Асимптоты найти онлайн: Асимптоты функции | Онлайн калькулятор

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра Химия

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

Mathway | Популярные задачи

1	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень x
2	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
4	Trovare la Derivata — d/dx	e^x
5	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) относительно x
6	Trovare la Derivata — d/dx	1/x
7	Trovare la Derivata — d/dx	x^2
8	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) относительно x
9	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
10	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x)^2
11	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)
12	Вычислим интеграл	интеграл e^x относительно x
13	Вычислим интеграл	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислим интеграл	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Trovare la Derivata — d/dx	x^3
23	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)^2
24	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислим интеграл	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислим интеграл	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Trovare la Derivata — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислим интеграл	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Trovare la Derivata — d/dx	sin(2x)
31	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
32	Trovare la Derivata — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Trovare la Derivata — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Trovare la Derivata — d/dx	cos(2x)
41	Trovare la Derivata — d/dx	xe^x
42	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислим интеграл	интеграл 2x относительно x
44	Trovare la Derivata — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Trovare la Derivata — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислим интеграл	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Trovare la Derivata — d/dx	2e^x
50	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Trovare la Derivata — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Trovare la Derivata — d/dx	4x^2-x+5
54	Trovare la Derivata — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Trovare la Derivata — d/dx	2x^2
56	Вычислим интеграл	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислим интеграл	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Trovare la Derivata — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислим интеграл	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Trovare la Derivata — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Trovare la Derivata — d/dx	-cos(x)
67	Trovare la Derivata — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислим интеграл	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислим интеграл	интеграл e^x относительно x
73	Вычислим интеграл	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислим интеграл	интеграл 1 относительно x
75	Trovare la Derivata — d/dx	x^x
76	Trovare la Derivata — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Trovare la Derivata — d/dx	x^4
79	Оценить предел	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислим интеграл	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Trovare la Derivata — d/dx	f(x) = square root of x
82	Trovare la Derivata — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислим интеграл	интеграл sin(2x) относительно x
84	Trovare la Derivata — d/dx	3e^x
85	Вычислим интеграл	интеграл xe^x относительно x
86	Trovare la Derivata — d/dx	y=x^2
87	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислим интеграл	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Trovare la Derivata — d/dx	e^2
93	Trovare la Derivata — d/dx	x^2+1
94	Вычислим интеграл	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Trovare la Derivata — d/dx	arcsin(x)
97	Оценить предел	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(60)
4	Найти точное значение	sin(30 град. )
5	Найти точное значение	sin(60 град. )
6	Найти точное значение	tan(30 град. )
7	Найти точное значение	arcsin(-1)
8	Найти точное значение	sin(pi/6)
9	Найти точное значение	cos(pi/4)
10	Найти точное значение	sin(45 град. )
11	Найти точное значение	sin(pi/3)
12	Найти точное значение	arctan(-1)
13	Найти точное значение	cos(45 град. )
14	Найти точное значение	cos(30 град. )
15	Найти точное значение	tan(60)
16	Найти точное значение	csc(45 град. )
17	Найти точное значение	tan(60 град. )
18	Найти точное значение	sec(30 град. )
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
20	График	y=sin(x)
21	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
22	Найти точное значение	cos(60 град. )
23	Найти точное значение	cos(150)
24	Найти точное значение	tan(45)
25	Найти точное значение	sin(30)
26	Найти точное значение	sin(60)
27	Найти точное значение	cos(pi/2)
28	Найти точное значение	tan(45 град. )
29	График	y=sin(x)
30	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	csc(60 град. )
32	Найти точное значение	sec(45 град. )
33	Найти точное значение	csc(30 град. )
34	Найти точное значение	sin(0)
35	Найти точное значение	sin(120)
36	Найти точное значение	cos(90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
38	Найти точное значение	sin(45)
39	Найти точное значение	tan(30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	tan(60)
42	Упростить	квадратный корень x^2
43	Найти точное значение	cos(45)
44	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
45	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
46	Найти точное значение	cot(30 град. )
47	Найти точное значение	arccos(-1)
48	Найти точное значение	arctan(0)
49	График	y=cos(x)
50	Найти точное значение	cot(60 град. )
51	Преобразовать из градусов в радианы	30
52	Упростить	( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
54	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
55	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
56	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
57	Найти точное значение	tan(pi/2)
58	Найти угол А	tri{}{90}{}{}{}{}	
59	Найти точное значение	sin(300)
60	Найти точное значение	cos(30)
61	Найти точное значение	cos(60)
62	Найти точное значение	cos(0)
63	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
64	Найти точное значение	cos(135)
65	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
66	Найти точное значение	cos(210)
67	Найти точное значение	sec(60 град. )
68	Найти точное значение	sin(300 град. )
69	Преобразовать из градусов в радианы	135
70	Преобразовать из градусов в радианы	150
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
72	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
73	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
74	Преобразовать из градусов в радианы	60
75	Найти точное значение	sin(135 град. )
76	Найти точное значение	sin(150)
77	Найти точное значение	sin(240 град. )
78	Найти точное значение	cot(45 град. )
79	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
80	Упростить	1/( кубический корень от x^8)
81	Найти точное значение	sin(225)
82	Найти точное значение	sin(240)
83	Найти точное значение	cos(150 град. )
84	Найти точное значение	tan(45)
85	Вычислить	sin(30 град. )
86	Найти точное значение	sec(0)
87	Упростить	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
89	Найти точное значение	csc(30)
90	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
92	Найти точное значение	tan(0)
93	Вычислить	sin(60 град. )
94	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
96	Вычислить	arcsin(-1)
97	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
98	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
99	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
100	Найти точное значение	csc(45)

Mathway | Популярные задачи

1	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень x
2	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
4	Trovare la Derivata — d/dx	e^x
5	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) относительно x
6	Trovare la Derivata — d/dx	1/x
7	Trovare la Derivata — d/dx	x^2
8	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) относительно x
9	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
10	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x)^2
11	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)
12	Вычислим интеграл	интеграл e^x относительно x
13	Вычислим интеграл	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислим интеграл	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Trovare la Derivata — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Trovare la Derivata — d/dx	x^3
23	Trovare la Derivata — d/dx	sec(x)^2
24	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислим интеграл	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислим интеграл	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Trovare la Derivata — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислим интеграл	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Trovare la Derivata — d/dx	sin(2x)
31	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма x по x
32	Trovare la Derivata — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислим интеграл	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Trovare la Derivata — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислим интеграл	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Trovare la Derivata — d/dx	cos(2x)
41	Trovare la Derivata — d/dx	xe^x
42	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислим интеграл	интеграл 2x относительно x
44	Trovare la Derivata — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Trovare la Derivata — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислим интеграл	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Trovare la Derivata — d/dx	2e^x
50	Trovare la Derivata — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Trovare la Derivata — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Trovare la Derivata — d/dx	4x^2-x+5
54	Trovare la Derivata — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Trovare la Derivata — d/dx	2x^2
56	Вычислим интеграл	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислим интеграл	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислим интеграл	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Trovare la Derivata — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислим интеграл	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Trovare la Derivata — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Trovare la Derivata — d/dx	-cos(x)
67	Trovare la Derivata — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислим интеграл	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Trovare la Derivata — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислим интеграл	интеграл e^x относительно x
73	Вычислим интеграл	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислим интеграл	интеграл 1 относительно x
75	Trovare la Derivata — d/dx	x^x
76	Trovare la Derivata — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислим интеграл	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Trovare la Derivata — d/dx	x^4
79	Оценить предел	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислим интеграл	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Trovare la Derivata — d/dx	f(x) = square root of x
82	Trovare la Derivata — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислим интеграл	интеграл sin(2x) относительно x
84	Trovare la Derivata — d/dx	3e^x
85	Вычислим интеграл	интеграл xe^x относительно x
86	Trovare la Derivata — d/dx	y=x^2
87	Trovare la Derivata — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Trovare la Derivata — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислим интеграл	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислим интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Trovare la Derivata — d/dx	e^2
93	Trovare la Derivata — d/dx	x^2+1
94	Вычислим интеграл	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Trovare la Derivata — d/dx	arcsin(x)
97	Оценить предел	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислим интеграл	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислим интеграл	интеграл 1/x относительно x

Как найти асимптоты функции — 11 Февраля 2014 — Примеры решений задач

График функции может иметь вертикальную, горизонтальную или наклонную асимптоты.
 

Как найти вертикальную асимптоту:

♦ Если имеются точки разрыва функции, то в этих точках проверяем правый и левый пределы функции, если хотя бы один стремится к  бесконечности, то в данной точке имеем вертикальную асимптоту.

 

Пример 1. Найти вертикальную асимптоту
 

В точке x₀ = 1 функция имеет разрыв (знаменатель обращается в ноль), следовательно в данной точке функция может иметь вертикальную асимптоту, проверяем:

          левый предел

          правый предел

Левый и правый пределы в точке x = 1 стремятся к бесконечности, следовательно в данной точке  функция имеет вертикальную асимптоту.

Для наглядности построим график функции.

 

 

Как найти горизонтальную асимптоту:

♦ Находим пределы

если хотя бы один предел конечный, то функция имеет горизонтальную асимптоту.

Пример 2. Найти горизонтальную асимптоту функции

Решение.

Находим пределы

— следовательно y = 2  —  горизонтальная асимптота.

Для наглядности построим график — вставляем в калькулятор  8/(x-1)+2.

Как найти наклонную асимптоту:

Если функция  имеет  наклонные асимптоты, то их уравнение имеет вид

где

Пример 3. Найти наклонную асимптоту функции

Решение. Находим пределы

Следовательно наклонная асимптота

 

Для наглядности построим график — вставляем в калькулятор  3x^2/(x+1)+2.

P.S. Как видим задача нахождения асимптот сводится к вычислению пределов.

Вычислить пределы (также левые и правые) можно с помощью калькулятора вычисления пределов

 

Асимптота

Асимптота в переводе с греческого языка обозначает — не совпадающая. То есть это несколько продолженная линия, которая в приближении к кривой или какой-либо её части, делает так, что бы расстояние у них было меньше чем у всех данных величин. Другими словами D соприкасается с кривой, на не кончающемся участке оси координат. И любая линия которая параллельна D, дублирующая её, не сможет быть с тем же названием, потому что по произволению расстояние между ней и кривой не может идти в меньшую сторону. Из чего следует что D имеет ограниченные рамки относительно кривой. Когда в Греции ученые математики изучали какими свойствами обладает кривая линия в конусе по пересечению его плоскости, они вывели если ветви гиперболы несколько удлиненны, то обязательно приблизятся к прямым идущим от центра фигуры при этом равно наклонены к оси фигуры. Данные прямые и есть D. Ньютон доказал что кривые алгебраические D, идут они от последнего третьего порядка. Следовательно, есть как прямые (Асимп.) так и кривые (Асимптотическая кривая) D линии.
Отталкиваясь от всего выше сказанного, найдем уравнение D. y=f(х) — уравнение кривой, координаты х,у — касательная в точке = Y — y =dy/dx(X-x) либо У =(dy/dx) X+y-x(dy/dx).

Для перехода к D нужно любое из предположений:

— х и у = + или — бесконечность.
— х = + или — бесконечность, у = крайнему числу.
— у = + бесконечность, х = крайнему числу.

Потому как данные предложения показывают что расстояние из начала координат до точки касания, бесконечно.

Если Вам нужен проект на газоснабжение. Перейдите по ссылке http://proekt-gaz.ru/forum/ , где вы сможете заказать готовый проект.

Асимптота бывает нескольких видов — вертикальная, горизонтальная и наклонная.

Вертикальная — это прямая линия типа х=а и с условием что существует придел lim(х от а) f(x) = ?. находить нужно два односторонних предела, для того что бы знать поведение функции с двух сторон.

Горизонтальная — так же прямая линия типа y=a с условием что существует предел lim (x от + или — ?) f(x) =a

Наклонная — тип у=kх + b с пределами: lim(x от +,- ?) f(x) / x = k, и lim (x от +,- ?) (f(x) — kx) = b. В данной функции не больше двух наклонных асимптот.

Существует связь наклонной и горизонтальной асимптот, она заключается в вычислении предела lim (x +,- ?) f(x)/x =0, значит они совпадают.

Частный случай горизонтальной асимптоты является
lim (x +,- ?)f(x)/x =0, следовательно,

— функция имеет только горизонтальную асимптоту когда х зависит от + бесконечности, так же и при х зависящем от — бесконечности. Асимптот может и не быть.
— существующие асимптоты зависят от существования пределов.

Рассмотрим на примере:

найти асимптоту с помощью выделения целой части
f(X) = 2x³+5x²+1/x²+1
поделив данное равенство получаем
f(X) = 2x + 5 +(-2x-4 / x²+1) = 2x + 5 + (-2) (x+2/x²+1)
x от ?, х+2/х²+1 от 0. или
Ответ: lim (x от +, — ?) f(x) = lim (x от +,- ?) (2x+5) = +,- ?. и у= 2х + 5.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy.

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

• (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
• (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.

Замечание:

• символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
• символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

---

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции

.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox.

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

---

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент

k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

---

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

          (1)

и

      (2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

---

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

---

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0. Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1. Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = −3x + 5.

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x. Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x. Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2, x = −2 и y = 2x.

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

Асимптоты калькулятора функций

Поиск инструмента

Асимптота функции

Инструмент для нахождения уравнений асимптот (горизонтальных, вертикальных, наклонных) функции. Асимптоты — это линии, которые стремятся (подобно касательной) функционировать к бесконечности.

Результаты

Асимптота функции — dCode

Тег (и): Функции

Поделиться

dCode и вы

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Асимптоты вычислителя функций

Инструмент для поиска уравнений асимптот (горизонтальных, вертикальных, наклонных) функции.Асимптоты — это линии, которые стремятся (подобно касательной) функционировать к бесконечности.

Ответы на вопросы

Как найти горизонтальную асимптоту?

Функция $ f (x) $ имеет горизонтальную асимптоту $ y = a $ if

$$ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow + \ infty} f (x) = a \ mbox {or} \ lim \ limits_ {x \ rightarrow — \ infty} f (x) = a \ mbox {(или оба)} $$

Чтобы найти горизонтальную асимптоту , вычисление этого предела является достаточным условием.

Пример: $ 1 / x $ имеет для асимптоты $ y = 0 $, потому что $ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ infty} 1 / x = 0 $

Не может быть более 2 горизонтальных асимптот .

Как найти вертикальную асимптоту?

Функция $ f (x) $ имеет вертикальную асимптоту $ x = a $, если она допускает бесконечный предел в $ a $ ($ f $ стремится к бесконечности).

$$ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ pm a} f (x) = \ pm \ infty $$

Чтобы найти горизонтальную асимптоту , вычисление этого предела является достаточным условием.

Пример: $ 1 / x $ имеет для asymtote $ x = 0 $, потому что $ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow 0} 1 / x = \ infty $

Обычно функция не определена в $ a $, необходимо проанализировать область определения функции, чтобы найти потенциальные асимптоты .

Может существовать бесконечное количество вертикальных асимптот .

Как найти наклонную / наклонную асимптоту?

Функция $ f (x) $ имеет наклонную асимптоту $ g (x) = ax + b $, когда

$$ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} \ left (f (x) -g (x) = 0 \ right) $$

Вычисление наклонной асимптоты можно упростить, вычислив этот предел:

$$ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} = 1 \ right) $$

Как найти нелинейную асимптоту?

Функция $ f (x) $ имеет нелинейную асимптоту $ g (x) $, когда

$$ \ lim \ limits_ {x \ rightarrow \ pm \ infty} \ left (f (x) -g (x) = 0 \ right) $$

Метод тот же, что и при вычислении наклонной асимптоты .

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Асимптота функции». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.)) доступ к данным, скриптам или API не будет бесплатным, то же самое касается загрузки Asymptote of a Function для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, заходите в наше сообщество в Discord для получения помощи!

Вопросы / комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Рекламные объявления

Ключевые слова

асимптота, функция, бесконечность, вертикальная, горизонтальная, наклонная, наклонная

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/asymptote-function

© 2020 dCode — Лучший «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. .

Поиск асимптот — Бесплатная справка по математике

Определение асимптоты:

Прямая линия на графике, представляющая предел для заданной функции. Представьте себе кривую, которая приближается к линии, но не пересекает ее.

Пример:

Функция \ (y = \ frac {1} {x} \) — очень простая асимптотическая функция. Когда x приближается к положительной бесконечности, y становится , на самом деле близко к 0.2-9} $$

Если вы разложите на множитель числитель и знаменатель в приведенной выше функции, вы измените функцию из стандартной формы на факторизованную. В разложенной форме приведенная выше функция обнаружит две интересные вещи:

1) Расположение любых вертикальных асимптот.
2) Местоположение любых точек пересечения по оси абсцисс.

Вот как выглядит приведенная выше функция в факторизованном виде:

$$ y = \ frac {x + 2} {x + 3} $$

После того, как исходная функция была разложена на множители, корни знаменателя будут равны нашим вертикальным асимптотам , а корни числителя будут равны нашим пересечениям по оси x.Это означает, что , когда знаменатель равен нулю , мы нашли вертикальную асимптоту.

Итак, при каких значениях x знаменатель функции будет равен нулю? Ответ: \ (x = -3 \). Вот что происходит: когда x приближается к -3, знаменатель начинает становиться очень маленьким и приближается к нулю. Правильно? Что ж, когда знаменатель приближается к нулю, вся функция начинает стремительно приближаться к бесконечности. Попробуйте это с чем-то вроде \ (x = -2,999 \) для доказательства.

Когда мы построим график функции, мы увидим, что кривая приближается к воображаемой вертикальной линии при x = -3.

Хотя кажется, что есть сплошная линия на x = -3, на самом деле она не существует и вызвана программой построения графиков (к сожалению, большинство из них так и поступают), соединяющей две точки данных по обе стороны от x = -3. Эта вертикальная линия является вертикальной асимптотой x = -3.

Надеюсь, вы видите, что асимптоту часто можно найти, разложив функцию на множители для создания простого выражения в знаменателе. Этот знаменатель откроет ваши асимптоты. Прочтите следующий урок, чтобы найти горизонтальные асимптоты.

Бесплатная математическая помощь и мистер Фелиз

.

Поиск горизонтальных асимптот — Бесплатная справка по математике

Что такое горизонтальная асимптота?

Горизонтальная асимптота — это значение y на графике, к которому функция приближается, но фактически не достигает. Вот простой графический пример, в котором изображенная на графике функция приближается, но никогда не достигает, \ (y = 0 \). Фактически, как бы сильно вы ни уменьшили масштаб на этом графике, он все равно не достигнет нуля. Однако я должен отметить, что горизонтальные асимптоты могут появляться только в одном направлении и могут пересекаться при малых значениях x.3-8x + 3} \). Они возникают, когда график функции становится все ближе и ближе к определенному значению, даже не достигнув этого значения, поскольку x становится очень положительным или очень отрицательным.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты:

1) Представьте уравнение или функцию в форме y =.

2) Умножьте (разверните) любые разложенные на множители полиномы в числителе или знаменателе.

3) Удалите все, кроме членов с наибольшим показателем x, найденных в числителе и знаменателе.3-9} $$

Помните, что горизонтальные асимптоты появляются, когда x расширяется до положительной или отрицательной бесконечности, поэтому нам нужно выяснить, к чему приближается эта доля, когда x становится огромным. Для этого мы выберем «доминирующие» члены в числителе и знаменателе. Доминирующими являются термины с наибольшими показателями. Поскольку x стремится к бесконечности, другие члены слишком малы, чтобы иметь большое значение.

Наибольшие показатели в этом случае совпадают в числителе и знаменателе (3). Доминирующие члены в каждом имеют показатель степени 3.3} $$

В данном случае 2/3 — это горизонтальная асимптота указанной выше функции. Фактически вы должны выразить это как \ (y = \ frac {2} {3} \). Это значение является асимптотой, потому что, когда мы приближаемся к \ (x = \ infty \), «доминирующие» члены будут затмевать остальные, и функция всегда будет приближаться к \ (y = \ frac {2} {3} \ ). Вот график этой функции в качестве последней иллюстрации, что это правильно:

(Обратите внимание, что в этой функции также присутствует вертикальная асимптота.)

Если показатель степени в знаменателе функции больше показателя степени в числителе, горизонтальная асимптота будет иметь вид y = 0, который является осью x.2-4} $$

Горизонтальных асимптот НЕ БУДЕТ, потому что в числителе БОЛЬШЕ показателя степени, который равен 3. Видите? Это заставит функцию постоянно увеличиваться, а не приближаться к асимптоте. График этой функции ниже. Обратите внимание, что на графике снова присутствуют вертикальные асимптоты.

Образец B:

Найдите горизонтальные асимптоты: \ (\ frac {(2x-1) (x + 3)} {x (x-2)} \)

В этом примере функция представлена ​​в факторизованной форме.2 \) в числителе и знаменателе, и у нас останется 2. Наша горизонтальная асимптота для образца B — это горизонтальная линия \ (y = 2 \).

Ссылки на похожие уроки с других сайтов:

Горизонтальные асимптоты (Purplemath.com)

Калькулятор асимптоты

Просто введите свою функцию и выберите «Найти асимптоты» в раскрывающемся списке. Щелкните ответ, чтобы увидеть все асимптоты (совершенно бесплатно), или подпишитесь на бесплатную пробную версию, чтобы увидеть полные пошаговые сведения о решении.

.

Асимптота

Асимптота — это линия , к которой приближается кривая, когда она направляется к бесконечности:

Типы

Есть три типа: горизонтальный, вертикальный и наклонный:

Направление также может быть отрицательным:

Кривая может приближаться с любой стороны (например, сверху или снизу для горизонтальной асимптоты),

или может действительно пересекаться (возможно, много раз), и даже уйти и снова вернуться.

Важным моментом является то, что:

Расстояние между кривой и асимптотой стремится к нулю , когда они устремляются к бесконечности (или — бесконечности)

Горизонтальные асимптоты

Это горизонтальная асимптота, когда: , когда x стремится к бесконечности (или — бесконечности), кривая приближается к некоторому постоянному значению b

Вертикальные асимптоты

Это вертикальная асимптота, когда: , когда x приближается к некоторому постоянному значению c (слева или справа), кривая уходит в сторону бесконечности (или −infinity).

Косые асимптоты

Это наклонная асимптота, когда: , когда x стремится к бесконечности (или −infinity), кривая направляется к прямой y = mx + b (примечание: m не равно нулю, поскольку это горизонтальная асимптота).

Пример: (x ² −3x) / (2x − 2)

График (x ² -3x) / (2x-2) имеет:

• Вертикальная асимптота при x = 1
• Наклонная асимптота: y = x / 2 — 1

Эти вопросы будут иметь смысл, только если вы знаете Rational Expressions:

.