7 класс дроби: Сокращение дробей — урок. Алгебра, 7 класс.

Алгебра 7-9 классы. 13. Дробные рациональные выражения. Действия с рациональными дробями

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

Рациональные дроби и их свойства

 

 

1. Рациональные выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения

В отличие от них выражения

помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют

рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла

при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет

смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Примерами рациональных дробей служат дроби

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

 

 

Пример 2. При каком значении х значение дроби равно нулю ?

 Дробь  равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числители дроби равен нулю, если , т.е.

или . Итак, числитель дроби равен нулю при x = 7 и  x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если

x ≠ -3. Значит,  данная дробь равна нулю при x = 7.

 

 

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

 

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство

 Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ О и с ≠ О.

Пусть Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с :

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

Значит,

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ О и с ≠ 0, верно равенство

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

 

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

 

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 1. Приведем дробь к знаменателю

Так как то, умножив числитель и знаменатель дроби на , получим:

 

Множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби

 

Пример 2.

Приведем дробь  к знаменателю

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

 

Дробь можно заменить тождественно равным выражением , поставив знак «минус» перед дробью и заменив  знак в числителе:

Вообще

 

если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

 

Пример 3. Сократим  дробь

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

Сократим полученную дробь на общий множитель a + 3:

Итак,

 

 

Пример 4. Построим график функции

Область определения функции -множество всех чисел, кроме числа 4. Сократим дробь

Графиком функции является прямая, а графиком функции но с «выколотой» точкой (4 ; 4) (рис.

1.)

Урок математики в 7-м классе «Сокращение алгебраических дробей»

• Огурцова Алла Юрьевна, учитель математики

Разделы: Математика

---

Цели урока:

• закрепить навыки сокращения алгебраических дробей используя комбинированные методы при разложении многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, способ группировки;
• проверить уровень усвоения материала по данной теме;
• развивать навыки самоконтроля;
• воспитывать умение работать в группе, чувство ответственности, дисциплинированности.

Оборудование:

• компьютер,
• проектор,
• экран,
• дидактическая игра “Домино” (карточки – 3 комплекта),
• раздаточный материал для самостоятельной работы (два варианта).

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Фронтальный опрос.

— Что такое алгебраическая дробь?

— Что значит сократить дробь?

— Что значит разложить на множители?

— Какие способы разложения вы знаете?

— Чему равен квадрат суммы (разности)?

— Чему равна разность квадратов?

III. Устная работа. < Приложение. Слайд 1-5.>

1. Разложите на множители:

а )	б )
в )	г)
д)	е )
ж )	з ).

2. Сократите дроби:

а)	б) в)	г)
д)	е) ж)	з)

3. Найдите значение алгебраической дроби, предварительно сократив ее: при Всегда ли это возможно? Когда нет?

4. При каких значениях р возможно сокращение дроби

Одновременно трем парам учащихся раздается дидактическая игра “Домино”, по окончании которой ребята подключаются к выполнению устных упражнений. Работа в парах проверяется и оценивается учителем во время выполнения письменных упражнений.

Образец комплекта “Домино”:

“Домино” — это прямоугольные карточки. Они разделены вертикальной линией посередине: на одной половине написано некоторое алгебраическое выражение, а другая сторона пуста или заполнена аналогичным выражением, но не равным первому. Двучлен или трехчлен (или их произведение), который тождественно равен первому выражению, учащийся должен найти на другой карточке. Карточки следует выложить так, чтобы тождественно равные выражения оказались рядом.

IV. Решение упражнений.

Из класса выделяется группа сильных учащихся, которым предлагается выполнение упражнений №698 (а), 699 (а), 702 (а), 705 (а).[2]. Упражнения выполняются сильными учащимися на доске, для самоконтроля на доске для них выписаны правильные ответы к упражнениям.

Остальные учащиеся выполняют упражнения № 688 (а,б), 689 (а,б),

690 (а,б) [2] под контролем учителя.

№698 (а)

№699(а)

№702 (а)

№705 (а)

№688 а) б)

№689 а) б)

№690 а)

б)

V. Самостоятельная работа.

Учащимся предлагается самостоятельная работа на два варианта, где им нужно вписать на розданном листе дробь, полученную при сокращении алгебраической дроби. Для успешно выполнивших эту работу, на доске записано дополнительное задание, повышенной сложности на два варианта, которое оценивается дополнительной оценкой.

Самостоятельная работа

I вариант	II вариант

Дополнительное задание < Приложение. Слайд 6.>

1. При каком значении р равенство, полученное при сокращении дроби верно?

2*. Решите уравнение:

3**. Сократите дробь:

VI. Итог урока. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание: № 687 (в, г), 690 (в, г), 702, 705 (в, г) [2] §25 прочитать. [1]

VII. Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. “Алгебра 7” : Учебник для общеобразоват. учреждений. – 9-е изд., – Москва: Мнемозина, 2006
2. Мордкович А. Г. “Алгебра 7” : Задачник для общеобразоват. учреждений. – 9-е изд., – Москва: Мнемозина, 2006
3. А.Г. Мордкович “Алгебра 7-9 классы: методическое пособие для учителя .- 2-е издание, доработанное. – Москва: Мнемозина, 2001.
4. С.Г. Манвелов. Конструирование современного урока математики: книга для учителя. — 2-е изд., М.: Просвещение, 2005.
5. “Математика в школе”, 2000, № 5.

3.03.2008

Математика с нуля. Пошаговое изучение математики

«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля.

Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и подобных заявлений как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага и далее по возрастанию.

Каждый пройденный урок обязательно должен быть усвоен. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если Вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Знайте, что некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если Вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

• Шаг 1. Числа
• Шаг 2. Основные операции
• Шаг 3. Выражения
• Шаг 4. Замены в выражениях
• Шаг 5. Разряды для начинающих
• Шаг 6. Умножение
• Шаг 7. Деление
• Шаг 8. Порядок действий
• Шаг 9. Законы математики
• Шаг 10. Делители и кратные
• Шаг 11. НОД и НОК
• Шаг 12. Дроби
• Шаг 13. Действия с дробями
• Шаг 14. Смешанные числа
• Шаг 15. Сравнение дробей
• Шаг 16. Единицы измерения
• Шаг 17. Применение дробей
• Шаг 18. Десятичные дроби
• Шаг 19. Действия с десятичными дробями
• Шаг 20. Применение десятичных дробей
• Шаг 21. Округление чисел
• Шаг 22. Периодические дроби
• Шаг 23. Перевод единиц
• Шаг 24. Соотношения
• Шаг 25. Пропорция
• Шаг 26. Расстояние, скорость, время
• Шаг 27. Прямая и обратная пропорциональность
• Шаг 28. Проценты
• Шаг 29. Отрицательные числа
• Шаг 30. Модуль числа
• Шаг 31. Что такое множество?
• Шаг 32. Сложение и вычитание целых чисел
• Шаг 33. Умножение и деление целых чисел
• Шаг 34. Рациональные числа
• Шаг 35. Сравнение рациональных чисел
• Шаг 36. Сложение и вычитание рациональных чисел
• Шаг 37. Умножение и деление рациональных чисел
• Шаг 38. Дополнительные сведения о дробях
• Шаг 39. Буквенные выражения
• Шаг 40. Вынесение общего множителя за скобки
• Шаг 41. Раскрытие скобок
• Шаг 42. Простейшие задачи по математике
• Шаг 43. Задачи на дроби
• Шаг 44. Задачи на проценты
• Шаг 45. Задачи на движение
• Шаг 46. Производительность
• Шаг 47. Элементы статистики
• Шаг 48. Общие сведения об уравнениях
• Шаг 49. Решение задач с помощью уравнений
• Шаг 50. Решение задач с помощью пропорции
• Шаг 51. Системы линейных уравнений
• Шаг 52. Общие сведения о неравенствах
• Шаг 53. Системы линейных неравенств с одной переменной
• Шаг 54. Операции над множествами
• Шаг 55. Степень с натуральным показателем
  
• Шаг 56. Степень с целым показателем
  
• Шаг 57. Периметр, площадь и объём
  
• Шаг 58. Одночлены
  
• Шаг 59. Многочлены
• Шаг 60. Формулы сокращённого умножения
  
• Шаг 61. Разложение многочлена на множители
  
• Шаг 62. Деление многочленов
  
• Шаг 63. Тождественные преобразования многочленов
• Шаг 64. Квадратный корень
• Шаг 65. Алгоритм извлечения квадратного корня
  
• Шаг 66. Квадратное уравнение
• Шаг 67. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
  
• Шаг 68. Теорема Виета
  
• Шаг 69. Разложение квадратного трёхчлена на множители
• Шаг 70. Обобщённое понятие модуля числа
  
• Шаг 71. Уравнение с модулем
• Шаг 72. Решение уравнений с модулем методом интервалов
  
• Шаг 73. Неравенства с модулем
  
• Шаг 74. Решение неравенств с модулем методом интервалов
  
• Шаг 75. Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
  

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

эквивалентных фракций 7 класса | Tiktok Search

Tiktok

Загрузка

для вас

после

Youwantalgebra

YouWantalgebra

7 -й класс для Decimals Equivalence #fyp シ 9003

#clipra12. 0002.knipl. #вы хотитеалгебру #математику #7класс #долюдодесятичную #повторяющиеся десятичные дроби #terminatingdecimal

Видео TikTok от YouWantAlgebra (@youwantалгебра): «Эквивалентность десятичных дробей 7-го класса #fypシ #алгебра1tutor #алгебра1 #fyp #mathtutor #youwantалгебра #математика #7thgrade #fractiontodecimal #repeatingdecimals #terminatingdecimal». Эквивалент дроби десятичным дробям. оригинальный звук.

1693 просмотра|

оригинальный звук — YouWantAlgebra

youwantалгебра

YouWantAlgebra

эквивалентные дроби 7 класса #fyp シ #Algebra1tutor #Algebra1 #FYP #Mathtutor #Youwantalgebra #700003 #Equivalence #7wgrade #FIVALENTFRACTE YouWantAlgebra (@youwantалгебра): «Эквивалентные дроби 7-го класса #fypシ #алгебра1репетитор #алгебра1 #fyp #mathtutor #youwantалгебра #математика #7класс #эквивалентные дроби #винкулум #фракция». Эквивалентная отрицательная дробь. оригинальный звук.

377 просмотров|

original sound — YouWantAlgebra

youwantalgebra

YouWantAlgebra

7th grade terminating and repeating decimals #fypシ #algebra1tutor #algebra1 #fyp #mathtutor #youwantalgebra #math #repeatingdecimals #terminatingdecimal #7thgrade

Видео в TikTok от YouWantAlgebra (@youwantалгебра): «7-й класс завершающие и повторяющиеся десятичные дроби #fypシ #алгебра1tutor #1 #алгебра #mathtutor #youwantdecimal #repeth #math #repeatingdecimal «. Завершение десятичных дробей объяснено, часть 1. оригинальный звук.

954 просмотра|

оригинальный звук — YouWantAlgebra

askcaasi

Zeina

Имеет ли смысл? #fyp #foryou #askcaasi #math #mathquestion #mathexam #exam #study #learnfromme #learnontiktok #mathtok #fractions # старшая школа #учебный совет #репетитор по математике #mathhelp #year7

Видео в TikTok от Зейны (@askcaasi): «Это имеет смысл? #highschool #studytip #mathtutor #mathhelp #year7″. ву х я никогда не был там.

1722 просмотра|

woo x я никогда не был там — xxtristanxo

themathmom

TheMathMom

Равные дроби #middleschool Видео TikTok от TheMathMom (@themathmom): «Эквивалентные дроби #middleschool #middleschooltips #middleschoolmath #middleschoolcheck #mathematics #math #maths». оригинальный звук.

5096 просмотров|

оригинальный звук — TheMathMom

lklogic

LK

#viral #LK110786 #FutureMatressuae #LKLOGIC #FORYOU #MATH #TLEANTIKTOK #DLENLENTRICKSLIRCLEK . #DLENLENTRICKNTRICKS #NLESLENTLERINTOK #DLENLENTTRICKNTOK #DLENLENTTRICKNTOK . математика

230 лайков, 8 комментариев. Видео TikTok от LK (@lklogic): «#viral #lk110786 #futuremattressuae #lklogic #foryou #math #learnnontiktok #tiktoktutorial #tipsandtricks #handwriting #justfoundout #lifelessons #mathematics». Равные дроби. оригинальный звук.

15,2 тыс. просмотров|

оригинальный звук — LK

тихая математика

Мисс Арлин | Silentmath

Ответить на @ella…1232 #fractions #silentmath #mathisforgirls 👊🏼

2K лайков, 52 комментария. Видео TikTok от мисс Арлин | Silentmath (@silentmath): «Ответить @ella…1232 #fractions #silentmath #mathisforgirls 👊🏼». Создание эквивалентных дробей | Эквивалентные дроби имеют ОДИНАКОВУЮ ценность! | х 2 х2 | …. Счастливый фоновый джаз.

31,8 тыс. просмотров|

Happy Background Jazz — оптимистичная фоновая музыка

Рабочие листы для 7-го класса

1. 50 ÷ 3 ⁴ ⁄ ₇ = _____.

a) ⁷ ⁄ ₅                     b) 12
в) ¹⁴ ⁄ ₉                           г) 16

2. ²¹ ⁄ ₈ ÷ 1 ¹ ⁄ ₆ = _____.

а) ⁹ ⁄ ₄                           б) ⁵ ⁄ ₉
c) ⁴ ⁄ ₉                           d) Ничего из перечисленного

3. Обратное число 5 ² ⁄ ₅ равно _____.

a) ¹⁷ ⁄ ₅                      b) 3 ² ⁄ ₅
c) 1                        d) ⁵ ⁄ ₂₇

4. Стоимость 5 ¹ ⁄ ₄ кг манго составляет рупий. 1050. Сколько стоят 10 кг манго?

а) рупий. 200                    b) рупий. 2000
в) руб. 800                    г) рупий. 1000

5. Какая часть часа составляет 45 минут.

a) ³ ⁄ ₅                   b) ¹ ⁄ ₄
c) ³ ⁄ ₄                           d) Ничего из перечисленного

6. Мотоцикл проезжает 65 км на литре бензина. Какое расстояние он пройдет за 2 ³ ⁄ ₅ литр?

а) 179 км. б) 279 км.
в) 269 км. г) 169 км.

7. 4 ¹ ⁄ ₄ умножить на 5 ² ⁄ ₃ равно _____.

а) 22 ¹ ⁄ ₁₂                      б) 24 ¹ ⁄ ₁₂
c) 24 ³ ⁄ ₄                                       

8. Джон купил 5 дюжин бананов. Он нашел ² ⁄ ₅ банана повреждены. Сколько неповрежденных бананов?

а) 24                       б) 60
в) 12                       г) 36

9. (1 ¹ ⁄ ₃ ÷ 1 ¹ ⁄ ₂ ) ÷ 1 ¹ ⁄ ₂ x _____ = 16

a) 25 ⁵ ⁄ ₆                     b) 27
в) 29 ⁶ ⁄ ₇                     г) 30

10. (1 ÷ 2 ³ ⁄ ₄ ) + (1 ÷ 3 ¹ ⁄ ₂ ) = _____.

а) ⁵⁰ ⁄ ₆₀                     б) ⁵⁰ ⁄ ₇₇
c) ⁷⁷ ⁄ ₅₀                     d) Ничего из перечисленного

11. Цена на игрушку составляла рупий. 640. Он был продан по цене ⁴ ⁄ ₅ указанной цены. Какова цена продажи игрушки?

а) рупий. 560                    b) рупий. 522
в) руб. 512                    г) рупий. 600

12. Прадип купил мотоцикл по цене рупий. 54000. Он уплатил ¹ ⁄ ₅ цены наличными, а остальную сумму 10 равными частями. Найдите сумму, которую он будет платить каждый месяц.

а) рупий. 4220                    b) рупий. 4420
в) руб. 4120                    г) рупий. 4320

13. 41 ² ⁄ ₃ х ³ ⁄ ₅ = _____.

а) 20                    б) 25
в) 30                    г) 35

14. (1 ÷ 2 ² ⁄ ₅ ) + (1 ÷ 1 ¹ ⁄ ₂ ) + (1 ÷ 1 ⁴ ⁄ ₅ ) = ___.

a) ⁵⁹ ⁄ ₃₀                    b) ⁵⁹ ⁄ ₆₃
c) ⁵⁹ ⁄ ₃₆                    d) Ничего из перечисленного

15. Значение дроби увеличивается, если знаменатель дроби уменьшить, а числитель оставить прежним. Отметьте Верно/Неверно.

а) Верно                     b) Ложь

16. Стоимость 10 одинаковых книг рупий. 256. рупий. 25 ³ ⁄ ₅ , Какова цена каждой книги?

а) 8                   б) 10
в) 12                 г) 15

17. Стоимость 6 ¹ ⁄ ₄ кг апельсинов составляет рупий. 200. Сколько стоят 4 кг апельсинов?

а) рупий. 32                    b) рупий. 54
в) руб. 72                    г) рупий. 128

18. Если числитель и знаменатель неправильной дроби увеличить в одинаковой пропорции, то полученная дробь будет больше исходной дроби. Отметьте Верно/Неверно.

а) Верно                             b) Ложь

19. Произведение двух чисел равно 15 ⁵ ⁄ ₆ . Если одно из чисел 2 ¹ ⁄ ₂ , то какое другое число?

а) 1 ⁵ ⁄ ₃ см²                                     6 ⁵ ⁄ ₆
c) 6 ¹ ⁄ ₃ см                        d) Ничего из перечисленного

20. Обратная величина 0 не определена. Отметьте Верно/Неверно.

а) Верно                      б) Ложь

Если вы хотите загрузить вышеуказанный рабочий лист, пожалуйста, нажмите на ссылку ниже.

Рабочий лист дробей-4 Скачать pdf

Рабочий лист дробей — 1

Рабочий лист дробей — 2

Рабочий лист дробей — 3

Рабочий лист дробей — 4

Дроби-Ответ Скачать pdf

Copyright © 2022 LetsPlayMaths.com. Все права защищены.
Электронная почта: feedback@letsplaymaths. com

Открытый учебный курс CEMC — математика для 7 и 8 классов

Представление и сравнение чисел (N)

Часть A (уроки 1–7)
Темы включают представление и сравнение положительных рациональных чисел (целые числа, дроби). , и десятичные дроби), нахождение кратных и делителей положительных целых чисел, а также определение наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОК) пары положительных целых чисел.

Часть B (Уроки 8–12)
Темы включают представление отрицательных дробей и отрицательных десятичных дробей, сравнение значений любых двух рациональных чисел, экспоненциальное представление и использование факторных деревьев и простой факторизации для нахождения НОК или НОК пары положительные целые числа.

На этом уроке рассматриваются три различные системы счисления: целые числа, целые числа и рациональные числа. Связи между различными системами счисления выделены, чтобы заложить основу для сравнений и операций.

Математики часто используют числовую прямую для решения задач. В этом уроке мы рассмотрим числовую прямую, сосредоточившись на построении дробей.

В математике символы важны для общения. В этом уроке мы рассмотрим символы «больше» и «меньше». Кроме того, мы представляем два метода, используемых для сравнения дробей.

Рациональные числа можно записывать в виде дробей или десятичных знаков. В этом уроке мы обсудим связи между дробными представлениями и десятичными представлениями, в частности, когда речь идет о построении чисел на числовой прямой.

В этом уроке мы рассмотрим, как создать список кратных целому числу. Используя наши списки, мы определяем общие кратные двух целых чисел, уделяя особое внимание наименьшему общему кратному (НОК).

Факторы, как и множители, связаны с умножением. В этом уроке мы решаем задачи, определяя множители положительных целых чисел.

Продолжая урок о множителях, мы сравниваем множители двух положительных целых чисел, чтобы найти общие множители; в частности, нас часто интересует определение наибольшего общего множителя (GCF). В заключение мы решим текстовые задачи, которые требуют от нас применения факторов к разным контекстам.

Дробные величины могут быть положительными или отрицательными. Подобно отрицательным целым числам, отрицательные дроби лежат слева от нуля на числовой прямой. В этом уроке мы наносим отрицательные дроби на числовую прямую, чтобы помочь нам понять и сравнить значения этих чисел.

Рациональные числа можно записывать в виде дробей или десятичных знаков. В этом уроке мы сравниваем отрицательные десятичные числа, нанося их на числовую прямую. Затем мы сравниваем отрицательные дроби с отрицательными десятичными дробями. Определены десятичные эквиваленты обыкновенных дробей и показаны способы преобразования дроби в десятичную. Наконец, мы научимся сравнивать любые два рациональных числа.

На этом уроке мы научимся представлять многократное умножение в экспоненциальной записи. Затем экспоненциальная запись используется для представления целых чисел в расширенной форме с использованием степеней десяти. Исследуются квадратные числа и кубические числа.

В этом уроке мы рассмотрим простые и составные числа. Мы узнаем, как представить составное число как произведение его простых множителей с помощью факторного дерева.

Простые факторизации можно использовать для определения наибольшего общего делителя (НОК) и наименьшего общего кратного (НОК) пары положительных целых чисел. Мы изучаем, как это можно сделать, и используем эти стратегии для решения текстовых задач.

Операции (N)

Часть A (Уроки 1–11)
Темы включают сложение и вычитание рациональных чисел, умножение и деление целого числа на положительное рациональное число и вычисление выражений с использованием порядка операций.

Часть B (Уроки 12–19)
Темы включают умножение и деление целых чисел, дробей и десятичных чисел, приближение квадратных корней положительных целых чисел и вычисление выражений, содержащих экспоненты, с использованием порядка операций.

Соотношения, коэффициенты и пропорции (N)

Часть A (Уроки 1–6)
Темы включают написание и интерпретацию соотношений; нахождение эквивалентных соотношений; преобразование между дробями, десятичными знаками и процентами; увеличение и уменьшение на процент; преобразование между единицами измерения; и решение проблем, связанных с единичными расценками.

Часть B (Уроки 7–11)
Темы включают распознавание пропорций в текстовых задачах, таблицах и графиках; связующий блок относится к пропорциональным отношениям и их представлению в таблицах, графиках и уравнениях; и дробные проценты и проценты, превышающие 100 процентов.

Биссектрисы и свойства фигур (G)

Часть A (уроки 1–6)
Темы включают построение биссектрисы угла и биссектрисы перпендикуляра, а также различные свойства треугольников, четырехугольников и более общих многоугольников. В частности, различные многоугольники классифицируются на основе длины их сторон и угловых измерений.

Часть B (Уроки 7–10)
Темы включают диагонали четырехугольника, терминологию и конструкцию окружностей, а также применение окружностей в реальном мире.

Площадь, объем и углы (G)

Часть A (уроки 1–5)
Темы включают вычисление площадей параллелограммов, треугольников, трапеций и составных фигур; вычисление площади поверхности, объема и вместимости призм; и представления 3D-объектов по-разному.

Часть B (Уроки 6–10)
Темы включают вычисление длины окружности и площади круга; расчет объема и площади поверхности цилиндров; и свойства углов, образованных пересекающимися прямыми, включая параллельные прямые и секущие.

Преобразования фигур (G)

Часть A (Уроки 1–7)
Темы включают конгруэнтность многоугольников, правила конгруэнтности треугольников, точки построения на декартовой плоскости, изображение многоугольника на декартовой плоскости при переносах, отражениях и /или повороты на декартовой плоскости и мозаики.

Часть B (уроки 8–11)
Темы включают сходство многоугольников, правила подобия треугольников, расширение многоугольников и косвенные измерения.

Представление рисунков (A)

Часть A (Уроки 1–6)
Темы включают представление последовательностей с помощью таблиц, общих терминов и графиков, описание шаблонов с использованием переменных и выражений, расширение последовательностей и решение задач с неизвестными величинами.

Часть B (Уроки 7–11)
Темы включают эквивалентные выражения для общего термина последовательности, описание взаимосвязей и шаблонов с помощью уравнений, а также убывающие и естественные последовательности.

Уравнения и теорема Пифагора (А)

Часть A (Уроки 1–7)
Темы включают использование переменных в выражениях, уравнениях и неравенствах, определение и исследование линейных отношений, решение уравнений и неравенств путем проверки, проб и ошибок, а также использование визуальных моделей и упрощение выражений путем сбора как термины.

Часть B (Уроки 8–15)
Темы включают решение уравнений и неравенств с использованием алгебраических методов, сравнение различий между вычислением выражения и решением уравнения, изучение уравнений с несколькими переменными и теорему Пифагора.

Сбор данных и графики (D)

Часть A (Уроки 1–5)
Темы включают различные типы данных; население, выборка и перепись; предвзятость при сборе данных, возникающая из-за формулировок вопросов, принятых ответов и выбора выборочной группы; таблицы и графики частоты и относительной частоты; чтение и построение круговых диаграмм; выбор подходящего типа графика для набора данных; смещение в представлении данных, возникающее из-за выбранного типа графика, структуры и формы графика, а также меток и масштабов осей.

Часть B (Уроки 6–9)
Темы включают организацию непрерывных данных в диаграммы «стебель-листья» и таблицы частот с интервалами; а также создание и чтение гистограмм и диаграмм рассеяния.

Анализ данных (D)

Часть A (уроки 1–4)
Темы включают определение среднего, медианы и режима наборов данных; изучение эффектов добавления данных в набор данных или удаления данных из набора данных; изучение влияния выбросов на среднее значение, медиану и моду; и практика делать выводы и делать прогнозы на основе данных в графиках.

Часть B (Уроки 5–8)
Темы включают интерпретацию данных, гистограмм и диаграмм рассеяния, а также выводы из этих графиков; описание взаимосвязей между двумя переменными на диаграмме рассеивания; оценка скорости изменения, связанной с диаграммами рассеяния; делать прогнозы, основанные на данных гистограмм и диаграмм рассеивания; и использование соответствующих показателей центральной тенденции для сравнения двух наборов данных.