Частное это вычитание или деление: Что такое разность и частное

Содержание

Что называется частным. Частное — это что такое? Частное числа: значение

Аноним

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел. Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем. Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое. Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого. a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Аноним

Частное чисел

1. Введем определение этого понятия. Частным чисел называется результат деления одного из чисел на другое. Частное чисел — это математическая величина.

2. Наглядное представление: a / b = c.

а — делимое;
b — делитель;
c — частное.

3. Пример 1. 156 / 2. Если поделить число 156 на 2, то в результатом будет число 78. В этом случае число 78 представляет собой частное двух чисел, результат от деления числа 156 на 2. 156 — делимое, 2 — делитель. Число 156 больше, чем число 2, в 78 раз. Данные умозаключения можно проверить, достаточно лишь выполнить операцию, обратную делению. 78 * 2 = 156. Верно.

4. Усложненный пример. 153214 / 2. 153214 — делимое, 2 — делитель.

Делим 15 на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 15 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 3. 13 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 13 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 2. 12 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 12 полученное значение и получаем 0.
Спускаем единицу, прописываем ноль. Спускаем 4. 14 делим на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 14 полученное значение и получаем 0.

Неполное частное

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Приведем пример: 157 / 3. 157 — делимое, 3 — делитель. При делении мы получаем, что число 3 содержится в числе 157, 52 раза, но образуется еще и остаток, который равен единице. В данном случае число 52 будем называть неполным частным. Число 1 — это остаток от деления числа 157 на 3.

Подписаться на сайт

Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Математика – уникальная наука, которая привлекает точностью и последовательностью. Каждый, кто начал изучать эту важную дисциплину, должен разобраться, что такое частное в математике.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

Сложение
Вычитание
Деление
Умножение

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое .

Есть ряд символов, которые обозначают его:

Двоеточие (:)
Косая черта (/)
Обелюс (тире между двумя точками ÷)

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

a – делимое

b – делитель

с – частное

Запишем простой пример из математики:

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

40 – частное

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

120:2=60

120 – делимое

2 – делитель

60 – частное

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

Полное. В результате деления мы получаем целое число:

100:2=50

100 – делимое

2 – делитель

50 – полное частное

Неполное. Если в результате мы получаем остаток:

51:2=25 (остаток 1)

51 – делимое

2 – делитель

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

30 – делимое

6 – делитель

X – частное

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

Частное, как результат деления Частное, как противопоставление общему Частное, как принадлежащее Частному лицу … Википедия

Результат деления … Большой Энциклопедический словарь

— [сн], частного, ср. (мат.). Число, полученное от деления одного числа на другое. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ЧАСТНОЕ, ого, ср. Результат, итог деления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Сущ., кол во синонимов: 1 термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Обвинение особый порядок производства в судебныхустановлениях дел о Ч. преступлениях; в более общем значении термин: Ч.обвинение обнимает собой все формы участия Ч. лиц в возбужденииуголовного преследования и в обличении обвиняемого на суде.… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

частное — частное. Произносится [часное] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

частное — отношение коэффициент — [Л. Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы отношениекоэффициент EN quotient … Справочник технического переводчика

ЧАСТНОЕ — результат операции деления; обозначается а:b, а/b или … Большая политехническая энциклопедия

Ого; ср. 1. Матем. Результат деления одной величины на другую. Найти ч. В частном получилось слишком большое число. 2. То, что представляет собой отдельную часть, особенность чего л. От частного к общему. Уделить внимание частному. * * * частное… … Энциклопедический словарь

частное — вынести частное определение существование / создание … Глагольной сочетаемости непредметных имён

Книги

Частное право Древнего Рима , В. В. Макеев, А. Г. Головко. Предлагаемое издание является учебным пособием по римскому частному праву. Новационность содержания и структуры не имеет на сегодняшний день аналога, так как охватывает буквально все стороны…
Частное расследование , Фридрих Незнанский. Талантливый ученый и инженер А. Н. Грамов создает уникальный психотропный генератор, при помощи которого можно влиять на человека, где бы он ни находился. По сути им создано новейшее…

2. Наглядное представление: a / b = c.

а — делимое;
b — делитель;
c — частное.

4. Усложненный пример. 153214 / 2. 153214 — делимое, 2 — делитель.

Делим 15 на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 15 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 3. 13 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 13 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 2. 12 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 12 полученное значение и получаем 0.
Спускаем единицу, прописываем ноль. Спускаем 4. 14 делим на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 14 полученное значение и получаем 0.

Неполное частное

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел.

Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел а и b будет число c, которое равно c = a: b. При этом число a будет делимым, а число — b делителем.

Иными словами, частное чисел — это математическая величина, которая получается в результате деления одного числа на другое.

Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Что такое частное чисел (онлайн калькулятор на деление)

Не знаю как вы, но я порой нет нет да и задаюсь вопросом, — что такое частное чисел? …вот в голове очень хорошо уложилось что такое сумма (произведение), разность (вычитание), произведение (умножение), а вот деление никак не ассоциируется со словом частное! Ведь подобное слово в нашей жизни в большинстве случаев применяется для определения какой-либо особенности, то есть скажем частного из общего, но никак не в качестве слова поделить что-то на что-то.
Ну да ладно, на вопрос о том, что такое частное можно сказать я уже ответил в своих рассуждениях! Сейчас осталось рассказать о частном из всех возможных простых математических операций, то есть о делении, однако уже в ключе математического мышления, с определением что такое частное и примерами деления для разных чисел.

Определение частного чисел (деление)

Частное чисел — это результат получаемый при определении количества содержания одного числа в другом. Проще говоря это обычное деление. При этом общепринятые оперируемые понятия для частного это делимое, делитель и само частное — результат.

Пример. Найти частное чисел:

1) 20:2=10;

2) 35:7=5.

Ответ: 20:2=10 и 35:7=5.

Это был самый простой пример. Все самое интересное впереди! Проблемы с делением начинаются тогда, когда числа становятся большими и выходят за рамки таблицы умножения. Здесь приходится делить большое число по определенному правилу. Такое деление еще называется деление в столбик.

Пример. Найти частное чисел:

1) 894:3=298

-894| 3__
6 |298
-29
27
— 24
24
0

Ответ: 894:3=298

Как делить столбиком (о правилах деления столбиком)

1 -При подсчете столбиком необходимо записать делимое слева, а делитель в Т — образной повернутой скобке, смотрите выше. Далее определим сколько знаков будет в частном. Если первое число делимого позволяет поделить на него делитель, то условно принимаем, что с этого числа и начнется исчисление частного. Все остальные цифры делимого будут образовывать по одному знаку. То есть в нашем случае у частного — 8 есть возможность взять из него число 3, а значит она образует первый знак, а все остальные по 1 знаку, — всего 3! Если такой возможности нет, то постепенно слева направо добавляем по одной цифре, пока не сможем взять из набора этих цифр наш делитель. Все остальные знаки дадут как и в описании выше по одному знаку.

2 — Дальше смотрим сколько в нашем первом выделенном числе можно взять делителей. При этом надо брать их максимальное количество в делимом. То есть в 8 это 2 раза по 3, а итого 6. Далее из выделенного числа в нашем случае 8 вычитаем максимально возможное количество делителей, в нашем случае 6 и получаем — 2. Записываем в Т- образную повернутую скобку цифру 2.

3 — К получившемуся числу сносим цифру из цифр делимого выше. Это 9. Если получившееся число позволяет продолжить подбор по правилу выше, то проводим такой подбор. То есть в 29 цифра 3 содержится 9 раз, что равно числу 27. Записываем в Т- образную повернутую скобку цифру 9.
А оставшийся остаток 29-27 образует следующую цифру для оперирования с ней по этому же правилу. То есть 2 и сносим 4. Получается 24. Если вдруг получается так, что из оставшегося числа и снесенного сверху числа невозможно взять делитель ни разу, то в Т- образной повернутой скобке пишем 0 и сносим еще одну цифру, до тех пор пока не сможем взять из получившегося числа как минимум хотя бы 1 раз делитель.

4. Если в конце таких вычислений получается число которое невозможно поделить на делитель и сносить уже нечего, то это было деление с остатком. То есть оставшееся число или цифра, это остаток. Надо понимать, что остаток всегда должен быть меньше делителя. В этом вся соль остатка, он не позволяет взять из себя делитель даже одного раза!

Деление рациональных дробей

Для деления дробей используется следующее правило.

То есть если сказать без глубоких объяснений процессов происходящего, берем дробь, где в числителе произведение числителя делимого и знаменателя делителя, а в знаменателе этой дроби произведение знаменателя делимого и числителя делителя!

Что же, я думаю вы уже утомились воспринимать информацию и теперь вам лучше всего развеяться, поиграв с онлайн калькулятором на деление. А и тут сразу же в голове всплыло еще одно правило, на ноль делить нельзя, так как даже в самом маленьком числе нулей великое множество, то есть бесконечность, а наш курс все же для школьников начальных и средних классов, где о бесконечности знают лишь то, что можно бесконечно играть в компьютер и не более:) А как на деление с нолем отреагирует калькулятор, можете проверить сами.

Побалуемся с делением!?

Вводим циферки

Цифра которую будем делить (делимое)

На которую будем делить (делитель)

* -Infinity (бесконечность)

Произведение чисел. Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике

— (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь

Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел…, 3 … Большая советская энциклопедия

Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия

Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия

Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

— (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия

Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия

Книги

Сборник задач по мат-ке , Бачурин В. . Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .

Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.

Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).

Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7

1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .

переместительным

a × b = b × a .

Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:

а (b с) = (а b с).

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).

Вместо (ab ) с пишут abc .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;

2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.

восьмидесяти и суммы икс и семнадцати

Решим задачу.

Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение.

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:

Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел

Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.

Решим задачу.

В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):

Президент:

Вице-президент:

Рис. 47. К задаче о выборах

Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).

Решим еще задачу.

Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?

Рис. 48. К задаче о дорогах

Решение.

Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).

Рис. 49. Варианты пути

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.

Решим еще одну задачу.

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).

Рис. 50. Схема к решению задачи

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).

Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.

Сумма — это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.

Разность — это то, что получается после вычитания чисел.

Произведение — то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.

Частное — это то, что получается после деления.

I . Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ .

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Вычитание — это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, а искомое слагаемое — РАЗНОСТЬЮ .

РАЗНОСТЬ — это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ .

ПРОИЗВЕДЕНИЕ — это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

Деление — это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель — делителем, а искомый сомножитель — это ЧАСТНОЕ , то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов, а вражда — с разности взглядов.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка — настоящее произведение искусства.

ЧАСТНОЕ — это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью quot;Частноеquot;. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,

Сумма, разность, произведение, частное — это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.

Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

Сумма — это когда происходит складывание двух чисел;

Разность- это вычитание одного числа из другого;

Частное — это деление одного числа на другое;

Произведение — это умножение одного числа на другое.

Частное — результат деления чисел, произведение — результат умножения чисел, сумма — результат сложения чисел, разность — результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.

Это такие математические понятия.

Сумма — это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.

Разность — это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.

Произведение — это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.

Частное — это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

сумма — это результат сложения чисел,

разность — это результат вычетания от одного числа другого,

произведение — это результат умножения чисел,

частное — это уже результат деления чисел.

Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.

Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется quot;Математика для блондинокquot;.

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Разность — это поделить или умножить?

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

Затем отвечают:

Разность — это отнять. Результат вычитания называется разность.

Аналогично получают:

Сумма — это сложить. Результат сложения называется сумма.

Произведение — это умножить. Результат умножения называется произведение.

Частное — это деление. Результат деления называется частное.

Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность — это отнять, сумма — прибавить, произведение — умножить, частное — разделить. Если быть точными, так не утверждают.

Итак, результат сложения чисел (слагаемых) — это их сумма , результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) — это разность , результат умножения чисел (сомножителей) — это произведение , а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все. )))

Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.

1) Сумма

Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.

2) Разность

В математике означает результат вычитания числе (-).

Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.

3) Произведение

Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от quot;производитьquot;.

4) Честное

Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

Слово quot;частноеquot; мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).

В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел . Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Термины и обозначения

Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

Умножаемые целые числа называются множителями . Результат умножения называется произведением . Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .

Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

Смысл умножения целых чисел

Умножение целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

Пример.

Чему равно произведение целых положительных чисел 127 и 5 ?

Решение.

Первый множитель 107 представим в виде суммы разрядных слагаемых , то есть, в виде 100+20+7 . После этого воспользуемся правилом умножения суммы чисел на данное число : 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5 . Остается лишь закончить вычисление: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635 .

Таким образом, произведение данных целых положительных чисел 127 и 5 равно 635 .

Ответ:

127·5=635 .

Для умножения многозначных целых положительных чисел удобно использовать метод умножения столбиком .

Пример.

Умножьте трехзначное целое положительное число 712 на двузначное целое положительное число 92 .

Решение.

Выполним умножение данных целых положительных чисел в столбик:

Ответ:

712·92=65 504 .

Правило умножения целых чисел с разными знаками, примеры

Сформулировать правило умножения целых чисел с разными знаками нам поможет следующий пример.

Вычислим произведение целого отрицательного числа −5 и целого положительного числа 3 на основании смысла умножения. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15 . Чтобы сохранилась справедливость переместительного свойства умножения, должно выполняться равенство (−5)·3=3·(−5) . То есть, произведение 3·(−5) также равно −15 . Несложно заметить, что −15 равен произведению модулей исходных множителей, откуда следует, что произведение исходных целых чисел с разными знаками равно произведению модулей исходных множителей, взятому со знаком минус.

Так мы получили правило умножения целых чисел с разными знаками : чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить знак минус.

Из озвученного правила можно заключить, что произведение целых чисел с разными знаками всегда является целым отрицательным числом. Действительно, в результате умножения модулей множителей мы получим целое положительное число, а если перед этим числом поставить знак минус, то она станет целым отрицательным.

Рассмотрим примеры вычисления произведения целых чисел с разными знаками с помощью полученного правила.

Пример.

Выполните умножение целого положительного числа 7 на целое отрицательное число −14 .

Решение.

Воспользуемся правилом умножения целых чисел с разными знаками. Модули множителей равны соответственно 7 и 14 . Вычислим произведение модулей: 7·14=98 . Осталось перед полученным числом поставить знак минус: −98 . Итак, 7·(−14)=−98 .

Ответ:

7·(−14)=−98 .

Пример.

Вычислите произведение (−36)·29 .

Решение.

Нам нужно вычислить произведение целых чисел с разными знаками. Для этого вычисляем произведение абсолютных величин множителей: 36·29=1 044 (умножение лучше провести в столбик). Теперь ставим знак минус перед числом 1 044 , получаем −1 044 .

Ответ:

(−36)·29=−1 044 .

В заключение этого пункта докажем справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) , где a и −b — произвольные целые числа. Частным случаем этого равенства является озвученное правило умножения целых чисел с разными знаками.

Другими словами, нам нужно доказать, что значения выражений a·(−b) и a·b – противоположные числа . Чтобы это доказать, найдем сумму a·(−b)+a·b и убедимся, что она равна нулю. В силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения справедливо равенство a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) . Сумма (−b)+b равна нулю как сумма противоположных целых чисел, тогда a·((−b)+b)=a·0 . Последнее произведение равно нулю по свойству умножения целого числа на нуль . Таким образом, a·(−b)+a·b=0 , следовательно, a·(−b) и a·b являются противоположными числами, откуда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) . Аналогично можно показать, что (−a)·b=−(a·b) .

Правило умножения отрицательных целых чисел, примеры

Получить правило умножения двух целых отрицательных чисел нам поможет равенство (−a)·(−b)=a·b , которое мы сейчас докажем.

В конце предыдущего пункта мы показали, что a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b) , поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)) . А полученное выражение −(−(a·b)) есть не что иное, как a·b в силу определения противоположных чисел. Итак, (−a)·(−b)=a·b .

Доказанное равенство (−a)·(−b)=a·b позволяет сформулировать правило умножения целых отрицательных чисел : произведение двух отрицательных целых чисел равно произведению модулей этих чисел.

Из озвученного правила следует, что результатом умножения двух целых отрицательных чисел является целое положительное число.

Рассмотрим применение этого правила при выполнении умножения целых отрицательных чисел.

Пример.

Вычислите произведение (−34)·(−2) .

Решение.

Нам нужно перемножить два отрицательных целых числа −34 и −2 . Воспользуемся соответствующим правилом. Для этого находим модули множителей: и . Осталось вычислить произведение чисел 34 и 2 , что мы умеем делать. Кратко все решение можно записать так (−34)·(−2)=34·2=68 .

Ответ:

(−34)·(−2)=68 .

Пример.

Выполните умножение целого отрицательного числа −1 041 на целое отрицательное число −538 .

Решение.

По правилу умножения целых отрицательных чисел искомое произведение равно произведению модулей множителей. Модули множителей равны соответственно 1 041 и 538 . Выполним умножение столбиком:

Ответ:

(−1 041)·(−538)=560 058 .

Умножение целого числа на единицу

Умножение любого целого числа a на единицу дает в результате число a . Об этом мы уже упоминали, когда обсуждали смысл умножения двух целых чисел. Так a·1=a . В силу переместительного свойства умножения должно быть справедливым равенство a·1=1·a . Следовательно, 1·a=a .

Приведенные рассуждения приводят нас к правилу умножения двух целых чисел, одно из которых равно единице. Произведение двух целых чисел, в котором одним из множителей является единица, равно другому множителю .

Например, 56·1=56 , 1·0=0 и 1·(−601)=−601 . Приведем еще пару примеров. Произведение целых чисел −53 и 1 равно −53 , а результатом умножения единицы и отрицательного целого числа −989 981 является число −989 981 .

Умножение целого числа на нуль

Мы условились, что произведение любого целого числа a на нуль равно нулю, то есть, a·0=0 . Переместительное свойство умножения заставляет нас принять и равенство 0·a=0 . Таким образом, произведение двух целых чисел, в котором хотя бы один из множителей является нулем, равно нулю . В частности, результатом умножения нуля на нуль является нуль: 0·0=0 .

Приведем несколько примеров. Произведение целого положительного числа 803 и нуля равно нулю; результатом умножения нуля на целое отрицательное число −51 является нуль; также (−90 733)·0=0 .

Отметим также, что произведение двух целых чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Проверка результата умножения целых чисел

Проверка результата умножения двух целых чисел осуществляется с помощью деления. Нужно провести деление полученного произведения на один из множителей, если при этом получится число, равное другому множителю, то умножение было выполнено верно. Если же получится число, отличное от другого слагаемого, то где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим примеры, в которых проводится проверка результата умножения целых чисел.

Пример.

В результате умножения двух целых чисел −5 и 21 было получено число −115 , правильно ли вычислено произведение?

Решение.

Выполним проверку. Для этого разделим вычисленное произведение −115 на один из множителей, например, на −5 . , выполните проверку результата. (−17)·(−67)=1 139 .

Умножение трех и более целых чисел

Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет нам однозначно определить произведение трех, четырех и большего количества целых чисел. При этом остальные свойства умножения целых чисел позволяют утверждать, что произведение трех и более целых чисел не зависит от способа расстановки скобок и от порядка следования множителей в произведении. Аналогичные утверждения мы обосновали, когда говорили об умножении трех и большего количества натуральных чисел . В случае целых множителей обоснование полностью совпадает.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Вычислите произведение пяти целых чисел 5 , −12 , 1 , −2 и 15 .

Решение.

Мы можем последовательно слева направо заменять два соседних множителя их произведением: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)·(−2)·15= 120·15=1 800 . Этот вариант вычисления произведения соответствует следующему способу расстановки скобок: (((5·(−12))·1)·(−2))·15 .

Также мы могли переставить некоторые множители местами и расставить скобки иначе, если это позволяет провести вычисление произведения данных пяти целых чисел более рационально. Например, можно было переставить множители в следующем порядке 1·5·(−12)·(−2)·15 , после чего расставить скобки так ((1·5)·(−12))·((−2)·15) . В этом случае вычисления будут такими: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)= (5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Как видите, разные варианты расстановки скобок и различный порядок следования множителей привели нас к одному и тому же результату.

Ответ:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800 .

Отдельно отметим, что если в произведении трех, четырех и т.д. целых чисел хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например, произведение четырех целых чисел 5 , −90 321 , 0 и 111 равно нулю; результатом умножения трех целых чисел 0 , 0 и −1 983 также является нуль. Справедливо и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Что такое частное в математике? Что такое частное чисел? Частное 14 и 7 найти значения.

2. Наглядное представление: a / b = c.

а — делимое;
b — делитель;
c — частное.

4. Усложненный пример. 153214 / 2. 153214 — делимое, 2 — делитель.

Делим 15 на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 15 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 3. 13 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 13 полученное значение и получаем 1.
Спускаем 2. 12 делим на 2. Берем по 6. 6 * 2 = 12. Вычитаем из 12 полученное значение и получаем 0.
Спускаем единицу, прописываем ноль. Спускаем 4. 14 делим на 2. Берем по 7. 7 * 2 = 14. Вычитаем из 14 полученное значение и получаем 0.

Неполное частное

Пример пункта 3 довольно прост. Так число 2 содержится в числе 156 ровно 78 раз.

Давайте вспомним определение, что называется частным чисел.

Частное двух чисел показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

a: b = c, где a — делимое; b — делитель; c — частное.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

Сложение
Вычитание
Деление
Умножение

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое . Есть ряд символов, которые обозначают его:

Двоеточие (:)
Косая черта (/)
Обелюс (тире между двумя точками ÷)

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

a – делимое

b – делитель

с – частное

Запишем простой пример из математики:

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

40 – частное

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

120:2=60

120 – делимое

2 – делитель

60 – частное

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

Полное. В результате деления мы получаем целое число:

100:2=50

100 – делимое

2 – делитель

50 – полное частное

Неполное. Если в результате мы получаем остаток:

51:2=25 (остаток 1)

51 – делимое

2 – делитель

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

30 – делимое

6 – делитель

X – частное

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Большинство людей, окончивших среднюю общеобразовательную школу, имеют достаточно хорошее представление о том, что такое частное чисел в математике. Но тем не менее, давайте дадим определение этому термину.

Частное числа: значение

Частное чисел — это математическая величина, полученная при делении одного числа на другое. Частное показывает нам, во сколько раз одно число больше другого.

Если записать операцию деления в виде простой формулы

a: b = c,

то в ней a — это «делимое», b — это «делитель», а c — это и есть «частное».

Рассмотрим также пример с конкретными цифрами. Если мы поделим число 39 на 3, то в ответе получим число 13. В данном случае 13 — это частное, результат деления числа 39 на 3. Другими словами можно сказать, что число 39 больше, чем число 3, в 13 раз.

А давайте задумаемся, так ли это на самом деле? Чтобы понять, ошиблись мы или нет, произведем проверку и выполним действие, обратное делению. Как вы, наверное, уже догадались, это умножение. Умножим число 13 на 3. В ответе получается 39. Мы не ошиблись.

Неполное частное

О приведенном выше математическом примере можно сказать, что число 3 содержится в числе 39 ровно 13 раз. Однако в большинстве реальных случаев такой красивый и простой ответ получить невозможно. Сколько раз, например, число 3 содержится в числе 40?

Данная математическая операция записывается следующим образом:

40: 3 = 13 (1).

Что означает эта запись? Число 3 содержится в числе 40 тоже 13 раз, но при этом еще образуется остаток, равный 1. В данном случае число 13 называется «неполным частным», а число 1 — «остатком от деления».

Сложение, вычитание, умножение и деление. ереместительное, сочетательное свойства. Примеры решение задач.

Альфашкола
org/ListItem»>Статьи
Арифметические действия

Арифметические операции

Сложение:

Умножение:

Вычитание:

Деление:

Переместительное свойство

Это свойство относится только к двум операциям: сложение и умножение, так как только в этих операциях каждое из слагаемых или множителей имеет одинаковое значение.

Cочетательное свойство.

Следующее свойство – сочетательное. Это свойство рассматривается для сложения и умножения.

Переместительное и сочетательное свойства для сложения и умножения позволяют объединять слагаемые и множители в группы, менять их местами. Эти свойства позволяют считать быстрее и без ошибок.

Распределительные свойства

Следующие свойства раcпределительные. Они показывают, как можно вычислить выражение, если в нем используются операция умножение вместе со сложением или вычитанием (распределяют порядок вычисления):

Противоположный элемент

Нейтральный элемент – 0.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел:

Также обрати внимание на порядок действий, если скобки не расставлены. Итак, у нас есть 4 операции, они выполняются в следующем порядке:

Умножение и деление – в порядке следования слева направо;
Сложение и вычитание – в порядке следования слева направо.
При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

Задача 1. Вычислить $-55+(-7)+18+7.$

Решение.

Воспользуемся переместительным свойством для удобства вычисления: $-7+7-55+18$

$-7$ и $7$ противоположные элементы, итого: $-55+18=-37$

Ответ:$-37$

Задача 1. Вычислить $(-7+9)+7*2-56$.

Первое действие выполняем в скобках и умножение: $2+ 7*2$
выполняем умножение, затем сложение и вычитание: $2+14-56=16-56=-40. $

Ответ:$-40.$

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Евгений Валентинович Грязнов

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Университет Иннополис

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 1-11 классы, (ОГЭ/ЕГЭ/олимпиады), по информатике 5-11 кл, ОГЭ, по английскому языку 1-11 классы. Математика для меня это восхитительный мир чисел, соотношений и фигур, где за каждой сухой формулой или теоремой скрывается красота и гармония. Моя задача — открыть эту красоту ученику, а не заставить его вызубрить материал. Подход в обучении: довожу тему до конца, не сдаюсь пока ученик не усвоит материал. Стараюсь чтобы у ученика появилось чёткое, интуитивное понимание темы, а не просто зубрёжка. Почему именно я? Высшее техническое образование, победитель и призёр математических олимпиад, преподавал математику в университете первому и третьему курсу, люблю на досуге решать олимпиадные задачи.

Татьяна Валентиновна Дмитриева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ивановский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 классов по математике и 7-11 классов по физике. В математике и физике всё подчиняется определенным законам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. Я люблю математику за её универсальность. Как говорил известный российский физик-теоретик Ландау: «Математика царица наук и служанка физики», замечательный «тренажер для ума». Люблю работать с детьми независимо от их начальной подготовки и буду рада, если они увидят сами свой рост, приобретут уверенность в себе и научатся не пасовать при любой трудности. Не имея базовой подготовки по математике, трудно достичь хороших результатов при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по физике. Ежегодно все, кто работает со мной на 100%, успешно сдают ОГЭ и ЕГЭ по физике. Буду рада помочь успешно усвоить материал школьной программы как по математике, так и по физике. Стану добрым наставником для вашего ребёнка!

Елена Васильевна Латышевич

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Математику невозможно не любить! Она открывает дверь в удивительный мир чисел. Индивидуально подхожу к объяснению материала, выбираю доступные способы обучения, использую приемы соответственно возрасту и интересам ребенка. Добиваюсь полного понимания изучаемого материала. Со мной ребенок полюбит учить математику и будет с удовольствием спешить на мои уроки!

Что произведение 2 чисел. Умножение натуральных чисел и его свойства

Сумма — это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.

Разность — это то, что получается после вычитания чисел.

Произведение — то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.

Частное — это то, что получается после деления.

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

РАЗНОСТЬ — это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ — это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

Сумма — это когда происходит складывание двух чисел;

Разность- это вычитание одного числа из другого;

Частное — это деление одного числа на другое;

Произведение — это умножение одного числа на другое.

Это такие математические понятия.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

сумма — это результат сложения чисел,

разность — это результат вычетания от одного числа другого,

произведение — это результат умножения чисел,

частное — это уже результат деления чисел.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Разность — это поделить или умножить?

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

Затем отвечают:

Разность — это отнять. Результат вычитания называется разность.

Аналогично получают:

Сумма — это сложить. Результат сложения называется сумма.

Произведение — это умножить. Результат умножения называется произведение.

Частное — это деление. Результат деления называется частное.

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все. )))

1) Сумма

Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

2) Разность

В математике означает результат вычитания числе (-).

3) Произведение

Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

4) Честное

Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др. ) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Книги

Сборник задач по мат-ке , Бачурин В.. Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел .
Числа 7 и 12 называются множителями .

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅(b ⋅ c )

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т. д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Что такое коэффициент? Определение, пример, факты

Частное — это ответ, который получается при делении одного числа на другое. Например, если мы разделим число 6 на 3, мы получим результат как 2, то есть частное. Частное может быть целым или десятичным числом. Для точных делений, таких как 10 ÷ 5 = 2, у нас есть целое число в качестве частного, а для таких делений, как 12 ÷ 5 = 2,4, частное представляет собой десятичную дробь. Частное может быть больше делителя, но всегда меньше делимого. Давайте изучим и узнаем больше о частном и методах его нахождения.

1.	Что такое частное в делении?
2.	Определение коэффициента
3.	Как найти частное?
4.	Термины, относящиеся к коэффициенту
5.	Частное и остаток
6.	Часто задаваемые вопросы о факторе

Что такое частное в делении?

Частное — это окончательный ответ, который мы получаем при делении числа. Деление — это метод равномерного распределения предметов по группам, обозначаемый математическим символом (÷). Например, есть 15 шариков, которые нужно разделить поровну на 3 группы. Итак, когда мы делим эти шары на 3 равные группы, утверждение о делении может быть выражено как 15 ÷ 3 = 5. Здесь 5 — это частное. Это значит, что в каждой группе будет по 5 мячей.

Определение коэффициента

Частное в математике может быть определено как результат деления числа на любой делитель. Это количество раз, когда делитель содержится в делимом. На следующем рисунке показано выражение деления, которое отмечает делитель, делимое и частное. Делитель 2 содержится 6 раз в делимом 12. Частное больше или меньше делителя, но всегда меньше делимого.

Как найти частное?

Частное получается после завершения процесса деления. Это означает, что когда делитель делит делимое, ответ, который мы получаем, является частным. Деление — одна из четырех основных математических операций, остальные три — сложение, вычитание и умножение. Частное является результатом процесса деления. После того, как мы полностью разделим число, мы получим частное. В некоторых случаях, когда мы делим число, оно не делится полностью, и мы получаем остаток. Однако даже в этом случае в качестве ответа остается частное, а остаток мы упоминаем отдельно.

Когда мы делим число, помимо частного в процессе деления используются и другие термины. Давайте разберемся в этом с помощью примера. Например, есть плитка шоколада на 12 штук. Можно ли разделить бар поровну между двумя друзьями? Ответ: да, если плитку шоколада разделить поровну между двумя друзьями, каждый из них получит по 6 кусочков шоколада. Вы замечали, что ни один кусочек шоколада не остается нераспределенным. Следовательно, остатка нет. Мы можем записать оператор деления для этого примера как 12 ÷ 2 = 6. Здесь каждое из чисел в делении может быть обозначено специальными терминами. Проверим следующие члены, тесно связанные с частным.

Условия	Описания	Значения
Дивиденд	Общее количество частей, которые должны быть разделены.	12
Делитель	Количество равных групп, которые необходимо создать.	2
Частное	Количество штук в каждой группе.	6
Остаток	Оставшаяся часть, не входящая ни в одну группу.	0

Этот пример также может быть математически представлен следующим образом:

Частное и остаток

Когда мы делим число и если оно не делится полностью, у нас остается остаток. Давайте разберемся в этом с помощью примера. Частное можно вычислить, разделив делимое на делитель. Частное = Дивиденд ÷ Делитель. Решим 435 ÷ 4. Здесь 435 — делимое, а 4 — делитель.

Следующие шаги помогут понять процесс деления и найти частное и остаток.

Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого. Если эта цифра больше или равна делителю, то разделите ее на делитель и сверху запишите ответ как часть частного. Умножьте это число на делитель и запишите произведение под первой цифрой делимого. Вычтите результат из цифры и запишите его под этим числом. Здесь первая цифра 4 и она равна делителю. Итак, 4 ÷ 4 = 1 написано сверху на черте. Произведение 4 × 1 = 4 вычитается из цифры и ниже записывается 0. Теперь сократите следующее число делимого, равное 3, и поместите его рядом с 0,9.0138
Шаг 2: Мы видим, что в результате шага 1 у нас есть 3. Повторите тот же шаг, чтобы проверить, больше или меньше это число, чем делитель. Поскольку 3 меньше 4, мы не можем разделить это число. Следовательно, мы записываем 0 сверху и записываем произведение 4 × 0 = 0 под цифрой 3, затем вычитаем 3 — 0 = 3. Следующим шагом является уменьшение следующего числа из делимого и размещение его рядом с 3. Получается 35. Поскольку 35 > 4, мы можем разделить это число на 4. После записи 8 сверху мы записываем произведение 4 × 8 = 32 под 35, как показано на рисунке. Вычтите 35 — 32 = 3. Теперь эта 3 меньше, чем делитель 4, и из делимого не осталось числа, которое можно было бы уменьшить. Это означает, что мы оставим 3 в качестве остатка и завершим деление. Таким образом, 3 известен как 9Остаток 0049 и 108 называется частным .

Проверка результата деления

Мы можем легко проверить, верен ли ответ, который мы получили при делении в большую сторону. Поскольку процесс деления является обратным умножению, давайте выясним, как мы можем проверить наш ответ, используя эту информацию. Мы используем формулу: Дивиденд = (Делитель × Частное) + Остаток. Это означает, что если мы умножим делитель на частное и добавим остаток, мы должны получить число как делимое. Если числа удовлетворяют этому уравнению, то ответ считается правильным, в противном случае нужно проверить наше деление. Давайте еще раз рассмотрим рассмотренный выше пример. Здесь делимое равно 435, делитель равен 4, частное равно 108, а остаток равен 3. Подставляя значение в формулу, получаем 435 = (4 × 108) + 3. Это доказывает, что ответ правильный. Возьмем другой пример. Если мы разделим 6 ÷ 2 = 3, мы получим остаток как 0. Теперь давайте подставим эти значения в формулу, 6 = (2 × 3) + 0. Это означает, что ответ правильный.

☛ Похожие статьи

Формула остатка делителя дивиденда
Калькулятор коэффициентов

Примеры на частное

Пример 1: 4000 долларов распределяются между 25 рабочими за работу, выполненную ими на строительной площадке. Подсчитайте сумму, которую дали каждому работнику.
Решение:
Общая распределяемая сумма = 4000 долларов. Количество рабочих = 25. Нам нужно рассчитать сумму, отдаваемую каждому рабочему. Для этого мы разделим 4000 на 25, используя метод деления в длинную сторону, и найдем частное.
Полученное частное равно 160. Следовательно, сумма, выдаваемая каждому рабочему, составляет 160 долларов.
Пример 2: Разделите 66 ÷ 7 и найдите частное.
Решение:
Мы будем использовать метод деления в длину, чтобы найти частное.
После деления 66 на 7 мы получим 9 в частном и 3 в остатке.
Пример 3: Состояние истинное или ложное
а.) Частное — это окончательный ответ, который мы получаем при делении числа.
б.) Когда мы делим число и если оно не делится полностью, у нас остается остаток.
Решение:
а.) Верно, частное — это окончательный ответ, который мы получаем при делении числа.
б.) Правда, когда мы делим число и если оно не делится полностью, у нас остается остаток.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по Quotient

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о коэффициенте

Что такое частное в математике?

Частное — это окончательный ответ, который мы получаем при делении числа. Например, если мы разделим 63 ÷ 9, мы получаем ответ как 7. Здесь 7 называется частным. Следует отметить, что частное может быть больше или меньше делителя, но всегда меньше делимого.

Как найти частное при делении?

Частное получается после завершения процесса деления. Это означает, что когда делитель делит делимое, ответ, который мы получаем, является частным. Другими словами, частное можно найти по формуле Дивиденд ÷ Делитель = Частное. Поясним это на простом примере 12 : 4 = 3. Здесь 12 — делимое, 4 — делитель, а 3 — частное.

Всегда ли частное является целым числом?

Нет, частное не всегда может быть целым числом. Частное может быть целым или десятичным числом. Для совершенного деления, такого как 16 ÷ 2 = 8, частное представляет собой целое число, а для чисел, в которых у нас остался остаток, мы делим число дальше, помещая десятичную дробь в частное. Следовательно, в этих случаях частное становится десятичным числом. Например, если мы разделим 16 ÷ 5, мы получим 3,2 как частное, которое является десятичным числом.

В чем разница между частным и остатком?

Частное — это ответ, который мы получаем при делении числа. Число, оставшееся после окончания деления, называется остатком. Это относится к оставшейся части после завершения процесса деления. Например, если нам нужно распределить 7 мячей между 2 детьми поровну, мы даем каждому ребенку по 3 мяча и у нас остается 1 мяч. Этот 1 шар является остатком. Математически число 7 нельзя полностью разделить на число 2. После деления в остатке остается число 1. Для совершенных делений частное равно целому числу, а остаток равен нулю.

Как проверить частное при делении?

Деление также известно как обратное умножение. Мы можем проверить частное, используя следующую формулу:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

Это означает, что если мы умножим делитель на частное и добавим остаток, мы должны получить число как делимое. Если числа удовлетворяют этому уравнению, то ответ считается правильным, в противном случае нужно проверить наше деление.

Как найти частное, если известны остаток и делитель?

Если известны остаток, делитель и делимое, мы можем легко найти частное, подставив значения в формулу Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток. После подстановки известных значений мы можем получить значение частного.

Чему равно частное 21 при делении на 7?

При делении 21 на 7 в частном получается 3. Число 21 является делимым, число 7 — делителем, а 3 — частным.

В чем разница между частным и произведением?

«Частное» — это результат деления, а «произведение» — это результат умножения. Частное меньше делимого и делителя. Произведение больше, чем числа, которые умножаются.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы по коэффициенту

Сложение, вычитание, умножение и деление (видео и практика)

TranscriptPractice

Привет, ребята! Сегодня мы рассмотрим математические операции: сложение , вычитание , умножение и деление . Эти четыре операции служат фундаментальными строительными блоками для всей математики, поэтому крайне важно иметь четкое представление о том, на чем можно основываться. Давайте углубимся.

Сложение и вычитание

Мы используем сложение и вычитание для решения многих реальных ситуаций. Сложение и вычитание — это просто математические термины, используемые для описания «объединения» и «удаления». когда мы добавляем , объединяем, или увеличиваем. Когда мы вычитаем , мы отнимаем или уменьшаем.

Напоминаем:

Для сложения используется символ $+$
Ответ на задачу на сложение называется суммой
Для вычитания используется символ $–$
Ответ на задачу на вычитание называется разностью

По сути, сложение и вычитание — противоположные операции. Один добавляет стоимость, а другой вычитает стоимость. Одна из стратегий визуализации этих двух операций — использование числовой прямой. Мы будем использовать числовую прямую, чтобы проиллюстрировать следующие примеры.

Давайте представим ситуацию, связанную с продажей попкорна. Для этого сценария предположим, что вы пытаетесь собрать деньги, продавая пакеты с попкорном, и вы начинаете с 20 пакетов.

Когда придет ваш первый покупатель, он захочет купить 4 пакета попкорна. Это означает, что ваше оставшееся количество сумок уменьшится. Мы можем представить эту ситуацию с помощью простого уравнения, включающего вычитание. Мы начали с 20 мешков и «уменьшили на 4» или вычли 4. Наше уравнение вычитания записывается как $20-4=16$.

На числовой прямой мы можем представить это вычитание, начав с 20 и затем переместившись на четыре единицы назад в отрицательном направлении. Каждый прыжок назад представляет собой вычитание на 1.

Теперь предположим, что вы начали с 20 пакетов попкорна, а к концу дня у вас осталось 6 пакетов. Вам нужно пополнить свой запас, чтобы поддерживать продажи, поэтому вы делаете еще 4 пакета попкорна. Сколько пакетов попкорна у вас сейчас есть в наличии для продажи? Для этого сценария, поскольку мы рассматриваем увеличение мешков, воспользуемся дополнением.

Эту ситуацию можно описать уравнением $6+4=10$. Изначально у вас было 6 мешков, а затем «объединили» это количество еще с 4 мешками. Всего у вас 10 мешков. На числовой прямой сложение представлено скачками вправо в положительном направлении. Каждый прыжок вправо представляет собой добавление одной единицы. Так что в этом примере мы бы начали с 6 и прыгнули бы на 4 единицы вправо. Мы видим, что приземлились на 10.

Важно отметить, что при использовании сложения порядок значений не имеет значения. Например, $10+30$ равносильно $30+10$. Размещение или расположение значений не влияет на результат. Обе схемы будут равны 40. Однако то же самое не верно для вычитания . Означает ли $30-10$ то же самое, что и $10-30$? Явно нет. Мы видим, что порядок имеет значение при работе с ситуацией, связанной с вычитанием. Технический термин для этого качества известен как 9.0049 коммутативное свойство . По сути, это свойство верно для операций, в которых значения могут перемещаться, «коммутировать», а результат выражения или уравнения не изменится. Коммутативность применима к сложению, но не к вычитанию.

Умножение и деление

Другая операция, которая также обладает свойством коммутативности, — это умножение. Давайте обсудим умножение вместе с делением, как мы делали сложение и вычитание. Умножение и деление похожи на сложение и вычитание тем, что выполняют противоположные функции. Функция умножение предназначено для представления нескольких групп определенного значения, тогда как деление предназначено для отображения разделения или подразделения значения на более мелкие группы.

Напоминаем:

Символ, который мы используем для умножения, это $\times$
Ответ на задачу на умножение называется произведением
Символ, который мы используем для деления, это $\div $
Ответ на задачу деления называется частное

Умножение — это удобный и быстрый способ показать то, что называется «повторяющимся сложением». Например, если вам нужно заполнить 30 мешков попкорна, а в каждом мешке требуется 60 зерен, может потребоваться несколько часов, чтобы подсчитать, сколько всего зерен вам нужно, просто используя сложение. Более быстрый и эффективный способ сделать это вычисление — использовать повторное сложение. Вместо того, чтобы считать каждое семя независимо, мы сгруппировали их и сложили группы вместе. Тогда расчет будет состоять из 30 групп по 60. Эта группировка с целью повторного сложения является по своей сути процессом умножения. 30 групп по 60 записывается как $30\х60=1800$. Таким образом, для заполнения 30 мешков попкорна требуется 1800 ядер.

И сложение, и умножение коммутативны, потому что порядок не влияет на ответ. 30 групп по 60 дают нам тот же результат, что и 60 групп по 30. противоположный. Когда мы используем деление, мы, по сути, делим большую группу на более мелкие подгруппы. В нашем примере с попкорном мы можем использовать деление, чтобы ответить на следующий вопрос:

Сколько пакетов попкорна можно приготовить из 1800 зерен, если в каждом пакете требуется 60 семян?

Эта ситуация требует, чтобы мы разделили большое значение 1800 на группы по 60. Каждая меньшая подгруппа теперь будет представлять пакет попкорна. 1800, разделенных на группы по 60, представлены как $1800\div 60$. В данном случае ответ равен 30, значит, из наших 1800 ядер можно приготовить 30 пакетов попкорна. Как видите, деление не является коммутативным, потому что порядок значений играет решающую роль в определении ответа. $1800\div 60$ — это не то же самое, что $60\div 1800$.

Хорошо, это все для этого обзора математических операций! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Диаграмма умножения и печатные изделия

Практические вопросы

Вопрос № 1:

Ответ на проблему изящности

903

Sum

Cotent

903

90303

903

. Ответ:

Ответ:

А — правильный ответ. Поскольку вычитание — это разница между меньшим числом и большим числом, ответ на задачу на вычитание называется разницей.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

Какое утверждение верно?

Вычитание и умножение — противоположные действия.

Вычитание и деление — противоположные операции.

Умножение и сложение — противоположные операции.

Умножение и деление — противоположные операции.

Показать ответ

Ответ:

D — правильный ответ. Деление разбивает большую группу на меньшие подгруппы, а умножение представляет собой многократное добавление меньших подгрупп, чтобы найти общее количество в большой группе. Следовательно, эти операции выполняют противоположные функции.

Скрыть ответ

Вопрос №3:

Джейми арендует велосипед за 8 долларов в час. Всего у него велосипед на 4 часа. Какое уравнение можно использовать, чтобы узнать, сколько денег Джейми тратит на аренду велосипеда?

$8+4=12$

$8-4=4$

$8\times4=32$

$8÷4=2$

Показать ответ

Ответ:

C — правильный ответ. Поскольку Джейми тратит 8 долларов за каждый час пользования велосипедом, он тратит 8 долларов + 8 долларов + 8 долларов + 8 долларов, что равно 8 долларов ✕ 4, или 32 доллара.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

Какое утверждение лучше всего иллюстрирует свойство коммутативности?

$12÷3=3÷12$

$12\times3=3\times12$

$12-3=3-12$

$12+3=15$

Показать ответ

Ответ:

B — правильный ответ. Свойство коммутативности гласит, что числа в математической задаче можно перемещать или менять местами, и результат уравнения не изменится. Коммутативное свойство применяется к сложению и умножению, но не работает для деления или вычитания.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

В Mike’s Deli индейка стоит 4 доллара за фунт. Кейт покупает индейку, чтобы приготовить бутерброды на обед. Если Кейт тратит 80 долларов, какое уравнение показывает, сколько фунтов индейки она купила?

$80+4=84$

$4÷80=20$

$80÷4=20$

$80-4=76$

Показать ответ

Ответ:

C — правильный ответ. Кейт знает, что общая потраченная сумма составила 80 долларов. Она также знает, что каждый фунт стоил ей 4 доллара. Кате нужно знать, на сколько равных групп разбито 80 долларов, если в каждой группе по 4 доллара. Чтобы решить эту проблему, Кате нужно разделить. Поскольку 80 — это число, которое делится, оно стоит первым в задаче на деление. B неверно, потому что $4÷80$ не совпадает с $80÷4$.

Скрыть ответ

Вернуться к видео по основам арифметики

208095521157643326359741797942

Что такое частное? | Вандополис

МАТЕМАТИКА — операции и алгебраическое мышление

Задумывались ли вы когда-нибудь…

Что такое частное?
Как вы делаете деление?
Как давно люди занимаются делением?

Метки:

См. все Теги

Математика,
Операции и алгебраическое мышление,
отделение,
Частное,
Школа,
Пицца,
Кикбол,
Остаток,
Дивиденд,
Делитель,
Стратегия,
Длинная дивизия,
Количество,
Группировка,
групп,
Равный,
Математика,
Операции и алгебраическое мышление,
отделение,
Частное,
Школа,
Пицца,
Кикбол,
Остаток,
Дивиденд,
Делитель,
Стратегия,
Длинная дивизия,
Количество,
Группировка,
групп,
Равно

Сегодняшнее чудо дня было вдохновлено Николь из Гринвуда, штат Индиана. Николь Уондерс , “ Почему частное называется частным? ”Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Николь!

Вы когда-нибудь замечали, как часто мы используем математику в реальной жизни? Все те математические факты, которые вы изучаете в школе, так полезны! Как мы могли вычислить количество костей в нашем теле без сложения? Мы никогда не узнаем, сколько сдачи можно ожидать в кинотеатре без вычитания. Есть по крайней мере еще одно математическое понятие, которое мы используем все время. Сможете угадать, что это? Вот пример:

Представьте, что вы пригласили троих друзей на ужин. Вы вчетвером готовите пиццу. Достав пиццу из духовки, вы разрезаете ее на двенадцать кусочков. Сколько кусков пиццы съедает каждый из вас? Правильно, вы получаете по три кусочка каждый!

Вот еще одно: представьте, что в вашем классе восемнадцать детей, включая вас. На перемене вы играете в кикбол, в котором участвуют все учащиеся класса. Если учитель будет судьей и вам нужно играть двумя командами, то сколько детей должно быть в каждой команде? Если вы ответили девять на команду, вы правы!

Ты понял? Правильно, мы говорим о разделении! Как видите, деление можно использовать во многих случаях в реальном мире. Мы используем деление каждый день в кулинарии, спорте и даже в финансах!

В каждой задаче на деление мы должны найти нечто, называемое частным. Частное — это решение задачи на деление, точно так же, как сумма — это решение задачи на сложение. Частное — это число, которое получается при делении делимого на делитель. Может быть трудно сохранить все эти слова прямо! Вот как выглядит задача на деление:

Дивиденд ÷ Делитель = Частное

Многие люди думают, что делить сложно, когда впервые узнают об этом в школе. Некоторые задачи деления определенно трудно решить! К счастью, есть много способов лучше понять, как найти частное.

Иногда люди борются с разделением, потому что не понимают, что это значит. Когда вы сталкиваетесь с проблемой деления, помните, что деление — это просто создание равных групп. Как и в случае с кикболом, для нахождения частного требуется разбить число на равные категории. Думайте об этом как об обратном умножению!

Что делать, если число не может быть разбито поровну на заданное количество групп? Это значит, что у вас есть остаток! Например, представьте, что вы пригласили на ужин четырех друзей вместо трех. Когда вы делите пиццу из двенадцати кусков на пятерых, вы не можете разделить ее целиком на абсолютно равные части. Вместо этого у каждого человека будет по две части, а у остальных останется две части. Кому достанется последние два кусочка? Это зависит от вас и ваших гостей!

Можете ли вы придумать другие способы использования деления? Попробуйте разделить пакет конфет с другом или разрезать торт, чтобы все получили поровну. Какие еще предметы повседневного обихода вы можете разделить? Возможности безграничны!

Common Core, Научные стандарты следующего поколения и Национальный совет по социальным исследованиям.»> Стандарты: Math.3.OA.A1, Math.3.OA.B.6, Math.4.OA.A1, CCRA.R.2, CCRA.R.10, CCRA.W.2, CCRA.SL.1

Интересно, что дальше?

Мы возвращаемся в 1620 год с завтрашним чудом дня!

Попробуйте

Не забудьте найти друга или члена семьи, прежде чем попробовать эти действия!

Спросите друга или члена семьи, когда они использовали деление в реальной жизни. Затем найдите реальную задачу на деление, которую вы сможете решить вместе. Разделите прием пищи на равные порции, поровну распределите свое время между несколькими видами деятельности или подсчитайте стоимость своей еды за унцию! Существует бесчисленное множество способов практиковать деление.
Найти частное в задаче на деление в длину может быть непросто! Взгляните на это руководство по полному делению. Затем представьте, что вы объясняете деление в длинном столбце своему школьному другу. Напишите абзац, объясняющий, как выполнить деление в большую сторону, и проработайте для них хотя бы одну примерную задачу.
Уже чемпион дивизиона? Получите дополнительную практику, играя в Division Derby. Запишите любые проблемы, которые вы пропустили, чтобы вы могли спросить о них друга или члена семьи позже!

Чудесные источники

https://www.mathnasium.com/littleton/news/solution… (по состоянию на 12 февраля 2019 г.)
https://www.basic-math-explained. com/division-expl.. (по состоянию на 12 февраля 2019 г.)

Вы поняли?

Проверьте свои знания

Wonder Contributors

Благодарим:

Сэм, Адам, Шон, Джейден и Мисс
за вопросы по сегодняшней теме Wonder!

Удивляйтесь вместе с нами!

Что вас интересует?

Wonder Words

напротив
равно
раствор
количество
требуется
категории
частное
дивиденд
делитель

Примите участие в конкурсе Wonder Word

Оцените это чудо

Поделись этим чудом

ПОЛУЧАЙТЕ СВОЕ ЧУДО ЕЖЕДНЕВНО

Подпишитесь на Wonderopolis и получайте Чудо дня® по электронной почте или SMS

Присоединяйтесь к Buzz

Не пропустите наши специальные предложения, подарки и рекламные акции. Узнай первым!

Поделись со всем миром

Расскажите всем о Вандополисе и его чудесах.

Поделиться Wonderopolis

Wonderopolis Widget

Хотите делиться информацией о Wonderopolis® каждый день? Хотите добавить немного чуда на свой сайт? Помогите распространить чудо семейного обучения вместе.

Добавить виджет

Ты понял!

Продолжить

Не совсем!

Попробуйте еще раз

грунтовка

делений грунтовка

делений

ГРУНТОВКА ДЛЯ РАЗДЕЛЕНИЯ

Что такое деление?

Умножение — это многократное сложение. Деление есть обратная операция (обратное действие) умножения , поэтому — деление есть повторное вычитание . Если 4 из нас делят на стоимость пиццы 12 долларов, каждый из нас платит по 3 долларов, потому что 4 × 3 = 12, следовательно, 12 ÷ 4 = 3. Это означает, что мы можем разделить 12 долларов на 4 «равные пакеты» из по 3 долларов каждый.

12 — 3 — 3 — 3 — 3 = 0

Но поскольку деление является операцией, обратной умножению , и повторное вычитание может занимать очень много времени, когда числа большие — мы использовать таблицы умножения , в сочетании с нашими знаниями о факторах и оценке , на помогают нам эффективно разделить чисел.

Дроби означают деление . Когда мы берем ½ чего-либо, мы делим на 2 . Когда мы найдем ¼, мы разделим на 4 . А поскольку ¾ равно 3 × ¼ , когда мы возьмем ¾ чего-то, мы делим на 4 и умножаем на 3 .

Словарь разделов

Поскольку математика — это язык, мы должны уделять особое внимание словам, которые мы используем для обозначения различных чисел и символов в нашей работе. Мы используем 3 термина — множитель, множимое и произведение — для обозначения частей выражения умножения. Мы используем 4 терма, чтобы назвать частей выражения деления .

Делимое — это число до , которое нужно разделить на . Если деление представить как дробь , то это числитель . Число , делящее на , называется делителем или знаменателем (в дроби). Результат или ответ называется частным . Иногда остается остатка , что, как следует из названия, равно 9.0759 осталось больше , как только мы вычтем из делимого все целые числа « пакетов с делителем ». Когда мы делим нечетное число на четное, в остатке всегда будет 1, так как любое нечетное число на 1 больше, чем предыдущее четное число.

Скажем, трое из нас хотят разделить 7 шоколадных батончиков поровну . После того, как каждый из нас возьмет по 2 целых шоколадных батончика, из останется один. Вот почему называется остатком 9.0760 . Каждый из нас получает по одной трети этого последнего оставшегося батончика, поэтому справедливая доля 7 шоколадных батончиков на троих составляет 90 759 2, а третьего батончика — 90 760 каждому.

Если бы наша пицца стоила 13 долларов вместо 12 долларов, равная доля стоимости составила бы 13 ÷ 4 = 3¼ или 3,25 . После того, как мы каждый заплатим 3$ , останется $1-больше, чтобы заплатить . Итак, каждый из нас вносит еще ¼ доллара или 25 центов, и выплачивается 13-й доллар.

Во 2-й дроби выше — та, что с 15 + 2 в числителе.
Мы переписали или перегруппировали 17 как 15 + 2 , потому что 15 = 5 × 3 — кратно 5 и, следовательно, делится на 5 — и поскольку мы пытаемся разделить на 5 — это хорошая вещь!! 15 также является наибольшим целым числом, кратным 5 , что мы можем вычесть из 17 — и это то, что мы хотим. Когда мы делим на 15 на 5, мы получаем 3 — целая часть частного. У нас есть остатка от 2 , который должен быть , разделенным на 5 — так что наш ответ. Обратите внимание на оставшуюся часть 2 с правой стороны.

Если бы пятеро из нас делили такси стоимостью 17 долларов, каждый из нас должен был бы внести по 3,40 доллара
потому что две пятых доллара = 40 центов.

что делать с остатком?

Есть 2 способа справиться с остатком. Либо мы выражаем частное как смешанное число с дробной частью, состоящей из остатка от делителя, либо пишем » R » и остаточное значение рядом с частным — показано выше в примере справа.

Примеры без остатка:

Вот таблица умножения на 7. Он перечисляет кратных 7 от 7 × 1 до 7 × 9.

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63

Это говорит нам, что 14 ÷ 7 = 2 и 42 ÷ 7 = 6 и так далее.

Если мы разделим любое число во 2-й строке на 7, мы получим целое число в частном = числу в 1-й строке. Поэтому, когда мы делим число, кратное 7, на 7, остатка не будет.

Примеры с остатками:

При делении числа, не кратного 7, на 7 будет остаток.

Проверка нашего отдела

Когда мы решаем вопросы по математике, мы всегда должны проверять свою работу, потому что математика — идеальное место, где даже близко не стоит приближаться. Когда мы занимаемся математикой, мы стремимся к совершенству.

Для проверки и отдела вопрос:

умножить частное на делитель , затем добавить к остатку .

В приведенных выше примерах:

(5 × 7) + 4 = 39,

(3 × 7) + 2 = 23

(7 × 7) + 5 = 54

Краткое изложение шагов в разделе

1. Для однозначных делителей делят на , умножают на и вычитают .

2. Выразите остатков как дробей или с помощью заглавной буквы «R» и значения остатка.

4. Для проверки умножьте на делитель , прибавьте к остатку , получают делимое .

Теперь возьмите карандаш, ластик и блокнот, скопируйте вопросы,
выполните практические упражнения, затем проверьте свою работу с решениями.
Если вы застряли, просмотрите примеры в уроке, а затем повторите попытку.

Практические упражнения

1) Используйте таблицу умножения, чтобы найти эти частные.

а) 56 ÷ 8 =	б) 25 ÷ 5 =	в) 45 ÷ 9 =	г) 32 ÷ 4 =
д) 63 ÷ 7 =	е) 24 ÷ 3 =	г) 48 ÷ 6 =	ч) 81 ÷ 9 =

2) Найдите эти частные и остатки.

а) 59 ÷ 8 =	б) 26 ÷ 5 =	в) 47 ÷ 9 =	г) 35 ÷ 4 =
д) 69 ÷ 7 =	е) 23 ÷ 3 =	г) 51 ÷ 6 =	ч) 88 ÷ 9 =

3) Шона, Дженнифер, Таня и София делили такси, когда ехали в музей. Счетчик показывал 12,50 долларов , и они хотели дать водителю чаевые 1,50 долларов . Какова была доля каждой девушки в стоимости такси?

Решения

1) Используйте таблицу умножения, чтобы найти эти частные.

а) 56 ÷ 8 = 7	б) 25 ÷ 5 = 5	в) 45 ÷ 9 = 5	г) 32 ÷ 4 = 8
д) 63 ÷ 7 = 9	е) 24 ÷ 3 = 8	г) 48 ÷ 6 = 8	ч) 81 ÷ 9 = 9

2) Найдите эти частные и остатки.

а) 59 ÷ 8 = 7 Р3	б) 26 ÷ 5 = 5 R1	в) 47 ÷ 9 = 5 R2	г) 35 ÷ 4 = 8 R3
д) 69 ÷ 7 = 9 R6	е) 23 ÷ 3 = 7 R2	г) 51 ÷ 6 = 8 R3	h) 88 ÷ 9 = 9 R7

3) Метр плюс чаевые = 14 долларов, тогда мы ÷ 4 получаем 3 R2 — и так как 2/4 = ½,
доля каждой девушки в стоимости проезда на такси составляет 3,50 доллара .

( индекс халявы )

1.

9: Деление целых чисел (часть 1)
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
4974
OpenStax
OpenStax
Цели обучения
Использование обозначения деления
Модель деления целых чисел
Разделить целые числа
Перевод словосочетаний в математическую запись
Деление целых чисел в приложениях
будьте готовы!
Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.
Умножить: $27 • 3$. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.4.6.
Вычесть: $43 − 26$. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.3.4.
Умножить: $62(87)$. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.4.8.
Использование обозначения деления
До сих пор мы изучали сложение, вычитание и умножение. Теперь рассмотрим деление. Предположим, у вас есть файлы cookie $12$ на рисунке $\PageIndex{1}$ и вы хотите упаковать их в пакеты по $4$ файлам cookie в каждом пакете. Сколько мешков нам понадобится?
Рисунок $\PageIndex{1}$
Вы можете положить $4$ печенья в первый пакет, $4$ во второй пакет и так далее, пока не закончатся файлы cookie. Делая это таким образом, вы наполнили бы $3$ мешков.
Рисунок $\PageIndex{2}$
Другими словами, начиная с $12$ файлов cookie, вы будете удалять или вычитать $4$ файлов cookie за раз. Деление — это способ представления многократного вычитания, точно так же, как умножение представляет многократное сложение. Вместо многократного вычитания $4$ мы можем написать
\[12 \div 4 \nonumber \]
Мы читаем это как двенадцать, деленное на четыре , и результатом является частное от $12$ и $4$. Частное равно $3$, потому что мы можем вычесть $4$ из $12$ ровно $3$ раз. Мы называем делимое число делимым , а число, делящее его, делителем . В этом случае делимое равно $12$, а делитель $4$. В прошлом вы, возможно, использовали обозначение $4 \overline{\smash{)}12}$, но это деление также может быть записано как $12 ÷ 4$, $12/4$, \ (\dfrac{12}{4}\). В каждом случае $12$ является делимым, а $4$ является делителем.
Символы операций для подразделения
Для представления и описания подразделения мы можем использовать символы и слова.
Таблица $\PageIndex{1}$
Эксплуатация Обозначение Выражение Читать как Результат
Отдел ÷ 12 ÷ 4 Двенадцать разделить на четыре частное 12 и 4
$\dfrac{a}{b}$ $\dfrac{12}{4}$
$b \overline{)a}$ $4 \overline{\smash{)}12}$
а/б 4/12
Деление производится на два числа одновременно. При переводе из математической записи в английские слова или английских слов в математическую запись ищите слова из и и для идентификации чисел.
Пример $\PageIndex{1}$: translate
Перевод из математической записи в слова.
$64 ÷ 8$
$\dfrac{42}{7}$
$4 \overline{\smash{)}28}$
Решение
Мы читаем это как шестьдесят четыре разделить на восемь и в результате получится частное шестидесяти четырех и восьми .
Мы читаем это как сорок два разделить на семь и в результате получится частное сорока двух и семи .
Мы читаем это как двадцать восемь разделить на четыре , и результат будет частное двадцати восьми и четырех 906:30 .
упражнение $\PageIndex{1}$
Перевод из математической записи в слова:
$84 ÷ 7$
$\dfrac{18}{6}$
$8 \overline{\smash{)}24}$
Ответить на
восемьдесят четыре разделить на семь; частное восьмидесяти четырех и семи
Ответ б
восемнадцать разделить на шесть; частное восемнадцати и шести.
Ответ c
двадцать четыре разделить на восемь; частное двадцати четырех и восьми
упражнение $\PageIndex{2}$
Перевод из математической записи в слова:
$72÷9$
$\dfrac{21}{3}$
$6 \overline{\smash{)}54}$
Ответить на
семьдесят два разделить на девять; частное семидесяти двух и девяти
Ответ б
двадцать один разделить на три; частное двадцати одного и трех
Ответ c
пятьдесят четыре разделить на шесть; частное пятидесяти четырех и шести
Модель деления целых чисел
Как и в случае с умножением, мы будем моделировать деление с помощью счетчиков. Операция деления помогает нам организовать элементы в равные группы, поскольку мы начинаем с количества элементов в делимом и многократно вычитаем число из делителя.
Пример $\PageIndex{2}$: модель
Модель деления: $24 ÷ 8$.
Решение
Чтобы найти частное $24 ÷ 8$, мы хотим знать, сколько групп из $8$ содержится в $24$.
Смоделируйте делимое. Начните с $24$ счетчиков.
Делитель сообщает нам количество счетчиков, которые мы хотим в каждой группе. Сформируйте группы из $8$ фишек.
Подсчитайте количество групп. Есть $3$ группы.
\[24 \дел 8 = 3 \не число\]
упражнение $\PageIndex{3}$
Модель: $24 ÷ 6$.
Ответить
упражнение $\PageIndex{4}$
Модель: $42 ÷ 7$.
Ответить
Разделение целых чисел
Мы сказали, что сложение и вычитание являются обратными операциями, потому что одна отменяет другую. Точно так же деление является обратной операцией умножения. Мы знаем $12 ÷ 4 = 3$, потому что $3 • 4 = 12$. Знание всех фактов числа умножения очень важно при делении.
Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно делимому. В примере $\PageIndex{2}$ мы знаем, что $24 ÷ 8 = 3$ верно, потому что $3 • 8 = 24$.
Пример $\PageIndex{3}$: разделить
Разделить. Затем проверьте умножением.
$42 ÷ 6$
$\dfrac{72}{9}$
$7 \overline{\smash{)}63}$
Решение
Разделить 42 на 6. 42 ÷ 6 = 7
Проверить умножением. 7 • 6 = 42 ✓
Разделить 72 на 9. $\dfrac{72}{9}$
Проверить умножением. 8 • 9 = 72 ✓
Разделить 63 на 7. $7 \overline{\smash{)}63}$
Проверить умножением. 9 • 7 = 63✓
упражнение $\PageIndex{5}$
Разделить. Затем проверьте умножением:
$54 ÷ 6$
$\dfrac{27}{9}$
Ответить на
$9$
Ответ б
$3$
упражнение $\PageIndex{6}$
Разделить. Затем проверьте умножением:
$\dfrac{36}{9}$
$8 \overline{\smash{)}40}$
Ответить на
$4$
Ответ б
$5$
Чему равно частное при делении числа само на себя?
\[\dfrac{15}{15} = 1 \quad \text{потому что} \quad 1 \cdot 15 = 15 \nonumber \]
Деление любого числа (кроме $0$) само по себе дает частное $1$. Кроме того, любое число, деленное на $1$, дает частное числа. Эти две идеи изложены в Свойствах Разделения Единого.
Раздел Свойства одного
Любое число (кроме 0), деленное само на себя, равно единице. а ÷ а = 1
Любое число, разделенное на единицу, равно числу. а ÷ 1 = а
Пример $\PageIndex{4}$: разделить
Разделить. Затем проверьте умножением:
$11 ÷ 11$
$\dfrac{19}{1}$
$1 \overline{\smash{)}7}$
Решение
Число, разделенное само на себя, равно 1. 11 ÷ 11 = 1
Проверить умножением. 1 • 11 = 11 ✓
Число, деленное на 1, равно самому себе. $\dfrac{19}{1} = 19$
Проверить умножением. 19 • 1 = 19 ✓
Число, деленное на 1, равно самому себе. $1 \overline{\smash{)}7} = 7$
Проверить умножением. 7 • 1 = 7✓
упражнение $\PageIndex{7}$
Разделить. Затем проверьте умножением:
$14 ÷ 14$
$\dfrac{27}{1}$
Ответить на
$1$
Ответ б
$27$
упражнение $\PageIndex{8}$
Разделить. Затем проверьте, умножив:
$\dfrac{16}{1}$
$1 \overline{\smash{)}4}$
Ответить на
$16$
Ответ б
$4$
Предположим, у нас есть $$0$, и мы хотим разделить его между $3$ людьми. Сколько получит каждый? Каждый человек получит $$0$. Ноль, разделенный на любое число, равен $0$.
Теперь предположим, что мы хотим разделить $$10$ на $0$. Это означает, что мы хотели бы найти число, которое мы умножаем на $0$, чтобы получить $10$. Этого не может быть, потому что $0$ умножить на любое число равно $0$. Говорят, что деление на ноль равно 9.0629 не определено .
Эти две идеи составляют Свойства Разделения Зеро.
Свойства разделения нуля
Разделение нуля на любое число равно 0. 0 ÷ а = 0
Деление числа на ноль не определено. а ÷ 0 = не определено
Еще один способ объяснить, почему деление на ноль не определено, состоит в том, чтобы вспомнить, что деление на самом деле представляет собой многократное вычитание. Сколько раз мы можем отнять $0$ от $10$? Поскольку вычитание $0$ никогда не изменит сумму, мы никогда не получим ответ. Таким образом, мы не можем разделить число на $0$.
Пример $\PageIndex{5}$: разделить
Разделить. Проверить умножением:
$0 ÷ 3$
$10 / 0$
Решение
Ноль, разделенный на любое число, равен нулю. 0 ÷ 3 = 0
Проверить умножением. 0 • 3 = 0 ✓
Деление числа на ноль не определено. 10/0 = не определено
упражнение $\PageIndex{9}$
Разделить. Затем проверьте умножением:
$0 ÷ 2$
$17 / 0$
Ответить на
$0$
Ответ б
не определено
упражнение $\PageIndex{10}$
Разделить. Затем проверьте, умножив:
$0 ÷ 6$
$13 / 0$
Ответить на
$0$
Ответ б
не определено
Когда делитель или делимое имеет более одной цифры, обычно проще использовать обозначение $4 \overline{\smash{)}12}$. Этот процесс называется длинным делением. Давайте проработаем процесс, разделив $78$ на $3$.
Разделите первую цифру делимого, 7, на делитель, 3.
Делитель 3 может дважды входить в число 7, так как 2 × 3 = 6. Запишите 2 над 7 в частном.
Умножьте 2 в частном на 3 и запишите произведение 6 под цифрой 7.
Вычтите это произведение из первой цифры делимого. Вычтите 7 − 6. Запишите разницу, 1, под первой цифрой делимого.
Сократите следующую цифру делимого. Сбить 8.
Разделите 18 на делитель 3. Делитель 3 входит в число 18 шесть раз.
Напишите 6 в частном над 8.
Умножьте 6 в частном на делитель и запишите произведение 18 под делимым. Вычтите 18 из 18.
Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше не осталось цифр, поэтому деление закончено. Итак, $78 ÷ 3 = 26$.
Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить делимое. Умножьте $26 × 3$, чтобы убедиться, что произведение равно делимому, $78$.
Да, значит, наш ответ правильный.
КАК: ДЕЛИТЬ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.
Шаг 1. Разделить первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше первой цифры делимого, разделите первые две цифры делимого на делитель и так далее.
Шаг 2. Запишите частное над делимым.
Шаг 3. Умножить частное на делитель и под делимым записать произведение.
Шаг 4. Вычтите этот продукт из делимого.
Шаг 5. Запишите следующую цифру делимого.
Шаг 6. Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить.
Шаг 7. Проверьте, умножив частное на делитель.
Пример $\PageIndex{6}$: разделить
Разделить $2596 ÷ 4$. Проверьте умножением.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Разделите первую цифру делимого, 2, на делитель, 4.
Так как 4 не входит в 2, мы используем первые две цифры делимого и делим 25 на 4. Делитель 4 входит в 25 шесть раз.
Запишем 6 в частном над 5.
Умножьте 6 в частном на делитель 4 и запишите произведение 24 под первыми двумя цифрами делимого.
Вычтите это произведение из первых двух цифр делимого. Вычтите 25 − 24. Запишите разницу, 1, под второй цифрой делимого.
Теперь опустите 9 и повторите эти шаги. В числе 19 4 четверки. Напишите 4 над 9. Умножьте 4 на 4 и вычтите это произведение из 19.
Опустите 6 и повторите эти шаги. Есть 9четверки в 36. Напишите 9 над 6. Умножьте 9 на 4 и вычтите это произведение из 36.
Проверить умножением.
Это равно делимому, значит, наш ответ правильный. Итак, $2596 ÷ 4 = 649$.
упражнение $\PageIndex{11}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $2636 ÷ 4$.
Ответить
$659$
упражнение $\PageIndex{12}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $2716 ÷ 4$.
Ответить
$679$
Пример $\PageIndex{7}$: разделить
Разделить $4,506 ÷ 6$. Проверьте умножением.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Сначала попробуем разделить 6 на 4.
Так как это не сработает, пробуем 6 в 45. В 45 7 шестерок. Пишем 7 поверх 5
Умножьте 7 на 6 и вычтите это произведение из 45.
Теперь опустите 0 и повторите эти шаги. В числе 30 5 шестерок. Напишите 5 над 0. Умножьте 5 на 6 и вычтите это произведение из 30.
Теперь опустите 6 и повторите эти шаги. 1 шесть в 6. Напишите 1 над 6. Умножьте 1 на 6 и вычтите это произведение из 6.
Проверить умножением.
Это равно делимому, значит, наш ответ правильный.
упражнение $\PageIndex{13}$
Разделить. Затем проверьте умножением: $4,305 ÷ 5$.
Ответ
$861$
упражнение $\PageIndex{14}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $3906 ÷ 6$.
Ответить
$651$
Пример $\PageIndex{8}$: разделить
Разделить $7 263 ÷ 9$. Проверьте умножением.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Сначала попробуем разделить 9 на 7.
Так как это не сработает, пробуем 9 в 72. В 72 8 девяток. Пишем 8 поверх 2.
Умножьте 8 на 9 и вычтите это произведение из 72.
Теперь опустите 6 и повторите эти шаги. В числе 6 0 девяток. Напишите 0 над 6. Умножьте 0 на 9.и вычесть это произведение из 6.
Теперь опустите 3 и повторите эти шаги. В числе 63 7 девяток. Напишите 7 над 3. Умножьте 7 на 9 и вычтите это произведение из 63.
Проверить умножением.
Это равно делимому, значит, наш ответ правильный.
упражнение $\PageIndex{15}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $4928 ÷ 7$.
Ответить
$704$
упражнение $\PageIndex{16}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $5 663 ÷ 7$.
Ответить
$809$
Пока все задачи на деление решались равномерно. Например, если бы у нас было $24$ печенья и мы хотели сделать пакеты из $8$ печенья, у нас было бы $3$ пакетов. Но что, если бы было $28$ печенья, и мы хотели бы сделать пакеты из $8$? Начните с файлов cookie $28$, как показано на рисунке $\PageIndex{3}$.
Рисунок $\PageIndex{3}$
Попробуйте разместить файлы cookie группами по восемь, как показано на рисунке $\PageIndex{4}$.
Рисунок $\PageIndex{4}$
Осталось $3$ групп из восьми файлов cookie и $4$ файлов cookie. Мы называем файлы cookie $4$, оставшиеся после остатка, и показываем их, записывая $R4$ рядом с $3$. ($R$ означает остаток.)
Чтобы проверить это деление, мы умножаем $3$ на $8$, чтобы получить $24$, а затем добавляем остаток от $4$ .
Пример $\PageIndex{9}$: разделить
Разделить $1,439 ÷ 4$. Проверьте умножением.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Сначала мы пытаемся разделить 4 на 1. Поскольку это не сработает, мы пытаемся 4 разделить на 14. В 14 3 четверки. Пишем 3 над 4.
Умножьте 3 на 4 и вычтите это произведение из 14.
Теперь опустите 3 и повторите эти шаги. В числе 23 5 четверок. Напишите 5 над 3. Умножьте 5 на 4 и вычтите это произведение из 23.
Теперь опустите 9 и повторите эти шаги. В числе 39 9 четверок. Напишите 9 над 9. Умножьте 9 на 4 и вычтите это произведение из 39. Больше нечего записывать, так что мы закончили. Остаток равен 3.
Проверить умножением.
Итак, $1,439 ÷ 4$ равно $359$ с остатком $3$. Наш ответ правильный.
упражнение $\PageIndex{17}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $3812 ÷ 8$.
Ответить
$476$ с остатком $4$
упражнение $\PageIndex{18}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $4,319÷ 8$.
Ответить
$539$ с остатком $7$
Пример $\PageIndex{10}$: разделить
Разделить и проверить умножением: $1,461 ÷ 13$.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Сначала мы пытаемся разделить 13 на 1. Поскольку это не сработает, мы пытаемся 13 разделить на 14. В 14 есть 1 тринадцать. Мы пишем 1 над 4.
Умножьте 1 на 13 и вычтите это произведение из 14.
Теперь опустите 6 и повторите эти шаги. В 16 будет 1 тринадцать. Напишите 1 над 6. Умножьте 1 на 13 и вычтите это произведение из 16.
Теперь опустите 1 и повторите эти шаги. В числе 31 2 тринадцатых. Напишите 2 над 1. Умножьте 2 на 13 и вычтите это произведение из 31. Больше нечего записывать, так что мы закончили. Остаток 5.1462 ÷ 13 это 112 с остатком 5.
Проверить умножением.
Наш ответ правильный.
упражнение $\PageIndex{19}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $1493 ÷ 13$.
Ответить
$114$ Р $11$
упражнение $\PageIndex{20}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $1461 ÷ 12$.
Ответ
$121$ Р $9$
Пример $\PageIndex{11}$: разделить
Разделить и проверить умножением: $74 521 ÷ 241$.
Решение
Перепишем задачу так, чтобы она включала деление в большую сторону.
Сначала мы пытаемся разделить 241 на 7. Поскольку это не сработает, мы попробуем 241 разделить на 74. Это все равно не сработает, поэтому мы попытаемся 241 разделить на 745. Поскольку 2 делится на 7 три раза, мы пытаемся 3 , Поскольку 3 × 241 = 723, мы пишем 3 вместо 5 в числе 745. Обратите внимание, что 4 будет слишком большим, потому что 4 × 241 = 9.64, что больше 745.
Умножьте 3 на 241 и вычтите это произведение из 745.
Теперь опустите 2 и повторите эти шаги. 241 не делится на 222. Мы пишем 0 вместо 2 в качестве заполнителя, а затем продолжаем.
Теперь опустите 1 и повторите эти шаги. Попробуйте 9. Поскольку 9 × 241 = 2169, мы пишем 9над 1. Умножьте 9 на 241 и вычтите это произведение из 2221.
Больше нет номеров для ввода, так что мы закончили. Остаток равен 52. Таким образом, 74 521 ÷ 241 равно 309 с остатком 52.
Проверить умножением.
Иногда может быть неочевидно, сколько раз делитель входит в число цифр делимого. Нам придется угадывать и проверять числа, чтобы найти наибольшее число, которое идет на цифры, не выходя за их пределы.
упражнение $\PageIndex{21}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $78 641 ÷ 256$.
Ответить
$307$ Р $49$
упражнение $\PageIndex{22}$
Разделить. Затем проверьте, умножив: $76 461 ÷ 248$.
Ответить
$308$ Р $77$
Авторы и ссылки
Линн Маречек (колледж Санта-Ана) и МэриЭнн Энтони-Смит (ранее работала в колледже Санта-Ана). Этот контент создан OpenStax и распространяется по лицензии Creative Commons Attribution License 4. 0.
Эта страница под названием 1.9: Разделение целых чисел (Часть 1) распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
ОпенСтакс
Версия лицензии
4,0
Показать страницу Содержание
нет
Теги
На этой странице нет тегов.
Частное умножение или деление?
Автор вопроса: Раймонд Маджио II
Оценка: 4,3/5 (74 голоса)
Частное является результатом процесса деления , а произведение является результатом процесса умножения. Частное меньше делимого и делителя. Произведение больше заданных двух чисел.
Частное означает деление или умножение?
Ответ после деления одного числа на другое . делимое ÷ делитель = частное. Пример: в 12 ÷ 3 = 4 частное 4.
Является ли частное ответом на задачу о делении?
Части задачи на деление
Задача на деление состоит из трех основных частей: делимое, делитель и частное . Делимое – это число, которое будет разделено. Делитель — это количество «людей», между которыми делится число. Частное — это ответ.
Какое правило умножения и деления?
Поскольку деление является обратным умножению, правила деления 9. 0759 то же, что и правила умножения . Поэтому при умножении и делении положительных и отрицательных чисел помните следующее: если знаки одинаковые, ответ положительный, если знаки разные, ответ отрицательный.
Чему равно частное 14 и 7?
При делении 14 на 7 получается 2 . Число 14 — это делимое, а число 7 — делитель, и мы имеем 14 ÷ 7 = 2.
Арифметика: что такое частное? (Дивизион)

Найдено 20 связанных вопросов
Какая часть является частным?
Делимое число (в данном случае 15) называется делимым, а число, на которое оно делится (в данном случае 3), называется делителем. Результат деления есть частное.
Чему равно частное 3 и числа?
частное трех и числа n преобразуется в 3 разделить на число n, если частное указывает на деление или дробь.
Что означает частное в алгебре?
: число, полученное делением одного числа на другое Деление 10 на 5 дает частное 2.
Как вы оцениваете частное?
Чтобы вычислить частное, мы сначала округляем делитель и делимое до ближайших десятков, сотен или тысяч, а затем делим округленные числа . В сумме деления, когда делитель состоит из 2 цифр или более 2 цифр, полезно, если мы сначала оценим частное, а затем попытаемся найти фактическое число.
Что такое частное и остаток?
Число раз, которое мы вычли, называется частным (от деления на ).
Чему равно частное 5 4?
Вычесть 4 из 5 . Результат деления 54 равен 1 с остатком 1 .
Чему равно частное двух чисел?
Когда вы делите два числа ответ называется частным. Частное шести, деленное на два, равно трем. Частное происходит от латыни и означает «сколько раз». В этом есть большой смысл: если вы делите одно число на второе, вы выясняете, «сколько раз» второе число входит в первое.
Как использовать частное в предложении?
номер полученный делением.
Богатство на самом деле не увеличивает ваш коэффициент счастья.
Он расхваливал высокий коэффициент интеллекта своего сына.
На острове много священнослужителей.
Следовательно, мы можем использовать теорему о факторах, чтобы доказать, что это тензор.
Чему равно частное 15 7?
Результат деления 157 равен 2 с остатком 1 .
Чему равно частное 24 при делении на 3?
Результат деления числа 243 равен 8 .
Каково частное 914 и 2 7?
Разделите 9/14 на 2/7. 914 ÷ 27 равно 94.
Как вы описываете деление словами?
Говоря о делении, вы, скорее всего, встретите термины «делить» , «частное», «процент» (делить на 100).
No related posts.