[PDF] 1.
Частные производные от f (x, y) = xy −… y − xy равны f = y − 2xy − yСкачать 1. Частные производные от f (x, y) = xy −… y − xy равны f = y − 2xy − y…
1. Частными производными от f (x, y) = xy − x2 y − xy 2 являются fx = y − 2xy − y 2 и fy = x − x2 − 2xy. Критические точки находятся из системы y − 2xy − y 2 = 0 x − x2 − 2xy = 0. Это эквивалентно
y(1 − 2x − y) = 0 x(1 − x − 2y) = 0
Из первого уравнения следует, что либо y = 0, либо 1 − 2x − y = 0. В первом случае второе уравнение принимает вид x(1 − x) = 0, что дает нам два решения (x, y) = (0, 0) и (х, у) = (1, 0). Рассмотрим теперь второй случай 1 − 2x − y = 0, т. е. 2x + y = 1. Из второго уравнения x(1 − x − 2y) = 0 следует, что либо x = 0, либо 1 − x − 2y = 0. В первом случае мы получаем y = 1, так что (x, y) = (0, 1). Во втором случае мы получаем систему 2x + y = 1 x + 2y = 1. Ее решение (x, y) = (1/3, 1/3). Получаем шесть критических точек (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1/3, 1/3).
2 . Имеем fxx = −2y, fyy = −2x, fxy = 1 − 2x − 2y. Найдем fxx fyy − fxy 2 Следовательно, fxx fyy − fxy = 4xy − (1 − 2x − 2y)2 . Его значения в точках (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1/3, 1/3) равны −1, −1, −1, 4/9.−(1−4/3)2 = 4/9 − 1/9 = 1/3. Отсюда следует, что точки (0, 0), (1, 0) и (0, 1) являются седлами, а точка (1/3, 1/3) — точкой локального максимума, так как fxx (1/3 , 1/3) = −2/3 x2 + 4y 2 = 1 −xy h−ye , −xe−xy i = λh3x, 8yi или 2 x + 4y 2 −ye−xy −xe−xy
= 1 = 2λx = 8λy
Из второго уравнения следует, что либо x = 0, либо λ=−
y − xy e . 2x
В случае x = 0 из первого уравнения получаем 4y 2 = 1, но это противоречит тому, что −ye−xy = 2λx = 0, так что это невозможно.
1
Подставив выражение для λ в третье уравнение системы, получим 4y y, x и умножив на x) −xe−xy = −
или (разделив на −e−xy
x2 = 4y 2. √ √ Используя x2 +4y 2 = 1, мы получаем x2 = 4y 2 = 1/2, так что x = ±1/2 и y = ±1/2 2, где возможны все четыре комбинации знаков. √ Мы тестируем пять особых точек: (0, 0), ±(1/2, 1/2 2) и √ получили √ ±(1/2, −1/2 2). √ соответствующие значения √ функции равны 1, e1/4 и √ √ −1/4 e Отсюда следует, √ что (1/√ 2, 1/2 2) и √ (−1/√ 2, −1/2 2) являются точками точки максимума, а точки минимума (1/ 2, −1/2 2) и (−1/ 2, 1/2 2) RR R e R y4 Re Re Re y4 3. Имеем D 1/x dA = 1 y2 1/x dx dy = 1 ln x|x=y2 dy = 1 (4 ln y − Re e 2 ln y) dy = 1 2 ln y dy = 2y ln y − 2y|1 = (2e − 2e) − (0 − 2) = 2. 4. Областью интегрирования является треугольник с вершинами (0, 0), (3, 0), (3, 1), поэтому интеграл можно записать в виде 3
Z
x/3
Z
0
2
ex dy dx =
0
Z
3
2
xex /3 dx =
0
Z 0
3
3 2 2 e9 − 1 ex /6 dx2 = ex /6 = 6 0
RR p 5. Он равен интегралу D 4×2 + 4y 2 + 1 dA, где D — область, ограниченная окружностью x2 + y 2 = 4 (равно пересечению параболоида с плоскостью xy). Перейдем к полярным координатам для вычисления интеграла.