Арифметическая прогрессия разность формула: Арифметическая прогрессия — Умскул Учебник

Содержание

Арифметическая прогрессия формулы, свойства, сумма членов, примеры и нахождение n-го члена

Арифметическая прогрессия — одно из фундаментальных понятий алгебры и математического анализа. Она имеет много применений в различных областях, включая финансы, физику, экономику и другие науки.

Арифметическая прогрессия — последовательность из чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на определенное значение. Это значение называют разностью или шагом арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Разность может быть и отрицательным числом и даже равняться нулю.

Например, 2,7,12,17,22… — это арифметическая прогрессия, так как второй ее член (7) отличается от первого (2) на 5, третий член (12) отличается от второго (7) тоже на 5, четвертый член (17) отличается от третьего (12) снова на 5 и т. д. Получается у этой числовой последовательности каждый следующий элемент больше предыдущего на 5 и эта последовательность является арифметической прогрессией.

А вот последовательность 3, 5, 7, 10, 15… не является арифметической прогрессией. Подумайте почему.

Таким образом, чтобы найти следующий член прогрессии, необходимо добавить к нему разность (шаг).

{a_n=a_{n-1}+d}

Для того, чтобы найти член арифметической прогрессии, необходимо знать первый член и разность. Формула для этого выглядит так:

{a_n=a_1+(n-1)d}

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Если для последовательности чисел выполняется следующее равенство, то такую последовательность можно назвать арифметической прогрессией:

{a_n=\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\ge 2}

Сумма членов арифметической прогрессии

Для того, чтобы найти сумму первых n членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться одной из формул:

{S_n=\frac {a_1+a_n}{2} \cdot n},

{S_n=\frac {2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n}

В этих формулах a₁ — первый член арифметической прогрессии, n — количество элементов для суммирования, a_n — член с номером n, d — разность прогрессии. На сайте вы можете найти сумму членов арифметической прогрессии онлайн.

Примеры арифметической прогрессии

2, 5, 8, 11, 14, 17…

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член a₁ равен 2, а разность d равна 3.

75, 70, 65, 60, 55…

В данном примере мы имеем дело с отрицательной разностью прогрессии. a₁=75, d=-5.

Формулы арифметической прогрессии

Определение арифметической прогрессии	{a_n=a_{n-1}+d}
Разность арифметической прогрессии	{d = a_{n+1}-a_n}
Формула n-го члена арифметической прогрессии	a_n=a_1+(n-1)d
Сумма первых n членов арифметической прогрессии	{S_n=\dfrac {a_1+a_n}{2} \cdot n} {S_n=\dfrac {2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n}
Характеристическое свойство арифметической прогрессии	a_n=\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\ge 2

Арифметические прогрессии широко применяются в финансовых расчетах, например, при расчете аннуитетов и амортизации. Они также используются в физике при описании равномерно ускоренного движения тела.

Понимание арифметических прогрессий может быть полезно не только в научных и технических областях, но и в повседневной жизни. Например, при планировании бюджета или распределении времени между задачами можно использовать концепцию арифметической прогрессии для более эффективного использования ресурсов.

Арифметическая прогрессия — это важное математическое понятие, которое широко используется в различных областях. Понимание ее смысла может быть полезно для решения различных задач и повышения эффективности в различных сферах деятельности.

Как найти разность арифметической прогрессии: формулы и примеры решений

Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

a_{n + 1}-a_n = d

Здесь n означает номер элемента a_n в последовательности, а число d — это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как «далеко» друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a₄, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a₁.

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

a_n = a₁ + (n — 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

a_n = a₁ + (n — 1) * d;
a_m = a₁ + (m — 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

a_n = a₁ + (n — 1) * d;
a_n— a_m = (n — 1) * d — (m — 1) * d = d * (n — m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a₁). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (a_n— a_m) / (n — m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между «старшим» и «младшим» членами, то есть n > m («старший» — имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более «младшего» элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Рекомендуется по указанным причинам самостоятельно решать подобные задачи. Кроме того, они не являются сложными.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз — восьмой, наконец, третий раз — девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Задача, подобная предыдущей

Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти разность прогрессии арифметической, если а3 = 2, а9 = 19.

Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения «в лоб». Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:

d = (а₉ — а₃) / (9 — 3) = (19 — 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:

a₉ = a₃+ 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.

Задачи на применение формулы для an члена

Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a₁, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a_n члена. В данном случае имеем:

a₅ = a₁ + d * (5 — 1) => d = (a₅ — a₁) / 4 = (40 — 12) / 4 = 7

Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a₈ = a₁ + d * (8 — 1) => d = (a₈ — a₁) / 7 = (37 — 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:

∑ⁿ_{i = 1}(a_i) = n * (a₁+ a_n) / 2

Арифметическая прогрессия: определения и примеры

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член получается прибавлением фиксированного числа, называемого общей разностью, к предыдущему члену. Общая разница обычно обозначается буквой «d», а первый член последовательности обычно обозначается «a1».

N-й член арифметической прогрессии определяется формулой: an = a1 + (n – 1)d

Например, рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: 3, 7, 11, 15, 19, …

В этой арифметической прогрессии общая разность равна 4, так как каждый член получается прибавлением 4 к предыдущему члену. Первый член равен 3. Используя приведенную выше формулу, мы можем найти 10-й член: a10 = 3 + (10 – 1)4 = 3 + 36 = 39

. увеличивается или уменьшается на фиксированную величину.

Вот 5 примеров арифметических прогрессий:

Пример 1. Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, 8, 10, … В этой арифметической прогрессии общая разность равна 2, а первый член равен 2. Используя по формуле выше мы можем найти 8-й член: a8 = 2 + (8 – 1)2 = 2 + 14 = 16

Пример 2: Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: -3, 1, 5, 9, 13, … В этой арифметической прогрессии общая разность равна 4, а первый член равен -3. Используя приведенную выше формулу, мы можем найти 6-й член: a6 = -3 + (6 — 1)4 = -3 + 20 = 17

Пример 3: Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: 10, 6, 2, -2, -6, … В этой арифметической прогрессии общая разность равна -4, а первый член равен 10. Используя приведенную выше формулу, мы можем найти 4-й член: a4 = 10 + (4 – 1)(-4) = 10 – 12 = -2

Пример 4. Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: 1, -1, -3, -5, -7, … В этой арифметической прогрессии общая разность равна -2, а первый член равен 1. Используя приведенную выше формулу, мы можно найти 6-й член: a6 = 1 + (6 – 1)(-2) = 1 – 10 = -9

Пример 5: Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: 8, 12, 16, 20, 24, … В этом арифметическая прогрессия, общая разность равна 4, а первый член равен 8. Используя приведенную выше формулу, мы можем найти 3-й член: a3 = 8 + (3 – 1)4 = 8 + 8 = 16

Тест:

Что такое арифметическая прогрессия?
Какая общая разница в арифметической прогрессии?
По какой формуле найти n-й член арифметической прогрессии?
Как найти 10-й член арифметической прогрессии 3, 7, 11, 15, 19, …?
Какая общая разница в арифметической прогрессии 10, 6, 2, -2, -6, …?
Какой третий член арифметической прогрессии 1, -1, -3, -5, -7, …? 9(n — 1) такое, что разность между последовательными членами есть константа d. Арифметическую прогрессию можно сгенерировать в языке Wolfram Language с помощью команды Range[a_1, a_n, d].
Связанные термины
Связанный символ языка Wolfram
Формула арифметической последовательности: — Уроки математики
A _N = A ₁ +(N -1) D
A ₁ = First Term
n = Порядковый номер термина
d = Общая разница (Число прибавляется/вычитается к каждому термину в последовательности)
Всем привет и добро пожаловать в Mathsux! В этом посте мы рассмотрим арифметических последовательностей (также известных как арифметическая прогрессия). Мы определим, что такое арифметические последовательности, разберем каждую часть формулы арифметической последовательности a _n =a ₁ +(n-1)d и решим два разных типа примеров. Как всегда, если вам нужны дополнительные вопросы, посмотрите видео ниже и практические задачи в конце этого поста. Удачных расчетов! 🙂

Что такое арифметические последовательности?
Арифметические последовательности представляют собой последовательности чисел, которые образуют шаблон, когда одно и то же число либо прибавляется к , либо вычитается из к каждому последующему члену. Взгляните на пример арифметической последовательности ниже:
Обратите внимание на закономерность? Мы добавляем число 2 к каждому члену в приведенной выше последовательности. Если бы эта закономерность сохранялась, следующим членом приведенной выше последовательности было бы 10+2, что дает нам 12. Это арифметическая последовательность!
В приведенной выше последовательности нам легко определить, каким будет следующий член последовательности, но что произойдет, если нас попросят найти 123 ^rd член арифметической последовательности? Вот где Арифметическая последовательность Формула пригодится!
Формула арифметической последовательности:
Взгляните на формулу арифметической последовательности ниже, где каждая часть нашей формулы обозначена с определенной целью.
а _n =a ₁ +(n-1)d
a ₁ = Первым членом всегда будет тот начальный член, с которого начинается наша арифметическая последовательность. В этом случае наша последовательность 4,6,8,10, …… поэтому наш первый член — это число 4.
n = Еще одна интересная часть нашей формулы — это буква n , она всегда обозначает номер термина, который мы пытаемся найти. Отличный способ запомнить это — подумать о термине, который мы пытаемся найти, как о 9009.4-й термин , который неизвестен.
d = Одна ключевая вещь, которую следует отметить в приведенной ниже формуле, уникальной для арифметических последовательностей, называется Общая разность . Общая разница — это число, которое прибавляется или вычитается к каждому последовательному члену последовательности.
Теперь, когда мы знаем формулу арифметической последовательности, давайте попробуем ответить на наш исходный вопрос ниже:
Шаг 1 : Сначала давайте определим общую разницу между каждым предыдущим и последующим членом последовательности. Обратите внимание, что каждый термин в последовательности добавляется на 2 (как мы указали ранее в этом посте). Следовательно, наша общая разность для этой последовательности равна 2,9.0003
Шаг 2: Далее, давайте напишем формулу арифметической последовательности и идентифицируем каждую часть нашей формулы (первый член = 4, номер члена = 123, общая разность = 2).
Шаг 3: Заполните нашу формулу и решите с заданными значениями.
Теперь давайте рассмотрим другой пример, где мы вычитаем одно и то же число из каждого члена последовательности, в результате чего общая разность становится отрицательной .
Шаг 1: Сначала давайте определим общую разницу между каждым предыдущим членом и каждым последующим членом последовательности. Обратите внимание, что каждый член в последовательности вычитается на 3. Следовательно, наша общая разность для этой последовательности равна -3, что отрицательно, потому что мы вычитаем.
Шаг 2: Далее давайте напишем формулу арифметической последовательности и обозначим каждую часть нашей формулы (первый член = 100, номер члена = 12, общая разность = -3).
Шаг 3: Наконец, давайте заполним нашу формулу и решим с заданными значениями.
Думаете, вы готовы попрактиковаться в решении арифметических последовательностей самостоятельно? Попробуйте ответить на следующие практические вопросы с приведенными ниже решениями:
Практические вопросы:
1. Найдите 123 ^рд срок дан в следующей последовательности: 8, 12, 16, 20, 24, ….
2. Найдите 117 ^-й-й член, учитывая следующую последовательность: 2, 2.5, 3, 3.5, …..
3. Найдите 52 ^и член данной арифметической последовательности: 302, 300, 298, …..
4. Инженер-программист берет 100 долларов за первый час консультации и 50 долларов за каждый дополнительный час. Сколько будут стоить 500 часов консультации?
Решения:
Остались вопросы? Без проблем! Не стесняйтесь оставлять комментарии с любыми вопросами или смотреть видео выше. Удачных расчетов! 🙂
Забавный факт!
Знаете ли вы, что формулу арифметической последовательности можно рассматривать как явную формулу ? Явная формула означает, что даже если мы не знаем других членов последовательности, мы все же можем найти неизвестное значение любого члена в данной последовательности. Например, в первом примере, который мы сделали в этом посте (пример №1), мы хотели найти значение 123-го члена последовательности. Мы смогли сделать это, используя явную формулу арифметической последовательности, и, что наиболее важно, мы смогли сделать это, не находя первые 122 предыдущих члена один за другим… жизнь намного проще, когда в вашей памяти есть явная формула арифметической последовательности. жизнь!
Другие примеры явных формул можно найти в формуле геометрической последовательности и гармоническом ряду.
Похожие сообщения:
Хотите узнать больше о последовательностях? Вы пришли в нужное место! Ознакомьтесь с этими ресурсами последовательности и сообщениями ниже.
No related posts.