Решение систем онлайн: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

alexxlab / / Разное

Содержание

Общее и частное решение системы линейных уравнений. Примеры решений

Пример 1. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы
  • Решение
  • Видео решение

Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3.
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x
2, x3, x4, значит, неизвестные x2, x3, x4 – зависимые, а x1, x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
x4=3-4x5, x3=3-4x5-2x4=3-4x5-6+8x5=-3+4x5
x2=x3+2x4-2+2x1+3x5 = -3+4x5+6-8x5-2+2x1+3x5 = 1+2x1-x5
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x

2, x3, x4 через свободные x1 и x5, то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x1 = x5 = 0, тогда x2 = 1, x3 = -3, x4 = 3;
2) положим x1 = 1, x5 = -1, тогда x2 = 4, x3 = -7, x4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:


Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.
x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.


Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x3 = — 1 + x4 + x5; x2 = 1 — x4; x1 = 2 + x4 — 3x5

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1114020
342301
23-33-21
x1x2x3x4x5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-140-36-1
342301
23-33-21

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-140-36-1
0-113-3
6		-1
23-33-21

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0027000
0-113-36-1
23-33-21

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x
3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0027000
0-113-13-6
23-31-32
x1x2x3x4x5
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
— x2 + 13x3 = — 1 + 3x4 — 6x5
2x1 + 3x2 — 3x3 = 1 — 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x
1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 — 3x4 + 6x5
x1 = — 1 + 3x4 — 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡2 = 2 — 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 — 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Пример 3, Пример 4, Пример 5, Пример 6, Решение

Основные методы решения систем повышенной сложности 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема урока, введение

 

Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.

 

 

Пример решения системы комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения

 

 

Пример 1. Решить систему

 

Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители

 

Решение системы методом подстановки

 

 

 

 

Мы получили систему, линейную относительно . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.

 

Решение системы методом алгебраического сложения

 

 

 

 

 

Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.

Ответ:

 

Решение систем уравнений

 

 

Пример 2. Решить систему

 

Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим

 

 

 

 

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета 

 

 

 

Ответ:

Пример 3. Решить систему

Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.

 

Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого уравнения второе.

 

Ответ: (2; 1).

Пример 5. Решить систему

Заметим, что  и произведем замену переменных:

 

Решаем систему относительно новых переменных:

 

 

Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.

 

 

Ответ:

Пример 6. Решить систему

Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.

 

Мы можем сократить на  только если  но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.

По этой же причине и

 

 

 

 

Подставим x в первое уравнение.

 

 

Мы решили систему методом почленного деления уравнений.

Ответ:

 

Решение систем неоднородных уравнений второй степени

 

 

Пример 7. Решить систему

 

Решение:

В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.

  

 

Мы получили однородное уравнение второй степени.

Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.

Тут возможны два варианта  

1.  В таком случае и  Но это создает противоречие во втором уравнении системы.

2.  Разделим обе части уравнения на

 

 

Получили квадратное уравнение относительно .  

Корни квадратного уравнения

 

 

a.  

b.    

возникает противоречие, система не имеет решения.

Ответ:

 

Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 130 – 140(а).

 

Система уравнений Solver — Mathcracker.com

Алгебра Рельефы

инструкции : Эта система решателя уравнений позволяет найти точку пересечения (если таковые имеются) между двумя прямыми линиями. Вам нужно обеспечить уравнение каждой строки.Решатель будет вычислять точку пересечения, и она сделает график.Например, в первом поле вы можете ввести «2x + 1», а во втором поле вы можете ввести «X-1″


Уравнение первой строки: \(y_1\) =

Уравнение второй строки: \(y_2\) =


Решение систем уравнения — это общее задание в алгебре из-за его нескольких приложений.Либо, когда вы решаете простую задачу слова или сложную систему распределения, вы, вероятно, получите решение системы уравнений.

Существует много типов систем с различными характеристиками и специфическими особенностями.Большинство систем будут определены конкретными числами, тогда как другие поставляются с буквальными константами и называются Буквальные Уравнения Отказ

Хорошая вещь о системе уравнений состоит в том, что существуют некоторые стандартные способы решения их. Действительно, основываясь на коэффициентов в системе, мы можем сказать, имеет ли система уникальным решением, или система имеет много (бесконечных) решений, или у системы не имеет решения.

Решение системы уравнений графически

Этот подход работает только для систем с двумя уравнениями и двумя переменными.Способ пойти на график каждое уравнение как функцию одной из переменных (как правило, переменные \(x\) и \(y\), а обычно \(y\) используется в качестве зависимой переменной).Полученные графики будут две строки.

Посмотрев на график, мы видим, что если линии пересекаются, то есть уникальное решение.Затем, если линии параллельны, мы заключаем, что нет решений.И линии перекрываются (поэтому они та же линия), то у нас есть бесконечные решения.

Решение системы уравнений путем замены

Еще один способ решения систем уравнений состоит в том, чтобы написать одну переменную в терминах других и заменить в других уравнениях.Это работает довольно хорошо на 2×2 системах уравнений, но он может стать громоздким для больших систем

Решение системы уравнений путем замены

Еще один способ решения систем уравнений состоит в том, чтобы написать одну переменную в терминах других и заменить в других уравнениях.Это работает довольно хорошо на 2×2 системах уравнений, но он может стать громоздким для больших систем

Хорошая система калькулятора уравнений

Вы можете использовать этот решатель, если вы хотите РЕШИТЬ СИСТЕМУ 2×2 ЛЮНИНЫЫ ОтказПодход, используемый этим калькулятором, является использование ПРАВИЛО КРАМЕРА решить систему уравнений 2×2. Хорошая вещь о методе Крамера в том, что он работает нормально для небольших или больших систем, подход одинаково

Для больших систем уравнений лучшая альтернатива — использовать Мет устранения гауссов , который систематически занимается линейными системами любого размера.

Алгебра калькулятор Алгебра Рельвер Система уравнений Система уравнений калькулятора Система линейных уравнений Система линейных уравнений калькулятора

Business Central ERP | Solution Systems, Inc.

Мы действительно являемся золотым партнером Microsoft ERP и специалистом по Dynamics 365 Business Central (NAV), которого вы ищете.

Узнать больше >

Запросить демонстрацию

Специалисты по ERP решениям для бизнеса улучшайте обслуживание клиентов, выполняйте проекты вовремя и в рамках бюджета, а также оптимизируйте свои операции. Выбираете ли вы размещение в облаке в качестве решения с несколькими арендаторами, в качестве облачного решения Azure с одним арендатором или в локальной системе Solution Systems, вы обеспечиваете высочайшее качество Business Central (BC) удовлетворенности клиентов.

​

Запросить демонстрацию Dynamics 365  >  | В чем отличие Solution Systems >

Предусмотрено несколько путей внедрения Business Central

Внедрение

Команда внедрения Solution Systems — ваш источник информации о финансах, производстве, рабочих местах и ​​всех других связанных с ERP функциях

Независимо от того, хотите ли вы внедрить BC как локальная ERP, гибридная ERP или полностью облачная ERP, Solution Systems обладает возможностями и опытом для быстрого и правильного выполнения работы.

Business Central Как вы этого хотите.

Разработка

Когда процессы требуют адаптации Business Central к ним, для внесения этих изменений без прерывания вашего бизнеса требуется специализированная команда с многолетним опытом.

Хотите добавить новое поле, набор разрешений, страницу, интеграцию или что-то еще? Мы вас прикрыли!

Минимизация времени простоя

Поддержка

В Solution Systems мы не используем программное обеспечение для автоматизации телефонной связи. Реальные люди отвечают на звонки, когда вы звоните, чтобы быстро помочь вам решить любую проблему, с которой вы можете столкнуться.

Если у вас возникли проблемы со входом в систему, исправление сообщения об ошибке или проблемы с интеграцией приложений, наша служба поддержки всегда готова помочь.

Интеграция приложений

Расширенная функциональность

Одной из основных особенностей Business Central является возможность интеграции с другими программными приложениями Microsoft и пользовательскими приложениями. Однако поиск партнера, обладающего навыками и опытом для выполнения этих интеграций, может занять много времени. В Solution Systems есть D365 Sales, Teams, Power BI, Microsoft 365, Office 365 и многие другие квалифицированные специалисты по приложениям в нашей команде.

Еще одним преимуществом сотрудничества с Solution Systems является то, что мы специализируемся не только на Business Central, но и на других приложениях (например, Dynamics 365), которые можно интегрировать напрямую.

Почему организации идут дальше, выбрав Solution Systems в качестве партнера Microsoft для Business Central? Опыт имеет значение.

Золотой партнер Microsoft

14

Средний стаж работы сотрудников

Золотой партнер Microsoft

40+

Годы специализации в области программного обеспечения для бизнеса

Microsoft Gold Partner

50

Количество состояний, которые мы работаем в

Microsoft Gold Partner

200+

Live Dynamics 365 Business Central Custom

Почему организации добиваются успеха с Microsoft Business Software

Microsoft Dynamics 365, Microsoft Business 365 и Power Platform объединяют ваши ERP, CRM, отчетность, электронную почту и программное обеспечение для совместной работы таким образом, чтобы конкуренты не могли успевать.

Большие и малые, D365 Business Central, D365 Sales, Office Productivity Apps и Power BI зарекомендовали себя как ведущие программные решения для бизнеса, обеспечивающие максимальную отдачу от инвестиций во всех отраслях, включая производство и распространение.

Решения для бизнеса в Иллинойсе (Иллинойс), Висконсине (Висконсин), Индиане (Индиана), Мичигане (Мичиган) и по всей стране

Статья

Узнайте больше о Microsoft Software ROI

Отчет

Power BI признан ведущей платформой бизнес -разведки

Просмотреть отчет

Исследование

A Forrester. персонализированная демонстрация

Наши специалисты предоставят подробную информацию и проведут вас через:

 

  • Финансовый менеджмент

  • Управление продажами и маркетингом

  • Закупки и кредиторская задолженность

  • Управление запасами

  • Планирование поставок и доступность

  • Управление проектами

  • Управление услугами

  • Управление складом

  • Производство

  • Использование в нескольких компаниях

  • Настройка и расширяемость

  • Мультисреды

Запросить демонстрацию

Прочитать истории клиентов >

Начните сегодня!

Начните бесплатную пробную версию Business Central и получите до 2500 долларов бесплатного использования.

Начните бесплатно

Лидеры в области онлайн-безопасности и образовательных решений

Киберкошмары: атаки, взломы и утечки

20 октября 2022 г. | 12:00 КТ

Киберкошмары: атаки, взломы и утечки

20 октября 2022 г. | 12:00 CT

Наша интегрированная технология позволяет школам по всему миру улучшать образование и защищать учащихся в Интернете.