∫ Найти интеграл от y = f(x) = x/(3+x^2) dx (х делить на (3 плюс х в квадрате))
Решение
1 / | | x | ------ dx | 2 | 3 + x | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 3}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
Дан интеграл:
/ | | x | ------ dx | 2 | 3 + x | /
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x \
|------------|
| 2 |
x \x + 0*x + 3/ 0
------ = -------------- + ----------------
2 2 2
3 + x / ___ \
|-\/ 3 |
|-------*x| + 1
\ 3 / или
/ | | x | ------ dx | 2 = | 3 + x | /
/
|
| 2*x
| ------------ dx
| 2
| x + 0*x + 3
|
/
------------------
2 В интеграле
/
|
| 2*x
| ------------ dx
| 2
| x + 0*x + 3
|
/
------------------
2 сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ----- du
| 3 + u
|
/ log(3 + u)
----------- = ----------
2 2 делаем обратную замену
/
|
| 2*x
| ------------ dx
| 2
| x + 0*x + 3
| / 2\
/ log\3 + x /
------------------ = -----------
2 2 В интеграле
сделаем замену
___
-x*\/ 3
v = ---------
3 тогда
интеграл =
делаем обратную замену
Решением будет:
/ 2\
log\3 + x /
C + -----------
2 1 / | | x log(4) log(3) | ------ dx = ------ - ------ | 2 2 2 | 3 + x | / 0
$${{\log 4}\over{2}}-{{\log 3}\over{2}}$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ | / 2\ | x log\3 + x / | ------ dx = C + ----------- | 2 2 | 3 + x | /
$${{\log \left(x^2+3\right)}\over{2}}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
∫ Найти интеграл от y = f(x) = (x-2)^3 dx ((х минус 2) в кубе)
Решение
1 / | | 3 | (x - 2) dx | / 0
$$\int_{0}^{1} \left(x — 2\right)^{3}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл есть :
Если сейчас заменить ещё в:
Метод #2
Перепишите подынтегральное выражение:
Интегрируем почленно:
Интеграл есть :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Результат есть:
Теперь упростить:
Добавляем постоянную интегрирования:
Ответ:
1 / | | 3 | (x - 2) dx = -15/4 | / 0
$$-{{15}\over{4}}$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ | 4 | 3 (x - 2) | (x - 2) dx = C + -------- | 4 /
$${{x^4}\over{4}}-2\,x^3+6\,x^2-8\,x$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
∫ Найти интеграл от y = f(x) = e^(2*x+3) dx (e в степени (2 умножить на х плюс 3))
Решение
1 / | | 2*x + 3 | E dx | / 0
$$\int_{0}^{1} e^{2 x + 3}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл от экспоненты есть он же сам.
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Метод #2
Перепишите подынтегральное выражение:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл от экспоненты есть он же сам.
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Таким образом, результат будет:
Теперь упростить:
Добавляем постоянную интегрирования:
Ответ:
1 / | 5 3 | 2*x + 3 e e | E dx = -- - -- | 2 2 / 0
$${{E^5}\over{2\,\log E}}-{{E^3}\over{2\,\log E}}$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ | 2*x + 3 | 2*x + 3 e | E dx = C + -------- | 2 /
$${{E^{2\,x+3}}\over{2\,\log E}}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
∫ Найти интеграл от y = f(x) = (2*x+5)^3 dx ((2 умножить на х плюс 5) в кубе)
Решение
1 / | | 3 | (2*x + 5) dx | / 0
$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 5\right)^{3}\, dx$$
Подробное решение[LaTeX]
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
пусть .
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Метод #2
Перепишите подынтегральное выражение:
Интегрируем почленно:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл есть :
Таким образом, результат будет:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Результат есть:
Теперь упростить:
Добавляем постоянную интегрирования:
Ответ:
1 / | | 3 | (2*x + 5) dx = 222 | / 0
$$222$$
Численный ответ[LaTeX]
Ответ (Неопределённый)[LaTeX]
/ | 4 | 3 (2*x + 5) | (2*x + 5) dx = C + ---------- | 8 /
$$2\,x^4+20\,x^3+75\,x^2+125\,x$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Неопределенный интеграл. Примеры.
Прежде, чем решать примеры на нахождение неопределенных интегралов, вспомним основные свойства и основные формулы неопределенных интегралов и запишем все это на отдельном листе «Интегралы«.
Интегралы.
Основные свойства.
I. (∫f (x) dx)’=f (x).
II. d∫f (x) dx=f (x) dx.
III. ∫dF (x)=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C.
IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k — постоянная величина, не равная нулю.
V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.
VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины,
причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).
Справедливо равенство:
Даже простейшие примеры на нахождение неопределенных интегралов предполагают хорошее знание таблицы интегралов. С этого и начнем, причем, перепишем все формулы таблицы интегралов для функции u, которая зависит от х. Итак, мы будем считать, что u — не простая переменная, а функция от х, т.е. u=φ(x), тогда нижеприведенная таблица интегралов окажется справедливой в любом случае: и если переменная интегрирования является независимой переменной, и если переменная интегрирования есть функция от независимой переменной.
Таблица интегралов.
3) ∫du=u+C.
6) ∫cosudu=sinu+C.
7) ∫sinudu=-cosu+C.
Примеры.
Найти следующие интегралы и сделать проверку.
1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1). и 3).
(Наш лист Интегралы)
∫(2x – 3) dx = 2∫xdx — 3∫dx = 2·x²/2 – 3x + C = х2 – 3х + С.
Проверка. F'(x) = (х2 – 3х + С)’ = 2x – 3 = f (x).
2). ∫(2x – 3)2dx. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).
∫(2x – 3)2dx =∫( 4x2 – 12x + 9) dx = 4∫x2dx — 12∫xdx + 9∫dx =
= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x3 – 6x2 + 9x + C.
Проверка. F'(x) = ((4/3) x3 – 6x2 + 9x + C)’ =(4/3) · 3x2 — 6·2x + 9 = 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 = f (x).
Решим пример 2) вторым способом — подведения под знак дифференциала.
Итак, требуется найти ∫(2x – 3)2dx.
Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т. е (2х – 3). Хорошо, вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.
Значит,∫(2x – 3)2dx = (½)∫( 2x – 3)2 d (2x – 3). Мысленно представляйте себе u2 вместо
(2х – 3)2 и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u2du ? И что получится? Верно: u³/3+ C.
«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:
∫(2x – 3)2dx = (½)∫(2x – 3)2 d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3 + С =(1/6) · (2х – 3)3 + С.
Проверка. (F (x)+С)′ = ( 1/6· (2х – 3)3 + С)’ = (1/6)· 3 (2x – 3)2 · 2 = (2x – 3)2 = f (x).
Сравните эти два способа решения примера 2. Что, не впечатлил второй способ? Тогда пример 3).
3) ∫(2x – 3)7dx. Желаете возводить (2х – 3) в седьмую степень? А-а, то-то же!
Решаем способом подведения под знак дифференциала, т.е. вторым способом так же, как предыдущий пример.
∫(2x – 3)7dx = (½)∫(2x – 3)7d (2x – 3) = (½)· (2x – 3)8 /8 + C =(1/16) (2x – 3)8 + C.
Проверка. F'(x) = ((1/16)(2x – 3)8 + C)’ =(1/16) ·8 (2x – 3)7·2 = (2x – 3)7 = f (x).
Запись имеет метки: примеры неопределенных интегралов
www.mathematics-repetition.com
Интеграл sin(3)^(2)*x (dx)
Дано$$\int_{0}^{1} x \sin^{2}{\left (3 \right )}, dx$$
Подробное решение
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
\int x \sin^{2}{\left (3 \right )}, dx = \sin^{2}{\left (3 \right )} \int x, dx
Интеграл
x^{n}
есть
\frac{x^{n + 1}}{n + 1}
:\int x, dx = \frac{x^{2}}{2}
$$
Таким образом, результат будет: $$
\frac{x^{2}}{2} \sin^{2}{\left (3 \right )}
$$Добавляем постоянную интегрирования:
$$
\frac{x^{2}}{2} \sin^{2}{\left (3 \right )}+ mathrm{constant}
Ответ:
\frac{x^{2}}{2} \sin^{2}{\left (3 \right )}+ mathrm{constant}
Ответ
1
/
| 2
| 2 sin (3)
| sin (3)*x dx = ——-
| 2
/
0
$${{\sin ^23}over{2}}$$
Численный ответ
Ответ (Неопределённый)
/
| 2 2
| 2 x *sin (3)
| sin (3)*x dx = C + ———-
| 2
/
$${{\sin ^23,x^2}over{2}}$$
Загрузка… 23*1/x-3-x^3-4/3-x если x=-3/2 (упростите выражение) Производная cos(3^x)+cos(3*x)+cos(x^3)+cos(x)^(3) >>uchimatchast.ru