Алгебра производные: Определение производной функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/класс

Производные функций. Алгебра Колмогоров 10-11 класс Упр 210 – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Доброго вечера! Кто не спит? Поможете) Нужно найти производные функций:

ответы

Лови, Тут все довольно просто:

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ЕГЭ

9 класс

11 класс

Химия

похожие вопросы 5

В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309

Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону 
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра

Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Почему сейчас школьники такие агрессивные ?

Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь 

Новости10 классБезопасность

11. Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е. Русский язык ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. ГДЗ. Вариант 12.

11.
Выпишите слово, в котором на месте пропуска пишется буква Е.
произнос., шь (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 12. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)

в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

10 класс алгебра к.р.по теме » Производная .» | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему:

Опубликовано 06.04.2015 — 18:00 — Криваненкова Лариса Витальевна

Контрольные работы в 10 классе по алгебре по теме » Производная»

Скачать:

Предварительный просмотр:

10 класс

В а р и а н т 1.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): Точка  движется  прямолинейно  по  закону  .  Какой  формулой  задается  скорость  движения  этой  точки  в  момент  времени  t. Угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в точке  с  положительной  абсциссой  ,  равен  2.  Найдите  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  сумму  тангенсов  углов  наклона  касательных  к  параболе   в точках  пересечения  параболы   с  осью  абсцисс. На  графике  функции    взята  точка А,  наклонена к  оси  абсцисс  под  углом,  тангенс  которого  равен  7,2.  Найдите  абсциссу  точки А. Найдите  производные  функций  ( 9 – 11): Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

В а р и а н т 2.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): Тело  движется  по  прямой  так,  что  его скорость  v (м/с)  изменяется  по  закону  .  Какую  скорость  приобретает  тело  в  момент,  когда  его  ускорение  равно  12м/с2. Найдите  тангенс угла  наклона  касательной,  проведенной  к  графику функции    в  точке  с абсциссой  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  параболе    в  точке  с  абсциссой  . Найдите  угол  ( в градусах),  образованный  осью  Ох  и  касательной  к  графику  функции   в  точке   Тело  удаляется  от  поверхности  Земли  по  закону    (t – время,  h – расстояние  от  поверхности  Земли  до  тела).  В  какой  момент  времени  скорость  будет  равна  3? Найдите  производные  функций  ( 9 – 11):   Найдите  значение  производной  функции    в  точке  .

В а р и а н т 3.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): При  движении  тела  по  прямой  от  начальной  точки  М  путь    ( в  метрах )  изменяется   по  закону     ( t – время  в  секундах ).  Найдите  скорость  в  момент  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  сумму  тангенсов  углов  наклона  касательных  к  параболе   в точках  пересечения  параболы   с  осью  абсцисс. Найдите  абсциссу  точки  графика  функции    в  которой  угловой  коэффициент  касательной  равен  -8,6. Найдите  производные  функций  ( 9 – 11): Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

В а р и а н т 4.    «Производная»                            К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): Тело  движется  по  прямой  так,  что  его  скорость  v (м/с)  изменяется  по  закону  .  Какую  скорость  приобретает  тело  в  момент,  когда  его  его  ускорение  станет  равным  10 м/с2. Найдите  абсциссу  точки,  в  которой  касательная  к  графику  функции  наклонена  к  оси  Ох  под  углом  α,  если  ;  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  сумму  угловых  коэффициентов  касательных  к  параболе    в  точках  пересечения  параболы  с  осью  абсцисс. Материальная  точка  движется прямолинейно  по  закону  . В какой  момент  времени  скорость  точки  будет  равна 45? Найдите  производные  функций  ( 9 – 11):   Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

Демонстрационный  в а р и а н т .    «Производная»   К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): Тело  движется  по  прямой  по  закону  Какую  скорость  приобретает   тело  в  момент,  когда  его  ускорение  станет  равным  10 м/с2. Найдите  тангенс  угла  наклона  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной  к  графику  функции    в точке  . Найдите  сумму  угловых  коэффициентов  касательных  к  параболе    в  точках  пересечения  параболы  с  осью  абсцисс. Тело    движется прямолинейно  в  вертикальном  направлении  по  закону  (t – время,  h – расстояние  от  поверхности  Земли  до  тела). Определите  скорость  в момент  времени   . Найдите  производные  функций  ( 9 – 11):   Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

Демонстрационный  в а р и а н т .    «Производная»   К-2 Найти производную функции  ( 1 – 3 ): Тело  движется  по  прямой  по  закону  Какую  скорость  приобретает   тело  в  момент,  когда  его  ускорение  станет  равным  10 м/с2. Найдите  тангенс  угла  наклона  касательной,  проведенной  к  графику  функции    в  точке  . Найдите  угловой  коэффициент  касательной  к  графику  функции    в точке  . Найдите  сумму  угловых  коэффициентов  касательных  к  параболе    в  точках  пересечения  параболы  с  осью  абсцисс. Тело    движется прямолинейно  в  вертикальном  направлении  по  закону  (t – время,  h – расстояние  от  поверхности  Земли  до  тела). Определите  скорость  в момент  времени   . Найдите  производные  функций  ( 9 – 11):   Найдите  значение  производной функции    в  точке  .

ОТВЕТЫ

Демонстрационный  вариант

1.	2.	3.	4.	5.	6.
			-3,5	6	-7

7.	8.	9.	10.	11.	12.
0	2 м/с

Вариант 1.

1.	2.	3.	4.	5.	6.
					-26

7.	8.	9.	10.	11.	12.
0	5,1				4

Вариант 2

1.	2.	3.	4.	5.	6.
			25 м/с	-18	1

7.	8.	9.	10.	11.	12.
	1,5 с				2

Вариант 3.

1.	2.	3.	4.	5.	6.
					16

7.	8.	9.	10.	11.	12.
0	2,1

Вариант 4.

1.	2.	3.	4.	5.	6.
			8 м/с	2	13

7.	8.	9.	10.	11.	12.
0	1				2

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Зачеты по алгебре по темам: «Производная», «Применение производной». 10 класс.

Зачет имеет большое обучающее и воспитывающее значение для учащихся.В вечерней школе зачеты проводятся после каждой большой темы или раздела программы. Подготовка к зачетам должна начинаться с п…

Тест по алгебре и началам анализа.Тема: «Производная»

10 вопросов на нахождение производной….

Веб – квест для учащихся 11 класса Учусь решать задачи по теме «Производная»

   Ребята  ЕГЭ – 11 по математике разделена на базовый и профильные уровни. В профильный уровень входят задачи по нахождению  производной.     Вам предст…

Веб – квест для учащихся 11 класса Учусь решать задачи по теме «Производная»

Ребята  ЕГЭ – 11 по математике разделена на базовый и профильные уровни. В профильный уровень входят задачи по нахождению  производной.     Вам предстоит самостоятельно н…

Урок в 11 классе, алгебра и начала анализа. Тема: «Производная и её геометрический смысл».

Урок разработан  для учащихся 11 класса со средним уровнем математической подготовки. Длительность урока – 45 минут. Тема урока выбрана на основании того, что,  как правило, больший процент …

Конспект урока 11 класс алгебра и начала математического анализа по теме «Производная. Правила вычисления производной.»

Методическая разработка урока посвящается обобщению и систематизации знаний по теме «Производная. Правила вычисления производной». Урок сопровождается презентацией. К методической разработ…

15 октября 2021, 8 класс , алгебра Самостоятельная работа по теме «Умножение и возведение в степень рациональных дробей»

15 октября 2021, 8 класс , алгебраСамостоятельная работа по теме «Умножение и возведение в степень  рациональных дробей&raquo. ..

Поделиться:

 

Алгебра производных функций: определение, типы, правила, примеры

• Автор Ума А В
• Последнее изменение 23 августа 2022 г.

Алгебра производных функций : Теория концепции производных немного абстрактна. Производная является фундаментальной и очень важной темой исчисления, тогда как производная функций следует концепции пределов. Он имеет множество применений в реальных сценариях, включая расчет скорости изменения. Например, скорость изменения смещения космического корабля — это его скорость, а скорость изменения его скорости — это его ускорение, необходимое для достижения определенной точки в данное время.

Обладая базовыми знаниями алгебры функций, а также тремя основными производными и четырьмя правилами алгебраических операций над производными, можно хорошо усвоить тему. Основные правила, изложенные в этой статье, могут стать основой для углубленных исследований, связанных с деривативами.

Определение производных

Производная функции с действительным знаком измеряет тенденцию функции к изменению значений в зависимости от изменения ее независимой переменной.

Если \(f\left( x \right)\) — вещественнозначная функция, дифференцируемая в точке \(a,\), и если область содержит открытый интервал \(I\), содержащий \(a,\ ) и предел \(L = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({a + h} \right) — f\left( a \right )}}{h}\) существует, этот предел называется производной от \(f\left( x \right)\) в точке \(a.\)

Функция \(f\left( x \right)\ ) называется дифференцируемой в интервале \(I,\), если она дифференцируема в каждой точке \(I.\). Производная функции \(f\left( x \right)\) обозначается как:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right)} \right]\) или \(f’\left( x \right).\)

Производные как Наклон касательной

Наклон касательной в точке функции равен производной функции в этой точке.

Здесь производная функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_1}\) или \(f’\left({{x_1}} \right)\) является наклоном касательной в точке \({x_1}. \) Аналогично, производные в точках \({x_2}\) и \({x_3}\) являются наклонами касательных в соответствующих точках, как показано на рисунке.

Давайте разберемся с основными алгебраическими операциями и правилами, связанными с производными функций.

Алгебра производных функций: важные правила

1. Правило суммы

Производную суммы двух функций можно вычислить как сумму их производных. То есть, если \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) две действительнозначные дифференцируемые функции в интервале \(I,\), то
\( \frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[{ f\left( x \right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left(x \right)} \right]\)

Доказательство: Правило сумм можно доказать, используя свойства пределов и определение производных как \(f’\left( x \right) = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\ lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) – f\left( x \right)}}{h}\)
\(\следовательно \frac{d}{{dx}} \left[{f\left(x\right) + g\left(x\right)} \right]=\underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{{f\ влево({x + h} \right) + g\left({x + h} \right) – \left[{f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} }{h}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\left( x \right) + g\left({x + h} \right) – g\left( x \right)}}{h}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h}\right) — f\left(x \right)}}{ h} + \ underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{{g\left({x + h} \right) — g\left(x \right)}}{h }\)
\( = \frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\ left( x \right)} \right]\)
Таким образом, мы имеем \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left( x \right )} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left ( х \справа)} \справа]\)

2.

Правило разности

Подобно правилу сумм, производная разности двух функций также может быть вычислена как разность их производных. То есть, если \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) две действительнозначные дифференцируемые функции в интервале \(I,\), то
\( \frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) — g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[{ f\left( x \right)} \right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left(x \right)} \right]\)
Доказательство: Правило разности можно доказать, используя свойства пределов и определение производных как \(f’\left( x \right) = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim } } \frac{{f\left({x + h} \right) – f\left( x \right)}}{h}\)
\(\следовательно \frac{d}{{dx}} \left [{f\left( x \right)} \right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]=\underset{{h \to 0 }}{\ mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\left(x \right)}}{h}\underset{{h \to 0}} {\ mathop {\ lim }} \ frac {{g \ left ({x + h} \ right) — g \ left (x \ right)}} {h} \)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h}\right) — f\left( x \right) — g\ влево ({x + h} \ right) + g \ left ( x \ right)}} {h} \)
\ ( = \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim }} \ frac {{f\left( {x + h} \right) – g\left( {x + h} \right) – \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]}}{h}\)
\(=\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\ )
Следовательно, имеем \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = \frac{d} {{dx}}\left[{f\left( x \right)} \right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]\)

3.

Правило продукта

Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции, умноженной на вторую функцию, и первой функции, умноженной на производную второй функции.
То есть, если \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) две действительнозначные дифференцируемые функции в интервале \(I\), то

\ (\ frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \ frac{d}{{dx}}\left[ {f\left(x\right)} \right].g\left(x\right) + f\left(x\right).\left[{\ frac {d}{{dx}}g\left( х \справа)} \справа]\)

Доказательство:
Правило произведения также можно доказать, используя свойства пределов и определение производных как \(f’\left(x \right) = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\left( x \right)}}{h}.\)
\(\следовательно\frac{d}{{ dx}}\left[{f\left(x \right).g\left(x \right)}\right] = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{ {f\left({x + h} \right)g\left({x + h} \right) – f\left( x \right)g\left( x \right)}}{h}\)

Добавляя и вычитая \(f\left({x + h} \right)g\left( x\right)\) в числителе, мы получаем,
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right)g\left({x + h} \right) – f\left({x + h} \right)g\left( x \right) + f\left({x + h} \right)g\left( x \right) – f\left( x \right) )g\left( x \right)}}{h}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h } \right)\left[{g\left({x + h} \right) – g\left( x \right)} \right] + g\left(x \right)\left[{f\left( {x + h}\right) – f\left( x \right)} \right]}}{h}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} f\left({x + h} \right)\frac{{\left[{g\left({x + h} \right) — g\left(x \right)} \right]}}{h} + \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} г \ влево ( х \ вправо) \ гидроразрыва {{\ влево [{f \ влево ({x + h} \ вправо) — f \ влево( х \вправо)} \вправо]}}{ч}\)
\( = \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} f \ left ({x + h} \ right) \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim }} \frac{{\left[{g\left({x + h}\right) — g\left(x \right)} \right]}}{h} + \ underset{{h \to 0} {\ mathop {\ lim}} г \ влево ( х \ вправо) \ underset {{ч \ до 0}} {\ mathop {\ lim }} \ frac {{\ влево [{f \ влево ({х + h} \right) – f\left( x \right)} \right]}}{h}…. .\left({\text{i}} \right)\)
Здесь, используя определение, мы можем скажем, что
\(\ underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} f\left({x + h} \right) = f\left( x \right),\,\, \,\underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}}\frac{{\left[{g\left({x + h} \right) — g\left(x \right)} \right]}}{h} = \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)\)
\(\ underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }}g\left(x\right)\,=\,g\left(x\right),\,\,\,\ подмножество {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} \ frac {{\ left [{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left ( x \ right)} \ right] }}{h} = \frac{d}{{dx}}f\left(x\right)\)
Применение их в \(\left({\text{i}} \right),\)
\ ( = f\left( x \right) \cdot \left[ {\frac{d}{{dx}}g\left(x\right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\ left[ {f\left( x \right)} \right] \cdot g\left( x \right)\)
Следовательно, имеем \( \frac{d}{{dx}}\left[{f \left( x \right).g\left( x \right)}\right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right)} \right].g\ влево ( х \ вправо) + f \ влево ( х \ вправо). \ влево [{\ гидроразрыва {d} {{dx}} г \ влево ( х \ вправо)} \ вправо] \)
Это правило также известно как правило дифференцирования Лейбница. 2}}}\ )

Доказательство:
Факторное правило также можно вывести, используя свойства пределов и определение производных как \(f’\left( x \right) = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\left( x \right)}}{h}.\)

\(\следовательно \frac{d}{{ dx}}\left[{\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left(x \right)}}} \right] = \underset{{h \to 0}}{\ mathop {\ lim }} \ frac {{\ frac {{f \ left ({x + h} \ right)}} {{g \ left ({x + h} \ right)}} — \ frac {{f \left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}}}{h}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{1}{h}\,\frac{{f\left({x + h} \right)g\ влево( x \вправо) – f\влево( x \вправо)g\влево({x + h} \вправо)}}{{g\влево( x \вправо)g\влево({x + h} \вправо )}}\)
Вычитание и добавление \(f\left( x \right)g\left( x \right)\) в числителе,
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\ lim}} \ frac {1} {h} \, \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) g \ left ( x \ right) + f \ left ( x \ right) g \ влево( x \вправо) – f\влево( x \вправо)g\влево({x + h} \вправо)}}{{g\влево( x \вправо)g\влево({x + h} \вправо )}}\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{1}{{g\left( x \right)g\left({x + h} \right)} }\frac{{f\left({x + h} \right)g\left( x \right) – f\left( x \right)g\left( x \right) + f\left( x \right )g\left( x \right) – f\left( x \right)g\left({x + h}\right)}}{h}\)
\( = \underset{{h \to 0} {\ mathop {\ lim }} \ frac {1} {{g \ left ( x \ right) g \ left ({x + h} \ right)}} \ left [{\ frac {{f \ left ( {x + h} \right)g\left( x\right) – f\left( x \right)g\left(x \right)}}{h} + \frac{{f\left(x \right) )g\left( x\right) – f\left( x \right)g\left({x + h} \right)}}{h}} \right]\)
\( = \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} \frac{1}{{g\left( x \right)g\left({x + h} \right)} }\left[{g\left( x \right)\frac{{f\left({x + h} \right) — f\left( x \right)}}{h} — f\left( x \ right)\frac{{g\left({x + h} \right) – g\left( x \right)}}{h}} \right]\)
По основным свойствам пределов имеем,
\( = \ frac {1} {\ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} g \ left ({x + h} \ right) \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} г \ влево (х \ вправо)}} \ влево [{\ underset {{h \ to 0}}} {\ mathop {\ lim}} г \ влево (x \ вправо) \ underset {{h \to 0}}{\mathop{\lim }} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\left( x \right)}}{h} — \underset{ {h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} f \ left ( x \ right) \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim }} \ frac {{g \ left ({ x + h} \right) – g\left( x \right)}}{h}} \right]…\left({{\text{ii}}}\right)\)
Следовательно,
\( \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} f\left({x + h} \right) = f\left( x \right),\,\, \, \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} \ frac {{\ left [{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)} \right]}}{h} = \frac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)
\(\underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} g\left({x + h} \right) = g\left(x \right),\,\,\,\underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{{ \left[{g\left({x + h} \right) – g\left( x \right)} \right]}}{h} = \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)\)
\( \underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim }} f\left( x \right) = f\left( x \right),\,\,\, \ underset {{h \ to 0}} {\ mathop {\ lim}} г \ влево ( х \ вправо) = г \ влево ( х \ вправо) \) 9{n – 1}}. f’\left( x \right)\)

7.

Цепное правило

Цепное правило используется для нахождения производной сложной функции. Если функция \(h\) является составной функцией \(f\) и \(g,\), то составная функция \(\left({f \circ g} \right)\left( x \right)\ ) вычисляется для значения \(x\), сначала оценивая \(g\left( x \right)\), а затем вычисляя значение функции \(f\) в \(g\left( x \right ).\) Теперь цепное правило объясняет метод вычисления производной \(\left({f \circ g} \right)\left( x \right)\) как произведения производной функции \ (f\) в \(g\left( x \right)\), умноженном на производную от \(g\left( x \right).\) 92}} \right) + 3\frac{d}{{dx}}\left( x \right) – 0\)
Применяя степенное правило производных,
\( = 4\left({2x} \right ) + 3\left( 1 \right)\)
\( = 8x + 3\)
Следовательно, \(f’\left( x \right) = 8x + 3.\)

Q.2. Докажите, что производная от \(g\left( x \right) = x\,\cos \,x\) равна \(\cos x – x\,\sin \,x. 2}\,x\)? 92}}}\)

Резюме

В статье говорится о том, как важно знать, как обращаться с производными функций, которые имеют множество практических приложений. Затем он разрабатывает основное определение производной функции. Кроме того, статья переходит к алгебре производных, которая объясняет производные вещественных дифференцируемых функций с помощью основных операций — сложения, вычитания, умножения и деления.

Он раскрывает вывод четырех правил — правила сумм, правила разности, правила произведения и правила частных. Далее также перечислены несколько других важных правил, таких как постоянное правило, правило мощности, общее правило мощности и правило цепочки. Затем он завершается несколькими примерами, чтобы понять вычисления, связанные с алгеброй производных функций.

Узнайте о применении исчисления в нашей повседневной жизни

Часто задаваемые вопросы (FAQs)

Q.1. Как найти производную функции в функции?
Ответ: Производную функции можно вычислить с помощью цепного правила дифференцирования, которое гласит:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f \circ g\left ( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f\left({g\left( x \right)} \right)} \right].\frac{d }{{dx}}g\left( x \right)\) 92}} \right).2x\)
\( = 5\left({2x} \right)\)
\( = 10\,x\)

Q.2. Что такое алгебра дифференцирования?
Ответ: Основные операции над производными также известны как алгебра дифференцирования.
1. Правило суммы: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{ {dx}}\left[{f\left( x\right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x\right)} \right]\)
2. Правило разности: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) – g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{{ dx}}\left[{f\left( x\right)} \right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x\right)} \right]\) 92}} \справа)}}\)

Q. 3. Что такое производная функции в исчислении?
Ответ: Если \(f\left( x \right)\) — функция с действительным знаком, дифференцируемая в точке a, и если область содержит открытый интервал \(I\), содержащий a и предел \ (L = \ underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{{f\left({a + h}\right) — f\left(a \right)}}{h }\) существует, этот предел называется производной функции \(f\left( x \right)\) при \(a.\)

Q.4. Какие 7 правила дифференциации?
Ответ: Основные семь правил дифференцирования таковы:
i. Правило суммы:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx }}\left[{f\left( x \right)}\right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]\)
ii. Правило разности:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) — g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx }}\left[{f\left( x \right)}\right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]\)
III. Правило произведения:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right). 2}}}\) 9{n – 1}}\)
vii. Цепное правило: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f \circ g\left( x \right)}\right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f \left({g\left( x \right)} \right)} \right].\frac{d}{{dx}}g\left( x \right)\)

Q.5. Как работает правило произведения?
Ответ: Когда есть произведение двух функций, производная которых должна быть вычислена, следует использовать правило произведения производных. Согласно правилу произведения производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции, умноженной на вторую, и первой функции, умноженной на производную второй функции. 92} + 82x + 3\)

Алгебра производных функций

Производные являются неотъемлемой частью исчисления. Они измеряют скорость изменения любого количества. Предположим, есть резервуар для воды, из которого вытекает вода. Местного инженера просят измерить время, за которое резервуар для воды опустеет. В таком сценарии инженеру необходимо знать две вещи — размер резервуара для воды и скорость, с которой вода вытекает из него. Размер резервуара можно легко узнать, но для измерения скорости утечки воды ему придется использовать производные. Таким образом, производные переплетаются в нашей жизни. Легко вычислить производные для простых функций, но когда функции становятся сложными, правильный подход к этой проблеме состоит в том, чтобы разбить проблему на подзадачи, которые легче решить. Давайте посмотрим на некоторые правила и подходы, чтобы сделать это в случае деривативов.

Производные инструменты

Производные инструменты основаны на концепции пределов. Они измеряют разницу между значениями функции в интервале, ширина которого приближается к нулевому значению. Например, пусть задана функция f(x), и цель состоит в том, чтобы вычислить производную этой функции в точке x = a с использованием пределов. Обозначается через или f'(x).

При x = a,

Обратите внимание на рисунок: интервал «h» приближается к нулю. Линия приближается к касательной от хорды. Это означает, что теперь производная, когда h приближается к нулю, дает нам наклон касательной в этой конкретной точке.

Производные некоторых основных функций

В таблице ниже показаны производные некоторых стандартных основных функций.

Common Function	Function	Derivative
Constant Function	c	f'(x) = 0
Line	Ax + b	f ‘(x) = A
Квадрат	x 2	f'(x) = 2x
Square Root	√x	f'(x) =
Exponential	e x	e x
Exponential	a x	ln(a)a x
Logarithms	log e x
Logarithms	log a x
Trigonometry	sin(x)	cos(x)
Trigonometry	cos(x)	-sin(x)
Trigonometry	tan(x)	sec 2 ( x)

Правила дифференцирования

В приведенной выше таблице представлены производные некоторых стандартных функций, но в реальной жизни функции не всегда бывают простыми. Обычно встречающиеся функции включают более одной функции, связанной друг с другом операторами, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. В таких случаях очень громоздко решать производные через определение их пределов. Для облегчения таких расчетов были даны определенные правила: 

1. Правило суммирования или разности
2. Правило произведения и деления

Рассмотрим две функции f(x) и g(x). Допустим, есть третья функция h(x), которая объединяет эти две функции.

Правило суммирования и разности:

Случай 1: h(x) = f(x) + g(x) 

таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) = f'(x) + g'(x)

Случай 2: h(x) = f(x) – g(x)

Эта функция представляет собой разность f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

 

⇒

или

h'(x) = f'(x) – g'(x) 

Правила произведения и деления:

Случай (i): h(x) = f( x) x g(x)

Эта функция является произведением f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

 

⇒

или

h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x) f(x)

Случай (i): h(x) =

Эта функция представляет собой деление f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) =

. Правила деления и произведения также называются правилами Лейбница. .

Давайте рассмотрим несколько примеров задач с этими правилами.

Примеры задач 

Вопрос 1. Найдите производную для заданной функции f(x).

f(x) = x ² + 3x

Решение:

Эта функция является суммой двух различных функций. Здесь будет использоваться правило суммы.

f(x) = x ² + 3x

Здесь h(x) = x ² и g(x) = 3x.

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f’ (x) =

⇒f'(x) = 2x + 3

Вопрос 2: Найдите производную для заданной функции f(x).

f(x) = e ^x + sin(x)

Решение:

Эта функция является суммой двух различных функций. Здесь будет использоваться правило суммы.

f(x) =e ^x + sin(x)

Здесь h(x) =e ^x и g(x) = sin(x)

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x ) = e ^x + cos(x)

Вопрос 3. Найдите производную для данной функции f(x),

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²  

Решение:

9 Это разность двух функций разная функция. Здесь будет использоваться правило разности.

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²  

Здесь h(x) = 5x ⁴ и g(x) = 3x ²  

– g(x)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) = 20x ³ + 6x

Вопрос 4. Найдите производную для заданной функции f(x) ,

f(x) = 5log(x) – 3x

Решение:

Эта функция представляет собой разность двух разных функций. Здесь будет использоваться правило разности.

f(x) = 5log(x) – 3x

Здесь h(x) = 5log(x) и g(x) = 3x

f(x) = h(x) – g (х)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) =

Вопрос 5. Найдите производную для заданной функции f(x),

f(x) = 5x ⁴ .sin(x)

Решение:

две разные функции. Здесь будет использоваться правило произведения.

f(x) =5x ⁴ .sin(x)

Здесь h(x) =5x ⁴ и g(x) = sin(x)

f(x) = h(x).g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x) 

⇒ f'( x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) = 20x ³ sin(x) + 5x ⁴ cos(x)

Вопрос 6. Найдите производную для заданная функция f(x),

f(x) = 5e ^x .log(x)

Решение:

Эта функция является произведением двух разных функций. Здесь будет использоваться правило произведения.

f(x) = 5e ^x .log(x)

Здесь h(x) = 5e ^x и g(x) = log(x)

f(x) = h(x). g(x)

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) =

Вопрос 7.

No related posts.