C умножение матриц: Алгоритм умножения матриц на языке C — Программирование на C, C# и Java

Содержание

Умножение матриц С++

Возможно, во время учебы вы узнали и задали много вопросов о матрицах по своим предметам математики. Матрица представляет собой набор строк и столбцов. Матрица может иметь одинаковое количество строк и столбцов и быть разной. Мы можем выполнять любые математические операции с матрицами, то есть сложение, вычитание, умножение и деление. C++ также позволяет нам использовать матрицы в наших кодах и выполнять эти операции. Таким образом, мы решили выполнить умножение матриц в программировании на C++, используя систему Ubuntu 20.04 Linux. Начнем с создания нового файла C++ для добавления кода. Сначала запустите терминал оболочки и используйте инструкцию «touch» терминала оболочки для создания файла. Мы назвали этот файл «matrix.cc». Файл хранится в домашней папке нашей системы Linux. Мы открывали его в редакторе Gnu Nano с помощью редактора nano Ubuntu, как показано на изображении ниже. Пустой файл будет открыт непосредственно в редакторе Gnu nano всего за 5 секунд.

Пример #01:

Давайте начнем с простого примера умножения матриц в C++. C++ использует заголовок «iostream» для стандартного ввода и вывода через поток ввода-вывода. Таким образом, он также должен быть включен в файл кода. Мы включили его в наш пустой файл C++, используя ключевое слово «#include» в верхней строке. В C++ объекты ввода и вывода могут использоваться только со стандартным пространством имен.

Итак, мы должны использовать пространство имен «Std», используя слово «using» после заголовка. Мы будем выполнять умножение матриц в методе C++ main(), который также является источником запуска выполнения. Мы объявили три матрицы «x», «y» и «z» размером 5-5, т.е. строки*столбцы. Но мы также объявили переменные «r» и «c» как строки и столбцы и присвоили им одинаковые значения. В настоящее время в наших матрицах нет значений. Мы будем использовать матрицы «x» и «y» в качестве входных матриц, а матрица «z» будет произведением обеих этих матриц. Во-первых, мы должны добавить значения во входную матрицу «x» и «y» отдельно, используя циклы.

Операторы cout показывают, что пользователь будет вводить значения в матрицы «x» и «y» отдельно. Внешний цикл «for» будет использоваться для перебора строк до «r», а внешний цикл «for» — до перебора значения столбца «c». Поскольку и «r», и «c» имеют значение 2, мы создадим матрицу «x» и «y» размером 2*2. Объект «cin» использовался для сложения значений в матрице «x» и «y» с использованием циклов «I» и «j». Благодаря этому пользователь добавит «2» значения строки и «2» значения столбца в матрицы с помощью оболочки. После ввода значений в матрицы «x» и «y» мы должны найти произведение обеих матриц. Во-первых, мы должны инициализировать все строки и столбцы матрицы произведения «z» до 0 на каждой итерации, используя как «I», так и «j» для циклов, то есть r = 2 и c = 2.

На каждой итерации цикл «k» используется для умножения матрицы «x» на «y» и добавления этого значения произведения к конкретному индексу итерации матрицы «z». Это будет продолжено до последней строки-столбца матрицы «z». Последние 2 цикла «for» использовались для отображения матрицы «z» в оболочке с помощью оператора объекта «cout». После всего этого последний оператор cout используется для добавления конечной строки. Теперь наша программа готова к компиляции в оболочке.

Компилятор g++ в Ubuntu 20.04 использовался для компиляции кода C++, а запрос «./a.out» использовался для выполнения скомпилированного кода. Мы добавили 2-строчные значения и 2-столбцовые значения для матриц «x» и «y» при выполнении. После этого матрица произведения «z» обеих матриц «x» и «y» была рассчитана и отображена на оболочке последней.

Пример #02:

В приведенном выше примере мы вычислили умножение матриц для двух одинаковых матриц «x» и «y» одного порядка, т. е. одинакового количества строк и столбцов для обеих матриц. Но знаете ли вы правила вычисления матричного умножения? Если не? Тогда этот пример будет лучшим подспорьем для вас. Вы должны знать, что мы не можем вычислить умножение двух матриц с разными строками на порядок столбцов. Для выполнения умножения значение первой строки матрицы должно быть равно значению второго столбца матрицы, т. е. r1=c2 или r2=c1. Мы обновили значение столбца «c» до 3. Теперь значения строк и столбцов для матриц «x» и «y» не совпадают. Произведение не будет рассчитано, так как матрица «х», а «у» будет иметь 2 строки и 3 столбца, т.е. r1 не равно c2, а r2 не равно c1. Остальной код останется без изменений и будет сохранен для компиляции через Ctrl+S.

Мы скомпилировали этот непревзойденный матричный код строки-столбца и выполнили его до сих пор. Пользователь добавил значения для матриц «x» и «y». Мы получили сложные неожиданные результаты умножения матриц «x» и «y». Этот вывод неточен, потому что мы не использовали тот же порядок, который требуется для умножения матриц.

Чтобы решить эту проблему, мы должны использовать порядок r1=c2 и c1=r2 для входных матриц в нашем коде. Поэтому мы открыли тот же код и изменили строки и столбцы для матрицы «x» и «y» вместе с переменными «r=3» и «c=4». Давайте сохраним этот обновленный код и скомпилируем его.

При компиляции и выполнении мы добавили входные данные для матрицы «x» в следующем порядке: 3 строки * 4 столбца и 4 строки * 3 столбца для матрицы «y». Мы получили матрицу произведения порядка 3 строки * 4 столбца после умножения матриц «x» и «y».

Пример #03:

Давайте взглянем на последний, но не менее важный пример умножения матриц. Мы инициализировали r1=3, c1=4, r2=4, c2=3, матрицу «x» и матрицу «y» отдельно. Матрица продукта «M» определяется с помощью r1 и c2. Мы использовали цикл «for» для отображения уже инициализированных матриц «x» и «y» в нашей оболочке с помощью объектов «cout». Как показано на приложенном изображении ниже, это было сделано отдельно для матриц «x» и «y» для выполнения матричного умножения.

Мы вычислили произведение обеих матриц и прибавили произведение к матрице «М». Наконец, мы отобразили матрицу продукта «M» на оболочке, используя оператор объекта «cout».

При выполнении кода сначала отображаются матрицы «x» и «y», а затем их матрица произведения «M».

Вывод:

Окончательно! Мы завершили объяснение вычисления умножения матриц в коде C++ с использованием системы Ubuntu 20.04. Мы объяснили важность преобразования строк в столбцы в порядке матриц для операции умножения. Поэтому мы начали с простого примера с одинаковыми матрицами порядка и перешли к примерам матриц разных порядков.

Умножение матриц язык си — Altarena.ru — технологии и ответы на вопросы

Содержание

  1. Пошаговое руководство. Умножение матриц Walkthrough: Matrix Multiplication
  2. Предварительные требования Prerequisites
  3. Создание проекта To create the project
  4. Создание проекта в Visual Studio 2019 To create the project in Visual Studio 2019
  5. Создание проекта в Visual Studio 2017 или 2015 To create a project in Visual Studio 2017 or 2015
  6. Умножение без мозаичного заполнения Multiplication without tiling
  7. Умножение без использования C++ AMP To multiply without using C++ AMP
  8. Умножение с помощью C++ AMP To multiply by using C++ AMP
  9. Умножение с помощью мозаичного заполнения Multiplication with tiling
  10. Умножение с помощью AMP и мозаичного заполнения To multiply by using AMP and tiling
  11. Умножение квадратных матриц
  12. Решение
  13. Решение
  14. Умножение матриц: эффективная реализация шаг за шагом
  15. Введение
  16. Постановка задачи (0-й шаг)
  17. Устраняем очевидные недостатки (1-й шаг)
  18. Векторизуем внутренний цикл (2-й шаг)
  19. Пишем микроядро (3-й шаг)
  20. Переупорядочиваем матрицу B (4-й шаг)
  21. Локализуем данные в кэше L1 (5-й шаг)
  22. Переупорядочиваем матрицу A и локализуем в кэше L2 (6-й шаг)
  23. Задействуем кэш L3 (7-й шаг)
  24. Общая схема алгоритма
  25. Микро ядро
  26. Макро ядро
  27. Основная функция
  28. Что осталось за кадром?
  29. Заключение
  30. Видео

Пошаговое руководство.

Умножение матриц Walkthrough: Matrix Multiplication

В этом пошаговом руководстве показано, как использовать C++ AMP для ускорения выполнения умножения матрицы. This step-by-step walkthrough demonstrates how to use C++ AMP to accelerate the execution of matrix multiplication. Представлены два алгоритма: один — без мозаичного заполнения и один с мозаичным заполнением. Two algorithms are presented, one without tiling and one with tiling.

Предварительные требования Prerequisites

Перед началом работы Before you start:

Убедитесь, что используется как минимум Windows 7 или Windows Server 2008 R2. Make sure that you are running at least Windows 7, or Windows Server 2008 R2.

Создание проекта To create the project

Инструкции по созданию нового проекта зависят от установленной версии Visual Studio. Instructions for creating a new project vary depending on which version of Visual Studio you have installed. Чтобы ознакомиться с документацией по предпочтительной версии Visual Studio, используйте селектор Версия. To see the documentation for your preferred version of Visual Studio, use the Version selector control. Он находится в верхней части оглавления на этой странице. It’s found at the top of the table of contents on this page.

Создание проекта в Visual Studio 2019 To create the project in Visual Studio 2019

В строке меню выберите Файл > Создать > Проект, чтобы открыть диалоговое окно Создание проекта. On the menu bar, choose File > New > Project to open the Create a New Project dialog box.

Нажмите кнопку Создать, чтобы создать клиентский проект. Choose the Create button to create the client project.

В Обозреватель решений откройте контекстное меню исходных файлов и выберите команду добавить > новый элемент. In Solution Explorer, open the shortcut menu for Source Files, and then choose Add > New Item.

Создание проекта в Visual Studio 2017 или 2015 To create a project in Visual Studio 2017 or 2015

В строке меню Visual Studio выберите файл > создать > проект. On the menu bar in Visual Studio, choose File > New > Project.

В разделе установленные на панели шаблоны выберите Visual C++. Under Installed in the templates pane, select Visual C++.

Нажмите кнопку Далее. Choose the Next button.

В Обозреватель решений откройте контекстное меню исходных файлов и выберите команду добавить > новый элемент. In Solution Explorer, open the shortcut menu for Source Files, and then choose Add > New Item.

Умножение без мозаичного заполнения Multiplication without tiling

В этом разделе мы рассмотрим умножение двух матриц, A и B, которые определены следующим образом: In this section, consider the multiplication of two matrices, A and B, which are defined as follows:

A — это матрица размером 3 на 2, а B — матрица размером 2 на 3. A is a 3-by-2 matrix and B is a 2-by-3 matrix. Результатом умножения A на B является следующая матрица с 3 по 3. The product of multiplying A by B is the following 3-by-3 matrix. Продукт вычисляется путем умножения строк объекта на столбцы элемента B по элементу. The product is calculated by multiplying the rows of A by the columns of B element by element.

Умножение без использования C++ AMP To multiply without using C++ AMP

Откройте Матриксмултипли. cpp и используйте следующий код, чтобы заменить существующий код. Open MatrixMultiply.cpp and use the following code to replace the existing code.

Алгоритм является простой реализацией определения умножения матрицы. The algorithm is a straightforward implementation of the definition of matrix multiplication. Он не использует параллельные или потоки алгоритмы для сокращения времени вычисления. It does not use any parallel or threaded algorithms to reduce the computation time.

В строке меню выберите Файл > Сохранить все. On the menu bar, choose File > Save All.

Умножение с помощью C++ AMP To multiply by using C++ AMP

В Матриксмултипли. cpp добавьте следующий код перед main методом. In MatrixMultiply.cpp, add the following code before the main method.

Добавьте следующие include инструкции и using в начало матриксмултипли. cpp. Add the following include and using statements at the top of MatrixMultiply.cpp.

Измените main метод, чтобы вызвать MultiplyWithAMP метод. Modify the main method to call the MultiplyWithAMP method.

Умножение с помощью мозаичного заполнения Multiplication with tiling

Мозаичное заполнение — это методика разделения данных на подмножества одинакового размера, которые называются плитками. Tiling is a technique in which you partition data into equal-sized subsets, which are known as tiles. При использовании мозаичного заполнения изменились три вещи. Three things change when you use tiling.

Можно создавать tile_static переменные. You can create tile_static variables. Доступ к данным в tile_static пространстве может выполняться в несколько раз быстрее, чем доступ к данным в глобальном пространстве. Access to data in tile_static space can be many times faster than access to data in the global space. Экземпляр tile_static переменной создается для каждой плитки, а все потоки в плитке имеют доступ к переменной. An instance of a tile_static variable is created for each tile, and all threads in the tile have access to the variable. Основным преимуществом мозаичного заполнения является повышение производительности из-за tile_static доступа. The primary benefit of tiling is the performance gain due to tile_static access.

У вас есть доступ к индексу потока относительно всего array_view объекта и индекса, относящихся к плитке. You have access to the index of the thread relative to the entire array_view object and the index relative to the tile. С помощью локального индекса можно упростить чтение и отладку кода. By using the local index, you can make your code easier to read and debug.

Чтобы воспользоваться преимуществами мозаичного умножения матрицы, алгоритм должен секционировать матрицу на плитках, а затем копировать данные плитки в tile_static переменные для ускорения доступа. To take advantage of tiling in matrix multiplication, the algorithm must partition the matrix into tiles and then copy the tile data into tile_static variables for faster access. В этом примере матрица секционирована на подматрицы одинакового размера. In this example, the matrix is partitioned into submatrices of equal size. Продукт можно найти, умножив подматрицы. The product is found by multiplying the submatrices. В этом примере используются две матрицы и их продукты: The two matrices and their product in this example are:

Матрицы разделены на четыре матрицы 2×2, которые определяются следующим образом: The matrices are partitioned into four 2×2 matrices, which are defined as follows:

Теперь продукт A и B можно записать и вычислить следующим образом: The product of A and B can now be written and calculated as follows:

Для реализации этого алгоритма код: To implement this algorithm, the code:

Использует tiled_extent объект вместо extent объекта в parallel_for_each вызове. Uses a tiled_extent object instead of an extent object in the parallel_for_each call.

Использует tiled_index объект вместо index объекта в parallel_for_each вызове. Uses a tiled_index object instead of an index object in the parallel_for_each call.

Создает tile_static переменные для хранения подматриц. Creates tile_static variables to hold the submatrices.

Использует tile_barrier::wait метод, чтобы прерывать потоки для вычисления продуктов подматриц. Uses the tile_barrier::wait method to stop the threads for the calculation of the products of the submatrices.

Умножение с помощью AMP и мозаичного заполнения To multiply by using AMP and tiling

В Матриксмултипли. cpp добавьте следующий код перед main методом. In MatrixMultiply.cpp, add the following code before the main method.

Этот пример значительно отличается от примера без мозаичного заполнения. This example is significantly different than the example without tiling. В коде используются следующие концептуальные шаги: The code uses these conceptual steps:

Умножение плитки [0, 0] завершено. The multiplication of tile[0,0] is complete.

Повторите эти четыре плитки. Repeat for the other four tiles. Индексирование для плиток не предусмотрено, и потоки могут выполняться в любом порядке. There is no indexing specifically for the tiles and the threads can execute in any order. По мере выполнения каждого потока tile_static переменные создаются для каждой плитки соответствующим образом и вызывают tile_barrier::wait Управление потоком программы. As each thread executes, the tile_static variables are created for each tile appropriately and the call to tile_barrier::wait controls the program flow.

При тщательном анализе алгоритма Обратите внимание, что каждая подматрица загружается в tile_static память дважды. As you examine the algorithm closely, notice that each submatrix is loaded into a tile_static memory twice. Эта перенаправление данных занимает некоторое время. That data transfer does take time. Однако после того, как данные находятся в tile_static памяти, доступ к данным будет выполняться гораздо быстрее. However, once the data is in tile_static memory, access to the data is much faster. Поскольку вычисление продуктов требует многократного доступа к значениям в подматрицах, существует общий выигрыш в производительности. Because calculating the products requires repeated access to the values in the submatrices, there is an overall performance gain. Для каждого алгоритма требуется экспериментирование, чтобы найти оптимальный алгоритм и размер плитки. For each algorithm, experimentation is required to find the optimal algorithm and tile size.

В примерах, отличных от AMP и не являющихся плитками, доступ к каждому элементу A и B осуществляется четыре раза из глобальной памяти для вычисления продукта. In the non-AMP and non-tile examples, each element of A and B is accessed four times from the global memory to calculate the product. В примере плитки доступ к каждому элементу осуществляется дважды из глобальной памяти и четыре раза из tile_static памяти. In the tile example, each element is accessed twice from the global memory and four times from the tile_static memory. Это не является значительной приростом производительности. That is not a significant performance gain. Однако если A и B были 1024×1024 матрицы и размер плитки был 16, то производительность будет значительно увеличена. However, if the A and B were 1024×1024 matrices and the tile size were 16, there would be a significant performance gain. В этом случае каждый элемент копируется в tile_static память 16 раз и доступ к нему осуществляется из tile_static памяти 1024 раз. In that case, each element would be copied into tile_static memory only 16 times and accessed from tile_static memory 1024 times.

Измените метод Main, чтобы вызвать MultiplyWithTiling метод, как показано ниже. Modify the main method to call the MultiplyWithTiling method, as shown.

Источник

Умножение квадратных матриц

Доброго времени суток.
Я опять прошу Вашей неоценимой помощи.
Столкнулся с задачей, нужно умножить 2-е квадратные матрицы.

У меня такой бред получился, что даже стыдно код сюда выкладывать(
Работаю под Линуксом, поэтому виндовые библиотеки не работают

Матрицы генерирую так:

Дан массив квадратных матриц. Определить, найдется ли в этом массиве пара взаимно обратных матриц
Дан массив квадратных матриц. Определить, найдется ли в этом массиве пара взаимно обратных матриц.

Умножение матриц (не работает для неквадратных матриц)
Доброго времени суток. Написал код для перемножения двух матриц. При вводе квадратной матрицы всё.

Умножение матриц Си
моя програма считает умножение двух матриц. Вводим одно Число(оно же будет размером двух матриц).

Параллельное умножение матриц
Всем привет, помогите написать программу) нужно написать программу Параллельное умножение матриц.

Решение

Спасибо, но сказано, что при умножении матриц 2х2 получается матрица 4х4.

По принципу умножения матрицы на число

Добавлено через 1 час 56 минут
Не подскажете хотя бы алгоритм?

что-то не вижу этого в стартовом сообщении.

ты точно в задание вчитался?

Tuxoid, запомни на всю жизнь в математике результатом умножения матрицы 2х2 является матрица 2х2 и 4х4 из неё получать можно лишь оговорив алгоритм, т. к. в общем случае это бред.

Добавлено через 2 минуты

Решение

судя по определению тензорного произведения (а вернее, в данном случае правильней называть произведения Кронекера), и по определению, что ты дал здесь, у меня выводится то, что нужно. Ну либо я что-то не понимаю.

Просто приведи пример перемножения двух конкретных матриц, а то я не могу понять, что же именно в моем коде не так

Результат
2 10 3 15
4 6 6 9
1 5 4 20
2 3 8 12

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь или здесь.

Умножение двух матриц
Здравствуйте, завтра нужно сдать лабу по сишке, но функция Multiplication отказывается работать.

Умножение неквадратных матриц
Здравствуйте. Столкнулась с segmentation fault (core dumped) при умножении матриц. Сами они.

Умножение матриц по Винограду
Для вариантов, предусматривающих решение систем линейных уравнений, умножение матриц и вычисление.

Источник

Умножение матриц: эффективная реализация шаг за шагом

Введение

Умножение матриц — это один из базовых алгоритмов, который широко применяется в различных численных методах, и в частности в алгоритмах машинного обучения. Многие реализации прямого и обратного распространения сигнала в сверточных слоях неронной сети базируются на этой операции. Так порой до 90-95% всего времени, затрачиваемого на машинное обучение, приходится именно на эту операцию. Почему так происходит? Ответ кроется в очень эффективной реализации этого алгоритма для процессоров, графических ускорителей (а в последнее время и специальных ускорителей матричного умножения). Матричное умножение — один из немногих алгоритмов, которые позволяет эффективно задействовать все вычислительные ресурсы современных процессоров и графических ускорителей. Поэтому не удивительно, что многие алгоритмы стараются свести к матричному умножению — дополнительная расходы, связанные с подготовкой данных, как правило с лихвой окупаются общим ускорением алгоритмов.

Так как реализован алгоритм матричного умножения? Хотя сейчас существуют множество реализаций данного алгоритма, в том числе и в открытых исходных кодах. Но к сожалению, код данных реализаций (большей частью на ассемблере) весьма сложен. Существует хорошая англоязычная статья, подробно описывающая эти алгоритмы. К моему удивлению, я не обнаружил аналогов на Хабре. Как по мне, этого повода вполне достаточно, чтобы написать собственную статью. С целью ограничить объем изложения, я ограничился описанием однопоточного алгоритма для обычных процессоров. Тема многопоточности и алгоритмов для графических ускорителей явно заслуживает отдельной статьи.

Процесс изложения будет вестись ввиде шагов с примерами по последовательному ускорению алгоритма. Я старался писать максимально упрощая задачу, но не более того. Надеюсь у меня получилось…

Постановка задачи (0-й шаг)

В общем случае функция матричного умножения описывается как:

Где матрица A имеет размер M х K, матрица B — K х N, и матрица C — M х N.

Мы без ущерба для изложения, можем считать, что a = 0 и b = 1:

Ее реализация на С++ «в лоб» по формуле будет выглядеть следующим образом:

120 GFLOPS (float-32) если ограничится использованием AVX2/FMA и

200 GFLOPS при использовании AVX-512). Так, что нужно предпринять, чтобы приблизится к теоретическому пределу? Далее мы в ходе ряда последовательных оптимизаций придем к решению, которое во многом воспроизводит то, что используется во многих стандартных библиотеках. В процессе оптимизации, я буду задействовать только AVX2/FMA, AVX-512 я касаться не буду, так как их распостраненность пока невелика.

Сначала устраним самые очевидные недостатки алгоритма:

Результат тестовых замеров показывает время выполнения в 250 мс, или 11.4 GFLOPS. Т.е. такими небольшими правками мы получили ускорение в 8 раз!

Векторизуем внутренний цикл (2-й шаг)

Запускаем тесты, получаем время 217 мс или 13.1 GFLOPS. Упс! Ускорение всего на 15%. Какже так? Тут нужно учитывать, два фактора:

Дальнейшие наши шаги по оптимизации алгоритма будут направлены на минимизацию доступа в память.

Пишем микроядро (3-й шаг)

В предыдущей версии на 1 FMA операцию приходится 2 загрузки и 1 выгрузка.
Больше всего загрузок и выгрузок происходит с результирующей матрицей С: данные из нее нужно загрузить, прибавить к ним произведение C[i][j] += A[i][k]*B[k][j], а потом сохранить. И так много раз. Наиболее быстрая память, с которой может работать процессор — это его собственные регистры. Если мы будем хранить результирующее значение матрицы С в регистре процессора, то в процессе расчета нужно будет подгружать только значение матриц A и B. Теперь у нас на 1 FMA операцию приходится только 2 загрузки.

Если мы будем хранить в регистрах значения двух соседних столбцов матрицы C[i][j] и C[i][j+1], то сможем повторно использовать загруженное значение матрицы A[i][k]. И на 1 FMA операцию потребуется только 1.5 загрузки. Кроме того, сохраняя результат в 2 независимых регистра, мы позволим процессору выполнять 2 FMA операции за такт. Аналогично можно хранить в регистрах значения двух соседних строк — тогда будет осуществляться экономия на загрузке значений матрицы B.

Всего настольные процессоры Интел начиная с 2-го поколения имеют 16 256-bit векторных регистров (справедливо для 64-bit режима процессора). 12 из них можно использовать для хранения кусочка результирующей матрицы С размером 6×16. В итоге мы сможем выполнить 12*8 = 96 FMA операций загрузив из памяти только 16 + 6 = 22 значений. И того нам удалось сократить доступ к памяти с 2.0 до 0.23 загрузки на 1 FMA операцию — почти в 10 раз!

Функция которая осуществляет вычисление такого маленького кусочка матрицы С, обычно называется микроядром, ниже приведен пример такой функции:

Введем небольшую вспомогательную функцию для инициализации начального значения матрицы С:

Здесь lda, ldb, ldc — длина строчки (Leading Dimension в общем случае) соответсвующей матрицы.

Тогда функция умножения примет следующий вид:

Запускаем ее и получаем время исполнения 78.5 мс или 36.2 GFLOPS. Т.е. использование микроядра позволило ускорить матричное умножение почти в 3 раза. Но полученное быстродействие все еще далеко от максимального. Где теперь узкое место?

Переупорядочиваем матрицу B (4-й шаг)

Микроядро за каждую итерацию загружает два 256-bit вектора из матрицы B.

Причем каждый раз из новой строчки. Это делает невозможным для процессора эффективное кеширование этих данных. Для исправления этой ситуации сделаем два изменения:

Здесь стоит отметить, что загрузка и выгрузка AVX векторов оптимально работает при выровненных данных, потому используются специальные функции для выделения памяти.

Функция переупорядочивания матрицы B:

Ну и собственно 4-я версия функции gemm:

Результаты тестирования (29.5 мс или 96.5 GFLOPS) показывают, что мы на правильном пути. Фактически достигнуто около 80% от теоретически возможного максимума.

Победа? К сожалению нет. Просто размер матриц, который мы использовали для тестирования (M=N=K=1152) оказался удобным для данной версии алгоритма. Если увеличить К в 100 раз (M=1152, N=1152, K=115200), то эффективность алгоритма упадет до 39. 5 GFLOPS — почти в 2.5 раза.

Локализуем данные в кэше L1 (5-й шаг)

Так почему же с ростом параметра K, падает эффективность алгоритма? Ответ кроется в величине буфера, который мы использовали для хранения переупорядоченных значений B. При больших значениях K он просто не влазит в кэш процессора. Решением проблемы будет ограничение его величины до размера кэша данных L1. Для процессоров Интел размер кэша данных L1 составляет 32 kb. C ограничением размера буфера, микроядро будет пробегать не по всем значениям K, а только по диапазону, который влазит в L1 кэш. Результаты промежуточных расчетов матрицы С будут храниться в основной памяти.

Введем макроядро — вспомогательную функцию, которая производит расчеты над областью данных, которые влазят в кэш:

В главной функции у нас добавится цикл по K, в котором мы будем вызывать макроядро:

Результаты замеров показывают, что мы движемся в правильном направлении: для (M=1152, N=1152, K=115200) производительность алгоритма составила 78. 1 GFLOPS. Это значительно лучше, чем в прошлой версии, но все еще хуже, чем для матрицы средних размеров.

Переупорядочиваем матрицу A и локализуем в кэше L2 (6-й шаг)

Ограничив размер K, который обрабатывается за один проход микроядра, мы сумели локализовать данные матрицы B в кэше L1. Данных, которые подгружаются из матрицы A почти в три раза меньше. Но давайте попробуем локализовать и их, заодно переупорядочив данные, чтобы они лежали последовательно. Напишем для этого специальную функцию:

Так как, данные матрицы A теперь идут последовательно, то параметр lda в макроядре нам больше не нужен. Также поменялись параметры вызова микроядра:

Размер буфера для переупорядоченной матрицы A ограничиваем размером L2 кэша процессора (он обычно составляет от 256 до 1024 kb для разных типов процессоров). В главной функции добавляется дополнительный цикл по переменной M:

Результаты тестовых замеров для (M=1152, N=1152, K=115200) — 88. 9 GFLOPS — приблизились еще на один шаг к результату для матриц среднего размера.

Задействуем кэш L3 (7-й шаг)

В процессорах помимо кэша L1 и L2 еще часто бывает кэш L3 (обычно его размер составляет 1-2 MB на ядро). Попробуем задействовать и его, например, для хранения переупорядоченных значений матриц B, чтобы избежать лишних вызовов функции reorder_b_16. В функции макроядра появится дополнительные параметр reorderB, который будет сообщать о том, что данныe матрицы B уже упорядочены:

В основной функции добавится цикл по N:

Результаты замеров для (M=1152, N=1152, K=115200) дают результат в 97.3 GFLOPS. Т.е. мы даже немного превысили результат для матриц среднего размера. Фактически мы получили универсальный алгоритм (на самом деле нет, про ограничения в следующем разделе), который практически одинаково эффективно (порядка 80% от теоретически достижимого макимума) работает для любого размера матриц. На этом предлагаю остановиться и описать, что у нас в итоге получилось.

Общая схема алгоритма

На рисунке ниже приведена схема получившегося алгоритма:

Микро ядро
Макро ядро
Основная функция

Что осталось за кадром?

В процессе изложения основных принципов, которые используются в алгоритме матричного умножения, я сознательно упростил задачу, иначе она бы не влезла ни в одну статью. Ниже я опишу некоторые вопросы, которые неважны для понимания основной сути алгоритма, но очень важны для практической их реализации:

Заключение

Приведенный алгоритм матричного умножения позволяет эффективно задействовать ресурсы современных процессоров. Но он наглядно показывает, что максимальная утилизация ресурсов современных процессоров — это далеко нетривиальная задача. Подход с использованием микроядер и максимальной локализации данных в кэше процессора можно с успехом использовать и для других алгоритмов.

Код проекта с алгоритмами из статьи можно найти на Github.

Источник

Видео

Умножение матриц c++. Как умножить матрицы на c++.

Программирование на Си — Урок 11 — многомерные массивы и матрицы

Умножение матрицу на матрицу (прямоугольные и квадратные матрицы)

Задача об умножении матриц

Умножение матриц

Произведение матриц

МАТРИЦЫ математика УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ и простейшие операции с матрицами

Умножение матриц

Двумерные массивы в Си: обычные и динамические

Параллельное умножение матрицы на матрицу (с MPI)

Умножение матриц

Каталин Дэвид

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

  1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
  2. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
  3. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
  4. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
  5. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$A \cdot B=$ $\begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue}2 & \color{green}2\\ \color{red}3 &\color{blue}1 & \color{green}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot4}+\color{blue}{2\cdot3}+\color{green}{2\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}+\color{green}{2\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot3}+\color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}+\color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 12 & 14\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot B \neq B \cdot A$

Пример 8
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$

$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 9
$A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{red}{1} \\ \color{blue}{4} & \color{blue}{3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{2} & \color{green}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5} + \color{blue}{4\cdot4} + \color{green}{3\cdot2} & \color{red}{1\cdot2} + \color{blue}{4\cdot3} + \color{green}{3\cdot1} & \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot2} + \color{green}{3\cdot5} \\ \color{red}{2\cdot5} + \color{blue}{1\cdot4} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot2} + \color{blue}{1\cdot3} + \color{green}{5\cdot1} & \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot5} + \color{blue}{2\cdot4} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{3\cdot2} + \color{blue}{2\cdot3} + \color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\\ 24 & 12 & 29\\ 25 & 13 & 12 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2} & \color{green}{1}\\ \color{red}{4} & \color{blue}{3} & \color{green}{2}\\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1} + \color{blue}{2\cdot2} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot4} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{5\cdot3} + \color{blue}{2\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \\ \color{red}{4\cdot1} + \color{blue}{3\cdot2} + \color{green}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot4} + \color{blue}{3\cdot1} + \color{green}{2\cdot2} & \color{red}{4\cdot3} + \color{blue}{3\cdot5} + \color{green}{2\cdot1}\\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{5\cdot3} & \color{red}{2\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot2} & \color{red}{2\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{5\cdot1} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\\ 16 & 23 & 29\\ 19 & 19 & 16 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 10
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ \end{pmatrix} I_{2}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot1}+\color{blue}{2\cdot0} & \color{red}{5\cdot0}+\color{blue}{2\cdot1} \\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{5} & \color{red}{2} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{1} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot5}+\color{blue}{0\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot5}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A=A$.

Пример 11
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{4} & \color{green}{3} \\ \color{red}{2} & \color{blue}{1} & \color{green}{5}\\ \color{red}{3} & \color{blue}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} & \color{blue}{0} \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot1} + \color{green}{3\cdot0} & \color{red}{1\cdot0} + \color{blue}{4\cdot0} + \color{green}{3\cdot1} \\ \color{red}{2\cdot1} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{5\cdot0} & \color{red}{2\cdot0} + \color{blue}{1\cdot0} + \color{green}{5\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot1} + \color{green}{1\cdot0} & \color{red}{3\cdot0} + \color{blue}{2\cdot0} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{0} & \color{green}{0} \\ \color{red}{0} & \color{blue}{1} & \color{green}{0}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{0} & \color{green}{1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{3} \\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{5} \\ \color{green}{3} & \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{1\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{0\cdot1} \\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{1\cdot2} + \color{green}{0\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{1\cdot1} + \color{green}{0\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{1\cdot5} + \color{green}{0\cdot1}\\ \color{red}{0\cdot1} + \color{blue}{0\cdot2} + \color{green}{1\cdot3} & \color{red}{0\cdot4} + \color{blue}{0\cdot1} + \color{green}{1\cdot2} & \color{red}{0\cdot3} + \color{blue}{0\cdot5} + \color{green}{1\cdot1} \end{pmatrix} =$
$=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot I_{3} = I_{3} \cdot A = A$.

Примечание:

  1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
  2. $A\cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

Матрицы Определитель Ранг матрицы Обратные матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц

13.1.3. Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером Т Х п и матрица В разме­ром П х K. Будем рассматривать матрицу А как совокупность Т векторов-строк I размерности П каждый, а матрицу В — Как совокупность K векторов-столбцов J, каждый из которых содержит по П координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В Показаны в записи этих матриц (13. 3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой CIj равны скалярным произве­дениям векторов-строк I матрицы А на векторы-столбцы J Матрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер Т х K, поскольку длина П векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих век­торов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13.4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скаляр­ные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как ска­лярные произведения второй вектор-строки матрицы А На все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства за­поминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей:, т. е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: Т х K.

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — Прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А И В квадратные размером N х N, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т. е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от по­рядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т. е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы — это частные случаи матриц: век­тор-строка длины П представляет собой матрицу с одной стро­кой и П столбцами, а вектор-столбец высоты N — матрицу с N строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соот­ветственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С — мат­рицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α — действительное число. Тогда следу­ющие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В п. 1 этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадрат­ных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единич­ную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную мат­рицу.

< Предыдущая   Следующая >

Умножение матриц.

Навигация по странице:

  • Умножение матриц
  • Свойства умножения матриц
  • Примеры умножения матриц

Онлайн калькулятор. Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матрицAm×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + … + ain · bnj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.


Свойства умножения матриц

  • (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
  • (z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
  • A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
  • En · Anm = Anm · Em= Anm — умножение на единичную матрицу;
  • A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
  • Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =   4  2   и B =   3  1  .
 9  0  -3  4 

Решение:

С = A · B =   4  2   ·   3  1   =   6  12 
 9  0   -3  4   27  9 

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 
 2  1 
 -3  0 
 4  -1 
 и B = 
 5  -1  6 
 -3  0  7 
.

Решение:

C = A · B = 
 2  1 
 -3  0 
 4  -1 
 · 
 5  -1  6 
 -3  0  7 
 = 
 7  -2  19 
 -15  3  -18 
 23  -4  17 

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a22·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Линейная алгебра на Python. [Урок 3]. Действия над матрицами

Тема третьего урока: действия над матрицами. В рамках нее будут рассмотрены следующие вопросы: умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

  • Действия над матрицами
    • Умножение матрицы на число
    • Сложение матриц
    • Умножение матриц

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> C = 3 * A
>>> print(C)
[[ 3  6 9]
[12 15 18]]

 

Рассмотрим свойства операции умножения матрицы на число.

Свойство 1. Произведение единицы и любой заданной матрицы равно заданной матрице:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> L = 1 * A
>>> R = A
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]

 

Свойство 2. Произведение нуля и любой матрицы равно нулевой матрице, размерность которой равна исходной матрицы:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = 0 * A
>>> R = Z

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]

 

Свойство 3. Произведение матрицы на сумму чисел равно сумме произведений матрицы на каждое из этих чисел:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3

>>> L = (p + q) * A
>>> R = p * A + q * A

>>> print(L)
[[ 5 10]
[15 20]]

>>> print(R)
[[ 5 10]
[15 20]]

 

Свойство 4. Произведение матрицы на произведение двух чисел равно произведению второго числа и заданной матрицы, умноженному на первое число:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3

>>> L = (p * q) * A
>>> R = p * (q * A)

>>> print(L)
[[ 6 12]
[18 24]]

>>> print(R)
[[ 6 12]
[18 24]]

 

Свойство 5. Произведение суммы матриц на число равно сумме произведений этих матриц на заданное число:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> k = 3

>>> L = k * (A + B)
>>> R = k * A + k * B

>>> print(L)
[[18 24]
[30 36]]

>>> print(R)
[[18 24]
[30 36]]

 

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковой размерности — то есть матрицы, у которых совпадает количество столбцов и строк.

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 6 3; 8 2 7')
>>> B = np.matrix('8 1 5; 6 9 12')
>>> C = A + B

>>> print(C)
[[ 9  7 8]
[14 11 19]]

 

Рассмотрим свойства сложения матриц.

Свойство 1. Коммутативность сложения. От перестановки матриц их сумма не изменяется:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')

>>> L = A + B
>>> R = B + A

>>> print(L)
[[ 6  8]
[10 12]]

>>> print(R)
[[ 6  8]
[10 12]]

 

Свойство 2. Ассоциативность сложения. Результат сложения трех и более матриц не зависит от порядка, в котором эта операция будет выполняться:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('1 7; 9 3')

>>> L = A + (B + C)
>>> R = (A + B) + C
>>> print(L)

[[ 7 15]
[19 15]]

>>> print(R)
[[ 7 15]
[19 15]]

 

Свойство 3. Для любой матрицы существует противоположная ей , такая, что их сумма является нулевой матрицей :

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')

>>> L = A + (-1)*A

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]

 

Умножение матриц

Умножение матриц это уже более сложная операция, по сравнению с рассмотренными выше. Умножать можно только матрицы, отвечающие следующему требованию: количество столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

Для простоты запоминания этого правила можно использовать диаграмму умножения, представленную на рисунке 1.

Рисунок 1 — Диаграмма матричного умножения

Рассмотрим умножение матриц на примере.

Численный пример

Каждый элемент cij новой матрицы является суммой произведений элементов i-ой строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Математически это записывается так:

Пример на Python

Решим задачу умножения матриц на языке Python. Для этого будем использовать функцию dot() из библиотеки Numpy:

>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> B = np.matrix('7 8; 9 1; 2 3')

>>> C = A.dot(B)

>>> print(C)
[[31 19]
[85 55]]

 

Ниже представлены свойства произведения матриц. Примеры свойств будут показаны для квадратной матрицы.

Свойство 1. Ассоциативность умножения. Результат умножения матриц не зависит от порядка, в котором будет выполняться эта операция:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')

>>> L = A.dot(B.dot(C))
>>> R = (A. dot(B)).dot(C)

>>> print(L)
[[192 252]
[436 572]]

>>> print(R)
[[192 252]
[436 572]]

 

Свойство 2. Дистрибутивность умножения. Произведение матрицы на сумму матриц равно сумме произведений матриц:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')

>>> L = A.dot(B + C)
>>> R = A.dot(B) + A.dot(C)

>>> print(L)
[[35 42]
[77 94]]
>>> print(R)
[[35 42]
[77 94]]

 

Свойство 3. Умножение матриц в общем виде не коммутативно. Это означает, что для матриц не выполняется правило независимости произведения от перестановки множителей:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')

>>> L = A.dot(B)
>>> R = B.dot(A)

>>> print(L)
[[19 22]
[43 50]]

>>> print(R)
[[23 34]
[31 46]]

 

Свойство 4. Произведение заданной матрицы на единичную равно исходной матрице:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> E = np.matrix('1 0; 0 1')

>>> L = E.dot(A)
>>> R = A.dot(E)

>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(A)
[[1 2]
[3 4]]

 

Свойство 5. Произведение заданной матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице:

Численный пример

Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')

>>> L = Z.dot(A)
>>> R = A.dot(Z)

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]

 

P.S.

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.  Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Умножение

матриц в C — Упражнение 10 Решение: Учебное пособие по C на хинди #61

Зачем изучать язык программирования C? : Учебное пособие по C на хинди #1

Что такое кодирование и язык программирования C? : Учебное пособие по C на хинди #2

Установка и настройка кода VS с помощью компилятора C: Учебное пособие по C на хинди #3

Базовая структура программы на языке C на хинди: Учебное пособие по C на хинди #4

Основной синтаксис программы на языке C: C Учебное пособие на хинди #5

Переменные и типы данных в C: Учебное пособие по C на хинди #6

Операторы на C: Учебное пособие по C на хинди #7

Упражнение по программированию на C 1. Таблицы умножения: Учебное пособие по C на хинди #8

Спецификаторы формата C и escape-последовательности с примерами: Учебное пособие по C на хинди #9

If Else Control Операторы на C: Учебное пособие по C на хинди #10

Switch Case Control Операторы на C: Учебное пособие по C на хинди #11

Циклы на C: Учебное пособие по C на хинди #12

Do While Цикл в C: Учебное пособие по C на хинди # 13

Цикл в то время как в C: Учебное пособие по C на хинди # 14

Цикл For In C: Учебник C на хинди #15

Операторы Break and Continue на C: Учебник C на хинди #16

Оператор Goto на C: Учебник C на хинди #17

Приведение типов на C: Учебник C In Hindi #18

Функции на C: Учебник по C на хинди #19

C Упражнение 1: Решение таблицы умножения + Shoutouts: Учебник по C на хинди #20

Рекурсивные функции: Рекурсия на C: Учебник по C на хинди #21

C Упражнение 2: Единицы и преобразования: Учебное пособие по C на хинди #22

Массивы в C: Учебник по C на хинди #23

Упражнение 2: Решение + Shoutouts: Учебник по C на хинди #24

Упражнение 3 Рекурсии: Учебник по C на хинди #25

Указатели на C: Учебник по C на хинди #26

Массивы и арифметика указателей в C: Учебное пособие по C на хинди #27

Упражнение 3. Рекурсии: Решение + крики: Учебное пособие по C на хинди #28

Всегда ли рекурсия хороша? : Учебное пособие по C на хинди #29

Упражнение 4. Печать узоров звезд на языке C: Учебное пособие по C на хинди #30

Вызов по значению и вызов по ссылке на языке C: Учебное пособие по C на хинди #31

Передача массивов в качестве аргументов функции: Учебное пособие по C на хинди #32

Образец звезды на языке C. Упражнение 4 Решение: Учебное пособие по C на хинди #33

Строки в C: Учебное пособие по C на хинди #34

Строковые функции на C и библиотека string.h: Учебное пособие по C на хинди #35

Обращение массива на C. Упражнение 5: Учебное пособие по C на хинди #36

Структуры на C : Учебное пособие по C на хинди #37

Typedef на языке C: Учебное пособие по C на хинди #38

Unions In C: Учебное пособие по C на хинди #39

Обращение массива в языке C Упражнение 5: Решение: Учебное пособие по C на хинди #40

Язык C HTML Parser Упражнение 6: Учебное пособие по C на хинди #41

Статические переменные в C : Учебное пособие по C на хинди #42

Учебное пособие по C. Упражнение 6: Решения и ответы: Учебное пособие по C на хинди #43

Менеджер туристического агентства по языку C. Упражнение 7: Учебное пособие по C на хинди #44

Распределение памяти программ на языке C — динамическое Распределение памяти: Учебное пособие по C на хинди #45

C Language Менеджер туристического агентства Упражнение 7 Решение: Учебное пособие по C на хинди #46

Динамическое выделение памяти Malloc Calloc Realloc & Free(): Учебное пособие по C на хинди #47

C Language Менеджер сотрудников Упражнение 8: Учебное пособие по C на хинди # 48

Классы хранения на языке C Auto, Extern Static и Register Storage Classes: Учебное пособие по C на хинди #49

Менеджер сотрудников на языке C — Упражнение 8 Решение: Учебное пособие по C на языке хинди #50

Камень, бумага, ножницы для кодирования Упражнение на языке C 9: Учебник C на хинди #51

Пустой указатель на языке C: Учебник C на хинди #52

NULL Указатель на языке C: Учебник C на хинди #53

Висячий указатель на языке C: Учебник C на хинди #54

Дикий указатель на языке C: Учебное пособие по C на хинди #55

Камень, бумага и ножницы на языке C — Упражнение 9 Решение: Учебное пособие по C на хинди №56

Умножение матриц на языке C — Упражнение 10: Учебное пособие по C на хинди # 57

Введение и работа с препроцессором C: Учебное пособие по C на хинди #58

#define и #include Директивы препроцессора: Учебное пособие по C на хинди #59

Предопределенные макросы и другие директивы препроцессора: Учебное пособие по C на хинди #60

Умножение матриц в C — упражнение 10 Решение: Учебное пособие по C на хинди #61

Файловый ввод-вывод на C: Учебное пособие по C на хинди #62

Проверка палиндрома на языке C — Упражнение 11: Учебное пособие по C на хинди #63

Функции для файлового ввода-вывода на языке C: Учебное пособие по C на хинди #64

Числовой палиндром Программа на языке C: Упражнение 11 Решение: Учебное пособие по C на хинди #65

Автоматический генератор квитанций на языке C. Упражнение 12. Учебное пособие по языку C на хинди #66

Режимы файлов, fgets, fputs, fgetc, fputc и многое другое по обработке файлов C: Учебное пособие по языку C на хинди #67

Аргументы командной строки на языке C: Учебное пособие по C на хинди #68

Автоматический генератор счетов на C (решение) — Упражнение 12: Учебное пособие по C на хинди #69

Калькулятор командной строки на C — Упражнение 13: Учебное пособие по C на хинди #70

[Решено] Командная строка Калькулятор на C Упр.13 : Учебник по C на хинди #71

Указатели функций в C: Учебное пособие по C на хинди #72

Функции обратного вызова с использованием указателей на функции в C: Учебное пособие по C на хинди #73

Упражнение 13 Область круга с использованием указателей на функции: Учебное пособие по C на хинди #74

Память Утечка на C: Учебное пособие по C на хинди #75

Площадь круга на C Упражнение 14 Решение: Учебное пособие по C на хинди #76

Умножение матриц

Вы можете умножить только два матрицы если их Габаритные размеры находятся совместимый , что означает, что количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Если А знак равно [ а я Дж ] является м × н матрица и Б знак равно [ б я Дж ] является н × п матрица, продукт А Б является м × п матрица.

А Б знак равно [ с я Дж ] , куда с я Дж знак равно а я 1 б 1 Дж + а я 2 б 2 Дж + … + а я н б н Дж .

(Запись в я й ряд и Дж й столбец обозначается двойным нижним индексом а я Дж , б я Дж , а также с я Дж . Например, запись а 23 это запись во второй строке и третьем столбце.)

Определение матричного умножения указывает на умножение строк за столбцами, где элементы в я й ряд А умножаются на соответствующие записи в Дж й столбец из Б а затем добавить результаты.

Умножение матриц НЕ является коммутативным. Если ни А ни Б является единичной матрицей, А Б ≠ Б А .

Умножение строки на столбец

Мы начнем с того, что покажем вам, как умножить 1 × н матрица н × 1 матрица. Первый — это всего лишь одна строка, а второй — один столбец. По вышеприведенному правилу продукт является 1 × 1 матрица; другими словами, одно число.

Во-первых, давайте назовем записи в строке р 1 , р 2 , . .. , р н , а записи в столбце с 1 , с 2 , … , с н . Тогда произведение строки и столбца равно 1 × 1 матрица

[ р 1 с 1 + р 2 с 2 + … + р н с н ] .

Пример:

Найдите продукт.

[ 1 4 0 ] ⋅ [ 2 − 1 5 ]

Мы должны умножить 1 × 3 матрица 1 × 3 матрица. Количество столбцов в первом равно количеству строк во втором, поэтому они совместимы.

Продукт:

[ ( 1 ) ( 2 ) + ( 4 ) ( − 1 ) + ( 0 ) ( 5 ) ] знак равно [ 2 + ( − 4 ) + 0 ] знак равно [ − 2 ]

Умножение больших матриц

Теперь, когда вы знаете, как умножать строку на столбец, умножать большие матрицы несложно. Для вступления в я й ряд и Дж й столбец матрицы продуктов, умножьте каждую запись в я й строку первой матрицы соответствующей записью в Дж й столбец второй матрицы и сложения результатов.

Возьмем следующую задачу на умножение 2 × 3 матрица с 3 × 2 матрица, чтобы получить 2 × 2 матрица как произведение. Элементы матрицы произведения называются е я Дж когда они в я й ряд и Дж й столбец.

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 − 1 0 2 − 1 ] знак равно [ е 11 е 12 е 21 е 22 ]

Получить е 11 , умножить ряд 1 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 11 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 3 − 1 2 ] знак равно 1 ( 3 ) + 0 ( − 1 ) + 1 ( 2 ) знак равно 5

Получить е 12 , умножить ряд 1 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 12 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 5 0 − 1 ] знак равно 1 ( 5 ) + 0 ( 0 ) + 1 ( − 1 ) знак равно 4

Получить е 21 , умножить ряд 2 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 21 знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 3 − 1 2 ] знак равно 0 ( 3 ) + 1 ( − 1 ) + 2 ( 2 ) знак равно 3

Получить е 22 , умножить ряд 2 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 22 знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 5 0 1 ] знак равно 0 ( 5 ) + 1 ( 0 ) + 2 ( − 1 ) знак равно − 2

Записав матрицу произведения, получим:

[ е 11 е 12 е 21 е 22 ] знак равно [ 5 4 3 − 2 ]

Поэтому мы показали:

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 − 1 0 2 − 1 ] знак равно [ 5 4 3 − 2 ]

Умножение матриц C++

Возможно, во время учебы вы узнали и ответили на множество вопросов о матрицах по своим предметам математики. Матрица представляет собой набор строк и столбцов. Матрица может иметь одинаковое количество строк и столбцов и быть разной. Мы можем выполнять любые математические операции с матрицами, то есть сложение, вычитание, умножение и деление. C++ также позволяет нам использовать матрицы в наших кодах и выполнять эти операции. Таким образом, мы решили выполнить умножение матриц в программировании на C++, используя систему Ubuntu 20.04 Linux. Начнем с создания нового файла C++ для добавления кода. Сначала запустите терминал оболочки и используйте инструкцию «touch» терминала оболочки для создания файла. Мы назвали этот файл «matrix.cc». Файл хранится в домашней папке нашей системы Linux. Мы открывали его в редакторе Gnu Nano с помощью редактора nano Ubuntu, как показано на изображении ниже. Пустой файл будет открыт непосредственно в редакторе Gnu nano всего за 5 секунд.

Пример № 01:

Давайте начнем с простого примера умножения матриц в C++. C++ использует заголовок «iostream» для стандартного ввода и вывода через поток ввода-вывода. Таким образом, он также должен быть включен в файл кода. Мы включили его в наш пустой файл C++, используя ключевое слово «#include» в верхней строке. В C++ объекты ввода и вывода могут использоваться только со стандартным пространством имен.

Итак, мы должны использовать пространство имен «Std», используя слово «using» после заголовка. Мы будем выполнять умножение матриц в методе C++ main(), который также является источником запуска выполнения. Мы объявили три матрицы «x», «y» и «z» размером 5-5, т.е. строки*столбцы. Но мы также объявили переменные «r» и «c» как строки и столбцы и присвоили им одинаковые значения. В настоящее время в наших матрицах нет значений. Мы будем использовать матрицы «x» и «y» в качестве входных матриц, а матрица «z» будет произведением обеих этих матриц. Во-первых, мы должны добавить значения во входную матрицу «x» и «y» отдельно, используя циклы.

Операторы cout показывают, что пользователь будет вводить значения в матрицы «x» и «y» отдельно. Внешний цикл «for» будет использоваться для перебора строк до «r», а внешний цикл «for» — до перебора значения столбца «c». Поскольку и «r», и «c» имеют значение 2, мы создадим матрицу «x» и «y» размером 2*2. Объект «cin» использовался для сложения значений в матрице «x» и «y» с использованием циклов «I» и «j». Благодаря этому пользователь добавит «2» значения строки и «2» значения столбца в матрицы с помощью оболочки. После ввода значений в матрицы «x» и «y» мы должны найти произведение обеих матриц. Во-первых, мы должны инициализировать все строки и столбцы матрицы произведения «z» до 0 на каждой итерации, используя как «I», так и «j» для циклов, то есть r = 2 и c = 2.

На каждой итерации цикл «k» используется для умножения матрицы «x» на «y» и добавления этого значения произведения к определенному индексу итерации матрицы «z». Это будет продолжено до последней строки-столбца матрицы «z». Последние 2 цикла «for» использовались для отображения матрицы «z» в оболочке с помощью оператора объекта «cout». После всего этого последний оператор cout используется для добавления конечной строки. Теперь наша программа готова к компиляции в оболочке.

Компилятор g++ в Ubuntu 20.04 использовался для компиляции кода C++, а запрос «./a.out» использовался для выполнения скомпилированного кода. Мы добавили 2-строчные значения и 2-столбцовые значения для матриц «x» и «y» при выполнении. После этого матрица произведения «z» обеих матриц «x» и «y» была рассчитана и отображена на оболочке последней.

Пример № 02:

В приведенном выше примере мы вычислили умножение матриц для двух одинаковых матриц «x» и «y» одного порядка, т. е. одинаковое количество строк и столбцов для обеих матриц. . Но знаете ли вы правила вычисления матричного умножения? Если не? Тогда этот пример будет лучшим подспорьем для вас. Вы должны знать, что мы не можем вычислить умножение двух матриц с разными строками на порядок столбцов. Для выполнения умножения значение первой строки матрицы должно быть равно значению второго столбца матрицы, т. е. r1=c2 или r2=c1. Мы обновили значение столбца «c» до 3. Теперь значения строк и столбцов для матриц «x» и «y» не совпадают. Произведение не будет рассчитано, так как матрица «x», а «y» будет иметь 2 строки и 3 столбца, т.е. r1 не равно c2, а r2 не равно c1. Остальной код останется без изменений и будет сохранен для компиляции через Ctrl+S.

Мы скомпилировали этот непревзойденный матричный код строки-столбца и выполнили его до сих пор. Пользователь добавил значения для матриц «x» и «y». Мы получили сложные неожиданные результаты умножения матриц «x» и «y». Этот вывод неточен, потому что мы не использовали тот же порядок, который требуется для умножения матриц.

Чтобы решить эту проблему, мы должны использовать порядок r1=c2 и c1=r2 для входных матриц в нашем коде. Поэтому мы открыли тот же код и изменили строки и столбцы для матрицы «x» и «y» вместе с переменными «r=3» и «c=4». Давайте сохраним этот обновленный код и скомпилируем его.

При компиляции и выполнении мы добавили входные данные для матрицы «x» в следующем порядке: 3 строки * 4 столбца и 4 строки * 3 столбца для матрицы «y». Мы получили матрицу произведения порядка 3 строки * 4 столбца после умножения матриц «x» и «y».

Пример № 03:

Давайте рассмотрим последний, но не менее важный пример умножения матриц. Мы инициализировали r1=3, c1=4, r2=4, c2=3, матрицу «x» и матрицу «y» отдельно. Матрица продукта «M» определяется с помощью r1 и c2. Мы использовали цикл «for» для отображения уже инициализированных матриц «x» и «y» в нашей оболочке с помощью объектов «cout». Как показано на приложенном изображении ниже, это было сделано отдельно для матриц «x» и «y» для выполнения матричного умножения.

Мы вычислили произведение обеих матриц и прибавили произведение к матрице «М». Наконец, мы отобразили матрицу продукта «M» на оболочке, используя оператор объекта «cout».

При выполнении кода сначала отображаются матрицы «x» и «y», а затем матрица их произведения «M».

Вывод:

Наконец-то! Мы завершили объяснение вычисления умножения матриц в коде C++ с использованием системы Ubuntu 20. 04. Мы объяснили важность преобразования строк в столбцы в порядке матриц для операции умножения. Поэтому мы начали с простого примера с одинаковыми матрицами порядка и перешли к примерам матриц разных порядков.

Влияние локальности кеша на производительность в C через умножение матриц | by Gunavaran Brihadiswaran

Фото Скотта Грэма на Unsplash

Умножение матриц — это простая задача для всех, кто занимается компьютерными науками. Как это может быть сложно 😏 ? Это всего лишь вопрос создания 2D-массива, заполнения его данными и, наконец, вложенного цикла. Вы были бы удивлены, узнав, что то, как вы реализуете умножение матриц, оказывает значительное влияние на прошедшее время.

Вы можете скомпилировать и запустить его, используя следующие команды.

 gcc -o matrix MatrixMultiplication.c 
./martix

Именно так большинство из нас реализует умножение матриц. Какие изменения мы можем внести? Можно ли изменить порядок вложенных циклов? Конечно можем! Нет правила, говорящего, что петли должны быть в порядке i → j → k (хотя это то, что мы делаем большую часть времени 😄). Вы можете написать цикл следующим образом и все равно получить правильный вывод (порядок не имеет значения).

  for  (  int  k = 0; k < n; k++) { 
for ( int j = 0; j < n; j++) {
for i 8 in ; i < n; i++) {
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
}
}
}

Интересный вопрос: повлияет ли это на производительность?

Давайте узнаем!

Я изменил порядок вложенных циклов и выполнил по три итерации для каждой комбинации. Результаты приведены ниже.

Разве это не удивительно? Просто изменив порядок вложенных циклов, вы можете сократить время выполнения с 279,78 секунды (наихудшее) до 34,78 секунды (наилучшее). Вложенный цикл порядка [i,k,j] выполняется почти в раз в 8 раз быстрее , чем [k, j, i]. НО ПОЧЕМУ?

Чтобы понять наши результаты, нам нужно знать, как на самом деле хранятся данные и как осуществляется доступ к ним. В C двумерные массивы хранятся в ОЗУ в порядке строк (в отличие от Фортрана, где двумерные массивы хранятся в порядке столбцов). Построчный порядок просто означает, что последовательные элементы строки располагаются рядом друг с другом в памяти, тогда как в столбцовом порядке последовательные элементы столбца располагаются рядом друг с другом в памяти. Следующая диаграмма даст лучшее понимание.

Изображение автора

Данные для обработки загружаются в кэш из оперативной памяти. Кэш-память считывает данные на одну строку кэша за раз из ОЗУ. Предположим, что размер строки кэша составляет 64 байта, хотя нам нужно получить доступ к переменной целочисленного типа, которая составляет всего 4 байта, кэш должен загрузить все 64 байта.

Изображение автора

Ранее использованные строки кэша сохраняются в кэш-памяти. Когда ЦП требуется доступ к некоторым данным, система сначала проверяет, доступен ли этот конкретный фрагмент данных в кэше. Если он доступен, мы называем это попаданием в кэш. Если это не так, это называется промахом кеша, и данные необходимо загрузить из ОЗУ. Попадания в кэш обеспечивают более быстрый доступ к данным (что тривиально, поскольку для загрузки данных из ОЗУ требуется больше времени).

Теперь мы можем легко проанализировать наши результаты. Рассмотрим порядок i, j, k.

Image by Author

Учитывая i=1, j=2 и k = 0..n, нам нужно получить доступ ко всей 2-й строке матрицы A и всему 3-му столбцу матрицы B . Если вы посмотрите на расположение в памяти на диаграмме, станет ясно, что доступ ко 2-й строке матрицы A обеспечивает хорошую пространственную локализацию, поскольку все данные, которые нам нужны, находятся в одной строке кэша. Однако в Matrix B нам нужно получить доступ к разным строкам кэша для каждого значения столбца, что приведет к более высокая частота промахов кэша .

Аналогично, если мы рассмотрим порядок i, k, j (предположим, что i=1, k = 2 и j = 0..n)

Изображение автора

, мы получим хорошую пространственную локальность во всех трех случаях, что уменьшит частота промахов кеша.

Мы можем рассчитать частоту промахов кэша, используя следующую команду.

 valgrind --tool=cachegrind ./matrix 

[Обработка займет некоторое время в зависимости от аппаратного обеспечения вашей системы и размера матрицы, наберитесь терпения 😄 ]

В следующей таблице показаны проценты промахов кэша последнего уровня.

Image by Author

Из этой таблицы видно, что существует сильная корреляция между частотой промахов кэша последнего уровня и истекшим временем. [j, k, i] и [k, j, i], которые имеют самый высокий процент промахов кэша 3,6%, также имеют самое большое время работы ~ 279 секунд. Точно так же [i, k, j] и [k, i, j], которые имеют наименьший процент промахов кэша 0,2%, также имеют наименьшее время работы ~ 35 секунд.

Вам может быть интересно, что произойдет, если мы используем флаги оптимизации компилятора. Позаботится ли он о местоположении кеша сам по себе? Ниже приведены результаты, полученные при компиляции с флагом оптимизации -O3.

Таким образом, очевидно, что вы не можете полагаться на компилятор и должны учитывать пространственную локальность кеша при кодировании.

Источником вдохновения для написания этой статьи послужила лекция профессора Чарльза Э. Лейзерсона по инженерии производительности

3 способа понять умножение матриц | by Glenn Henshaw

Развивайте свою интуицию в матричном умножении с нуля

Photo by Markus Spiske на Unsplash

Когда я впервые узнал о матричном умножении, я был удивлен тем, как трудно мне было развить интуицию в отношении этой операции. Обычное определение матричного умножения скрывает множество интересных фактов, которые легче распознать, если посмотреть с разных точек зрения. В этом посте я опишу умножение матриц с трех точек зрения: столбцы, строки и их комбинации. Я также расскажу о некоторых простых фактах, которые помогут проверить вашу интуицию. Мы надеемся, что после прочтения вы получите более глубокое представление об умножении матриц, строках и столбцах. Этот пост был вдохновлен курсом линейной алгебры, который вел великий Гилберт Странг (MIT) .

В этом посте перечислены три способа интерпретации умножения матриц. Для каждой из этих интерпретаций мы обсудим следующее.

  1. Интерпретация: Что это значит?
  2. Почему это работает?: Как эта интерпретация возникает из определения умножения матриц?
  3. Проверьте свою интуицию: Список фактов, которые вы можете использовать, чтобы проверить свою интуицию для интерпретации, которую мы рассматриваем.

Иногда я упоминаю понятия линейной комбинации , линейной зависимости, линейной независимости, скалярного произведения . Если вы хотите быстро освежить свою память по этим темам, посмотрите мою статью 3 основных понятия в линейной алгебре.

Пример. Допустим, у нас есть три завсегдатая: Ларс, Фатима и Джорджия. На вечеринке Ларс купил 2 пива и 1 коктейль, Фатима купила 1 пиво и 2 коктейля, а у Джорджии было 4 пива и никаких коктейлей. Пиво стоит 7 долларов, а коктейли — 10 долларов. Мы можем смоделировать их расходы на ночь с помощью матричного умножения.

Как были вычислены числа справа?

Наша цель — понять свойства умножения матриц в более общем виде, поэтому в этом посте мы будем рассматривать произведение матрицы 3×3 A и матрицы 3×2 B . Результатом будет матрица 3×2 C .

Жак Филипп Мари Бине … признан первым, кто вывел правило умножения матриц в 1812 году. — Оливер Книлл

Обычный способ определить умножение матриц — это суммирование или, более компактно, скалярное произведение строк A и столбцов B. Скалярное произведение строки 1 A и столбца 1 B даст первую запись C.

В общем случае ij-я запись C представляет собой i-ю строку A , разделенную точками с j-м столбцом B .

Пример. Найдите третью строку и второй столбец произведения C .

Ответ: (1)(1)+(2)(2) +(3)(1) = 8. Попробуйте использовать определение, чтобы найти остальные элементы С .

Интерпретация: Запись C является скалярным произведением строки A и столбца B . Нулевые записи в C соответствуют строке A и столбцу B , которые являются ортогональными (под прямым углом друг к другу).

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

  • Количество столбцов A должно равняться количеству строк B . В противном случае суммы в определении не будут определены.
  • Продукт AB будет матрицей с тем же количеством столбцов, что и A , и тем же количеством строк, что и B.
  • соответствует ряду A и столбец B ортогональны. Ортогональные векторы линейно независимы . Но не все пары линейно независимых векторов ортогональны.

Первое, на что следует обратить внимание относительно AB = C , это то, что столбцы матрицы C связаны со столбцами матрицы A важным образом.

Интерпретация Каждый из столбцов C представляет собой матрицу A , умноженная на колонку B. Эффект этого состоит в том, что Колонны C — это линейные соболубы C — это линейные соборные соре. столбцы B.

Почему это работает? Чтобы понять, почему столбцы C являются линейными комбинациями столбцов A , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первый столбец C.

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

  • Матрица, умноженная на вектор, Ax , представляет собой просто линейную комбинацию столбцов a с элементами x. Таким образом, столбцы A линейно независимы тогда и только тогда, когда уравнение Ax = 0 имеет только нулевое решение.
  • Мы можем просмотреть столбцы C как результат применения линейного преобразования, определенного B , к столбцам A .
  • Предположим, что столбцы A линейно независимы. Затем, если C имеет столбец нулей, B также должен иметь столбец нулей.
  • Если столбцы C линейно зависимы и столбцы B линейно независимы, тогда столбцы A зависимы. This follows from that fact that if x is a non-trivial solution of Cx = 0 then Bx is a non-trivial solution of Ax = 0.
  • Если уравнение Ax = b не имеет решения, то уравнение ABx = Cx = b не имеет решения. Ведь столбцы C — это просто комбинации столбцов A .
  • Пролет колонн C содержится в пролете колонн A . Следовательно, ранг(AB) ≤ ранг(A) .
  • Если B обратим с обратным B’ , то столбцы A и AB 9018 имеют одинаковый пролет. Мы можем доказать это из предыдущего факта, ранг(AB) ≤ ранг(A) в сочетании с тем фактом, что ранг(A) = ранг(AI) = ранг(ABB’) ≤ ранг(AB).

Итак, умножение матриц с точки зрения столбцов. Теперь перейдем к рядам?

Интерпретация Строки C являются строками A , умноженными на матрицу B . Следовательно, строки C являются линейными комбинациями строк B с весами, заданными по строкам A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему строки C являются линейными комбинациями строк B , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первую строку C , используя определение умножения матриц.

Проверьте свою интуицию: Еще раз перечислим некоторые факты о строках, которые выводятся из этой интерпретации умножения матриц.

  • Для AB = C , если строки C линейно независимы, то строки B линейно независимы. Предупреждение: обратное не обязательно верно.
  • Если A имеет ряд нулей, то AB имеет ряд нулей.
  • Диапазон строк B содержит диапазон строк C .
  • Если E — обратимая матрица n×n , а B — любая матрица n×m . Тогда EB имеет то же место в строке, что и E . В частности, элементарные операции со строками сохраняют пространство строк.

Мы можем использовать интерпретацию строки и столбца, чтобы помочь набросать доказательство интересного результата о размерности пространства строки и пространства столбца m×n матрица. Размерность размаха столбцов матрицы называется ее рангом . Размер промежутка строк называется rowrank .

Claim: The rank and rowrank of an m×n matrix C are equal.

Есть много m×r матриц A и r×n матрицы B такие, что C = AB. Выберите A и B так, чтобы r было минимальным. The r columns of A span the column space of C. The r строк B охватывают пространство строк C. Поскольку мы выбрали r как наименьшее такое число, rank(C) = rowrank(C) = r.

Претензия: , если A и B — квадратные матрицы и AB = I , затем BA = I. Следовательно, B — это BA = I. , B — это BA = I. B . АВ = I . Поэтому столбцы A линейно независимы. Поэтому уравнение Ax = 0 имеет только тривиальное решение. умножьте первое уравнение справа на A , чтобы получить ABA = A . Тогда ABA-A = A(BA-I)=0 . Следовательно, ВА = I .

Наша последняя интерпретация дает нам способ разложить произведение двух матриц на сумму матриц.

Интерпретация Матрица C представляет собой сумму матриц, состоящих из столбцов A , умноженных на строки B. Матрицы, составляющие сумму, имеют столбцы, скалярно кратные столбцу A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что происходит, когда вы записываете матрицу A как сумму матриц и вычисляете AB путем распределения B .

Проверь свою интуицию:

  • Каждая из матриц в слагаемом имеет одномерные столбцы.
  • Вы можете поменять местами два столбца A и получить тот же продукт AB , если вы поменяете местами соответствующие строки B .

Мы говорили о трех разных способах понимания умножения матриц.

  1. Матрица, умноженная на столбцы
  2. Строки, умноженная на матрицы
  3. И столбцы, умноженные на строки

Мы использовали эти различные интерпретации для обзора некоторых основных фактов о матричном умножении, независимости и интервале.

Умножение матриц в C | Отличное обучение

1000+ бесплатных курсов

Вы уже зарегистрированы. Пожалуйста, войдите вместо этого.

Вы уже зарегистрированы. Пожалуйста, войдите вместо этого.

Адрес электронной почты

Пароль

Забыл пароль?

Адрес электронной почты

Введите действительный адрес электронной почты

Вернуться на страницу авторизации

Если у вас есть учетная запись с отличными знаниями, вы получите электронное письмо для установки пароля.

Умножение матриц в C

С этим курсом вы получите

Зарегистрируйтесь бесплатно

Поделись с друзьями

Чему вы научитесь при умножении матриц в C?

Основные понятия программирования на языке C и умножение матриц

Об этом бесплатном сертификационном курсе

Умножение матриц — это бинарная операция в математике, которая создает матрицу из двух матриц, особенно в линейной алгебре. Для умножения матриц количество столбцов в первой матрица должна быть равна количеству строк во второй матрице. Результирующая матрица, известная как произведение матриц, имеет количество строк первой и количество столбцов второй матрицы. Произведение матриц X и Y равно обозначается как XY. Вы начнете этот курс с понимания основ C, таких как переменные, типы данных, операторы, условные операторы, массивы, циклы и т. д. Двигаясь вперед, вы узнаете, как построить логику для умножения матриц с использованием многомерных массивов вместе с практической реализацией в C программирование.

Краткое содержание курса

Резюме

Все темы, затронутые в этом занятии, кратко изложены для лучшего понимания и изучения.

Переменные в C

Переменная — это имя, данное ячейке памяти, где значение не всегда фиксировано. Давайте посмотрим, как определить переменную с помощью примера и поймем область действия переменной.

Ввод Вывод в C

Ввод — это средство для предоставления некоторых данных, которые будут использоваться в программе, а Вывод — для отображения данных на экране или в файле. С помощью программы давайте разберемся с различными операторами ввода и вывода в C, а также проверим, как данный ввод обрабатывается для получения результатов.

Псевдокод

Практическая реализация

В этом модуле мы поймем наследование в Java через практическую реализацию.

Типы данных в C

Введение в умножение матриц

Умножение матриц

Зачем изучать этот курс?

Получите работу от

Лучшие рекрутинговые компании

Умножение матриц в C

С этим курсом вы получите

Зарегистрируйтесь бесплатно

Поделись с друзьями

верхний Бесплатные курсы по информационным технологиям и программному обеспечению >

Бесплатно

Новичок

Бесплатная

Промежуточная

Бесплатно

Новичок

Бесплатно

Новичок

Пожалуйста, подождите. ..

Актуальны Карьерный путь >

  • ИТ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

    Разработчик программного обеспечения

  • ИТ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

    Интерфейсный разработчик

  • ИТ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

    Инженер по информационной безопасности

Другие учебные пособия по ИТ и программному обеспечению

  • JavaScript

  • DevOps

    Облачные вычисления

  • Блокчейн

Great Learning Academy — бесплатный онлайн-сертификат Курсы

Great Learning Academy, инициатива Great Learning по предоставлению бесплатных онлайн-курсов по различным областях, позволяет профессионалам и студентам освоить наиболее востребованные навыки, которые помогут им добиться карьерного роста. успех.

Great Learning Academy предлагает бесплатные сертификационные курсы с более чем 1000 часов контента из более чем 1000 курсов в различный таких областях, как наука о данных, машинное обучение, искусственный интеллект, ИТ и программное обеспечение, облачные вычисления, Маркетинг и финансы, большие данные и многое другое. Он предложил бесплатные онлайн-курсы с сертификатами для 5 миллионов+ учащихся из 170+ стран. Платформа Great Learning Academy позволяет вам реализовать свои карьерные устремления работая над реальными проектами, изучая востребованные навыки и получая знания из лучших бесплатных онлайн-ресурсов. курсы с сертификаты. Помимо бесплатных курсов, он предоставляет видеоконтент и живые сеансы с экспертами отрасли. в качестве Что ж.

  1. Отличное обучение
  2. Академия
  3. Информационные технологии и программное обеспечение
  • О
  • Содержание курса

Ознакомьтесь с 1000+ бесплатных курсов

Загрузка. ..

Мы видим, что вы уже подали заявку на .

Обратите внимание, что Академия GL предоставляет лишь небольшую часть учебных материалов Great Learning. Для полный опыт программы с помощью карьеры GL Excelerate и преданного наставничества, наша программа будет лучшим для вас. Пожалуйста, не стесняйтесь обращаться к своему консультанту по обучению в случае каких-либо вопросы. Вы можете ознакомиться с нашей программой, посетив демо-версию программы.

Мы видим, что вы уже записались на нашу

Обратите внимание, что GL Academy предоставляет только часть учебного содержания вашей программы. Поскольку вы уже зачисленных на нашу программу, предлагаем начать подготовку к программе с помощью обучающего материал, предоставленный в качестве предварительной работы. Благодаря эксклюзивным функциям, таким как карьерная поддержка GL Excelerate и преданное наставничество, наш , безусловно, лучший опыт, который вы можете получить.

Мы видим, что вы уже записались на нашу

Обратите внимание, что GL Academy предоставляет только часть учебного содержания наших программ. Поскольку вы уже зачислены в нашу программу, пожалуйста, убедитесь, что ваше обучение там продолжается гладко. Мы добавим ваши курсы Great Learning Academy на вашу панель инструментов, и вы сможете переключаться между зачисленными программу и курсы Академии из панели управления.

Мы добавим ваши курсы Great Learning Academy на вашу панель инструментов, и вы сможете переключаться между цифровыми Пакеты Campus и GL Academy с панели управления.

Мы видим, что вас интересует номер .

Убедитесь, что ваше обучение проходит гладко в рамках наших программ pg.

GL Academy предоставляет только часть учебного содержания наших программ pg, а CareerBoost — это инициатива GL Academy, направленная на то, чтобы помочь студентам колледжей найти работу начального уровня.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.