Бета функция эйлера – 📌 Бета-функция Эйлера — это… 🎓 Что такое Бета-функция Эйлера?

📌 Бета-функция Эйлера — это… 🎓 Что такое Бета-функция Эйлера?



Бета-функция Эйлера

Это статья о бета-функции Эйлера. См. также статью о бета-функции Дирихле.

График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине.

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Β(x,y) = Β(y,x).

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где Γ(x) — Гамма-функция;

;

;

,

где (x)_n — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

,

где ψ(x) — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее определённый интеграл неопределённым:

.

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

.

Свойства I(x)

;

;

.

Применение

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

• Бесхозяйные животные
• Бета-минус-распад

Смотреть что такое «Бета-функция Эйлера» в других словарях:

• Бета-функция Дирихле — действительного аргумента x Бета функция Дирихле (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета функцией Каталана (Catalan beta function) …   Википедия

• Бета-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Бета. Это статья о бета функции Эйлера. См. также статью о бета функции Дирихле. График бета функции при вещественных аргументах В математике бета функцией ( функц …   Википедия

• Бета (буква) — Греческий алфавит Αα Альфа Νν Ню …   Википедия

• ЭЙЛЕРА ИНТЕГРАЛЫ — интегралы вида гамма функция, или Э. и. второго рода [Л. Эйлер (L. Euler), 1729 30], и вида бета функция, или Э. и. первого рода [Л. Эйлер, 1730 31, ранее рассматривался также И. Ньютоном (I. Newton) и Дж. Уоллисом (Валлисом) (J. Wallis)]. В… …   Физическая энциклопедия

• ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez,… …   Математическая энциклопедия

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 …   Википедия

• Гамма-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма. Гамма функция математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается . Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма… …   Википедия

• Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 …   Википедия

• ГАММА-ФУНКЦИЯ, — Г функция, трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г. ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения иа к рого Л. Эйлер… …   Математическая энциклопедия

• Числовая функция — В математике числовая функция  это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств  как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел . Содержание 1 График функции …   Википедия

dic.academic.ru

Бета-функция Эйлера Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Бета. График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (B{\displaystyle \mathrm {B} }-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt},

определённая при ℜ(x)>0{\displaystyle \Re (x)>0}, ℜ(y)>0{\displaystyle \Re (y)>0}.

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром ^{[когда?]}, а название ей дал Жак Бине.

Свойства[ | ]

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

B(x,y)=B(y,x){\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (y,x)}.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

B(x,y)=Γ(x)Γ(

ru-wiki.ru

2. Бета-функция Эйлера

2.1 Определение бета-функции Эйлера

Определение 1: Интеграл вида:

где ,

представляет функцию от двух переменных параметров и , или функцию Эйлера (интеграл Эйлера первого рода). Название ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.

Теорема 1: данный интеграл для положительных значений и (хотя бы и меньших единицы) сходится.

Доказательство. При особая точка , при особая точка . Разложим предложенный интеграл на два:

Так как подинтегральная функция при является бесконечно большой (если a ) порядка , то первый интеграл сходится лишь при условии , т. е. . Аналогично, второй сходится при b. Первый интеграл сходится в том и только в том случае, если одновременно

Рассматриваемый интеграл сходится, следовательно, может быть положен в основуфункции.

2.2 Свойства бета-функции

Получаем при помощи подстановки так как функция является симметричной относительно и .

1. С помощью интегрирования по частям из формулы при , находим:

Используем тождество ,

С помощью преобразований получим:

Эту формулу можно применять с целью уменьшения , пока остается больше ; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал не больше

Этого же результата можно добиться и в отношении первого аргумента, так как бета-функция является симметричной. Имеет место и другая формула приведения

Если равно натуральному числу , то, последовательно применяя формулу , найдем:

Но

Поэтому для и, одновременно, для получается окончательное выражение:

Если равно натуральному числу , то

Эту формулу можно применять при или , если под символом иметь в виду

2. Для функции существует аналитическое представление. Если в интеграле произвести подстановку где – новая переменная, изменяющаяся от до, то получается:

Таким образом

3. Предположим в формуле считая, что найдем:

Полученный интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

Разобьем интеграл на два интеграла:

Для имеем разложение в ряд

этот ряд сходится равномерно лишь, если

Но частичная сумма имеет интегрируемую в мажоранту:

следовательно, интеграл от нее сходится равномерно. Интегрируя почленно, получим:

Интеграл подстановкой приводим к виду:

Применяя полученное выше разложение, найдем:

Таким образом:

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции

Окончательно получаем:

Таким образом,

Если взятьто получим:

Функция «Бета» очень просто выражается через функцию «Гамма».

График бета-функции при вещественных аргументах

3. Гамма-функция

3.1 Определение гамма-функции

Определение 2: Гамма функцией или эйлеровым интегралом 2-го рода называется функция, определяемая равенством:

где – любое комплексное число, .

Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Предположим в формуле найдем:

Как известно, причем выражение при возрастании стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство:

Если сделать подстановку, получим:

Согласно формуле

Таким образом, придем к формуле Эйлера-Гаусса:

studfiles.net

Бета-функция Эйлера Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Бета. График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (B{\displaystyle \mathrm {B} }-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt},

определённая при ℜ(x)>0{\displaystyle \Re (x)>0}, ℜ(y)>0{\displaystyle \Re (y)>0}.

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром ^{[когда?]}, а название ей дал Жак Бине.

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

B(x,y)=B(y,x){\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (y,x)}.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y){\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}},

где Γ(x){\displaystyle \Gamma (x)} — Гамма-функция;

B(x,y)=2∫0π/2sin2x−1⁡θcos2y−1⁡θdθ,ℜ(x)>0, ℜ(y)>0{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0};

B(x,y)=∫0∞tx−1(1+t)x+ydt,ℜ(x)>0, ℜ(y)>0{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0};

B(x,y)=1y∑n=0∞(−1)n(y)n+1n!(x+n){\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}}},

где (x)n{\displaystyle (x)_{n}} — нисходящий факториал, равный x⋅(x−1)⋅(x−2)⋅…⋅(x−n+1){\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}.

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

(nk)=1(n+1)B(n−k+1,k+1){\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,\;k+1)}}}.

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

B(x,y)−B(x+1,y)−B(x,y+1)=0{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)-\mathrm {\mathrm {B} } (x+1,\;y)-\mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y+1)=0}.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

∂∂xB(x,y)=B(x,y)(Γ′(x)Γ(x)−Γ′(x+y)Γ(x+y))=B(x,y)(ψ(x)−ψ(x+y)){\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,\;y)=\mathrm {B} (x,\;y)\left({\Gamma ^{\prime }(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,\;y)(\psi (x)-\psi (x+y))},

∂∂yB(x,y)=B(x,y)(Γ′(y)Γ(y)−Γ′(x+y)Γ(x+y))=B(x,y)(ψ(y)−ψ(x+y)){\displaystyle {\partial \over \partial y}\mathrm {B} (x,\;y)=\mathrm {B} (x,\;y)\left({\Gamma ^{\prime }(y) \over \Gamma (y)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,\;y)(\psi (y)-\psi (x+y))},

где ψ(x){\displaystyle \psi (x)} — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку [0,1]{\displaystyle [0,1]} на интеграл с переменным верхним пределом:

Bx(a,b)=∫0xta−1(1−t)b−1dt{\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,\;b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt}.

При x=1{\displaystyle x=1} неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

Ix(a,b)=Bx(a,b)B(a,b){\displaystyle I_{x}(a,\;b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,\;b)}{\mathrm {B} (a,\;b)}}}.

Свойства I(x){\displaystyle I(x)}

I0(a,b)=0{\displaystyle I_{0}(a,\;b)=0};

I1(a,b)=1{\displaystyle I_{1}(a,\;b)=1};

Ix(a,b)=1−I1−x(b,a){\displaystyle I_{x}(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a)}.

Ix(a+1,b)=Ix(a,b)−xa(1−x)baB(a,b){\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}}

Примечания

Литература

Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.

См. также

wikiredia.ru

📌 Бета-функция — это… 🎓 Что такое Бета-функция?

У этого термина существуют и другие значения, см. Бета. График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром ^{[когда?]}, а название ей дал Жак Бине.

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где  — Гамма-функция;

;

;

,

где  — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

,

где  — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:

.

При неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

.

Свойства

;

;

.

Применение

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.

См. также

dic.academic.ru

2. Бета-функция

Эйлером предложен также несобственный интеграл

(3)

как функция параметров , которую называютбета-функцией. Представим интеграл (3) в виде суммы двух слагаемых

,

где имеет особенность только в точке, а- только в точке.

Поскольку для любого функцияположительна, непрерывна и ограничена на отрезке, то существуют постоянные, чтодля всехи всех. Поэтому, как и в предыдущем пункте, убеждаемся, что интегралсходится для всехтолько при.

Аналогично, функция положительна, непрерывна и ограничена на отрезкедля любого, и, следовательно, существуют, чтодля всехи всех.

Поэтому несобственный интеграл сходится для каждоготолько при.

Окончательно, бета-функция определена только дляи.

Совершая в интеграле (3) замену переменной интегрирования , получим

. (4)

Формула (4) указывает на свойство симметричности бета-функции Эйлера.

Интегрируя в (3) по частям и используя разложение , получим

откуда

(5)

В силу симметричности функции имеем также

(5’)

Формулы (5) и (5’) называют функциональными уравнениями для бета-функции.

Если то согласно (5)

Но

Так что

(6)

Если то (6) принимает вид

Так как то мы доказали частный случай

замечательной формулы Эйлера

Гамма-функция и бета-функция, как и экспоненциальная функция, играют фундаментальную роль в математике и её приложениях.

Сформулируем без доказательств несколько важных свойств этих функций.

Для любого, выполняется равенство, называемое формулой дополнения. Из этого, в частности, следует, что

и, следовательно, .

Бета-функция допускает ещё представление в виде интеграла

Часто используется интеграл (Вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к полярным, сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведём его к значениям эйлеровых интегралов:

3. Формула Стирлинга

К настоящему моменту времени свойства гамма-функции изучены достаточно глубоко. В частности, для неё доказано следующее асимпототическое представление

(7)

называемое формулой Стирлинга. Для натуральных , когда, формула (7) после несложных преобразований принимает вид

где

studfiles.net

Особые свойства Гамма-функции Эйлера

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня — Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров

и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при

.Полагая получим: = — =

т.e. аргумент

и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

=

(1.2)

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

(1.3)

при целых

= m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)

.Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки

, получаем

полагая в(1.1)

,откуда , получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до

и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·…·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

G(z+1)=zG(z).

(2.1)

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

(2.2)

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканониче

mirznanii.com