Алгебраическая сумма сигма – Суммирование | Математика, которая мне нравится

Алгебраическая сумма — Howling Pixel

Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел^[1].

Когда пишут знак суммы (сигма, Σ) подразумевается именно алгебраическая сумма.

Алгебраической суммой множеств называют сумму Минковского этих множеств.

Алгебраическая сумма, при замене всех вычитаний сложениями, может быть представлена рациональными числами (положительными, отрицательными и равными нулю), а также числами, обозначенными буквами^[1].

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2} А. Н. Барсуков. Алгебра 6-8 кл. // 1966

Барионное число

Барио́нное число́ (барио́нный заря́д) — сохраняющееся аддитивное квантовое число в физике элементарных частиц, определяющее количество барионов в системе. Оно определяется как:

B=Nq−Nq¯3,{\displaystyle B={\frac {N_{q}-N_{\overline {q}}}{3}},}

где

Nq {\displaystyle N_{q}\ } — количество кварков и

Nq¯{\displaystyle N_{\overline {q}}} — количество антикварков.

Деление на три присутствует, поскольку по законам сильного взаимодействия полный цветовой заряд частицы должен быть нулевым («белым»), см. конфайнмент. Этого можно добиться соединением кварка одного цвета с антикварком соответствующего антицвета, создав мезон с барионным числом 0, либо соединением трёх кварков трёх различных цветов в барион с барионным числом +1, либо соединением трёх антикварков (с тремя различными антицветами) в антибарион с барионным числом −1. Другая возможность — это экзотический пентакварк, состоящий из 4 кварков и 1 антикварка.

Итак, алгебраическая сумма всех кварков в системе (или разность числа кварков и числа антикварков) всегда кратна 3. Исторически барионное число было определено задолго до того, как установилась сегодняшняя кварковая модель. Теперь более точно говорить о сохранении кваркового числа

.

Частицы, не содержащие кварков или антикварков, имеют барионное число, равное 0. Это такие частицы, как лептоны, фотон, W- и Z-бозоны. Как уже отмечено выше, нулевым барионным числом характеризуются все мезоны.

Барионное число сохраняется во всех трёх взаимодействиях Стандартной модели. В рамках Стандартной модели существует формальная возможность несохранения барионного числа при учёте так называемых хиральных аномалий (англ.)русск.. Но такие процессы никогда не наблюдались.

Сохранение барионного числа является на сегодняшний день чисто феноменологическим законом. Его выполнение, наблюдающееся во всех известных физических процессах, не вытекает из каких-либо более фундаментальных законов или симметрий (в отличие, например, от закона сохранения электрического заряда). Таким образом, причина сохранения барионного числа пока неизвестна.

Ранее барионное число часто называли барионным зарядом. Термин «барионное число» более правилен, поскольку не обнаружено каких-либо калибровочных полей, источником которых был бы барионный заряд (наподобие электромагнитного поля, источником которого является электрический заряд).

Теоретически в природе могут существовать взаимодействия, изменяющие барионное число на единицу (ΔB = ±1) или на двойку (ΔB = ±2). В первом случае становится возможным распад протона, во втором — нейтрон-антинейтронные осцилляции (самопроизвольное превращение нейтрона в антинейтрон и наоборот). Экспериментально эти процессы пока не наблюдались, несмотря на интенсивные поиски. Примером теорий, в которых не сохраняется барионное (и лептонное) число, являются теории Великого Объединения. Во многих вариантах Великого Объединения барионное и лептонное число не сохраняются порознь, однако сохраняется их разность B − L. Нарушение этих законов становится заметным при энергиях реакций на масштабе энергии Великого Объединения (> 10¹⁵ ГэВ). При малых энергиях эти процессы сильно (хотя и не абсолютно) подавлены чрезвычайно большим значением массы калибровочных бозонов, которые осуществляют взаимодействия, не сохраняющие барионное число. Таким образом, в теориях Великого Объединения сохранение барионного заряда является лишь эффективным правилом, хорошо выполняющимся при низких энергиях.

Несохранение барионного числа является одним из необходимых условий (см. Условия Сахарова) для возникновения наблюдаемой в нашей Вселенной асимметрии между барионами и антибарионами. Вещество Вселенной содержит в основном барионы, примесь антибарионов чрезвычайно мала. Это означает, что на какой-то из ранних стадий космологической эволюции произошёл процесс бариогенезиса с несохранением барионного числа.

Бесконечно малая и бесконечно большая

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел.

Внутреннее сопротивление

Вну́треннее сопротивле́ние двухполюсника — импеданс в эквивалентной схеме двухполюсника, состоящей из последовательно включённых генератора напряжения и импеданса (см. рисунок). Понятие применяется в теории цепей при замене реального источника идеальными элементами, то есть при переходе к эквивалентной схеме.

Второе начало термодинамики

Второе начало термодинамики (второй закон термодинамики) устанавливает существование энтропии как функции состояния термодинамической системы и вводит понятие абсолютной термодинамической температуры, то есть «второе начало представляет собой закон об энтропии» и её свойствах. В изолированной системе энтропия остаётся либо неизменной, либо возрастает (в неравновесных процессах), достигая максимума при установлении термодинамического равновесия (закон возрастания энтропии). Встречающиеся в литературе различные формулировки второго начала термодинамики являются частными следствиями закона возрастания энтропии.

Второе начало термодинамики позволяет построить рациональную температурную шкалу, не зависящую от произвола в выборе термометрического свойства термодинамического тела и устройства для измерения температуры (термометра)..

Вместе первое и второе начала составляют основу феноменологической термодинамики, которую можно рассматривать как развитую систему следствий этих двух начал. При этом из всех допускаемых первым началом процессов в термодинамической системе (то есть процессов, не противоречащих закону сохранения энергии) второе начало позволяет выделить фактически возможные процессы, не противоречащие законам термодинамики , установить направление протекания самопроизвольных процессов, найти предельное (наибольшее или наименьшее) значение энергии, которое может быть полезным образом использовано (получено или затрачено) в термодинамическом процессе с учётом ограничений, накладываемых законами термодинамики, а также сформулировать критерии равновесия в термодинамических системах.

Закон сохранения электрического заряда

Зако́н сохране́ния электри́ческого заря́да — закон физики, утверждающий, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется:

q1+q2+q3+……+qn=const.{\displaystyle q_{1}+q_{2}+q_{3}+……+q_{n}=const.}

Закон сохранения заряда выполняется абсолютно точно. На данный момент его происхождение объясняют следствием принципа калибровочной инвариантности. Требование релятивистской инвариантности приводит к тому, что закон сохранения заряда имеет локальный характер: изменение заряда в любом наперёд заданном объёме равно потоку заряда через его границу. В изначальной формулировке был бы возможен следующий процесс: заряд исчезает в одной точке пространства и мгновенно возникает в другой. Однако такой процесс был бы релятивистски неинвариантен: из-за относительности одновременности в некоторых системах отсчёта заряд появился бы в новом месте до того, как исчез в предыдущем, а в некоторых — заряд появился бы в новом месте спустя некоторое время после исчезновения в предыдущем. То есть был бы отрезок времени, в течение которого заряд не сохраняется. Требование локальности позволяет записать закон сохранения заряда в дифференциальной и интегральной форме.

Каскад с общим эмиттером

При включении биполярного транзистора по схеме с общим эмиттером (ОЭ) входной сигнал подаётся на базу относительно эмиттера, а выходной сигнал снимается с коллектора относительно эмиттера. При этом выходной сигнал инвертируется относительно входного (для гармонического сигнала с не очень высокой частотой фаза выходного сигнала сдвинута относительно входного на 180°, при высоких частотах фазовый сдвиг отличается от 180° из-за инерционности транзистора).

Данное включение транзистора позволяет получить наибольшее усиление по мощности, потому что усиливается и ток, и напряжение.

Крамер, Габриэль

Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

Первое начало термодинамики

Пе́рвое нача́ло термодина́мики (первый закон термодинамики) — один из основных законов этой дисциплины, представляющий собой конкретизацию общефизического закона сохранения энергии для термодинамических систем, в которых необходимо учитывать термические, массообменные и химические процессы. В форме закона сохранения (уравнения баланса энергии) первое начало используют в термодинамике потока и в неравновесной термодинамике. В равновесной термодинамике под первым законом термодинамики обычно подразумевают одно из следствий закона сохранения энергии, из чего проистекает отсутствие единообразия формулировок первого начала, используемых в учебной и научной литературе (К. А. Путилов в своей монографии приводит шесть формулировок, которые он считает наиболее удачными).

Переменный ток

Переме́нный ток  — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

Хотя переменный ток часто переводят на английский как alternating current, эти термины не являются эквивалентными. Термин alternating current (AC) в узком смысле означает синусоидальный ток, в широком смысле — периодический знакопеременный ток (то есть периодический двунаправленный ток). Условное обозначение на электроприборах: ∼{\displaystyle \thicksim } или ≈{\displaystyle \thickapprox } (знак синусоиды), или латинскими буквами AC{\displaystyle AC}.

Перцептрон

Перцептро́н, или персептрон (англ. perceptron от лат. perceptio — восприятие; нем. Perzeptron) — математическая или компьютерная модель восприятия информации мозгом (кибернетическая модель мозга), предложенная Фрэнком Розенблаттом в 1957 году и впервые реализованная в виде электронной машины «Марк-1» в 1960 году. Перцептрон стал одной из первых моделей нейросетей, а «Марк-1» — первым в мире нейрокомпьютером.

Перцептрон состоит из трёх типов элементов, а именно: поступающие от датчиков сигналы передаются ассоциативным элементам, а затем реагирующим элементам. Таким образом, перцептроны позволяют создать набор «ассоциаций» между входными стимулами и необходимой реакцией на выходе. В биологическом плане это соответствует преобразованию, например, зрительной информации в физиологический ответ от двигательных нейронов. Согласно современной терминологии, перцептроны могут быть классифицированы как искусственные нейронные сети:

с одним скрытым слоем;

с пороговой передаточной функцией;

с прямым распространением сигнала.На фоне роста популярности нейронных сетей в 1969 году вышла книга Марвина Минского и Сеймура Паперта, которая показала принципиальные ограничения перцептронов. Это привело к смещению интереса исследователей искусственного интеллекта в противоположную от нейросетей область символьных вычислений. Кроме того, из-за сложности математического исследования перцептронов, а также отсутствия общепринятой терминологии, возникли различные неточности и заблуждения.

Впоследствии интерес к нейросетям, и в частности, работам Розенблатта, возобновился. Так, например, сейчас стремительно развивается биокомпьютинг, который в своей теоретической основе вычислений, в том числе, базируется на нейронных сетях, а перцептрон воспроизводят на основе бактериородопсин-содержащих плёнок.

Правила Кирхгофа

Пра́вила Кирхго́фа (часто в технической литературе ошибочно называются Зако́нами Кирхго́фа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи.

Решения систем линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа, позволяют найти все токи и напряжения в электрических цепях постоянного, переменного и квазистационарного тока.

Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей.

Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений и, соответственно, при решении этой системы найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.

Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле).

Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике.

Радиационный баланс

Радиационный баланс земной поверхности — алгебраическая сумма потоков радиации в определенном объёме или на определенной поверхности, то есть разница между поглощенной радиацией и эффективным излучением этой поверхности. Годовые его величины в целом для Земли положительные. Один из климатообразующих факторов, важнейшая характеристика микроклимата посевов и условий их фотосинтеза.

Статика

Ста́тика (от греч. στατός, «неподвижный») — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Степень окисления

Сте́пень окисле́ния (окислительное число) — вспомогательная условная величина для записи процессов окисления, восстановления и окислительно-восстановительных реакций. Она указывает на состояние окисления отдельного атома молекулы и представляет собой лишь удобный метод учёта переноса электронов: она не является истинным зарядом атома в молекуле (см. #Условность).

Представления о степени окисления элементов положены в основу и используются при классификации химических веществ, описании их свойств, составлении формул соединений и их международных названий (номенклатуры). Но особенно широко оно применяется при изучении окислительно-восстановительных реакций.

Понятие степень окисления часто используют в неорганической химии вместо понятия валентность.

Сумма (математика)

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике это результат операции сложения числовых величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a}

a+(b+c)=(a+b)+c{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}

(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}

c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b{\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определена для более сложных алгебраических структур. Сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Числовая последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Электрический заряд

Электри́ческий заря́д (коли́чество электри́чества) — это физическая скалярная величина, определяющая способность тел быть источником электромагнитных полей и принимать участие в электромагнитном взаимодействии.

Впервые электрический заряд был введён в законе Кулона в 1785 году.

Единица измерения заряда в Международной системе единиц (СИ) — кулон — электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника с током 1 А за время 1 с.

Заряд в один кулон очень велик. Если бы два носителя заряда (q1 = q2 = 1 Кл) расположили в вакууме на расстоянии 1 м, то они взаимодействовали бы с силой 9⋅109 H, то есть с силой, с которой гравитация Земли притягивает предмет массой порядка 1 миллиона тонн.

Электронная схема

Электронная схема — изделие, сочетание отдельных электронных компонентов, таких как резисторы, конденсаторы, индуктивности, диоды, транзисторы и интегральные микросхемы, соединённых между собой, для выполнения каких либо задач или схема (рисунок) с условными знаками.

Различные комбинации компонентов позволяют выполнять множество как простых, так и сложных операций, таких как усиление сигналов, обработка и передача информации и так далее

Электронные схемы строятся на базе дискретных компонентов, а также интегральных схем, которые могут объединять множество различных компонентов на одном полупроводниковом кристалле.

Соединения между элементами могут осуществляться посредством проводов, однако в настоящее время чаще применяются печатные платы, когда на изолирующей основе различными методами (например, фотолитографией) создаются проводящие дорожки и контактные площадки, к которым припаиваются компоненты.

Для разработки и тестирования электронных схем применяются макетные платы, позволяющие при необходимости быстро вносить изменения в электронную схему.

Раздел электроники, изучающий проектирование и создание электронных схем, называется схемотехника.

Ядерная реакция

Я́дерная реа́кция — это процесс взаимодействия атомного ядра с другим ядром или элементарной частицей, который может сопровождаться изменением состава и строения ядра. Последствием взаимодействия может стать деление ядра, испускание элементарных частиц или фотонов. Кинетическая энергия вновь образованных частиц может быть гораздо выше первоначальной, при этом говорят о выделении энергии ядерной реакцией.

Впервые ядерную реакцию наблюдал Резерфорд в 1919 году, бомбардируя α-частицами ядра атомов азота. Она была зафиксирована по появлению вторичных ионизирующих частиц, имеющих пробег в газе больше пробега α-частиц и идентифицированных как протоны. Впоследствии с помощью камеры Вильсона были получены фотографии этого процесса.

По механизму взаимодействия ядерные реакции делятся на два вида:

реакции с образованием составного ядра, это двухстадийный процесс, протекающий при не очень большой кинетической энергии сталкивающихся частиц (примерно до 10 МэВ).

прямые ядерные реакции, проходящие за ядерное время, необходимое для того, чтобы частица пересекла ядро. Главным образом такой механизм проявляется при больших энергиях бомбардирующих частиц.Если после столкновения сохраняются исходные ядра и частицы и не рождаются новые, то реакция является упругим рассеянием в поле ядерных сил, сопровождается только перераспределением кинетической энергии и импульса частицы и ядра-мишени и называется потенциальным рассеянием.

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Сумма

Сумма ( лат. summa ) — Результат операции добавления.

Например, в выражении

4 + 5 = 9

9 является суммой, а числа 4 и 5 называются слагаемыми.

Сумма обозначается знаком + ( плюс).

Для обозначения суммы членов последовательности используется символ , Например

.

Если последовательность бесконечна, то такая сумма называется числовым рядом и обозначается

.

В алгебраическое выражение могут входить члены, знаки которых заранее не определены. То есть для определенных членов выражения выполняется операция сложения, для других — вычитание. Поэтому выражение общего вида, в который входят операции сложения и вычитания называют алгебраической суммой. Например,

1. Определенная сумма

Часто для сокращения сумму с n слагаемых a _k,a _{k ​​+1,}…, a _N обозначают большой греческой буквой Σ (сигма):

Это обозначение называется определенной (конечно) суммой a _i по i от k до N.
Для удобства вместо иногда пишут , Где — Некоторое отношение для , Таким образом это конечная сумма всех , Где
Свойства определенной суммы:

2. Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии :

2. Сумма геометрической прогрессии :

Почему это так

Почему это так

Доказательство:

Почему это так, потому что так

Доказательство:

1. • При получаем , А это последовательность уравнений следующего вида:
     

3. Неопределенная сумма

Неопределенной суммой a _i по i называется такая функция f (i), которая обозначается , Что .

4. Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределенная сумма , Тогда .

5. Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» ( 1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: в украинский, английский, французский и другие.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввел Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позже ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

См.. также

nado.znate.ru

Помогите решить / разобраться (М)

Добрый день.
Стараюсь разобраться с вариантами записи алгебраической суммы с помощью греческой буквы сигма .
Наиболее полное описание смог найти только в Википедии.
Хотел бы уточнить несколько моментов.

1) Во-первых, почему в приведенных ниже записях как тождественные в качестве индексов переменных используются как переменная индекса, так и ее верхняя граница:
(1) и
(2)
Насколько это правильно?

2) Во-вторых, почему запись
(3)
означает сумму элементов множества ?

Насколько я понимаю, согласно Википедии выражение после буквы сигма обозначает каждый член в серии суммирования. Например, выражение (2) означает сумму всех членов заданного ряда, у каждого из которых отличаются значения переменной индекса .
Но ведь в записи (3) — это тоже переменная, означающая определенную функцию, зависящую от переменной . Тогда логично предположить, что выражение (3) означает сумму всех членов заданного ряда числовых выражений, у каждого из которых отличаются значения переменной , т.е., что
.
Однако, согласно Википедии:
.
Но ведь сумму элементов множества можно записать и следующим образом:
,
что, с моей точки зрения, было бы логичнее.

Очень прошу прояснить данные вопросы, т.к. по всей видимости мое личное мнение ошибочно. Возможно есть какая-нибудь литература, в которой не слишком сложно изложены правила использования алгебраической суммы?

dxdy.ru