изображения, но и:

• двоение
• искажение предметов
• прямые линии могут казаться изогнутыми

Степени близорукости

Существуют различные классификации близорукости. По количеству диоптрий, офтальмологи разделяют близорукость на 3 степени:

• Миопия слабой степени – до -3,0 D
• Миопия средней степени – от -3,25 D до -6,0 D
• Миопия высокой степени – более -6,25 D

Близорукость слабой степени– это 1 степень, которая находится в промежутке от -0,25 до -3,0 диоптрий. При миопии слабой степени глаз имеет длину на 1-1,5 мм больше среднестатистической нормы. Зрение вблизи остается хорошим, но вдаль человек видит очертания предметов немного размыто.

При росте глаза в длину на 1 мм происходит увеличение близорукости на -3,0 диоптрии. Чем больше глаз растет, тем выше становится степень близорукости.

Близорукость средней степени – это 2 степень, которая лежит в диапазоне  от -3,25 до -6,0 диоптрий. При миопии средней степени глаз значительно длиннее нормального, в среднем на 1-3 мм.

При такой степени болезни оболочки и сосуды глаза значительно растянуты и истончены. Зачастую, такая близорукость сопровождается различными дистрофиями сетчатки. Зрение вдаль сильно снижено, а вблизи человек хорошо видит на расстоянии 20-30 см.

Близорукость высокой степени – это 3 степень, она самая высокая по классификации в диоптриях, начинается от -6,25 и до максимальных значений, которые доходят иногда до – 30,0 диоптрий и более.

При такой экстремально высокой миопии глаз претерпевает значительные изменения. Глазное дно характеризуется истончением сетчатки и сосудистой оболочки, через которые просвечивается наружная оболочка глаза – склера.

Зрение пациентов снижено до 1-2% от среднестатистической нормы в 100%. Такая острота зрения позволяет различать пальцы на расстоянии вытянутой руки. Читать текст такой пациент может буквально «носом», потому что точка ближайшего видения лежит на расстоянии 5-10 см.

У человека с близорукостью -20,0 дптр будут очень толстые очки, которые сильно уменьшают размер глаза для окружающих.

Важно знать, что чем выше степень близорукости, а, соответственно, длина глаза, тем более растянуты и истончены оболочки глаза.  Наиболее «опасные» в отношении слепоты дистрофии чаще встречаются при близорукости в 3,0-7,0D.

Ложная близорукость

Близорукость бывает истинной, когда увеличивается в размерах сам глаз, и ложной, называемой спазмом аккомодации. Спазм не требует ношения очков и контактных линз и лечится медикаментозно или упражнениями.

Ложная близорукость (спазм аккомодации) вызывается перенапряжением мышцы, которая управляет хрусталиком глаза. Когда человек смотрит вдаль, то эта мышца расслаблена, и хрусталик имеет плоскую форму, что позволяет свету фокусироваться на сетчатке.

Когда мы рассматриваем предметы или работаем вблизи, цилиарная мышца находится в постоянном напряжении и заставляет хрусталик принимать выпуклую форму. Это необходимо для хорошего зрения вблизи.

Спазм аккомодации, вызванный длительной работой на близком расстоянии, не дает цилиарной мышце расслабляться при переводе взгляда вдаль. Оптика глаза остается в напряжении для близи.

Постоянное напряжение цилиарной мышцы при работе на близком расстоянии приводит к ее спазму, и возникает ложная близорукость.

Чтобы человек со спазмом аккомодации хорошо видел вдаль, ему надо подставить минусовое стекло, как при близорукости. Отсюда и возник термин – ложная близорукость, которая не связана с размером глаза или силой его оптики, а вызывается именно спазмом цилиарной мышцы.

Отличия близорукости от дальнозоркости

Главное отличие близорукости от дальнозоркости – это расположение фокуса изображения. В дальнозорком глазу свет фокусируется за сетчаткой глаза, что дает человеку размытое и нечеткое изображение.

При дальнозоркости фокус изображения уходит за глаз, потому что его длина меньше чем в норме. При близорукости все наоборот — глаз длиннее нормы, и фокус лежит перед сетчаткой.

Становится понятным, что у пациентов с дальнозоркостью свет может фокусироваться за глазом только по двум причинам:

Во-первых, дальнозоркий глаз короче нормы. Это самая частая причина дальнозоркости (гиперметропии). Таким образом, даже при нормальной преломляющей силе оптики глаза, свет фокусируется за сетчаткой.

Во-вторых, оптика дальнозоркого глаза может слабее преломлять свет, чем у близорукого или нормального глаза, что встречается реже. Например, в норме роговица глаза преломляет свет с силой 42-45 диоптрий, а у дальнозоркого глаза всего лишь 38-42 диоптрии.

Осложнения миопии

Очень важно! При всех 4-х типах близорукости (миопии) необходимо тщательно осматривать центральные и периферические отделы сетчатки, чтобы не пропустить «опасных» в отношении отслойки сетчатки дистрофий. Их всего 4-5 видов и 4-5 видов «неопасных» дистрофий.

При близорукости на сетчатке часто бывают опасные дистрофии. Например, разрыв сетчатки — из-за него может развиться ее отслойка

Такие «опасные» дистрофии требуют консультации лазерного хирурга и укрепления их с помощью лазеркоагуляции. Только после этого можно решать вопрос о лазерной коррекции близорукости или характере родоразрешения у беременных.

При очень высоких степенях близорукости (2-й склеродегенеративный тип) довольно часто в зрелом возрасте возникают дистрофические изменения в центре сетчатки, которые могут приводить к резкому снижению зрения и инвалидности. Они требуют отдельного подхода к лечению.

Возможно ли восстановить зрение при близорукости?

Этот вопрос беспокоит многих людей на планете, ведь близорукость (миопия), согласно данным Всемирной организации здравоохранения, встречается в легкой форме примерно у 188 с половиной миллионов человек, умеренные и тяжелые – у 217 миллионов.

При близорукости зрение вблизи хорошее (предметы, которые расположены рядом, видны четко), а вот вдаль человек видит плохо. Такое явление связано с нарушением рефракции, когда световые лучи не фокусируются на сетчатке глаза, как положено при нормальном зрении, а собираются в фокус перед нею. Чтобы рассмотреть отдаленные объекты, приходится прищуриваться, однако сфокусировать взгляд удается лишь при небольших отклонениях рефракции от нормы.

Причиной миопии врачи называют необходимость рассматривать предметы вблизи: текст на компьютере или экране мобильного телефона, в учебнике, мелкие детали во время работы и так далее. Но поскольку глаза человека изначально приспособлены к жизни на природе и привыкли смотреть вдаль, им приходится приспосабливаться к новым условиям изменяя рефракцию. Результатом может стать значительное ухудшение зрения и даже слепота.

Виды близорукости и особенности их лечения

Современная медицина выделяет три основные формы этого нарушения зрения – врожденную, наследственную и приобретенную.

• При врожденной близорукости можно заметить деформацию глазного яблока, как только ребенок родился.
• Наследственная патология передается из поколения в поколение в семье. Это обусловлено особенностями строения соединительной ткани глазного яблока, которые закладываются генетически. У одних людей она может растягиваться сильнее, у других – меньше. Вероятность, что у близорукого отца родится ребенок, который со временем столкнется с той же проблемой, составляет около 15%. У мамы с этим нарушением зрения риск рождения такого малыша повышается до 30%. Если оба родителя близоруки, то он возрастает до 50%. Однако, даже если мама и папа имеют стопроцентное зрение, это не гарантирует отсутствие патологии у ребенка.

Приобретенная миопия формируется со временем под действием различных факторов: чрезмерных нагрузок на глаза, отсутствии необходимых профилактических мер.

Близорукость может быть легкой средней или тяжелой

Степень нарушений	Показатели в диоптриях	Изменение длины глазного яблока	Видимость
Слабая	До 3 диоптрий	Выше примерно 1,5 мм	Предметы вблизи видны хорошо, а вдали немного размыты
Средняя	3-6 диоптрий	Выше чем на 3 мм	Предметы четко видны вблизи на расстоянии до 30 см, а вдали – плохо различимы
Высокая	6-30 диоптрий	Наблюдаются изменения не только длины глазного яблока но и сетчатки глазного дна и сосудистой оболочки	Предметы видны на расстоянии до 10 см

Врачи-офтальмологи также говорят об истинной и ложной близорукости. В первом случае наблюдаются реальные изменения длины глазного яблока. Во втором нарушения зрения связаны со спазмом аккомодации глазных мышц, что происходит вследствие переутомления глаз. Однако возможен переход ложной формы в истинную, если не предпринимать никаких мер, продолжать слишком напрягать зрение и не лечить заболевание.

Можно ли вылечить?

Близорукость поддается коррекции и лечению. Самые лучшие результаты достигаются, если лечение начинается как можно раньше – при слабой или средней степени нарушений. И при условии, что комбинируется несколько методов: гимнастики для глаз физиотерапии, ношения очков или линз.

Важно выполнять все рекомендации врача-офтальмолога, проводить процедуры, делать упражнения и носить очки либо линзы регулярно. Только в этом случае возможно заметное улучшение зрения и остановка прогрессирования заболевания.

К радикальным методам лечения относят операцию, выполняемую с помощью лазера. При использовании такой технологии возможно

восстановление зрения полностью в большинстве случаев.

При истинной форме патологии вылечить близорукость без операции, уверены врачи, невозможно. Если же близорукость ложная, то безоперационные способы способны помочь вернуть нормальное зрение, но только при условии достаточного упорства пациента и выполнении всех рекомендаций офтальмолога.

Как исправить зрение?

Каждый из методов, помогающих улучшить зрение при близорукости, обладает своими особенностями показаниями и определенной эффективностью лечения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

1. Гимнастика. Специальные упражнения для улучшения зрения направлены на то, чтобы укрепить глазные мышцы и активизировать снабжение глаза кровью. Стоит учитывать, что гимнастика при регулярном ее применении действительно способна помочь повысить остроту зрения, однако, как полагают специалисты в области офтальмологии, полностью решить вопрос таким образом не получится.
2. Аппаратные методы и физиотерапия. Это целый комплекс мер, направленных на замедление, остановку развития процесса и на устранение близорукости, точнее, на повышение остроты зрения. Сюда входят магнитотерапия, рефлексотерапия (электропунктура), электростимуляция, лекарственный электрофорез, тренировки с помощью особых стекол, вакуумный пневмомассаж глаз (очки Сидоренко). Применяется офтальмологический тренажер «Визотроник» для стимуляции глазных мышц и снятия напряжения, улучшения кровообращения в глазных сосудах. Еще один аппарат – «Ручеек», создан для тренировки аккомодации (расширения и сжатия глазного яблока). Используются специальные компьютерные программы, которые стимулируют работу глаз и способствуют возбуждению центров коры головного мозга, связанных со способностью человека видеть. Проводятся тренировки по методу Аветисова-Мац. Для малышей придуман тренажер «Амблиокор»: дети просто смотрят мультфильмы, но, чтобы картинка была видна на экране, нужно смотреть правильно.

 

1. Очки или контактные линзы. Это самый простой вариант, не требующий практически никаких усилий. Достаточно пройти обследование у офтальмолога, который подберет подходящие линзы и купить очки. Этот метод наиболее востребован у пациентов, однако имеет свои недостатки. Например, в очках неудобно заниматься спортом, плавать. Они мешают полноценно наслаждаться просмотром фильмов в 3D-формате и так далее. За контактными линзами необходимо ежедневно ухаживать, что может быть сложно для детей или людей пожилого возраста. Кроме того, очки и линзы не решают вопрос, они лишь останавливают и замедляют процесс снижения остроты зрения.
2. Ортолинзы – специальная разновидность контактных линз. Они имеют жесткую форму и используются во время сна. Пока человек спит, линзы способствуют изменению формы роговицы глаза и уплощению ее центра – оптической части. После снятия линзы утром глазное яблоко еще некоторое время сохраняет свою новую форму, а изображение фокусируется, как нужно, на сетчатке – зрение улучшается. Эффект сохраняется до двух суток, после чего глаз снова принимает прежнюю форму.
3. Операция склеропластики. Задача такого оперативного вмешательства – остановить увеличение длины глазного яблока по оптической оси. Такой метод применяется, если близорукость прогрессирует.
4. Лазерная коррекция зрения. Это современный высокотехнологичный вариант. Операция проходит быстро (в течение примерно 15 минут), без боли и позволяет полностью восстановить зрение. Заметить улучшение можно уже на второй день, а через месяц большинству пациентов уже удается хорошо видеть предметы вдали без очков и линз. Но применять этот метод можно только при стабильном зрении (отсутствии прогрессирования ухудшений) в течение минимум пяти лет, и лучше после 18 лет. Это значит, что, если процесс остановился в 14 лет, можно сделать лазерную коррекцию в восемнадцать, если остановка произошла в 17 лет – только в 22 года.
5. Замена хрусталика глаза. Такое оперативное вмешательство используется, если степень близорукости тяжелая, и глаз уже не может самостоятельно регулировать аккомодацию. В том случае применяется метод ультразвуковой факоэмульсификации хрусталика. Прежний хрусталик удаляется, а на его место ставится новый – искусственная интраокулярная линза. Если глаз еще не полностью потерял способность к аккомодации, возможна имплантация факичной линзы при сохранении естественного хрусталика.

Как вылечить близорукость у детей?

Лечение патологии у детей в большинстве случаев намного эффективнее, чем у взрослых. Это объясняется тем, что глаз ребенка еще развивается. Самое главное – начать лечение, как можно раньше.

В возрасте до трех лет при слабой близорукости, по мнению некоторых офтальмологов, коррекция не имеет смысла. Это связано с тем, что такие малыши не нуждаются в разглядывании предметов, расположенных далеко от них. Они активно изучают свое ближайшее окружение.

С трех лет уже можно купить ребенку очки: ему хочется видеть больше и шире, и у него достаточно мотивации, чтобы ежедневно носить этот аксессуар. Если нарушения сильные (9-10 диоптрий), то применяются контактные линзы, поскольку для очков потребуются слишком толстые и тяжелые линзы. Лучший вариант – однодневные модели: их не нужно промывать, что упрощает соблюдение гигиены и снижает риск попадания в глаза инфекции.

При степени нарушений до 6 диоптрий применяются ортолинзы: они помогают остановить прогрессирование патологии. Как говорят специалисты, ребенок может использовать ночные линзы в любом возрасте.  Также применяются физиотерапевтические способы коррекции.

В более старшем школьном возрасте могут использоваться все эти методы.

Как лечить миопию у школьника, вернее, как корректировать процесс, подробно расскажет врач-офтальмолог на консультации. Составляется индивидуальная программа для каждого юного пациента, куда включаются ношение очков или линз, медикаментозное лечение и аппаратное. Если школьнику проставлен диагноз «близорукость», рекомендуется дважды в год проходить курс лечения в специальных офтальмологических отделениях. Комплекс процедур, предусматривающих ограничение нагрузки на глаза, помогает остановить развитие заболевание и не допустить более серьезных его форм.

Подростки с нарушениями зрения нуждаются в особом внимании. Пубертатный период характеризуется значительными переменами в человеческом организме, и все патологические процессы могут обостряться. Кроме того, современные юноши и девушки много времени проводят за компьютерами и активно пользуются различными гаджетами, что повышает нагрузку на глаза. Каждый третий старшеклассник, как свидетельствуют цифры, страдает от нарушений зрения вдаль.

Важно использовать все возможные способы для замедления прогрессирования нарушений, Глазное яблоко растет примерно до шестнадцати-восемнадцати лет, поэтому делать операцию в подростковом возрасте нецелесообразно. Как показала практика, спустя какое-то время зрение снова снижается.

Заметить, что дошкольник или школьник плохо видят отдаленные объекты, можно по тому, что он начинает подносить к глазам предметы, чтобы лучше их рассмотреть. Частое моргание и быстрая утомляемость при чтении также могут быть симптомами развивающихся нарушений. Еще один признак – частые головные боли и прищуривание глаз при попытках рассмотреть то, что находится далеко.

Проверять зрение у школьников необходимо не реже одного раза в год: они входят в группу риску по причине высоких зрительных нагрузок во время учебы.

Как избавиться от близорукости у взрослых?

При плохом зрении вдаль у взрослых в качестве коррекционных мер активно применяются очки и контактные линзы, специальная гимнастика для глаз и физиопроцедуры. Чтобы замедлить прогрессирование болезни, рекомендуется соблюдать режим работы и отдыха, правильно питаться и достаточно времени проводить на свежем воздухе. Показаны также умеренные физические нагрузки.

Чтобы восстановить зрение у взрослых пациентов, успешно используются хирургические методы. Самой безопасной технологией исправления зрения при слабой и средней степенях считается лазерная коррекция.

Выполнять такие операции можно, начиная с 18 лет и до пожилого возраста. Главное – чтобы не было противопоказаний, которых с возрастом может накапливаться у человека все больше.

Новые современные методы лечения

Вернуть зрение к стопроцентным показателям, по словам врачей, при близорукости способна только хирургическая операция. Других вариантов кардинального решения вопроса современная медицина не предлагает.

Самым эффективным методом коррекции сегодня считается лазерная – с применением фемтосекундного лазерного аппарата.

• Лазерная коррекция проводится на основании точнейших расчетов, выполняемых компьютером.
• Точность коррекции очень высока.
• С помощью лазера формируется новая поверхность роговицы: срезается тонкий слой, чтобы обеспечить нужную толщину для нормальной рефракции.
• Пациент не чувствует боли во время операции и после нее.
• Зрение восстанавливается до 100% в течение месяца.

Если степень нарушений высока (более 16 диоптрий), пациентам после 18 лет выполняются полостные операции: хрусталик корректируется или заменяется искусственным.

При прогрессировании заболевания проводится склеропластика. Задний полюс глазного яблока укрепляется, что не дает ему растягиваться в дальнейшем.

Для профилактики близорукости у взрослых людей может выполняться лазерокоагуляция: возле истонченных участков роговицы сетчатка приваривается.

Любое оперативное вмешательство требует тщательного предварительного обследования пациента. Это необходимо, чтобы выявить возможные противопоказания и исключить возникновение осложнений в послеоперационном периоде.

Цитаты

«Прогнозы мировой статистики свидетельствуют о том, что к 2050 году 50% населения будет близоруким, 10% будут иметь высокую степень близорукости, и порядка одного миллиарда человек будут слепы», — Татьяна Павлова, доцент кафедры офтальмологии педиатрического факультета Российского медицинского университета имени Пирогова, ведущий эксперт межпрофессионального Альянса по охране зрения «Врата солнца»

 

«Дети должны регулярно проходить осмотры у врачей. Главная задача таких обследований — профилактика глазных заболеваний. Также важна гигиена глаз: чаще гулять на улице, ограничивать использование гаджетов. Это, конечно, вопрос дисциплины, и родители должны за этим следить. Чем младше ребёнок, тем меньше он должен проводить времени с компьютерами и смартфонами. До возраста 3-4 лет такие гаджеты вообще не рекомендуются к использованию», — сказал Брайан Холден, директор отдела образования Института зрения Брайана Холдена (Австралия) Луиджи Билотто.

Почему нас рекомендуют

Только то, что нужно для отличного зрения

О группах крови — Центр крови

Когда врач говорит о Вашей группе крови, то под этим от как правило подразумевает две вещи: Ваша группа крови по системе АВО и Ваш Rh (резус-фактор).

Группу крови человека определяют антигены, находящиеся на его красных кровяных тельцах. Антиген представляет собой некоторую структуру на поверхности клетки. Если она является чужеродной для организма, то на нее будет реагировать защитная система человека. Поэтому и необходимо при переливании учитывать группы крови: группа крови донора определяется в Центре крови, а группа крови больного – перед переливанием.

Система АВ0

Наибольшую важность представляет система групп крови АВО, согласно которой крови делится на группы А, В, О и АВ. Ее определяют два антигена, расположенные на поверхности эритроцитов:

• группа А – на поверхности эритроцитов находится только антиген А
• группа В – на поверхности эритроцитов находится только антиген В
• группа АВ – на поверхности эритроцитов находятся антигены как А, так и В
• группа О – на поверхности эритроцитов нет ни антигена А, ни антигена В.

Если у человека группа крови А, В или 0, то в его плазме крови имеются также и антитела, которые уничтожают те антигены, которых у  самого человека нет. Примеры: Если у Вас группа крови А, то Вам нельзя переливать кровь группы В, ибо в таком случае в Вашей крови имеются антитела, которые борются против антигенов В.  Если у Вас группа крови 0, то в Вашей крови имеются антитела, которые борются как против антигенов А, так и против антигенов В.

Если у человека группа крови АВ, то у него нет таких антител не имеется, поэтому ему можно переливать кровь любой группы. Поэтому носителя группы крови АВ можно назвать универсальным пациентом.

Носителя группы крови 0 с отрицательным резус-фактором в свою очередь называют универсальным донором, поскольку его эритроциты подходят для всех пациентов.

Резус (Rh)-принадлежность

Принадлежность по резус-фактору (Rh) может быть положительной (+) и отрицательной (-). Это зависит от наличия антигена D на поверхности красных кровяных телец. Если антиген D имеется, человек считается резус-положительным, а если антиген D отсутствует, то резус-отрицательным.

Если у человека резус-фактор отрицательный, то при соприкосновении с резус-положительной кровью (например, при беременности или при переливании крови) у него могут образоваться антитела. Эти антитела могут вызвать проблемы при беременности у женщины с отрицательным резус-фактором, если она вынашивает ребенка с положительным резус-фактором.

Помимо систем АВО и Rh на сегодняшний день открыто еще около тридцати систем группы крови. Клинически наиболее важными из них являются системы Kell, Kidd и Duffy. По системе Kell исследуют также и кровь доноров.

Как определяется группа крови?

Для определения группы крови ее смешивают с реагентом, содержащим известные антитела.

На основу наносят три капли крови взятые у одного человека: к одной капле добавляют тест-реагент анти-А, к другой капле — тест-реагент анти-В, к третьей – тест-реагент анти-D, т.е. тест-реагент Rh. Если в первой капле образуются сгустки крови, т.е. происходит склеивание эритроцитов (агглютинация), то у человека имеется антиген А. Если в другой капле эритроциты не склеиваются, следовательно у человека не имеется антигена В; а если в третьей капле возникает агглютинация, то это указывает на  положительный резус-фактор. В этом примере у  донора группа крови А, резус-фактор положительный.

Совместимость группы крови донора и реципиента имеет чрезвычайно важное значение, ибо в противном случае у реципиента могут возникнуть опасные реакции на переливание крови.

Наследование групп крови

Человек наследует от отца и от матери в одинаковой степени. Поэтому наследственное вещество имеет двойную структуру: одна часть от матери, а другая от отца.  Говоря о наследовании групп крови, необходимо иметь в виду, что:

• Большинство наших генов существует в двух копиях
• Своим детям каждый из родителей передает (на основе случайного выбора) по одной из этих копий
• Гены встречаются в разных версиях (аллелях)
• Некоторые из версий гена бывают более сильными, чем другие

Система АВО

Система Rh

В системе АВ0 антигены представлены в трех версиях А, В и 0. Учитывая, что наследственное вещество включает две части, может встречаться шесть различных комбинаций: Гены AA A0 AB B0 BB 00 Проявляется более сильная часть, обе в равной степени или их комбинация. В системе АВ0 гены А и В сильнее чем 0, что сказывается на формировании группы крови следующим образом: Гены Группа крови AA A A0 A AB AB B0 B BB B 00 0 Пример: У матери в наследственном веществе имеется комбинация генов А0, и ее группа крови имеет обозначение А (в то же время, она является носителем гена группы крови 0, и существует вероятность, что она передаст его ребенку). У отца группа крови имеет обозначение 0, и в его наследственном веществе имеется комбинация генов 00. Соответственно он может передать ребенку только 0, т.е. отсутствие антигенов. Таким образом, их ребенок может иметь группу крови A (A0) или 0 (00).

В системе Rh дела обстоят несколько проще, поскольку существует лишь два варианта: антиген D либо имеется (резус-фактор положительный), либо отсутствует (резус-фактор отрицательный). Положительный резус-фактор доминирует над отрицательным. Гены Группа крови +/+ положительный +/- положительный -/- отрицательный Пример: если у матери резус-положительная кровь, и при этом присутствует скрытая отрицательная версия, то есть аллель (+/-), и у отца точно такая же комбинация, и они оба передадут отрицательную аллель, то двух резус-положительных родителей может родиться ребенок с отрицательным резус-фактором.

 

Астигматизм у детей – что это, симптомы, виды, диагностика и лечение

Астигматизм представляет собой дефект зрения, при котором одни участки изображения человек воспринимает четко, а другие – размыто. Это происходит по причине нарушения сферичности преломляющей поверхности глаза: из-за неправильной формы роговицы или хрусталика световые лучи не фокусируются точно на сетчатке. Недугу подвержены как взрослые, так и дети.

Запиши ребенка на прием к врачу

Рассказываем, по каким симптомам можно определить астигматизм у детей, из-за чего он появляется и как корректируется.

Содержание

1. Что такое астигматизм
2. Виды астигматизма
3. Причины возникновения астигматизма
4. Симптомы астигматизма у ребенка
5. Коррекция астигматизма у ребенка

Важно понимать, что астигматизм не является заболеванием. Более того, в той или иной степени он есть у всех людей. Астигматизм величиной до 0,5 диоптрий является одной из разновидностей нормы. Он возникает из-за того, что глазное яблоко никогда не является идеальной сферой, вертикальный и горизонтальный размер роговицы всегда немного различаются. Человек не ощущает такую оптическую погрешность и нет необходимости ее корректировать.

Если же величина астигматизма превышает установленный для нормы предел, расстройство зрения вызывает у человека дискомфорт и требует коррекции.

Виды астигматизма

Условные линии, соединяющие полюса глазного яблока, офтальмологи называют меридианами. Так как при астигматизме нормальная сферичность глаза нарушена, то в различных меридианах преломляющая сила будет разной. Поэтому выделяют несколько разновидностей этого нарушения зрения:

• простой астигматизм – в одном глазном меридиане наблюдается нормальная рефракция, а в другом диагностируется близорукость или дальнозоркость;
• сложный астигматизм – в обоих меридианах есть признаки близорукости или дальнозоркости;
• смешанный астигматизм – в одном из меридианов наблюдается близорукость, а в другом – дальнозоркость.

Причины возникновения астигматизма у детей

Астигматизм может быть:

• врожденным;
• приобретенным.

Как уже говорилось выше, в той или иной степени он присутствует у любого человека. Но даже у ребенка в возрасте до 1 года может быть обнаружен астигматизм выше 1 диоптрии. Он вызывается как генетической предрасположенностью, так и осложнениями при беременности, повлиявшими на состояние хрусталика или роговицы.

При астигматизме ребенок видит окружающие предметы размыто

Приобретенный астигматизм возникает и развивается после рождения. Он может быть следствием, например, травмы или воспалительного заболевания, поразившего роговую оболочку глаза.

Врожденный астигматизм чаще всего касается обоих глаз. Приобретенное нарушение зрения может возникнуть как на обоих глазах, так и на одном из них.

Астигматизм до 1 диоптрии ребенок обычно не ощущает. Вообще, если его величина не превышает 3 диоптрий, то такую степень астигматизма называют слабой.

От 3 до 6 диоптрий – средняя степень. При ней ребенок замечает, что четкость восприятия окружающего мира хуже.

Более 6 диоптрий – высокая степень. Чаще всего она встречается при патологиях роговицы, и проблемы с четким восприятием окружающего мира нередко сочетаются с резью в глазах и головной болью. Без коррекции зрения в данном случае не обойтись, однако скорректировать астигматизм высокой степени непросто.

Как распознать астигматизм у ребенка

Выявить и поставить диагноз астигматизм может только офтальмолог, обладающий как специальным оборудованием, так и профессиональными навыками. Лучший способ убедиться, что у ребенка со зрением все в порядке, а также своевременно узнать о проблемах и заняться их коррекцией – это периодические осмотры.

Запиши ребенка на прием к врачу

Маленькие дети просто не могут рассказать о своих проблемах со зрением или не понимают, что их восприятие – не норма. Дети постарше тоже не всегда осознают, что дискомфорт, который они испытывают, – повод пожаловаться родителям. Бывает и так, что родители не уделяют достаточного внимания жалобам детей.

Маленький ребенок может не осознавать проблемы со зрением, поэтому важно регулярно посещать офтальмолога

Конечно же, необходимо следить за поведением ребенка. Если вы заметили тревожные симптомы, как можно быстрее отведите его к офтальмологу.

Основные признаки астигматизма у детей – это:

• ухудшение зрения;
• резь, жжение в глазах;
• покраснение глаз;
• неприятные ощущения в надбровной области;
• повышенная утомляемость – особенно при чтении, а также при использовании компьютера и мобильных устройств;
• нежелание читать и писать, отказ рассматривать картинки в книгах;
• головная боль, вызванная увеличенной зрительной нагрузкой;
• размытость изображения, двоение предметов перед глазами;
• необходимость прищуриваться, чтобы четче разглядеть предмет, поворачивать голову, чтобы смотреть на предмет под углом.

Если ребенок щурится и испытывает затруднения при чтении, это может свидетельствовать о проблемах со зрением

Все вышеперечисленное не обязательно указывает на астигматизм у малыша. Эти симптомы могут свидетельствовать и о других нарушениях зрения, и даже о заболеваниях, не связанных с глазами. Офтальмолог проведет необходимое обследование, определит причины и предложит оптимальные методы решения проблемы.

Чтобы ответственно подходить к здоровью глаз ребенка, важно понимать, чем опасен астигматизм. Это нарушение может провоцировать косоглазие, синдром «ленивого глаза» и другие зрительные дефекты, которые существенно снижают остроту зрения и качество жизни ребенка.

Коррекция астигматизма у детей

Астигматизм может привести к косоглазию. Еще одно возможное его последствие – амблиопия, она же «синдром ленивого глаза». При амблиопии один глаз частично или полностью не участвует в зрительном процессе. Чтобы избежать последствий, необходимо своевременно озаботиться коррекцией недуга.

Хирургическое вмешательство, избавляющее детей от астигматизма, рекомендуется проводить после 18 лет. Однако в виде исключения в отдельных сложных ситуациях возможная лазерная коррекция зрения – если это допустимо по медицинским показаниям.

Такие операции делают детям в возрасте от 10 лет. С помощью сфокусированного пучка лазерных лучей специалисты исправляют неровности роговицы. Это может поспособствовать тому, чтобы глазу вернулась нормальная преломляющая способность. Но чаще всего при постановке диагноза «астигматизм» врачи рекомендуют носить очки или контактные линзы.

Раньше для коррекции детского астигматизма использовали очки с обычными сферическими линзами. Однако их оптических свойств недостаточно, чтобы компенсировать нарушение зрения. Поэтому стали использовать очки со сферо-цилиндрической оптикой, которая в разных сечениях имеет различные показатели преломления.

К очкам необходимо привыкать, их ношение первое время может сопровождаться головной болью. К тому же дети не любят носить очки: они могут привлекать к ним нежелательное внимание со стороны сверстников, мешать заниматься спортом, ограничивать боковое зрение. Даже если ребенок носит очки, он нередко роняет и разбивает их, гнет оправу, из-за чего посадка становится неправильной, а это приводит к нарушению коррекции.

Более эффективным и удобным способом коррекции астигматизма у детей на сегодняшний день является ношение торических линз. Они, как и очки, обеспечивают сфероцилиндрическую коррекцию, но, в отличие от очковых линз, вплотную прилегают к роговице, что повышает их эффективность.

Торические линзы подходят всем людям с астигматизмом от 0,75 диоптрий. К тому же они незаметны со стороны, что очень важно для ребенка. Однако родителям нужно быть готовым к тому, что им понадобится регулярно надевать линзы маленькому ребенку. Да и детям постарше потребуется помощь, пока они сами не научатся это делать.

Необходимо иметь в виду, что лечение астигматизма с помощью очков или линз хоть и позволяет улучшить качество зрения и избавиться от дискомфорта, не дает возможности остановить развитие нарушения. Даже оперативное вмешательство не всегда приводит к полному устранению расстройства. Многое зависит от причины, вызвавшей астигматизм, и от его степени.

В любом случае без визита к офтальмологу не обойтись. Если у ребенка диагностирован астигматизм, необходимо обратиться к специалисту не только для того, чтобы он подобрал оптимальный метод коррекции зрения. Нужно также периодически проходить обследование, чтобы следить за состоянием глаз, а если астигматизм будет прогрессировать, своевременно это обнаружить. К тому же глаза у ребенка продолжают расти, поэтому очки или линзы периодически нужно менять. Лучше посещать офтальмолога не реже 2 раз в год.

5.3: Свойства экспонент и научной нотации

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5147

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Упрощать выражения, используя свойства показателей степени
• Используйте определение отрицательного показателя степени
• Использовать экспоненциальное представление

Примечание

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упрощение: \((−2)(−2)(−2)\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
2. Упростить: \(\dfrac{8x}{24y}\). 9m\), показатель степени \(m\) говорит нам, сколько раз мы используем основание \(a\) в качестве множителя.

   Когда мы объединяем одинаковые термины путем сложения и вычитания, нам нужно иметь одно и то же основание с одним и тем же показателем степени. Но когда вы умножаете и делите, показатели степени могут быть разными, а иногда и основания тоже могут быть разными.

   Сначала мы рассмотрим пример, который приводит к свойству продукта .

   «>

   	9{т+п}\).
   Упрощение.

   ⓓ

   Добавьте показатели степени, так как основания одинаковы.
   Упрощение.

   93}\) Что они означают? \(\dfrac{х·х·х·х·х}{х·х}\)   \(\dfrac{х·х}{х·х·х}\) Использовать свойство «Эквивалентные дроби». \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·x·x·x}{\cancel{x}·\cancel{x}}\)   \(\dfrac{\cancel{x}·\cancel{x}·1}{\cancel{x}·\cancel{x}·x}\) Упрощение. 93}\) или \(\dfrac{1}{x}\). Когда больший показатель был в числителе, у нас оставались множители в числителе. Когда больший показатель был в знаменателе, у нас остались множители в знаменателе — обратите внимание на числитель 1. Когда все множители в числителе были удалены, помните, что это на самом деле деление множителей на один, и поэтому нам нужно 1 в числителе. \(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}=1\). Это приводит к частному свойству для экспонент.

   Определение: ЧАСТНОЕ СВОЙСТВО ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 9{м-п}\).

   Упрощение.

   Обратите внимание, что когда больший показатель находится в числителе, у нас остаются множители в числителе.

   ⓒ

   n \nonumber \]. 9{м·п}\).

   Упрощение.

   ⓑ

   Используйте свойство Power.
   Упрощение.

   ⓒ

   \(\begin{array} {ll} {} &{(y^3)^6(y^5)^4} \\ {\text{Использовать свойство Power. {38}} \\ \end{массив} \) 9м\).    Упрощение.   

   ⓑ

   96}\)

   Теперь у нас есть несколько свойств экспонент. Давайте обобщим их, а затем сделаем еще несколько примеров, в которых используется более одного свойства.

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОБЗОР СВОЙСТВ ПОКАЗАТЕЛЯ

   Если \(a\) и \(b\) — действительные числа, а \(m\) и \(n\) — целые числа, то

   Возведите числитель и знаменатель в степень.
   Используйте определение отрицательного показателя степени.

   {м+п}\) 9{10}\)

   Использование научной нотации

   Работа с очень большими или очень маленькими числами может быть неудобной. Поскольку наша система счисления основана на десяти, мы можем использовать степени десяти, чтобы переписать очень большие или очень маленькие числа, чтобы с ними было легче работать. Рассмотрим числа 4000 и 0,004.

   Используя разрядность, мы можем переписать числа 4000 и 0,004. Мы знаем, что 4000 означает \(4\times1000\), а 0,004 означает \(4\times\dfrac{1}{1000}\).

   Если мы запишем 1000 как степень десяти в экспоненциальной форме, мы можем переписать эти числа следующим образом: 9{−3}\)

   Когда число записывается как произведение двух чисел, где первый множитель представляет собой число больше или равное единице, но меньше десяти, а второй множитель представляет собой степень числа 10, записанную в экспоненциальной форме, это , как говорят, в научном обозначении . n} & {\text{где}} &{1} &{\leq} &{a} &{<} &{10} &{\text{и}} &{n} &{\text{является целым числом.} } \\ \номер \конец{массив}\]

   В научных обозначениях принято использовать знак умножения \(\times\), хотя мы избегаем использования этого знака в других разделах алгебры.

   Если мы посмотрим, что произошло с десятичной точкой, мы увидим метод простого преобразования десятичной записи в экспоненциальную.

   В обоих случаях десятичная дробь была перемещена на 3 разряда, чтобы получить первый множитель от 1 до 10. ) 9{−n}\).

3. Чек.

ПРИМЕР \(\PageIndex{31}\)

Запишите в экспоненциальном представлении: ⓐ \(37 000\) ⓑ \(0,0052\).

Ответить

ⓐ

This makes the exponent 4. We write the number as 3.7 times 10 to the 4. You can check the answer by writing 3.7 times 10 to the 4 as 3.7 times 10000 which is 37000.»>

Исходное число 37 000 больше 1 , поэтому у нас будет положительная степень числа 10.	37 000
Переместите десятичную точку, чтобы получить 3,7, число 4 } \\ {\text{Проверка:}} &{3,7 \times 10,000} \\ {} &{37,000} \\ \end{массив} \)

ⓑ

Since the number is less than 1 it will have a negative exponent. Move the decimal point to get 5.2. This requires that you move the decimal point 3 places. This makes the exponent negative 3. We write the number as 5.2 times 10 to the negative 3. You can check the answer by writing 5.2 times 10 to the negative 3 as 3.7 times 1 divided by 1000 which is 0.0052.»>

Исходное число 0,0052 находится между 0 и 1, поэтому у нас будет отрицательная степень числа 10.

0,0052

Переместите десятичную точку, чтобы получить 5,2, число 9{−4}} \\ {9,12\times10,000} &{} &{9,12\times0,0001} \\ {91,200} &{} &{0,000912} \\ \nonumber \end{массив} \] Если мы посмотрим на расположение десятичной точки, мы увидим простой способ преобразования числа из научной записи в десятичную форму. В обоих случаях десятичная точка переместилась на 4 разряда. Когда показатель степени был положительным, десятичная дробь сдвигалась вправо. Когда показатель степени был отрицательным, десятичная точка перемещалась влево. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ПРЕОБРАЗОВАТЬ НАУЧНУЮ НОТИКУ В ДЕСЯТИЧНУЮ ФОРМУ. 9{−2}\). Ответить ⓐ   Определить показатель степени \(n\) в множителе 10.     Показатель степени равен 3. Поскольку показатель степени положительный, переместите десятичную точку на 3 знака вправо. При необходимости добавьте нули для заполнителей.   ⓑ   Определить показатель степени \(n\) в множителе 10. Показатель степени равен −2,−2. Поскольку показатель степени отрицательный, переместите 9{−2}\). Ответить ⓐ \(−950 000\) ⓑ 0,075 Когда ученые производят расчеты с очень большими или очень маленькими числами, они используют научную запись. Научная нотация обеспечивает способ выполнения вычислений без записи большого количества нулей. Мы увидим, как Свойства экспоненты используются для умножения и деления чисел в экспоненциальном представлении. ПРИМЕР \(\PageIndex{37}\) 9{−1}}\). Ответить ⓐ \(−0,009\) ⓑ 400 000 Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики использования свойств умножения показателей степени. Свойства экспонент Отрицательные показатели степени Научное обозначение Ключевые понятия Экспоненциальное представление 9n \text{, где }1\leq a<10\text{ и } n \text{ — целое число.} \nonumber \] Как преобразовать десятичную систему в экспоненциальное представление. Переместите запятую так, чтобы первый множитель был больше или равен 1, но меньше 10. Подсчитайте количество знаков после запятой \(n\), на которое была перемещена десятичная точка. Запишите число в виде произведения степени 10. Если исходное число равно. 9{−n}\). Чек. Как преобразовать экспоненциальное представление в десятичную форму. Определить показатель степени \(n\) в множителе 10. Переместите десятичные разряды на \(n\), добавив при необходимости нули. Если показатель степени положительный, переместите десятичную точку на \(n\) разрядов вправо. Если показатель степени отрицательный, переместите десятичную точку на \(|n|\) разрядов влево. Чек. Глоссарий Свойства продукта Согласно свойству продукта, \(a\) к \(m\) умножить на \(a\) к \(a\) равно \(a\) к \(m\) плюс \(n\ ). Силовое свойство Согласно свойству мощности, \(a\) к \(m\) к \(n\) равно \(a\) к \(m\), умноженному на \(n\). Продукт до мощности В соответствии со свойством «Произведение в степень» \(a\) умножить на \(b\) в скобках до \(m\) равно \(a\) до \(m\) умножить на \(b\) до их\). Частное свойство Согласно Частному Свойству, \(a\) к \(m\), деленное на \(a\) к \(n\), равно \(a\) к \(m\) минус \(n \) до тех пор, пока \(а\) не равно нулю. Свойство нулевой степени В соответствии со свойством нулевой экспоненты, \(a\) до нуля равно \(1\), пока \(a\) не равно нулю. Частное к степенному свойству В соответствии с отношением к силовому свойству, \(a\), деленное на \(b\) в скобках в степени \(m\), равно \(a\) на \(m\), деленное на \(b\) в \(m\) до тех пор, пока \(b\) не равно нулю. Свойства отрицательных показателей Согласно свойствам отрицательных показателей, \(а\) к отрицательному \(n\) равно \(1\), деленное на \(а\) к \(n\) и \(1\), деленное на \(a\) к отрицательному \(n\) равно \(a\) к \(n\). Частное к отрицательному показателю Возведение частного в отрицательную степень происходит, когда \(a\) делится на \(b\) в круглых скобках в отрицательной степени \(n\) равно \(b\) делится на \(a\) в круглых скобках до сила \(n\). Эта страница под названием 5.3: Свойства экспонентов и научной нотации распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или Страница Автор ОпенСтакс Лицензия СС BY Версия лицензии 4,0 Программа OER или Publisher ОпенСтакс Показать страницу TOC нет Теги экспонента научное обозначение источник@https://openstax. org/details/books/intermediate-алгебра-2e Степень с натуральным показателем Что такое степень в математике? Мощность является произведением нескольких одинаковых множителей. Например: 2 × 2 × 2 Значение этого выражения равно 8 2 × 2 × 2 = 8 Левую часть этого уравнения можно сделать короче — сначала напишите повторяющийся множитель и укажите над ним сколько раз это повторяется. Повторяющийся множитель в этом случае равен 2. Он повторяется три раза. Таким образом, над 2 мы пишем 3: 2 3 = 8 Выражение читается как «два в третьей степени равно восьми» или «третья степень числа 2 равна 8» . Чаще используется краткая форма записи умножения одинаковых множителей. Поэтому помните, что если над каким-то числом написано другое число, то это умножение нескольких одинаковых множителей. Например, если задано выражение 5 3 , имейте в виду, что это выражение эквивалентно записи 5 × 5 × 5, Повторяющееся число называется основанием степени . В выражении 5 3 основание степени равно числу 5. Число, написанное над числом 5, называется показателем степени . В выражении 5 3 показатель степени равен 3. Показатель степени показывает, сколько раз повторяется основание степени. В этом случае основание 5 повторяется три раза Операция умножения одинаковых множителей называется возведение в степень . Например, если вы хотите найти произведение четырех одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, говорят, что число 2 равно , возведенному в четвертую степень : Мы видим, что число 2 в четвертой степени число 16. Обратите внимание, что в этом уроке мы рассматриваем степень с натуральным показателем . Это тип степени, показатель степени которой является натуральным числом. Напомним, что натуральные числа — это целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее. В общем случае определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом: Степень с натуральным показателем n представляет собой выражение вида a n , которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a Примеры: Нужно быть осторожным при возведении числа в степень. Часто человек невнимателен и умножает основание степени на показатель степени. Например, число 5 во второй степени является произведением двух множителей, каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25 Теперь предположим, что мы непреднамеренно умножили основание 5 на 2. Существует ошибка, потому что число 5 во второй степени не равно 10. Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1 есть само число: Например, число 5 в первой степени сила это сама цифра 5 Соответственно, если у числа нет показателя степени, то надо считать, что показатель степени равен единице. Например, числа 1, 2, 3 даны без степени, поэтому их степени будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать в степени 1 И если возвести в степень 0, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось само на себя, ничего не получится. Примеры: А выражение 0 0 не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности в анализе и теории множеств, выражение 0 0 может иметь смысл. Для практики давайте решим несколько примеров на возведение чисел в степень. Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень. Число 3 во второй степени является произведением двух множителей, каждый из которых равен 3 3 2 = 3 × 3 = 9 Пример 2. Возведение числа 2 в четвертую сила. Число 2 в четвертой степени является произведением четырех множителей, каждый из которых равен 2 2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16 Пример 3. Возведите число 2 в третью степень. Число 2 в третьей степени является произведением трех множителей, каждый из которых равен 2 2 3 =2 × 2 × 2 = 8 Степени 10 Возведение числа 10 в мощности достаточно после единицы добавить количество нулей, равное показателю степени. Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишите само число 10 и в качестве показателя степени запишите число 2 10 2 Теперь поставьте знак равенства, напишите единицу и после этой единицы напишите два нуля, потому что количество нулей должно быть равно показателю степени 10 2 = 100 вторая степень — это число 100. Это связано с тем, что число 10 во второй степени является произведением двух множителей, каждый из которых равен 10 10 2 = 10 × 10 = 100 Пример 2 Возведем число 10 в третью степень. В этом случае после единицы будет три нуля: 10 3 = 1000 Пример 3. Возведем число 10 в четвертую степень. В этом случае после единицы будет четыре нуля: 10 4 = 10000 Пример 4. Возведем число 10 в первую степень. В этом случае после единицы будет один ноль: 10 1 = 10 Числа 10, 100, 1000 в степени с основанием 10 Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в степени с основанием 10, нужно записать основание 10, а в качестве показателя степени указать число равное на количество нулей исходного числа. Представим число 10 как степень с основанием 10. Мы видим, что оно имеет один ноль. Таким образом, число 10 как степень с основанием 10 будет представлено как 10 1 10 = 10 1 Пример 2. Представим число 100 как степень основания 10. Мы видим, что число 100 содержит два нуля. Таким образом, число 100 как степень с основанием 10 представляется как 10 2 100 = 10 2 . = 10 3 Пример 4. Представим число 10000 в виде степени с основанием 10. 10 000 = 10 4 Отрицательные числа и степени   Если вы возведете отрицательное число в степень, вы должны заключить его в скобки. Например, возведем отрицательное число -2 во вторую степень. Число -2 во второй степени является произведением двух множителей, каждый из которых равен (-2) (-2) 2 = (-2) × (-2) = 4 Если мы не заключали в скобки число -2, мы вычисляли бы выражение −2 2 , которое не равно 4. Выражение -2² было бы -4. Чтобы понять почему, давайте коснемся нескольких моментов. Когда мы ставим минус перед положительным числом, мы тем самым выполняем операцию по получению противоположного значения . Предположим, дано число 2, и нам нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположность 2 равна -2. Чтобы найти противоположное 2, нам просто нужно поставить минус перед числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эта операция, как было сказано выше, называется операцией принятия противоположного значения. В случае выражения −2 2 есть две операции: операция принятия противоположного значения и операция возведения в степень. Возведение в степень является операцией с более высоким приоритетом, чем принятие противоположного значения. Таким образом, выражение −2 2 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае положительное число 2 было возведено во вторую степень Затем было взято обратное значение. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 равно -4 −2 2  = −4 С другой стороны, скобки имеют наивысший приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2) 2 мы сначала берем противоположное значение, а затем возводим отрицательное число -2 во вторую степень. Результат положительный 4, потому что произведение отрицательных чисел является положительным числом. Пример 2.  Возведите -2 в третью степень. -2 в третьей степени является произведением трех множителей, каждый из которых равен (-2) (−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 Пример 3.  Поднимите -2 в четвертую степень. Число -2 в четвертой степени является произведением четырех множителей, каждый из которых равен (-2) (−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2 ) × (−2) = 16 Легко видеть, что возведение отрицательного числа в степень может дать как положительный, так и отрицательный ответ. Знак ответа зависит от показателя исходной степени. Если показатель степени четный, ответ положительный. Если показатель степени нечетный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа -3 В первом и третьем случаях показатель степени был нечетным числом, поэтому ответ стал отрицательным . Во втором и четвертом случаях показатель степени был четным числом , поэтому ответ стал положительным . Пример 7. Возведите число -5 в третью степень. Число -5 в третьей степени является произведением трех множителей, каждый из которых равен -5. Показатель степени 3 — нечетное число, поэтому мы можем заранее сказать, что ответ будет отрицательным: (−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125 Пример 8. Возведите число -4 в четвертую степень. Число -4 в четвертой степени является произведением четырех множителей, каждый из которых равен -4. Показатель числа 4 четный, поэтому можно заранее сказать, что ответ будет положительным: (−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256 Нахождение значений выражений При нахождении значений выражений, не содержащих скобки , сначала будет выполнено возведение в степень, затем по порядку умножение и деление, а затем по порядку сложение и вычитание. Пример 9. Найдите значение выражения 2 + 5 2 Сначала возведем в степень. В этом случае число 5 возводится во вторую степень, чтобы получить 25. Затем этот результат прибавляется к числу 2 9Пример 10: Обратите внимание, что число -6 не заключено в скобки, поэтому число 6 будет возведено во вторую степень, и тогда результату будет предшествовать минус: −6 2  × (−12) = −36 × (−12 ) Дополните пример, умножив -36 на (-12) -6 2  × (-12) = -36 × (-12) = 432 Пример 11. Найдите значение выражения −3 × 2 2 Сначала возведем в степень. Затем результат умножается на число -3 -3 × 2 2 = -3 × 4 = -12 Если выражение содержит круглые скобки, необходимо сначала выполнить действия в этих скобках, затем возведение в степень, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Пример 12. Найдите значение выражения (3 2  + 1 × 3) − 15 + 5 Сначала выполните действия, указанные в скобках. Внутри скобок применяем изученные ранее правила, т.е. сначала возводим число 3 во вторую степень, затем умножаем 1 × 3, затем складываем результаты возведения числа 3 в степень и умножения 1 × 3. Затем выполняется вычитание и сложение. выполняется по порядку. Расставим такой порядок операций над исходным выражением: (3 2  + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 — 15 + 5 = 2  Пример 13. Найдите значение выражения 2 × 5 3 + 5 × 2 3 Сначала возведем числа в степень, затем выполним умножение и сложим результаты: 2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290 Идентичные преобразования степеней Для степеней можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их. Предположим, нам нужно вычислить выражение (2 3 ) 2 . В этом примере двойка в третьей степени возведена во вторую степень. Другими словами, мощность возводится в другую степень. (2 3 ) 2 является произведением двух степеней, каждая из которых равна 2 3 Каждая из этих степеней является произведением трех множителей, каждая из которых равна 2 Получаем произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, что равно 64. Тогда значение выражения (2 3 ) 2 или равно 64 Этот пример можно значительно упростить. Для этого индексы выражения (2 3 ) 2 можно перемножить и записать произведение по основанию 2 Получили 2 6 . Два в шестой степени — это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64 . Это свойство работает, потому что 2 3 — это произведение 2 × 2 × 2, которое, в свою очередь, повторяется дважды. . Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Следовательно, мы можем написать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 равно 2 6 В целом, для любой основы a с показателем M и N , следующее равенство: ( A N ) M n ) M n ) M n ) M n ) M n ) M n ). Это преобразование идентичности называется повышением степени до степени . Его можно прочитать так: «При возведении в степень основание оставляют без изменений, а показатели степени умножают» . Перемножив степени, вы получите еще одну степень, значение которой можно найти. Пример 2. Найдите значение выражения (3 2 ) 2 В этом примере основание равно 3, а числа 2 и 2 являются показателями степени. Воспользуемся правилом возведения в степень. Оставляем основание без изменений, а показатели степени умножаем: Получилось 3 4 . А число 3 в четвертой степени равно 81 Рассмотрим остальные преобразования. Умножение степеней Чтобы умножить степени, вам нужно вычислить каждую степень отдельно и умножить результаты. Например, умножьте 2 2 на 3 3 . 2 2  – число 4 и 3 3  – число 27. Умножьте числа 4 и 27, и вы получите 108 2 2 × 3 3 = 4 010 × 890. , основания полномочий были разные. В случае, если основания одинаковы, вы можете написать одно основание, а в качестве показателя степени написать сумму показателей степени исходных степеней. Например, умножьте 2 2 на 2 3 В этом примере основания полномочий одинаковы. В этом случае мы можем записать одно основание 2 и в качестве показателя степени записать сумму показателей степеней 2 2 и 2 3 , т.е. основание можно оставить без изменений, а показатели степени исходных степеней сложить. Это будет выглядеть так: Получилось 2 5 . Число 2 в пятой степени равно 32 Это свойство работает, потому что 2 2 является произведением 2 × 2 и 2 3 есть произведение 2 × 2 × 2. Тогда получим произведение пяти одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение можно представить в виде 2 5 В общем случае для любого a и показателей m и n выполняется равенство: Это тождественное преобразование называется основным свойством мощности. Его можно прочитать так: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменений, а показатели степени прибавляют» . Обратите внимание, что это преобразование можно применить к любому количеству степеней. Главное, чтобы основа была одинаковой. Например, найдите значение выражения 2 1  × 2 2  × 2 3 . Оставим без изменений основание 2, а показатели степени сложим: В некоторых задачах достаточно выполнить соответствующее преобразование без вычисления конечной степени. Это, конечно, очень удобно, так как вычисление больших мощностей дело непростое. Пример 1. Представим выражение 5 8  × 25 в виде степени В этой задаче вместо выражения 5 8  × 25 Число 25 можно представить в виде 5. 2 . Тогда получим следующее выражение: В этом выражении можно применить основное свойство степени — оставить без изменений основание 5, а показатели степени 8 и 2 добавить: Задачу можно считать решенной, так как мы представили выражение 5 8  × 25 как одну степень, а именно как степень 5 10 . Кратко запишем решение: Пример 2. Представим выражение 2 9 × 32 в степени Число 32 можно представить как 2 4 5 . Тогда мы получим выражение 2 9  × 2 5 . Далее мы можем применить базовое свойство степени — оставить основание 2 без изменений и добавить показатели степени 9 и 5. В результате получится следующее решение: Пример 3. Вычислите произведение 3 × 3, используя основное свойство степени. Все прекрасно знают, что трижды три равно девяти, но задача требует от вас использовать в решении основное свойство силы. как нам это сделать? Напомним, что если число задано без показателя степени, то показатель степени необходимо считать равным единице. Поэтому множители 3 и 3 можно записать как 3 1 и 3 1 3 1 × 3 1 Теперь воспользуемся основным свойством степени. Оставляем основание 3 без изменений, а добавляем 1 и 1: 3 1 × 3 1 = 3 2 Затем вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно 9 3 1 × 3 1 = 3 2 = 9 3 с использованием основного свойства полномочий. Замените произведение 2 × 2 на 2 1  × 2 1 , затем на 2 1 + 1 , а затем на 2 2 . Replace the product of 3 2  × 3 3 by 3 2 + 3 and then by 3 5 Then we calculate the value of each power and find the product: Пример 5. Выполнить умножение x × x Это два одинаковых буквенных множителя с показателями степени 1. Для наглядности запишите показатели степени. Затем оставьте основание x без изменений и добавьте показатели степени: При ответе на подобное задание в школе не следует так подробно записывать умножение степеней с равными основаниями, как это сделано здесь. Такие расчеты нужно делать в голове. Учитель, скорее всего, рассердится и поставит вам более низкую оценку. Однако здесь даны подробные обозначения, чтобы материал был максимально простым для понимания. Решение для этого примера желательно записать так: Пример 6.  Умножить x 2  × x Показатель степени второго множителя равен единице. Запишем для ясности. Next, leave the base unchanged, and add the exponents: Example 7.  Multiply    y 3   × y 2   ×  y Показатель третьего множителя равен единице. Запишем для ясности. Затем оставьте основание без изменений и добавьте показатели степени: Пример 8. Умножение A × A 3 × A 2 × 2 × 2 × А. × A. A Exply 2 × A × A . Запишем для ясности. Затем оставьте основание без изменений и добавьте показатели степени: Пример 9. Приведенная мощность 3 8 как произведение степеней с одинаковыми основаниями. В этом задании мы должны составить произведение степеней, основания которых будут равны 3, а сумма показателей будет равна 8. Можно использовать любой показатель степени. Представим мощность 3 8 как произведение степеней 3 5 и 3 3 В этом примере мы снова опирались на основное свойство степени. В конце концов, выражение 3 5  × 3 3 можно записать как 3 5 + 3 , следовательно, 3 8 . Конечно, мощность 3 8 можно представить как произведение других мощностей. Например, как 3 7  × 3 1 , так как это произведение равно 3 8 Представление силы в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями — это в основном творческая работа. Так что не нужно бояться экспериментировать. Пример 10. Представьте степень числа x 12 в виде различных произведений степеней с основанием x. Воспользуемся основным свойством силы. Представим x 12 в виде произведений с основанием x, а сумма показателей равна 12 Построения с суммами показателей написаны для наглядности. Чаще всего их можно опустить. Тогда вы получите компактное решение: Степень произведения Чтобы возвести произведение в степень, вы должны возвести каждый множитель этого произведения в указанную степень и умножить результаты. Например, возведите во вторую степень произведение 2 × 3. Поместите это произведение в скобки и приведите 2 в качестве показателя степени Теперь возведите каждый множитель произведения 2 × 3 во вторую степень и умножьте результаты: Принцип работы этого правила основан на определении мощности, которое было дано в начале. Чтобы возвести произведение 2 × 3 во вторую степень, нужно повторить произведение дважды. А если повторить дважды, то можно получить следующее: 2 × 3 × 2 × 3 Произведение не меняется от перестановки местами множителей. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители вместе: 2 × 2 × 3 × 3 Повторяющиеся множители можно заменить короткими записями — основаниями с показателями степени. Произведение 2 × 2 можно заменить на 2 2 , а произведение 3 × 3 можно заменить на 3 2 . Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 превращается в 2 2  × 3 2 . Пусть ab будет исходным продуктом. Чтобы возвести это произведение в степень n , мы должны по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n Это свойство выполняется для любого числа множителей. Допустимы также следующие выражения: Пример 2. Найдите значение выражения (2 × 3 × 4) 2 В этом примере произведение 2 × 3 × 4 нужно возвести во вторую степень. Для этого возведем каждый множитель произведения во вторую степень и умножим результаты: Пример 3. Чтобы возвести произведение a × b × c в третью степень Поместите это произведение в скобки, а в качестве показателя степени приводим число 3 Далее возводим каждый множитель произведения в третью степень: пример 4 . Возведем в третью степень произведение 3 × x × y × z Заключим это произведение в скобки и в качестве показателя степени укажем 3 (3 × x × y × z ) 3 Возведем каждое factor of the product to the third power: (3 ×  x × y × z ) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 Число 3 в третьей степени равно 27. Остальное оставим без изменений: (3 xyz ) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27 x 3 y 3 z 3 В некоторых примерах умножение степеней с одинаковым показателем можно заменить произведением оснований с одним показателем. Например, вычислите значение выражения 5 2  × 3 2 . Возведите каждое число во вторую степень и умножьте результат: 5 2  × 3 2 = 25 × 9 = 225 Но нет необходимости вычислять каждую степень отдельно. Вместо этого данное произведение степеней можно заменить произведением с одним показателем (5 × 3) 2 . Затем вычислите значение в скобках и возведите результат во вторую степень: 5 2  × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225 В этом случае снова использовалось правило возведения произведения в степень. Если ( a × b ) n  =  a n × b n , then a n × b n   = (a × b) n . То есть левая и правая части равенства поменялись местами. Сила степенного правила (Экспоненты) Мы рассмотрели это преобразование как пример, когда попытались понять суть тождественных степенных преобразований. Основание остается неизменным, а показатели степени умножаются при возведении в степень: ( a n ) m = a n × m Например, выражение (2 3 — два есть степень 1 в третьей степени 4 ) 0 возведен во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, можно оставить основание неизменным, а показатели степени перемножить: (2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 Затем вычислить степень 2 6 , что равно 64 (2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64 Это правило основано на предыдущих правилах: возведение произведения в степень и основное свойство степени. Вернемся к выражению (2 3 ) 2 . Выражение в скобках 2 3 является произведением трех одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (2 3 ) 2 мощность внутри скобок можно заменить произведением 2 × 2 × 2. (2 × 2 × 2) 2 А это возведение в степень произведения, которое мы изучали ранее. Напомним, что для возведения произведения в степень каждый множитель произведения должен быть умножен на указанную степень, а результаты умножены: (2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 Теперь мы имеем дело с основным свойством власти. Оставляем основание без изменений, а показатели степени складываем: (2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 По-прежнему 1 4 2 1 6 92. Значение этой степени равно 64 (2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 + 2 = 4 6 9214 Произведение, множители которого также являются степенями, также можно возвести в степень. Например, найдите значение выражения (2 2  × 3 2 ) 3 . Здесь показатели степени каждого фактора должны быть умножены на общий показатель степени 3. Затем найдите значение каждой степени и вычислите произведение: (2 2  × 3 2 ) 3  = 2 2× 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656 То же самое происходит, когда вы возводите произведение в степень произведения. Мы сказали, что в степени продукта каждый фактор этого продукта возводится в определенную степень. Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, надо написать следующее выражение: Но раньше было сказано, что если число дано без показателя степени, то показатель степени следует считать равным к одному. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатель степени, равный 1. Это означает, что выражение 2 1  × 4 1 возведено в третью степень. Это сила силы. Перепишем решение, используя правило степени степени. Мы должны получить тот же результат: Пример 2. Найдите значение выражения (3 3 ) 2 Мы оставляем базовую неизвестность, и умножьте экспоненты: 333 We Hat Hat 3 . Число 3 в шестой степени равно 729 Пример 3. Возведем в степень выражение (xy)³ Возведем каждый множитель произведения в третью степень: 9 5 Пример 4. Возведем в степень выражение (abc)⁵ Возведем каждый множитель произведения в пятую степень: Пример 5. Возведем в степень выражение (−2 x ) 3 Возведем каждый множитель произведения в третью степень: Поскольку отрицательное число -2 было возведено в третью степень, оно было взято в скобки. Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В этом случае вы можете вычислить (−2) 3 чтобы получить -8. Часть письма останется неизменной: Пример 6. Выполните экспрессируемость экспрессии (10 XY ) 2 Пример 7. . Вызов. x ) 3 Пример 8.  Выполнить возведение выражения (−3 y ) в степень0095 Example 9.  Perform exponentiation of the expression (−2 abx )⁴ Example 10.  Simplify the expression x 5  × ( x 2 ) 3   Давайте оставим мощность x 5 без изменений на данный момент и в выражении ( x 2 ) 3 Let’s поднят мощность до мощности: 4. x 414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141. ( x 2 ) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 Now let’s multiply x 5 × x 6 . Для этого используем основное свойство степени — основание х оставляем без изменений, а показатели степени складываем: х 5  ×  ( х 2 1 0 ) 34 = x 5 × x 2× 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 =  x 11 Пример 11. Найдите значение выражения 4 3  × 2 2 , используя основное свойство степени. Базовое свойство полномочий можно использовать, если основания исходных полномочий совпадают. В этом примере основания разные, поэтому сначала нам нужно немного изменить исходное выражение, а именно сделать основания степеней одинаковыми. Давайте внимательно посмотрим на степень числа 4 3 . Основанием этой степени является число 4, которое можно представить как 2 2 . Тогда исходное выражение будет иметь вид (2 2 ) 3  × 2 2 . Если мы возведем степень (2 2 ) 3 в степень, мы получим 2 6 . Тогда исходное выражение примет вид 2 6  × 2 2 , что можно вычислить с помощью основного свойства степени. Запишем решение этого примера: Деление степени Для деления степеней нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление простых чисел. Например, разделите 4 3 на 2 2 . Вычислим 4 3 , получим 64. Вычислим 2 2 , получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16 Если при делении степеней основания совпадают оставить без изменений, а показатель степени делителя можно вычесть из показателя степени делимого. Например, найдем значение выражения 2 3 : 2 2 Оставим без изменений основание 2 и вычтем показатель степени делителя из показателя степени делимого: Итак, значение выражения 2 3 : 2 2 равно 2. Это свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или, как мы привыкли говорить, на основном свойстве мощности. Вернемся к предыдущему примеру 2 3 : 2 2 . Здесь делимое равно 2 3 , а делитель равен 2 2 . Разделить одно число на другое означает найти число, которое при умножении на делитель дает в результате делимое. В нашем случае разделить 2 3 на 2 2 значит найти степень, которая при умножении на делитель 2 2 дает 2 3 . И какую степень можно умножить на 2 2 , чтобы получить 2 3 ? Очевидно, только мощность2 1 . Из основного свойства степеней имеем: Чтобы убедиться, что значение 2 3 : 2 2 равно 2 1 , мы можем непосредственно вычислить выражение 2 3 : 1 2 . Для этого сначала находим значение степени 2 3 , получаем 8. Затем находим значение степени 2 2 , получаем 4. Делим 8 на 4 получаем 2 или 2 1 , потому что 2 = 2 1 . 2 3  : 2 2 = 8 : 4 = 2 Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство: Может также случиться, что не только основания одинаковы, но и показатели степени. В этом случае ответ будет один. Например, найдите значение выражения 2 2  : 2 2 . Вычислить значение каждой степени и разделить полученные числа: При решении примера 2 2  : 2 2 , можно также применить правило разделения полномочий по равным основаниям. Результатом является число в нулевой степени, потому что разница между показателями степени 2 2 и 2 2 равна нулю: В математике принято, что любое число в нулевой степени равно единица: Выше мы выяснили, почему число 2 в нулевой степени равно единице. Если посчитать 22 : 22 обычным методом, не пользуясь правилом разделения властей, то получится единица. Пример 2. Найдите значение выражения 4 12 : 4 10 Воспользуйтесь правилом разделения полномочий. Оставим основание 4 без изменений и вычтем показатель степени делителя из показателя степени делимого: 4 12 : 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 5 944 Пример 3. Представьте частное x 3 : x как степень с основанием x Используйте правило разделения властей. Оставляем основание х без изменений, а показатель степени делителя вычитаем из показателя степени делимого. Показатель делителя равен единице. Для ясности запишите это: Пример 4.  Представьте частное x 3  :  x 2 используем правило деления 90 степеней с основанием 04 3 x 90 в степени 904. . Оставим основание x без изменений, а показатель степени делителя вычтем из степени делимого: Разделение полномочий можно записать в виде дроби. Таким образом, предыдущий пример можно записать так: Числитель и знаменатель дроби можно записать в развернутом виде, а именно как произведения одинаковых множителей. Степень x 3 можно записать как x × x × x , а степень x 2 как x × x . Тогда построение x 3 − 2 можно пропустить и дробь сократить. Числитель и знаменатель можно уменьшить на два x-множителя каждый. Результатом будет один множитель x Или еще короче: Также полезно иметь возможность быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь можно уменьшить на x 2 . Чтобы уменьшить на x 2 , разделите числитель и знаменатель на x 2 Разделение полномочий может не описываться подробно. Данное сокращение может быть сделано короче: или даже короче: Пример 5. Выполните дивизию x 12 : x 3 9141 . полномочий. Оставим основание x без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: Запишите решение, используя дробь. Запишем разделение властей x 12 : x 3 как . Тогда уменьшим эту дробь на x 3 . Пример 6. Найдите значение выражения В числителе умножьте степени с одинаковыми основаниями: Теперь применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Оставляем без изменений основание 7, а из показателя степени делимого вычитаем показатель степени делителя: Завершите пример, вычислив степень числа 7 2 Пример 7. Найдите значение выражения В числителе возведите степень в степень. Сделайте это с выражением (2 3 ) 4 Теперь произведите умножение степеней с равными основаниями в числителе: Теперь применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями: 0034 Таким образом, значение выражения равно 16. В некоторых примерах можно уменьшать одни и те же коэффициенты в ходе решения. Это упрощает выражение и расчет в целом. Например, найдите значение выражения . Запишем мощность 4 3 как мощность (2 2 ) 3 . Тогда получим следующее выражение: В числителе возведите степень в степень. Сделайте это с выражением (2 2 ) 3 В числителе и знаменателе полученного выражения стоит степень 2 6 , которую можно сократить на 2 6 4 Мы видим только эту степень числа 3 2 , значение которого равно 9. Пример 8. Найдите значение выражения Знаменатель равен произведению степеней с одинаковым показателем степени. По правилу возведения произведения в степень конструкция 7 5  × 4 5 можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4) 5 . Далее умножьте выражение в скобках, чтобы получить 28 5 . В результате исходное выражение примет следующий вид: Теперь можно применить правило разделения полномочий: Итак, значение выражения равно 28. Запишем решение полностью : Показатель дробей Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести числитель и знаменатель дроби в указанную степень. Например, возведите дробь во вторую степень. Поместите эту дробь в скобки и приведите 2 в качестве степени Если не брать в скобки всю дробь, то это эквивалентно поднятию только числителя дроби. Если мы хотим возвести дробь во вторую степень, мы не должны записывать ее как . Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести числитель и знаменатель этой дроби во вторую степень: Мы получили дробь со степенями в числителе и знаменателе. Вычислите каждую степень отдельно Итак, дробь во второй степени равна дроби . Приведенное выше правило работает следующим образом. Дробь во второй степени есть произведение двух дробей, каждая из которых равна Мы помним, что для умножения дробей необходимо умножить их числители и знаменатели: А так как числитель и знаменатель умножаются на одни и те же множители, то выражения 2×2 и 3×3 можно заменить на 2 2 и 3 2 соответственно: Из чего вы получаете ответ . В общем случае для любых a и b ≠ 0 выполняется следующее равенство: Это тождественное преобразование называется возведением дроби в степень . Пример 2. Возвести дробь в третью степень Заключим эту дробь в скобки и приведем число 3 в качестве показателя степени. Затем возведите числитель и знаменатель дроби в третью степень и вычислите полученную дробь: Таким же образом возводится в степень и отрицательная дробь, но перед вычислением следует решить, какой знак будет у ответа. Если показатель степени четный, ответ будет положительным. Если показатель степени нечетный, ответ будет отрицательным. Например, возведите дробь во вторую степень: Показатель степени — четное число. Так что ответ будет положительным. Затем применяем правило возведения дроби в степень и вычисляем полученную дробь: Ответ положительный, потому что есть произведение двух множителей, каждый из которых равен дроби И произведение отрицательные числа (включая рациональные числа) — это положительное число: Если дробь возвести в третью степень, то ответ будет отрицательным, так как в этом случае показатель степени будет нечетным числом. Правило возведения в степень остается прежним, но перед выполнением этого возведения в степень нам нужно будет поставить минус: Здесь ответ отрицательный, потому что выражение является произведением трех множителей, каждый из которых является долей . Сначала мы умножили и и получили , но потом умножили на и получили отрицательный ответ Пример 3. Найдем значение выражения Выполним возведение дробей в степень: 900 Затем вычислим значение полученного выражения: Десятичные дроби Когда вы возводите десятичную дробь в степень, вы должны заключить ее в скобки. Например, возведем десятичную дробь 1,5 во вторую степень 9.0034 Разрешается преобразовывать десятичную дробь в дробь и возводить эту дробь в степень. Решите предыдущий пример, преобразовав десятичную дробь в дробь: Пример 2. Найдите значение степени (−1,5) 3 Показатель степени — нечетное число. Таким образом, ответ будет отрицательным Пример 3. Найдите значение степени (−2,4) 2 Показатель степени — четное число. Значит ответ будет положительным: Задания для самостоятельного решения Задача 1. Найти значение выражения: Решение: Показать Решение Задание 2. Найти значение выражения: 4 Показать4 Решение: 4 Задача 3. Найти значение выражения: Решение: Показать решение Задача 4. Найти значение выражения: Решение: Показать решение Задача 5. Найти значение выражения : Решение: Показать решение Задача 6. Найти значение выражения: Решение: Показать решение Задача 7. Представить произведение в виде степени: Решение 3: Показать 4 3 Показать 4 Задача 8. Представить произведение в виде мощности: Решение: Показать решение Задача 9. Представить произведение в виде степени: Решение: Показать решение Задача 10. Представить произведение в виде мощности: Решение: Показать решение Задача 11. Представить произведение в виде степени: Решение: Показать решение Задача 12. Представить произведение в виде степени: Показать решение: 9003 Решение: Задание 13. Представить частное в виде степени: Решение: Показать решение Задание 14. Представить частное в виде степени: Решение: Показать решение Задание 15. Представить частное в виде степени: Решение: Показать решение Задача 16. Представить частное в степени: Решение: Показать решение Задание 17. Представить частное в степени: Решение Задача 18. Представить частное в виде степени и найти значение степени при x = 3 и n = 2. Решение: Показать решение Задача 19. Представить частное в виде степени: Решение: Показать решение Задание 20. Сократите дробь на c¹. Решение: Показать решение Задача 21. Представить следующее произведение в виде степени: Решение: Показать решение Задание 22. Представить следующее произведение в виде степени: Решение Показать: 4 Задание 23. Представить в виде степени следующее произведение: Решение: Показать решение Задание 24. Представить в виде степени следующее произведение: Решение: Показать решение Задача 25. Представить следующее произведение в виде степени: Решение: Показать решение Задача 26. Представить следующую мощность в виде произведения степеней: Решение: 4 Показать решение Задание 27. Представить следующую мощность в виде произведения степеней: Решение: Показать решение Задание 28. Представить следующую мощность в виде произведения степеней: Решение: Показать решение Задание 29. Используя тождественные преобразования степеней, найти значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задание 30. Используя тождественные преобразования степеней, найти значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 31. Используя тождественные преобразования степеней, найти значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 32. Выразите следующее выражение в виде степени: Решение: Покажите решение Задача 33. Выразите следующее выражение в виде степени: Решение: Покажите решение Задача 34. Выразите следующее выражение выражение в виде степени: Решение: Показать решение Задание 35. Выразить следующее выражение в виде степени: Решение: Показать решение Задача 36. Выразить следующее выражение в виде степени: Решение: Показать решение Задача 37. Выразить следующее выражение в степени: Решение: Показать решение Задача 38. Найти значение следующего выражения: Решение: 4 Показать 9 Задача 39. Найдите значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 40. Найдите значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 41. Найдите значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 42. Найдите значение следующего выражения: Решение: Показать решение Задача 43. Найти значение Решение: Показать решение Задача 44. Найти значение следующего выражения: Решение: Показать решение Скобки и степени в порядке действий Авторы: Марк Зегарелли и Обновлено: 25 апреля 2016 г. Базовая математика и предварительная алгебра для чайников Исследовать книгу Купить на Amazon Когда выражение содержит скобки и степени, оцените его в следующем порядке: содержимое скобок, степени слева направо, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание слева направо. Содержимое скобок Выражение в экспонента (маленькое выпуклое число, обозначающее степень) группирует это выражение, как это делают круглые скобки. Оцените любое выражение с надстрочным индексом до одного числа, прежде чем оценивать мощность. Другими словами, чтобы найти 5 3–1 , вы можете представить, что 3–1 находится в скобках, что сделает задачу 5 (3–1) = 5 2 = 25, . Несколько других символов, с которыми вы можете быть знакомы, также группируют выражения вместе, как и круглые скобки. К ним относятся символ квадратного корня и столбцы абсолютных значений. Степени слева направо Умножение и деление слева направо Сложение и вычитание слева направо Примеры вопросов Оценка (8 + 6 2 ) / (2 3 – 4). 11. Начните с оценки содержимого первого набора скобок. Внутри этого набора сначала оцените мощность, а затем выполните сложение: (8 + 6 2 ) / (2 3 – 4) = (8 + 36) / (2 3 – 4) = 44 / (2 3 – 4) Перейти к следующему набору скобок, сначала оценивая степень, а затем вычитание: = 44 / (8 – 4) = 44 / 4 Завершите вычислением деления: 44 / 4 = 11. Найдите значение –1 + (–20 + 3 3 ) 2 . 48. Когда все содержимое набора скобок возводится в степень, оцените, что находится внутри скобок, прежде чем оценивать степень. Внутри этого набора, сначала оцените мощность, а затем дополнение: –1 + (–20 + 3 3 ) 2 = –1 + (–20 + 27) 2 = –1 + 7 2 Далее оцените мощность 7 2 = 7 x 7 = 49: = –1 + 49 Завершите вычислением сложения: –1 + 49 = 48 Практические вопросы Найти (6 2 – 12) / (16 / 2 3 ). Оценка –10 – (2 + 3 2 x –4). 7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5 = ? Что такое (10 – 1 14 x 8) 4 / 4+5 Ниже приведены ответы на практические вопросы: (6 2 – 12) / (16 / 2 3 ) = 12. Сосредоточившись на содержимом первого набора скобок, оцените степень, а затем вычитание: (6 2 – 12) / (16 / 2 3 ) = (36 – 12) / (16 / 2 3 ) = 24/(16/2 3 ) Далее работайте внутри второго набора скобок, оценивая сначала степень, а затем деление: = 24/(16/8) = 24/2 Завершить, оценив деление: = 24 / 2 = 12 –10 – (2 + 3 2 x –4) = 24. Ориентируясь на содержимое скобок, оцените сначала степень, затем умножение, а затем сложение: –10 – (2 + 3 2 x –4) = –10 – (2 + 9 x – 4) = –10 – (2 + –36) = –10 – (–34) Завершить вычислением вычитания: –10 – (–34) = 24 7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5 = 17. Фокусируя внутри круглых скобок, сначала оцените степень, затем деление, а затем сложение: 7 2 – (3 + 3 2 / –9) 5 =7 2 – (3 + 9 / –9) 5 =7 2 – (3 + –1) 5 =7 2 – 2 5 Затем оцените обе степени по порядку: = 49 – 2 5 = 49 – 32 Чтобы закончить, оцените вычитание: 49 – 32 = 17 (10 – 1 14 x 8) 4/4+5 = 64. Сосредоточив внимание на первом наборе скобок, оцените сначала степень, затем умножение, а затем вычитание: (10 – 1 14 x 8) 4/4+5 = (10 – 1 x 8) 4/4+5 = (10 – 8) 4/4+5 = 2 4 /4+5 Затем обработайте выражение в показателе степени, вычислив сначала деление, а затем сложение: 2 1+5 = 2 6 Чтобы закончить, оцените мощность: 2 6 = 64 Об этом артикуле Этот артикул можно найти в категории: Базовая математика, 10 Законы экспонент | Наука Обновлено 15 декабря 2020 г. Кэтрин Уайт Одно из самых сложных понятий в алгебре связано с манипулированием показателями степени или степенями. Много раз задачи потребуют от вас использования законов показателей для упрощения переменных с показателями, или вам придется упростить уравнение с показателями, чтобы решить его. Для работы с экспонентами необходимо знать основные правила экспоненты. Структура экспоненты Примеры экспоненты выглядят как 2 3 , что читается как два в третьей степени или два в кубе, или 7 6 , что читается как семь в шестой степени. В этих примерах 2 и 7 — это коэффициенты или базовые значения, а 3 и 6 — это показатели степени или степени. Примеры экспонент с переменными имеют вид x 4 или 9 y 2 , где 1 и 9 — коэффициенты, x 94 Правило степени первой степени Все, что возводится в первую степень, остается прежним. Например, 7 1 будет только 7 и ( x 2 R 3 ) 1 будет упростить до x 2 44444444444444444 4. 2 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444. 2 x 2 x 2 . 3 . Экспоненты нуля Все, что возведено в степень 0, становится числом 1. Неважно, насколько сложным или большим является термин. Например: 94}\bigg) \\ &=\bigg(\frac{1}{64}\bigg)÷\bigg(\frac{1}{16}\bigg) \\ &= \bigg(\frac{1} {64}\bigg) × (16) \\ &=4 \end{aligned} Знакомство с экспонентами — Magoosh ACT Теперь поговорим о силах и корнях. Чтобы обсудить идею показателя степени, давайте сначала подумаем об умножении. Умножение — это способ одновременного сложения множества чисел. Итак, давайте подумаем об этом. Если бы я попросил вас сложить шесть четверок, никто в здравом уме не стал бы сидеть и складывать 4+4+4+4. Никто бы так не поступил. Конечно, вы бы просто умножили 4×6. Просто важно иметь в виду, что в любом акте умножения на самом деле вы делаете много сложения одновременно. Точно так же экспоненты — это способ одновременного выполнения большого количества умножений. Если бы я попросил вас умножить семь троек, мы бы не написали 3x3x3. Мы не будем писать это длинное выражение, вместо этого мы напишем от трех до седьмого. По сути, три в седьмом означает, что мы умножаем семь множителей трех, умноженных вместе. Таким образом, это очень компактная запись для одновременного выражения большого количества операций умножения. Спешу добавить, тест не будет ожидать, что вы вычислите это значение. Это не будет тестовый вопрос, посчитай от трех до седьмого, этого не будет в тесте. Но вам придется обрабатывать это количество по отношению к другим количествам. Например, используйте законы возведения в степень, чтобы вычислить три в седьмой и возвести все это в квадрат, или умножить на три в пятой, или разделить на что-нибудь. Вы должны использовать его, но вам не нужно вычислять его значение. Символически мы могли бы сказать, что b на n означает, что n множителей b перемножаются вместе. Итак, это основное определение того, что такое показатель степени, и прямо сейчас я просто скажу, что b — это основание, n — это показатель степени, а b до n — степень. На данный момент это хорошее определение, но, как мы увидим, это определение в конечном счете несколько наивно, и нам придется расширить его для последующих модулей. А почему наивно? Ну, если подумать, сколько множителей b, перемноженных вместе, означает, что n — счетное число. То есть, это положительное целое число. Таким образом, это определение такой способ мышления о показателях совершенно хорош, пока показатели степени являются положительными целыми числами. Но, как мы увидим в следующих модулях, есть все виды показателей, которые не являются положительными целыми числами. Мы поговорим об отрицательных показателях и показателях дробей, обо всем этом. Давайте не будем беспокоиться об этом в этом модуле. В этом модуле мы будем использовать только положительные целые числа. Таким образом, мы можем придерживаться этого очень интуитивного определения того, что такое экспонента. Прежде всего обратите внимание, что мы можем присваивать степени как числам, так и переменным. Мы уже видели переменные со степенями в модулях алгебры, особенно в видеороликах о квадратичных вычислениях, где у вас есть х в квадрате. Обратите внимание, что мы можем прочитать это выражение либо как семь в восьмой степени, либо как семь в восьмой степени. Любой из этих вариантов совершенно правильный. Обратите внимание, что мы по-разному говорим об показателях двойки или тройки. Что-то в степени два возводится в квадрат, а что-то в степени три возводится в куб. Поэтому мы редко говорили что-то в степени три и никогда не говорили что-то в степени двойки. Звучит неловко. Мы всегда говорили, что дело в квадрате. Если это основание, то показатель не имеет значения. Один любой власти один. И на самом деле, это выражение один к n равно единице, которое работает для всех n, оно не ограничено положительными целыми числами. На самом деле это работает для каждого отдельного числа в числовой строке, поэтому каждое отдельное число в числовой строке, если вы подставите его вместо n, один к n будет равен единице. Так что это важно помнить. Если основанием является ноль, то ноль в любом положительном показателе степени равен нулю. Таким образом, ноль для n равен нулю, пока ноль положителен. И на самом деле это верно не только для целых положительных чисел, но и для положительных дробей. Это верно для всего, что находится справа от нуля на числовой прямой. Так что не беспокойтесь об нуле в нулевой степени или нуле в отрицательной степени, вам не придется иметь дело с этим на тесте. Это относится либо к нелегальной математике, либо к другим формам математики, о которых нам не нужно беспокоиться, так что мы просто можем это игнорировать. Идея, которую мы уже обсуждали в целочисленных свойствах на уроках алгебры, если показатель степени не написан, мы можем предположить, что показатель степени равен единице. Мы немного говорили об этом в разделе «Простые факторизации» и снова говорили об этом в модуле «Алгебра». Другой способ сказать, что любое основание в степени одного означает, что у нас есть только один фактор этого основания, поэтому два в одном равно двум. 2 в квадрате равно 4, 2 в кубе равно 3 множителям, так что получается 8. Опять же, мы используем показатель степени как способ подсчета количества множителей в общем произведении. Что произойдет, если основание отрицательное? Что, если мы начнем возводить в степень отрицательное число? Ну, минус два к единице, конечно, будет минус два. Минус два в квадрате, это минус умножить на минус, получится плюс четыре. Если мы умножим еще один множитель на минус два, положительное на отрицательное даст нам отрицательную восьмерку. Умножьте еще один коэффициент на 2, мы получим отрицательное 8, умноженное на отрицательное 2, даст нам положительное 16. Умножьте еще один коэффициент на 2, мы получим отрицательное 32. Обратите внимание, что здесь мы имеем чередующийся узор. Мы движемся от отрицательного к положительному, от отрицательного к положительному, от отрицательного к положительному. Таким образом, мы получаем отрицательное значение в любой четной степени положительного числа. А отрицание любой нечетной степени отрицательно. Подробнее об этом мы поговорим в следующем видео. Это имеет значение для решения алгебраических уравнений. Например, уравнение х в квадрате равно четырем имеет два решения, х равно двум и х равно отрицательным двум, потому что любое из этих решений в квадрате равно четырем. Напротив, уравнение x в кубе равно восьми имеет только одно решение x равно положительным двум. Если мы возьмем в куб положительную двойку, мы получим положительную восьмерку, но если мы возьмем в куб отрицательную двойку, мы получим отрицательную восьмерку. Заметьте также, что уравнение вида «что-то в квадрате равно отрицательному» не имеет решения. Так, например, х минус один в квадрате равно минус четыре. Ну, мы не можем ничего возвести в квадрат и получить минус четыре. Итак, это уравнение не имеет решения. Но мы могли бы иметь что-то в кубе равно отрицательному. Это прекрасно. Если что-то в кубе равно отрицательной единице, то эта вещь должна быть равна отрицательной единице, и тогда мы можем найти x. Наконец, так же, как важно знать таблицу умножения, важно знать некоторые основные степени однозначных чисел. Итак, вот что я рекомендую запомнить и знать. И на самом деле полезно умножать их шаг за шагом, чтобы помочь вам запомнить их. Прежде всего, я рекомендую знать степень двойки, по крайней мере, от двух до девятой. А почему так до двух до девятого? Что ж, мы поговорим об этом подробнее, когда будем говорить о некоторых правилах экспоненты. Но опять же, очень хорошо на самом деле попрактиковаться время от времени. Просто продолжайте умножать на два и получите все эти числа, просто чтобы проверить для себя, откуда они берутся. Знать степень от трех до минимум от трех до четвертой. Силы четырех до четвертой, силы пяти до четвертой. Опять же, умножайте все это время от времени, просто чтобы напомнить себе обо всем этом, чтобы вы действительно могли запомнить их очень хорошо. Тогда вы должны знать, конечно, квадраты и кубы всего от шести до девяти, и зачем вам все это знать? Что ж, мы снова поговорим об этом подробнее, когда будем говорить о некоторых правилах экспоненты. И, конечно же, знание всех степеней десяти, и то, что обсуждалось на уроке кратных десяти, очень легко вычислить степени десяти здесь. Просто добавляя нули или для отрицательных степеней, вы ставите их за десятичной точкой. Принципиально от b до n означает n коэффициентов b, перемноженных вместе. Это основное определение экспоненты. И очень хорошо, когда мы переходим к законам экспоненты, помнить об этом фундаментальном определении экспоненты. Один любой власти один. Ноль в любой положительной степени равен нулю. Отрицательное значение в четной степени является положительным. Отрицательное в нечетной степени нечетно. Уравнение, в котором выражение с в четной степени равно отрицательному, не является решением, но нечетная степень может равняться отрицательному. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт