Ax2 bx c 0 решение: Решение уравнения ax2 bx c 0. Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры

Содержание

Квадратное уравнение ax² + bx + c…

Привет, сегодня поговорим про квадратное уравнение, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое квадратное уравнение, ax² + bx + c a ≠ 0, теорема виета , настоятельно рекомендую прочитать все из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида

где — неизвестное, , , — коэффициенты, причем

Выражение называют квадратным трехчленом^.

Корень — это значение переменной , обращающее квадратный трехчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^:

называют первым или старшим коэффициентом,
называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при ,
называют свободным членом.

Приведенным называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^{. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^{. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведем примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:}

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путем которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому ученому Брахмагупте (около 598 г.)^{; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведенного к каноническому виду: ; притом предполагалось, что в нем все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное ученым правило по своему существу совпадает с современным.}

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ.

Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение .
Условие
Число действительных корней	корней два	корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях — его, к тому же, называют корнем кратности 2)	делают вывод о том, что корней на множестве действительных чисел нет.
Формула			формулу комплексных корней смотрите ниже в соотв. разделе

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

Умножаем каждую часть на и прибавляем :

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в нее равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при четном коэффициенте

Для уравнений вида , то есть при четном , где

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^.

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведенное	приведенное	D>0	неприведенное	приведенное
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: Все необходимые свойства при этом сохраняются.	.
		D=0

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

b=0, c=0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

(процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)

Если , то уравнение имеет два действительных корня, a если , то уравнение не имеет действительных корней.

или

Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня

IV способ.

Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Найдем эти корни:

В частности, если , то корень будет один:

Способ 2.

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего ее выражения является фигурой, симметричной относительно прямой . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: (если ) или (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трехчлен: , поэтому -1 — корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем — отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве , раскрываем модуль: .

Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придем к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что Установим количество корней:

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если , то уравнение имеет два корня, если же , то только один. Найдем эти корни:

что и требовалось доказать.

В частности, если , то уравнение имеет только один корень, которым является число .

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путем подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: — верное равенство, следовательно, единица — корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту — , ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Если трехчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения — ими будут и , действительно, ведь , а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трехчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трехчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведенному квадратному уравнению с введенными ранее обозначениями, это означает следующее:

прибавляют и отнимают одно и то же число
.
применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть
извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведенного квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путем подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноименном разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведенные квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением системы уравнений

являются корнями уравнения .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С ее помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведенных и непреобразуемых к виду приведенных с целыми коэффициентами путем их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведенных с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части на выражение:

2) вводим новую переменную :

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Пример

Допустим, мы желаем решить с использованием обратной теоремы Виета уравнение . Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведенное уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведенное с целыми коэффициентами:

Совершив замену переменной по формуле y=8x, придем к уравнению:

Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Произведем обратную замену:

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Способ I

Для решения квадратного уравнения этим способом строится график функции и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Способ II

Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Способ III

Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещенный на единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Способ IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещенный на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.

Способ V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

затем

Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если , то метод не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоемки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке , пересекающую ось y в точке C(0;1).
Далее возможны три случая:
- длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
- радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
- радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами имеет ровно два комплексных корня, о чем гласит основная теорема алгебры. При этом, в зависимости от значения дискриминанта , как один, так и оба корня могут не иметь мнимой части и быть вещественными:

при вещественных корней два, и они вычисляются по формуле
при корень один (о чем также можно говорить как о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
при вещественных (действительных) корней нет, однако существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также ее можно переписать, выразив корень из отрицательного числа в виде произведения корня с мнимой единицей:

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Корни приведенного квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведенным. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила:

Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится все к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^q.

Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Теорема Виета

Формулировка

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту со знаком «минус», а произведение корней равно свободному члену

В общем случае, то есть для не приведенного квадратного уравнения :

Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно.

Пример

Разложение квадратного трехчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трехчлена, его можно разложить по формуле

(2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами: . Подставим эти соотношения в квадратный трехчлен:

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть . Тогда, переписав это разложение, получим:

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трехчлена являются и . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Следствие 2

Если квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трехчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трехчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось x-ов, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

Если , то уравнение принимает вид:

Такое уравнение называется биквадратным^{^.}

С помощью замены

к квадратному уравнению сводится уравнение

известное как возвратное или обобщенно-симметрическое уравнение^.

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:

Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

, где и — произвольные постоянные.

Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

См. также

Решение квадратных уравнений с цепными дробями
Линейное уравнение
Кубическая функция
Уравнение четвертой степени
Квинтическое уравнение
Основная теорема алгебры

Понравилась статья про квадратное уравнение? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое квадратное уравнение, ax² + bx + c a ≠ 0, теорема виета и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. 2

Неполное квадратное уравнение: формулы, алгоритм решений, примеры

Математика

12.11.21

14 мин.

Неполные квадратные уравнения чаще всего встречаются в различных математических задачах школьной программы. Главное их отличие от обычных в том, что они содержат меньше членов, поэтому и решать их довольно легко. Минимум существует 3 способа. Зная их, можно будет решить пример любой сложности, в некоторых случаях даже устно, причём даже за считаные секунды.

Оглавление:

Понятие и термины

Стандартный алгоритм

Вычисление неполных выражений

Решение задач

Понятие и термины

Под уравнениями в математике понимают равенства, где неизвестны некоторые члены. Их принято обозначать маленькими латинскими буквами. Чаще всего используют x, y, a, b, c. Решение уравнений подразумевает нахождение неизвестных величин. При этом они могут принимать как конкретное значение, так и быть переменными.

Числа, которые заменяют буквами, называют корнями. Это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл и обращается в верное равенство. Другими словами, слова «корень» и «решение» — синонимы. Для уравнений характерно, что число действительных ответов может быть не только конечное число. Например, a — 2 = 4 имеет один корень, он равняется шести, a² = 9 — 2 решения: 3 и -3, а n = n — бесконечное число.

В алгебраическом виде уравнение записывают так: P (x1, x2…, xn) = 0, где: P — сумма одночленов от неизвестных. Все известные виды уравнений разделяют на 5 типов:

Линейные. В записи многочлена самой высокой степенью является единица: ax + a2x² +…anxⁿ + y = 0.
Квадратичные. Выражения, в которых стоит значение переменной x², при этом в записи есть свободные переменные и коэффициенты. Например, ax² + bx + c = 0. Главное условие — первый коэффициент (a) не должен быть равен нулю.
Кубические. График функции представляет собой параболу. Они имеют вид: ax³ + bx² + c x + n = 0 или ax³ + bx + c = 0.
Биквадратные. Наивысшая степень в уравнении не превышает 4.

Кроме этого, существуют иррациональные и рациональные равенства. К первым относят уравнения, где неизвестное стоит под знаком корня или возведения в степень и является дробным, а ко вторым — выражения, использующие операции сложения, вычитания, деления и умножения, а также возведения целого числа в степень.

Выражения, в которых второй или третий коэффициент равняется нулю, называют неполными. Решение уравнений такого типа имеет свои особенности. Корни можно находить по упрощённому алгоритму, а не по стандартному через дискриминант или теорему Виета. Формулы будут проще, соответственно, сложные преобразования делать не придётся.

Стандартный алгоритм

Перед тем как перейти непосредственно к решению, нужно приравнять выражение к нулю, то есть если равенство имеет вид ax2 + bx = c, его нужно привести к следующей форме записи: ax2 + bx — c = 0. Затем можно использовать алгоритм, разработанный, чтобы можно было быстро решать полные квадратные уравнения.

Пошаговое решение выглядит следующим образом:

в случае необходимости привести равенство до вида квадратного уравнения;
найти дискриминант;
проанализировать его значение: если оно будет меньше нуля, дальнейшее решение не имеет смысла;
при равенстве дискриминанта нулю воспользоваться формулой: x = -b / 2*a;
если полученное число больше нуля, уравнение имеет 2 корня, найти их можно, воспользовавшись равенством: x1 = (-b + √‎D) / 2a; x1 = (-b — √‎D) / 2a.

Для многочленов кубического и квадратного вида формулы для расчёта будут сложнее: D = b²c² — 4ac³ — 4b³d — 27a²b² + 18abcd. В частности, для кубического уравнения формула примет упрощённый вид: -27q² — 4p³. Это выражение называется уравнением Кардано.

Этот алгоритм можно использовать и при решении неполных выражений. Важным этапом является нахождение дискриминанта. Под ним понимают выражение вида b² — 4ac. Обозначают его большой латинской буквой D. Величина представляет собой симметрический многочлен, если его рассматривать относительно корней.

Найти корни квадратного уравнения можно, используя теорему Виета. Но применять её возможно не ко всем выражениям. Использовать правило разрешено только с приведёнными равенствами. Это уравнения, где первый коэффициент равен единице: n2 + pn + n = 0. Определение Виета позволяет найти корни по следующим формулам: n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q, где неизвестные будут искомыми корнями.

Доказать справедливость формул Виета можно следующим образом. Корни квадратного равенства можно найти из выражения: n1 = (-b + √‎D) / 2; n1 = (-b — √‎D) / 2, где дискриминант D = p² — 4q. Если найти сумму корней, в ответе получится: n1 + n2 = (-b + √‎D) / 2 + (-b — √‎D) / 2 = (-b — √‎D) — p — √‎D) / 2 = -2p/2 = -p. Произведение же равно: n1 * n2 = (-b + √‎D) / 2 * (-b — √‎D) / 2 = (-b)² — √‎D)² / 4 = (p² — D) / 4 = p² — (p² — 4q) / 4 = 4q / 4 = q. Соответственно, полученные равенства n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q.

Теорема Виета даёт важную информацию о корнях квадратного уравнения. При небольшой тренировке с её помощью можно научиться выполнять решение в уме, потратив на это совсем немного времени.

Вычисление неполных выражений

Чтобы решать неполные уравнения, необязательно использовать формулы корней. Найти результат можно, используя только правила сокращённого умножения и деления. Всего таких формул 7. Учат их в седьмом классе средней школы при изучении правил сокращения дробей. Вот их перечень:

Разность квадратов. Вычитание выражений, стоящих в квадрате, можно заменить произведением разности и суммы их членов: t² — n² = (t — n) * (t + n).
Квадрат суммы. Сложение двух чисел в квадрате — однотипная операция прибавления квадрата первого числа к удвоенному произведению первого и второго и квадрату второго: (t + n)² = t² + 2tn + n².
Квадрат разности. Правило, сходное с квадратом суммы, лишь вместо сложения в первом действии ставится вычитание: (t — n)² = t² — 2tn + n². Следует отметить, что часто используется и следующее равенство: (t — n)² = (t — n)².
Сумма куба. Сумма двух чисел в третьей степени равна первому многочлену в третьей степени плюс утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе плюс сумма утроенного произведения первого на квадрат куба второго числа.
Куб разности. Он равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата уменьшаемого на вычитаемое плюс тройное произведение первого числа на квадрат второго минус куб вычитаемого.
Сумма кубов. Заменить такое выражение можно произведением суммы слагаемых на неполный квадрат разности: t³ + n³ = (t + n) * (t ² — tn + n ²) .
Разность кубов. Правило, аналогичное прибавлению кубов, но во втором множителе стоит неполный квадрат суммы: t³ — n³ = (t − n) * (t² + t n + n²).

Кроме этих правил, нужно знать свойство деления и метод разложения на множители. Согласно закону, любое равенство можно разделить на одно число, но делить нужно одновременно и левую, и правую часть. Разложение же позволяет приводить сложные и громоздкие уравнения к простому виду.

Например, f² — 33f + 200 = 0. Хотя это и полный трёхчлен, не стоит спешить искать дискриминант. На самом деле, исходное выражение можно представить как произведение множителей неполных одночленов. Так, f² — 33* f + 200 = (f — 8) * (f — 25) = 0. Решением будут корни равные 25 и 8.

Решение задач

Практические задания помогают лучше усвоить теоретический материал и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные задачи, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот некоторые примеры с решением неполных квадратных уравнений, которые наверняка помогут при выполнении самостоятельных вычислений:

Найти неизвестное в уравнении: f² = 12 * f. В соответствии с алгоритмом нужно правую часть перенести влево и приравнять выражение к нулю: f2 — 12 * f. = 0. Неизвестное можно вынести за скобки: f * (f — 12) = 0. Так как ноль в ответе может получиться, лишь при условии, что один из множителей будет нулевым, множимые можно рассмотреть отдельно. Корнями уравнения будут числа 0 и 12.
Вычислить корни выражения: 4x * (x + 3) = 12x + 1. В первую очередь нужно раскрыть скобки. Для этого каждое слагаемое следует умножить на то, что стоит перед скобками. После этого пример примет вид: 4x² + 12 = 12 x + 1. Теперь все члены неравенства можно собрать слева и привести подобные: 4x² + 12x — 12x — 1 = 4x² — 1 = 0. Полученное выражение есть не что иное, как разность квадратов, поэтому его можно переписать так: 4x² — 1² = 0. Отсюда (2x²) — 1² = (2x — 1) * (2x + 1) = 2x — 1 = 0. Далее решается простое линейное выражение. В ответе получится: x = ± 1 / 2.
Определить возможные решения для уравнения: 6p2 — (2p — 1) = p * (p + 4). Очевидно, что в левой части стоит разность квадратов. Но использовать правило умножения здесь будет нерационально. Дело в том, что смысл преобразований заключается в приведении уравнения к виду без скобок, поэтому следует вычитаемое расписать по формуле квадрата разности: 2p — 1 = (2p)2 — 2 * 2p * 1 + 1. Таким образом, получится равенство: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 = p2 + 4p. Теперь можно действовать по алгоритму: перенести все члены в одну сторону и привести подобные: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 — p2 + 4p = m2 — 1 = 0. Это уже простое неполное квадратное уравнение, которое можно решить в уме. Корни, удовлетворяющие условию, буду равны ± 1.

Таким образом, квадратные и уравнения высших порядков можно решать по классической схеме, используя дискриминант. Но при этом неполные выражения гораздо проще вычислять, преобразуя их до простого вида. В этом как раз и помогают правила сокращённого умножения.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0

Сделать 3 мин чтения квадрат

Содержание

Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0 путем завершения квадрата
Пример
- Решение

Пример 9{2}\) в качестве общего множителя, мы можем продолжить решение уравнения, заполнив квадрат.

One equation is x minus two equals three and the other is x minus two equals negative three. Solve the two resulting equations to get five and negative one. Check solution by putting each answer in the original equation. Substituting x equals five in the original equation to get three times five squared minus 12 times five minus 15 which simplifies to 75 minus 60 minus 15 which is zero. Substituting x equals negative one in the original equation to get three times negative one squared minus 12 times negative one minus 15 which simplifies to three plus 12 minus 15 which is zero.»> 9{2}=\frac{9}{16}\) 9{2}=\frac{1}{9}\)


Вынесите наибольший общий множитель.
Разделите обе части на 3, чтобы выделить трехчлен.
Упрощение.
Вычтите 5, чтобы получить константы справа.
Возьми половину от 4 и возведи ее в квадрат. {2}=4\)
Добавьте 4 с обеих сторон.
Разложите совершенный квадратный трехчлен как двучленный квадрат.
Использовать свойство квадратного корня.
Найдите х.
Перепишите, чтобы показать 2 решения.
Упрощение.
Чек.

Добавьте \(\frac{9}{16}\) к обеим сторонам.
Разложите совершенный квадратный трехчлен как двучленный квадрат.
Сложите дроби справа.
Использовать свойство квадратного корня.
Упростите радикал.
Найдите х.

Добавьте \(\frac{1}{9}\) к обеим сторонам.
Разложите совершенный квадратный трехчлен как двучленный квадрат.
Использовать свойство квадратного корня.
Упростите радикал.
Найдите x .
Перепишите, чтобы показать 2 решения.
Проверка. Мы оставляем вам чек.

Ресурс:

Вы можете получить доступ к этому ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики решения квадратных уравнений путем заполнения квадрата:

Знакомство с методом заполнения квадрата

Дополнительное видео

2222