Алгебра корень это: КОРЕНЬ (в математике) | это… Что такое КОРЕНЬ (в математике)?

Проверка теоретических знаний.

1. Какое число называется квадратным корнем из числа?

2. Какое число называется арифметическим квадратным корнем?

З. Что это за знак ?

4. Как называется число, стоящее под знаком корня?

5. Как читается выражение ?

6. Как называется действие нахождения квадратного корня из числа?

7. Сколько существует арифметических квадратных корней из данного числа?

8. __.

(С помощью этого графика можно легко проверить выполнение данного диктанта)

Учащимся предлагается поменяться работами графического диктанта и проверить их с помощью предложенного графика верных ответов (график представляется на плакате, на экране, на интерактивной доске)

Решение упражнений:

Упражнения из учебника:

№ 455 -2 столбик (стр.98), № 298(а, в, г).

Успевающим учащимся № 456(б, в).

IV. Самостоятельная работа — на 3 варианта (можно задания дать на цветных карточках -по уровню сложности).

1 вариант

1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в)

г)

2. Найдите значение выражения:

а) —

б) — 8*

в)

3. Является ли верным равенство или неравенство:

а)

б)

в) -8*

г) —

2 вариант

1. Вычислить:

а)

б)

в) 5*

г)

2. Найдите значение выражения:

а)

б) ;

в) .

3. Является ли верным равенство или неравенство:

а) = 6,3;

б)

в) — = — 0,71;

г) —

3 вариант

1. Вычислить:

а) ;

б)

в)

г)

2. Найдите значение выражения:

а) ;

б)-

в)

3. Является ли верным равенство или неравенство:

а)

б)

в)-

г) — .

V. Дополнительное задание к самостоятельной работе(в зависимости от оставшегося времени):

1 вариант: Дидактические материалы, Кудрявцев, Макарычев, Сорокина, стр. 13.

С -24: № 1, 3;

С -25: № 1

2 вариант: Дидактические материалы, Кудрявцев, Макарычев, Сорокина, стр. 27.

С -24: № 1, 3;

С -25: № 1

3 вариант: Дидактические материалы, Жохов, Макарычев, Миндюк, стр. 58

С — 14: .№ 5, 6, 9.

или Дидактические материалы, Миндюк М. Б., Миндюк Н.Г.

С -9: № 3, 5, 6

VI. Подведение итогов урока. Объявление оценок с пояснением.

VII. Домашнее задание:

п. 11, № 455(1 столбик), № 457(в, д.).

Домашнее задание объясняется учителем.

Поиск корней — Алгебра II

Все ресурсы по Алгебре II

10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 Следующая →

Алгебра II Помощь » Промежуточная алгебра с одной переменной » Квадратные уравнения и неравенства » Решение квадратных уравнений » Нахождение корней

Умножьте приведенную выше функцию на множители, чтобы найти корни квадратного уравнения.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Факторизация квадратного уравнения означает выполнение FOIL в обратном порядке. Вспомните, что когда вы используете FOIL, вы начинаете с двух двухчленов и заканчиваете трехчленом:

Теперь мы попытаемся пойти в другом направлении — начнем с трехчлена и вернемся к двум множителям.

Здесь -3 равно , а -2 равно . Мы можем использовать эту информацию, чтобы узнать, что такое и по отдельности. Другими словами, мы должны найти два множителя -3, которые в сумме дают -2.

Коэффициенты -3:

• 3*-1 (сумма = 2)
• -3*1 (сумма = -2)

Таким образом, наше факторизованное уравнение должно выглядеть так:

Корнями квадратного уравнения являются значения x, для которых y равно 0.

Мы знаем, что все, что умножено на ноль, равно нулю. Таким образом, все выражение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Сообщить об ошибке

Найти корни функции:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Фактор:

Двойная проверка по факторингу:

Добавить вместе:

Следовательно:

Отчет.

Возможные ответы:

х = 5

x = –4, –3

x = 5, 2

x = –5, –2

x = 4, 3

Правильный ответ:

x = 5, 2

Объяснение:

1) Разделите средний член, чтобы можно было разложить на множители путем группировки.

Факторы 10 включают:

1 * 10 = 10     1 + 10 = 11

2 * 5 = 10      2 + 5 = 7

–2 * –5 = 10    –2 + –5 = –7 Хорошо!

2) Теперь разложите по группам, вытащив «x» из первой пары и «-5» из второй.

3) Теперь вытяните общий множитель «(x-2)» из обоих членов.

4) Приравняйте оба члена к нулю, чтобы найти возможные корни и решить с помощью обратных операций.

x – 5 = 0,  x = 5

x – 2 = 0, x = 2

Сообщить об ошибке

Найдите x.

Возможные ответы:

х = –4, 4

х = 2

х = –5, –2

х = –4

х = 9 0,0040016 Правильный ответ:

х = –4

Пояснение:

1) Первый шаг решения любого уравнения: объединить одинаковые члены. В квадратичных уравнениях проще всего приравнять выражение к нулю.

2) Есть два способа решить эту задачу. Первый и наиболее интуитивно понятный метод — стандартный факторинг.

16+1=17

8+2=10

4+4=8

4″ от второго.

4) Вытяните «(x+4)», чтобы получить:

5) Установите каждый член равным нулю.

х + 4 = 0, х = –4

Но есть короткий путь! Предполагая, что термины расположены в порядке убывания (т. е. ), а третий член является полным квадратом, квадратный корень которого равен половине среднего члена, математики используют небольшую хитрость. В этом случае квадратный корень из 16 равен 4. 4 * 2 = 8, так что трюк сработает. Возьмите квадратный корень из первого и последнего членов, затем вставьте знак плюс между ними и квадратные скобки.

И снова x равно -4.

Отчет о ошибке

Найдите корни уравнения x ² + 5 x + 6 = 0

Возможные ответы:

–5 и 1

2 и 3

1 и 10004 –5 и 1

2 и 3

1 –3

3 и –3

–2 и –3

Правильный ответ:

–2 и –3

Объяснение:

Чтобы разложить это на множители, нам нужно найти пару чисел, которые умножаются на 6 и в сумме дают 5. Числа 2 и 3 работают. (2 * 3 = 6 и 2 + 3 = 5)

SO ( x + 2) ( x + 3) = 0

x = –2 или x = –3

Отчет о ошибке

Решайте уравнение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить квадратное уравнение, , мы устанавливаем уравнение равным нулю, а затем факторизуем квадратное уравнение, . Поскольку эти выражения умножаются на 0, то должно быть так, что хотя бы одно из выражений равно 0. Итак, мы составим соответствующие уравнения  и    , чтобы получить ответы  и .

Сообщить об ошибке

Решить для :

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить для , вам нужно изолировать его в одной части уравнения. Вы можете вычесть справа налево. Затем вы можете добавить 6 справа налево:

Затем вы можете вынести это квадратное уравнение, чтобы найти его. Вам нужно определить, какие множители 8 дают в сумме минус 6:

Finally, you set each binomial equal to 0 and solve for :

Report an Error

Solve for :

Possible Answers:

Correct answer:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Решить для .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Первый фактор уравнения. Найдите два числа, которые умножаются на 24 и в сумме дают -10. Эти цифры составляют -6 и -4:

Установите оба выражения, равные 0 и решают для x:

Отчет о ошибке

Решение для:

Возможные ответы:

Правильный ответ. :

Объяснение:

Чтобы разложить на множители, найдите два числа, сумма которых равна 5, и умножьте на 6.

Проверьте возможные множители 6:

1 * 6 = 6  

1 + 6 = 7, поэтому они не работают.

2 * 3 = 6

2 + 3 = 5, так что это работает!

Затем вытяните общие делители первых двух членов, а затем вторых двух членов:

Приравняйте оба выражения к 0 и решите:

и

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 Следующая →

Уведомление об авторских правах 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Узнать по концепции

корень | математика | Britannica

Ключевые люди:

Франсуа Виет, сеньор де ла Биготьер

Похожие темы:

собственное значение Итерационный метод Ньютона Метод Хорнера метод ложного положения решение

Просмотреть весь связанный контент →

корень , в математике решение уравнения, обычно выражаемое числом или алгебраической формулой.

В IX веке арабские писатели обычно называли один из равных множителей числа джадр («корень»), а их средневековые европейские переводчики использовали латинское слово radix (от которого происходит прилагательное radix ). Если a — положительное действительное число, а n — положительное целое число, то существует единственное положительное действительное число x такое, что x ⁿ  =  a . Это число — (основной) n -й корень из a — записывается как ⁿ Квадратный корень из √ a или a ^{1/ п} . Целое число n называется индексом корня. Для n  = 2 корень называется квадратным корнем и записывается Квадратный корень из √ a . Корень ³ Квадратный корень из √ из называется кубическим корнем из из . Если a отрицательное, а n нечетное, единственный отрицательный корень n -й из a называется главным. Например, главный кубический корень из –27 равен –3.

Britannica Quiz

Числа и математика

A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

Если целое число (целое положительное) имеет рациональный n -й корень, т. е. такой, который можно записать в виде обыкновенной дроби, то этот корень должен быть целым числом. Таким образом, 5 не имеет рационального квадратного корня, потому что 2 ² меньше 5, а 3 ² больше 5. Ровно n комплексных чисел удовлетворяют уравнению x ⁿ  = 1, и они называются комплексными n -ми корнями из единицы. Если правильный многоугольник из n сторон вписан в единичную окружность с центром в начале координат так, что одна вершина лежит на положительной половине оси x , радиусы вершин являются векторами, представляющими комплекс n н -й корни единства. Если корень, вектор которого составляет наименьший положительный угол с положительным направлением x -ось обозначается греческой буквой омега, ω, затем ω, ω ² , ω ³ , …, ω _ⁿ  = 1 составляют все 900 корни из единицы . Например, ω = — ¹ / ₂ + ^{квадратный корень −3} / ₂ , ω ² = — ¹ / ₂ 5 — ¹ / ₂ 55555555 гг. ₂ и ω ³  = 1 – кубические корни из единицы. Любой корень, обозначаемый греческой буквой эпсилон, ε, обладающий тем свойством, что ε, ε ² , …, ε ⁿ  = 1 дают все n -го корня из единицы, называемого примитивным. Очевидно, задача нахождения n -го корня из единицы эквивалентна задаче вписания в окружность правильного многоугольника с n сторонами. Для каждого целого числа n n -го корня из единицы можно определить в терминах рациональных чисел с помощью рациональных операций и радикалов; но они могут быть построены линейкой и циркулем (т. е. определены в терминах обычных операций арифметики и извлечения квадратных корней) только в том случае, если n является произведением различных простых чисел вида 2 ^h  + 1, или 2 ^k , умноженных на такое произведение, или имеет вид 2 ^k . Если a — комплексное число, отличное от 0, уравнение x ⁿ  =  a имеет ровно n корней, и все n -го корня являются произведением любого одного корня

7 a из этих корней на

Термин , корень , был перенесен из уравнения x ⁿ  =  a во все полиномиальные уравнения. Thus, a solution of the equation f ( x ) =  a ₀ x ⁿ  +  a ₁ x ^{n  − 1}  + … + a _{n  − 1} x  +  a _n  = 0, где a ₀  ≠ 0, называется корнем уравнения. Если коэффициенты лежат в комплексном поле, уравнение n -й степени имеет ровно n (не обязательно различных) комплексных корней. Если коэффициенты вещественные, а n нечетное, то корень вещественный. Но уравнение не всегда имеет корень в поле коэффициентов. Таким образом, x ²  − 5 = 0 не имеет рационального корня, хотя его коэффициенты (1 и –5) являются рациональными числами.

В более общем смысле термин корень может применяться к любому числу, которое удовлетворяет любому заданному уравнению, будь то полиномиальное уравнение или нет. Таким образом, π является корнем уравнения x  sin ( x ) = 0,

Эта статья была недавно пересмотрена и обновлена ​​Уильямом Л. Хошем.

Что такое корни в математике? (Вопросы по видео и практике)

TranscriptFAQsPractice

Привет и добро пожаловать в это видео о корнях! Сегодня мы будем работать над пониманием терминологии, обозначений и интерпретации алгебраических корней. Мы также установим связи с другими понятиями, которые вам понадобятся в математике более высокого уровня. Давайте начнем!

Понимание терминологии и математических обозначений — это полдела, если вы пытаетесь понять определенные понятия. Это верно для корней, где используемая терминология определяет «тип» оцениваемого корня.

Чтобы найти квадратный корень числа, просто спросите себя: «Какое значение, когда умножается на само по себе, дает это число?»

Например, вас попросили найти квадратный корень из 4. Спросите себя: «Какое значение, умноженное само на себя, дает 4?» Ответ 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4.

Попробуем еще. Чему равен квадратный корень из 121? Спросите себя: «Какое значение при умножении само на себя дает 121?» Ответ — 11, потому что 11 умножить на 11 равно 121.

Чтобы найти кубический корень из числа, спросите себя: «Какое значение при умножении на само себя три раз дает это число?»

Например, кубический корень из 8 будет равен 2, потому что 2 умножить на себя трижды равно 8. Кубический корень из 64 равен 4, потому что 4 умножить на себя трижды равно 8. Четыре раза по четыре равно 16, 16 умножить на 4 равно 64.

\(2 \cdot 2 \cdot 2=8\)
\(4 \cdot 4=16\)
\(16 \cdot4=64\)

Корни четвертой степени, корни пятой степени, корни шестой , и так далее, можно найти аналогично.

В этих практических задачах обнаруживается важная взаимосвязь. Мы только что показали, что 2 — это квадратный корень из 4. Это означает, что число 4 — полный квадрат. Знание полных квадратов от 1 до 144 полезно для упрощения радикалов в будущем. В приведенной здесь таблице показаны эти идеальные квадраты по отношению к их квадратным корням. 93=1000\)

Как видно из приведенной выше таблицы, совершенные кубы быстро увеличиваются!

Чтобы обобщить правило нахождения корней, введем обозначение радикалов . Давайте разобьем эту запись на «части», взглянув на кубический корень из 27, который выглядит так: \(\sqrt[3]{27}\).

Радикал может напоминать символ деления, но имеет совсем другое значение. То, что находится под подкоренным символом, называется подкоренным числом и 9.0018 , и это может быть число или алгебраическое выражение. В этом видео мы будем придерживаться цифр.

Индекс является наиболее важной функцией. Это маленькое число, помещенное в «галочку» подкоренного символа, указывает на корень. В этом примере, поскольку индекс равен 3, они запрашивают кубический корень из 27. Немного подумав, мы можем определить, что 3 умножить на 3 умножить на 3 равно 27, поэтому кубический корень из 27 равен 3, что означает, что 27 является совершенным кубом.

Важно отметить, что символ квадратного корня не показывает индекс 2. Так что просто помните, что, когда индекс НЕ указан, радикал по умолчанию представляет собой квадратный корень. 9{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}\)

После преобразования в радикал задача становится более знакомой, и вычисление корня становится проще: куб корень из 125 равен 5.

Надеюсь, этот обзор был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Часто задаваемые вопросы

Q

Что такое корень в математике?

A

Корень числа в математике — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из \(49\) равно \(7\), потому что \(7\times7=49\). В этом случае, поскольку \(7\) дважды умножается на себя, чтобы получить \(49\), мы называем \(7\) квадратным корнем из из \(49\). Кубический корень из \(27\) равен \(3\), потому что \(3\times3\times3=27\). Поскольку \(3\) умножается три раза, чтобы получить \(27\), мы называем это кубическим корнем, поэтому \(3\) — это кубический корень из \(27\).

Q

Как найти корни в математике?

A

Чтобы найти корень числа в математике, мы начинаем с нахождения множителей этого числа. Например, коэффициенты \(64\) равны \(2\times2\times2\times2\times2\times2\). Если мы посмотрим повнимательнее, то увидим, что множители также можно записать как \(8\times8\):

Итак, мы знаем, что квадратный корень из \(64\) равен \(8\), потому что \(8\times8=64\). Поскольку \(8\) умножается на , умноженное на , мы называем это квадратным корнем из \(64\).

Мы также можем объединить множители в три группы:
Это означает, что \(4\times4\times4\) равно \(64\). Поскольку \(4\) трижды умножается на себя, чтобы получить \(64\), мы знаем, что \(4\) является кубическим корнем из \(64\).

Q

Что означает \(\sqrt{ }\) в математике?

A

Это символ, представляющий квадратный корень. Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из \(16\) или \(\sqrt{16}\) равен \(4\), потому что \(4\times4=16\).

Q

Какой самый простой способ найти кубический корень?

A

Кубический корень числа — это число, которое умножается само на себя \(3\) раз, чтобы получить исходное число. Самый простой способ найти кубический корень числа — начать с поиска множителей и посмотреть, есть ли в множителе \(3\) числа, которые совпадают. Например, чтобы найти кубический корень из \(125\), мы начнем с поиска множителей, которые равны \(5\times5\times5\). Поскольку \(5\) трижды умножается на себя, чтобы получить \(125\), мы можем сказать, что \(5\) является кубическим корнем из \(125\).

Q

Что такое радикал в математике?

A

Радикал в математике — это символ \(\sqrt{ }\), который используется для обозначения корня. Если индекса (числа в «плече» корня) нет, то он считается квадратным корнем. Чтобы представить выражение «квадратный корень из \(36\)», мы помещаем \(36\) под радикалом следующим образом: \(\sqrt{36}\). Квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число под радикалом. Следовательно, квадратный корень из \(36\) равен \(6\), потому что \(6\times6=36\). Это также можно записать как \(\sqrt{36}=6\).

Q

Как решить радикал?

A

Чтобы решить радикал, который представляет собой квадратный корень, мы начнем с нахождения множителей числа, которое находится под радикалом. Например, чтобы решить \(\sqrt{49}\), мы находим множители \(49\), которые равны \(7\times7\). Поскольку \(7\) дважды умножается на себя, мы можем заключить, что \(7\) является квадратным корнем из \(49\). Следовательно, \(\sqrt{49}=7\).

Q

Что такое радикальное упрощение?

A

Чтобы упростить радикал, вы должны найти квадратный корень числа до тех пор, пока ничто под радикалом не будет иметь корней. Например, мы можем упростить радикал \(\sqrt{18}\), найдя множители \(18\), которые равны \(3\times3\times2\). Поскольку \(3\) умножается дважды само на себя, мы можем вытащить этот корень, и \(3\) будет стоять перед корнем, а \(2\) останется под корнем. \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), что является наиболее упрощенной формой выражения, поскольку нельзя упростить \(\sqrt{2}\).

Q

Что является примером радикального числа?

A

A Радикал — это символ, представляющий квадратный корень. Число под радикалом называется подкоренным числом и . Например, выражение «квадратный корень из 81» представлено в математике радикальным символом с \(81\) под радикалом. \(\sqrt{81}=9\), потому что \(9\times9=81\). Символ — радикал, \(81\) — подкоренное число, а \(9\) — корень.

Q

Что такое подкоренное значение квадратного корня?

A

Подкоренное число и — это число под радикалом, для которого мы пытаемся найти корень. Например, «квадратный корень из \(100\)» можно записать как \(\sqrt{100}\). Число под знаком, называемое подкоренным, называется подкоренным. В этом случае \(100\) является подкоренным числом.

Q

Что такое индекс и подкоренное число?

А

индекс — это корень, который мы пытаемся найти, а подкоренное число и — это число под радикалом.

Например, \(\sqrt{25}\) — это квадратный корень из \(25\). Существует воображаемое \(2\), которое мы не пишем, что говорит нам о том, что мы должны брать квадратный корень из числа. В этом случае \(2\) — индекс, а \(25\) — подкоренное число. Выражение \(\sqrt[3]{64}\) представляет собой кубический корень из \(64\). \(3\) — это индекс, \(64\) — подкоренное число, а символ квадратного корня называется радикалом.

Индекс говорит нам, какой корень подкоренного числа мы должны найти. В случае квадратного корня из \(25\) мы находим число, которое дважды умножается само на себя, чтобы получить \(25\). В кубическом корне из \(64\) мы ищем число, которое трижды умножается само на себя, чтобы получить \(64\).

Q

В чем разница между радикалом и радикалом?

A

Радикал — это символ, представляющий квадратный корень. radic и — это число, которое находится под радикалом, корень которого мы пытаемся найти. Например, в выражении \(\sqrt{50}\) символ является подкоренным, а \(50\), который находится под радикальным символом, называется подкоренным символом.

Q

Что является примером подкоренного числа?

A

A подкоренной и число под подкоренным. В выражении квадратный корень из \(36\), который также может быть записан с использованием математических символов как \(\sqrt{36}\), \(36\) является подкоренным, потому что он находится под радикалом, который является символом квадратного корня. 97} \) Поскольку не предполагается, что индекс не представляется 2.

HIDE Ответ

Вопрос № 3:

\ (\ SQRT {256} = \)

16

15

14

13

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: 16. Чтобы найти квадратный корень из 256, спросите, какое число умножить на 256. \(16×16=256\), поэтому \(\ кврт{256}=16\).

Скрыть ответ

Вопрос №4:

 
\(\sqrt[3]{64}=\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: 4. Чтобы найти кубический корень из 64, спросите, какое число, умноженное на три раза, даст вам 64 , \(4×4×4=64\), поэтому \(\sqrt[3]{64}=4\).

Скрыть ответ

Вопрос №5:

 
Как называется маленькая цифра, стоящая в «галочке» подкоренного символа?

Радиканд

Индекс

Радикал

Куб

Показать Ответ

Ответ:

Правильный ответ — индекс. Индекс представляет собой небольшое числовое место в «галочке» подкоренного символа и указывает на корень.

Скрыть ответ

Вернуться к видео по основам арифметики

795655374381

Квадратный корень — формула, примеры

Возведение квадратного корня числа в обратную сторону. Квадрат числа — это значение, которое получается, когда мы умножаем число само на себя, а квадратный корень из числа получается путем нахождения числа, которое при возведении в квадрат дает исходное число. Если «a» — это квадратный корень из «b», это означает, что a × a = b. Квадрат любого числа всегда является положительным числом, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, один из которых имеет положительное значение, а другой — отрицательное. Например, и 2, и -2 являются квадратными корнями из 4. Однако в большинстве случаев только положительное значение записывается как квадратный корень из числа.

1.	Что такое квадратный корень?
2.	Как найти квадратный корень?
3.	Таблица квадратного корня
4.	Формула квадратного корня
5.	Как упростить квадратный корень?
6.	Квадратный корень из отрицательного числа
7.	Квадрат числа
8.	Как найти квадрат числа?
9.	Квадраты и квадратные корни
10.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень из числа — это такой множитель числа, который при умножении на себя дает исходное число. Квадраты и квадратные корни являются специальными показателями. Рассмотрим число 9. Когда 3 умножается само на себя, в результате получается 9. Это можно записать как 3 × 3 или 3 ² . Здесь показатель степени равен 2, и мы называем его квадратом. Теперь, когда показатель степени равен 1/2, он относится к квадратному корню из числа. Например, √n = n ^1/2 , где n — целое положительное число.

Квадратный корень Определение

Квадратный корень из числа равен степени 1/2 этого числа. Другими словами, это число, произведение которого само по себе дает исходное число. Он представлен с помощью символа «√». Символ квадратного корня называется радикалом, тогда как число под символом квадратного корня называется подкоренным числом.

Как найти квадратный корень?

Очень легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом. Совершенные квадраты — это положительные числа, которые можно представить как произведение числа самого на себя. другими словами, совершенные квадраты — это числа, выражаемые как значение степени 2 любого целого числа. Мы можем использовать четыре метода, чтобы найти квадратный корень чисел , и эти методы следующие:

• Метод повторного вычитания квадратного корня
• Извлечение квадратного корня методом простой факторизации
• Квадратный корень по методу оценки
• Извлечение квадратного корня методом деления в длину

Следует отметить, что первые три метода удобно использовать для полных квадратов, а четвертый метод, т. е. метод деления в длину, можно использовать для любого числа, независимо от того, является оно полным квадратом или нет.

Метод многократного вычитания квадратного корня

Это очень простой метод. Мы вычитаем последовательные нечетные числа из числа, для которого мы находим квадратный корень, пока не достигнем 0. Количество раз, которое мы вычитаем, является квадратным корнем данного числа. Этот метод работает только для совершенных квадратных чисел. Найдем квадратный корень из 16, используя этот метод.

1. 16 — 1 = 15
2. 15 — 3 =12
3. 12 — 5 = 7
4. 7- 7 = 0

Вы можете заметить, что мы вычли 4 раза. Таким образом, √16 = 4

Квадратный корень по методу простой факторизации

Основная факторизация любого числа означает представление этого числа как произведения простых чисел. Чтобы найти квадратный корень заданного числа с помощью метода простой факторизации, мы следуем шагам, приведенным ниже:

• Шаг 1: Разделите заданное число на его простые множители.
• Шаг 2: Сформируйте пары одинаковых множителей так, чтобы оба множителя в каждой паре были равны.
• Шаг 3: Возьмите один множитель из пары.
• Шаг 4: Найдите произведение множителей, полученных путем взятия одного множителя из каждой пары.
• Шаг 5: Этот продукт представляет собой квадратный корень из заданного числа.

Найдем квадратный корень из 144 этим методом.

Этот метод работает, когда заданное число является числом в идеальном квадрате.

Квадратный корень по методу оценки

Оценка и аппроксимация относятся к разумному предположению фактического значения, чтобы сделать расчеты более простыми и реалистичными. Этот метод помогает в оценке и аппроксимации квадратного корня из заданного числа. Воспользуемся этим методом, чтобы найти √15. Найдите ближайшие к 15,9 числа в идеальном квадрате.а 16 — числа с совершенным квадратом, ближайшие к 15. Мы знаем, что √16 = 4 и √9 = 3. Отсюда следует, что √15 лежит между 3 и 4. Теперь нам нужно посмотреть, ближе ли √15 к 3 или 4. Рассмотрим 3,5 и 4. Так как 3,5 ² = 12,25 и 4 ² = 16. Таким образом, √15 лежит между 3,5 и 4 и ближе к 4.

Найдем квадраты 3,8 и 3,9. Так как 3,8 ² = 14,44 и 3,9 ² = 15,21. Это означает, что √15 находится между 3,8 и 3,9. Мы можем повторить процесс и проверить между 3,85 и 3,9.. Мы можем заметить, что √15 = 3,872.

Это очень долгий и трудоемкий процесс.

Извлечение квадратного корня методом деления в длину

Деление в длину — это метод деления больших чисел на этапы или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. С помощью этого метода мы можем найти точный квадратный корень из любого заданного числа. Давайте разберемся с процессом нахождения квадратного корня методом деления в длину на примере. Найдем квадратный корень из 180.

• Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа, начиная с разряда единиц (крайняя правая сторона). У нас будет две пары, т.е. 1 и 80
• Шаг 2: Мы делим крайнее левое число на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу в самой левой паре.

Шаг 3: Опустите число под следующей чертой справа от остатка. Прибавьте к делителю последнюю цифру частного. Справа от полученной суммы найдите подходящее число, которое вместе с результатом суммы образует новый делитель для нового делимого, переносимого вниз.

Шаг 4: Новое число в частном будет иметь то же число, которое было выбрано в делителе. Условие то же — либо меньше, либо равно дивиденду.

Шаг 5: Теперь мы продолжим этот процесс дальше, используя десятичную точку и добавляя нули попарно к остатку.

Шаг 6: Полученное частное будет квадратным корнем числа. Здесь квадратный корень из 180 приблизительно равен 13,4 и больше знаков после запятой можно получить, повторив тот же процесс следующим образом.

Таблица квадратного корня

Таблица квадратного корня состоит из чисел и их квадратных корней. Также полезно находить квадраты чисел. Вот список квадратных корней из совершенных квадратных чисел и некоторых несовершенных квадратных чисел от 1 до 10.

Квадратные корни чисел, не являющихся полными квадратами, являются иррациональными числами.

Формула квадратного корня

Квадратный корень числа имеет показатель степени 1/2. Формула квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из числа. Мы знаем формулу экспоненты: \(\sqrt[\text{n}]{x}\) = x ^1/n . Когда n=2, мы называем это квадратным корнем. Мы можем использовать любой из вышеперечисленных методов для нахождения квадратного корня, например разложение на простые множители, длинное деление и так далее. 9 ^1/2 = √9 = √(3×3) = 3. Итак, формула для записи квадратного корня числа: √x= x ^1/2 .

Как упростить квадратный корень?

Чтобы упростить квадратный корень, нам нужно найти простую факторизацию данного числа. Если фактор нельзя сгруппировать, сохраните его под символом квадратного корня. Правило упрощения квадратного корня: √xy = √(x × y), где x и y — положительные целые числа. Например: √12 = \(\sqrt{2 \times 2\times3}\) = 2√3

Для дробей также действует аналогичное правило: √x/√y = √(x/y). Например: √50/√10 = √(50/10)= √5

Квадратный корень из отрицательного числа

Квадратный корень из отрицательного числа не может быть действительным числом, поскольку квадрат является либо положительным числом, либо нулем. Но у комплексных чисел есть решения квадратного корня из отрицательного числа. Главный квадратный корень -x равен: √(-x)= i√x. Здесь i — квадратный корень из -1.

Например: возьмем квадратное число, например 16. Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из -16. Настоящего квадратного корня из -16 не существует. √(-16)= √16 × √(-1) = 4i (как √(-1)= i), где i представлено как квадратный корень из -1. Итак, 4i — это квадратный корень из -16.

Квадрат числа

Любое число, возведенное в степень два (y ² ), называется квадратом основания. Итак, 5 ² или 25 называется квадратом 5, а 8 ² или 64 — квадратом 8. Мы можем легко найти квадрат числа, умножив число два раза. Например, 5 ² = 5 × 5 = 25 и 8 ² = 8 × 8 = 64. Когда мы находим квадрат целого числа, полученное число представляет собой полный квадрат. Некоторые из идеальных квадратов, которые у нас есть, это 4, 9., 16, 25, 36, 49, 64 и так далее. Квадрат числа всегда положительное число.

Как найти квадрат числа?

Квадрат числа можно найти, умножив число само на себя. Для однозначных чисел мы можем использовать таблицы умножения, чтобы найти квадрат, а в случае двух или более двузначных чисел мы выполняем умножение числа само по себе, чтобы получить ответ. Например, 9 × 9 = 81, где 81 — это квадрат числа 9. Аналогично, 3 × 3 = 9., где 9 – это квадрат числа 3.

Квадрат числа записывается путем возведения показателя степени в 2. Например, квадрат числа 3 записывается как 3 ² и читается как «3 в квадрате». Вот несколько примеров:

• 4 ²  = 4 × 4 = 16
• (-6) ²  = -6 × -6 = 36
• (5/3) ²  = 5/3 × 5/3 = 25/9

Квадраты и квадратные корни

Существует очень сильная связь между квадратами и квадратными корнями, поскольку каждый из них является обратным отношением другого. т. е. если х ²  = y, тогда x = √y. Его можно просто запомнить так:

• Когда «квадрат» удаляется из одной части уравнения, мы получаем квадратный корень с другой стороны. Например, 4 ²  = 16 означает, что 4 = √16. Это также известно как «извлечение квадратного корня с обеих сторон».
• Когда «квадратный корень» удаляется из одной части уравнения, мы получаем квадрат с другой стороны. Например, √25 = 5 означает, что 25 = 5 ² . Это также известно как «квадрат с обеих сторон».

Эта логика помогает решать многие уравнения в алгебре. Рассмотрим следующий пример:

Пример:  Решите уравнение √(2x + 3) = 10.

Решение:

Возведение в квадрат обеих частей уравнения приведет к сокращению квадратного корня слева сторона.

2x + 3 = 10 ²

2x + 3 = 100

2x = 97

x = 97/2 = 48,5

5

• Калькулятор квадратного корня
• Рабочие листы по квадратным корням

Квадратный корень чисел

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне

Что такое квадратный корень в математике?

Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает действительное число. Например, 2 — это квадратный корень из 4, и это выражается как √4 = 2. Это означает, что при умножении 2 на 2 получается 4, и это можно проверить как 2 × 2 = 4.

☛ Проверить:

• Квадратный корень от 1 до 10
• Квадратный корень от 1 до 20
• Квадратный корень от 1 до 25
• Квадратный корень от 1 до 30
• Квадратный корень от 1 до 50
• Квадратный корень от 1 до 100

Как найти квадратный корень из числа?

Очень легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом. Например, 9 — это полный квадрат, 9 = 3 × 3. Итак, 3 — это квадратный корень из 9.и это может быть выражено как √9 = 3. Квадратный корень из любого числа, как правило, может быть найден с использованием любого из четырех методов, приведенных ниже:

• Метод повторного вычитания
• Метод простой факторизации
• Метод оценки и приближения
• Метод длинного деления

Как найти квадратный корень из десятичного числа?

Квадратный корень из десятичного числа можно найти с помощью метода оценки или метода деления в большую сторону. В случае десятичных чисел мы делаем пары целых частей числа и дробных частей отдельно. И затем, мы выполняем процесс деления в длинную точно так же, как и любое другое целое число.

Может ли квадратный корень быть отрицательным?

Да, квадратный корень из числа может быть отрицательным. Фактически, все совершенные квадраты, такие как 4, 9, 25, 36 и т. д., имеют два квадратных корня, один из которых является положительным значением, а другой — отрицательным. Например, квадратные корни из 4 равны -2 и 2. Чтобы убедиться в этом, мы можем увидеть, что (-2) × (-2) = 4. Точно так же квадратные корни из 9 равны 3 и -3.

Что такое символ квадратного корня?

Символ, который используется для обозначения квадратного корня, называется подкоренным знаком ‘√ ‘. Термин, написанный внутри подкоренного знака, называется подкоренным.

Что такое формула для вычисления квадратного корня числа?

Квадратный корень из любого числа можно выразить по формуле: √y = y ^½ . Другими словами, если показатель степени числа равен 1/2, это означает, что нам нужно найти квадратный корень из числа.

Что такое квадрат и квадратный корень числа?

Квадрат числа — это произведение, которое получается при умножении числа само на себя. Например, 6 × 6 = 36. Здесь 36 — это квадрат 6. Квадратный корень числа — это множитель числа, и когда он умножается сам на себя, получается исходное число. Теперь, если мы хотим найти квадратный корень из 36, то есть √36, мы получим ответ как √36 = 6. Следовательно, мы можем видеть, что квадрат и квадратный корень числа являются обратными операциями каждого Другой.

Какой метод используется для нахождения квадратного корня из неполных квадратных чисел?

В математике несовершенным или несовершенным квадратным числом считается число, квадратный корень которого нельзя найти как целое число или как дробь целых чисел. Квадратный корень из несовершенного квадратного числа можно вычислить, используя метод деления в длинную сторону.

Как найти квадратный корень на калькуляторе?

Чтобы найти значение квадратного корня любого числа на калькуляторе, нам просто нужно ввести число, для которого мы хотим получить квадратный корень, а затем вставить символ квадратного корня √ в калькулятор. Например, если нам нужно найти квадратный корень из 81, мы должны ввести 81 в калькулятор, а затем нажать символ √, чтобы получить его квадратный корень. Мы получим √81 = 9.

☛ Проверка:

• Калькулятор квадратного корня
• Калькулятор квадратного корня дроби
• Добавление калькулятора квадратных корней
• Калькулятор умножения квадратных корней
• Упрощение калькулятора квадратных корней

Как умножить два значения квадратного корня?

Допустим, у нас есть два числа a и b. Сначала найдем квадратный корень из чисел a и b. Затем, после нахождения квадратного корня, мы умножаем значение квадратного корня вместе. Поясним это на практической иллюстрации. Например, умножьте √4 × √16. Квадратный корень из 4 равен 2 (√4 = 2), а квадратный корень из 16 равен 4 (√16 = 4). Теперь мы умножим значение квадратного корня из 4 и 16, т. е. 2 × 4 = 8. Вместо этого мы можем применить свойство квадратных корней, √a × √b = √ab.

Каковы применения формулы квадратного корня?

Существуют различные применения формулы квадратного корня:

• Формула квадратного корня в основном используется в алгебре и геометрии.
• Помогает найти корни квадратного уравнения.
• Широко используется инженерами.

Что означает квадрат числа?

Произведение, которое получается при умножении числа само на себя, — это квадрат числа. Например, 5 × 5 = 25. Здесь 25 — это квадрат 5, и это также можно записать как 5 ² = 25.

Как найти квадратный корень из отрицательного числа?

Обратите внимание, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Это мнимое число. Например, √(-4) = √(-1) × √4 = i (2) = 2i, где «i» известно как «йота», а i ²  = -1 (или) i = √( -1).

Почему квадрат отрицательного числа положительный?

Квадрат отрицательного числа положителен, потому что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число. Например, (-4) × (-4) = 16,92=9$$

Возьмите квадратный корень из обеих частей уравнения и не забудьте использовать как положительные, так и отрицательные корни. Мы можем сделать это благодаря правилу, которое гласит, что если два выражения равны, то равны и их квадратные корни.

$$x=\pm3$$

Разделить уравнение на $$2$$ возможных случаев (с отрицательным корнем и с плюсовым корнем):

$$x=-3$$

$$ x=3$$

Следовательно, уравнение имеет $$2$$ решений:

$$x_1 =-3, ~x_2=3$$ 92}}\times\sqrt{2}$$

Уменьшить индекс радикала и показателя степени с помощью $$2$$:

$$t=\pm{2}\sqrt{2}$$

Разделить уравнение на $$2$$ возможных случаев (с отрицательным корнем и с плюсовым корнем):

$$t=-2\sqrt{2}$$

$$t=2\sqrt{2} $$

Следовательно, уравнение имеет $$2$$ решений:

$$t_1 =-2\sqrt{2}, ~t_2=2\sqrt{2} $$

Это было не так уж и плохо, правда? Теперь, когда мы рассмотрели подробный пример, давайте рассмотрим весь процесс в целом, чтобы вы могли научиться использовать его с любая проблема :

Резюме исследования

1. При необходимости перепишите наше квадратное уравнение, переместив переменную в левую часть и константы в правую часть уравнения.
2. Возьмите квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забудьте найти как положительные, так и отрицательные корни.
3. Разделите полученные решения, чтобы получить решения квадратного уравнения. 92-10=20$$

Решения:

1. $$x_1=-\sqrt7, x_2=\sqrt7$$
2. $$t_1=-\frac{\sqrt{30}}2, ~t_2=\frac{\sqrt{30}}2$$
3. $$x_1=-\sqrt5, ~x_2=\sqrt5$$
4. $$a_1=-\sqrt{15}, ~a_2=\sqrt{15}$$

Если вы все еще боретесь с процессом решения, ничего страшного! Несколько раз спотыкаться полезно для обучения. Если вы слишком застряли или заблудились, отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас на другую сторону!

Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00

Есть домашнее задание по алгебре?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших задач по алгебре.

Алгебра — нули/корни многочленов

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Полиномиальные функции / Нули/Корни многочленов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-2: Нули/Корни Многочленов

Мы начнем этот раздел с определения того, что такое корень или ноль полинома есть. Мы говорим, что \(x = r\) является корнем или нулем многочлена, \(P\left( x \right)\), если \(P\left( r \right) = 0\). Другими словами, \(x = r\) является корнем или нулем многочлена, если он является решением уравнения \(P\left( x \right) = 0\).

В следующих парах разделов нам нужно будет найти все нули для заданного многочлена. Итак, прежде чем мы углубимся в это, нам нужно получить некоторые идеи относительно нулей многочленов, которые помогут нам в этом процессе. 92} = 0\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 7\]

Итак, этот полином второй степени имеет единственный нуль или корень. Кроме того, вспомните, что когда мы впервые посмотрели на них, мы назвали такой корень двойным корнем .

Мы решили каждую из них, сначала разложив полином на множители, а затем используя свойство нулевого множителя факторизованной формы. 3}\) 92}\влево( {х + 5} \вправо)\влево( {х + 4} \вправо)\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

В каждом из них факторинг был сделан за нас. Не беспокойтесь о факторинге ничего подобного. Нигде в этом материале вас не попросят сделать какой-либо факторинг такого рода. Здесь только нужно отметить, что свойство нулевого фактора работает и здесь. Мы также будем использовать их в следующем примере. 93}\left( {x + 5} \right)\) Показать решение

У нас также есть произведение трех членов этого многочлена. Однако, поскольку первый теперь является \(x\), это введет третий ноль. Нули этого полинома равны

. \[х = — 5,\,\,\,х = 0,\,\,\,{\mbox{и}}\,\,\,х = 3\]

, потому что каждый из них сделает один из членов и, следовательно, весь полином равным нулю.