Теорема косинусов: формулировка, следствия, доказательство и примеры
Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
Формула косинуса:
- a² = b² + c² – 2b.c.cosα
- b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
- c² = a² + b² – 2a.b.cosγ
Например:
Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.
Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:
b = 12 см
c = 8 см
cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)
a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)
a² = 144 + 64 – (–96)
a² = 304
a = √304
a ≈ 17,436
Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.
Следствия
Следствие косинуса угла треугольника
При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.
Формула:
Либо
Либо
Например:
сторона c = 6
сторона b = 7
сторона a = 8
Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.
Решение:
Будем использовать эту версию формулы:
cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8
= (36 + 64 − 49) / 96
= 51 / 96
= 0,53125
= cos¯¹(0,53125)
≈ 57,9°
Следствие верхней части формулы cos α
Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):
- b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
- b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
- b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.
Доказательство теоремы косинусов
Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C
1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.
2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:
DA = b − a.
cosC
3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:
sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.
4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²
5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²
6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C
6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC
7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC
8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C
Q.E.D.
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике:
- две его стороны равны;
- углы при основании равны.
Рассмотрим пример:
Используем формулу теоремы косинусов
a² = b² + c² – 2b.
c.cosα
Подставляем все известные:
x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º
x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)
x² ≈ √226,048
x ≈ 15,035.
Теорема синусов
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:
Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.
Дата обновления 01/10/2020.
Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать
- Аксиома
- Теорема Пифагора
- Гипотенуза
- Теорема Менелая
- Теорема Ферма
- Теорема Виета
- Гипотеза Пуанкаре
- Уравнения Максвелла
- Тангенс
- Квадратное уравнение
Узнай Что Такое: узнайте значения, понятия и определения.
ПоследниеПопулярныеКонтактыПолитика КонфиденциальностиО нас
2018 — 2022 © 7Graus
когда cos равен 1/2
Когда Cos равен 1/2?
Синусы и косинусы особых общих углов
| Степени | радианы | косинус |
|---|---|---|
| 90° | π/2 | |
| 60° | π/3 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2 / 2 |
| 30° | π/6 | √3 / 2 |
Как решить Cos-1/2 A?
Каково значение cos-1/2 в градусах?
это 0.99996 в градусах и 0,8775 в радианах.
Маринованный Остры…
Please enable JavaScript
Маринованный Острый Перец на зиму по Китайски, Как добавить Соли и Водку?
При каком значении тета cos тета равен 1 2?
Точное значение arccos(12) arccos( 1 2 ) равно π3 . Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах.
Как найти угол Cos-1 2?
Каково точное значение cos 1 1 2?
Точное значение arccos(12) arccos( 1 2 ) равно π3 . Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтите опорный угол из 2π, чтобы найти решение в четвертом квадранте. Упростите 2π−π3 2 π – π 3 .
Чему равен cos 2?
Cos 2x является одним из тригонометрических тождеств двойного угла, поскольку рассматриваемый угол кратен 2, то есть удвоен по отношению к x. Запишем тождество cos 2x в разных формах: cos2x = cos2x — sin2x
. cos2x = 2cos2x – 1.
Смотрите также, как размножаются моллюски.
Каково главное значение Cos 1 − 1 2?
−2π/3.
Может ли Cos равняться 1?
1 ответ эксперта
1) В единичном круге x представляет косинус функции, а y представляет синус тригонометрической функции. 2) Глядя на единичный круг, я заметил, что cos(x) = 1, что соответствует 360°.
другими словами, cos (360º) = 1, ответ x = 360º или х=2π радиан.
Что такое обратная половина Cos?
cos−1(12)=π3.
Как найти косинус тета 2?
2 ответа от опытных наставников
Формула половинного угла: cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2). Поскольку sinθ = 3/5, cosθ = 4/5. Следовательно, (1+cosθ)/2 = 9/10, а cos(θ/2) = ±√.
Как найти значение cos тета 1 2?
Точное значение arccos(−12) arccos (– 1 2 ) равно 2π3 2 π 3 . Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтите опорный угол из 2π, чтобы найти решение в третьем квадранте. Упростите 2π−2π3 2 π – 2 π 3 .
Что такое cos тета1?
Точное значение arccos(1) равно . Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах.
Каково значение Cos, обратное 1 на 2?
π/3 Следовательно, главное значение cos–1(1/2) = π/3.
Каково значение Cos, обратное 2?
Объяснение: поскольку функция действительных значений действительных углов cos(x):R→[−1,1] не принимает значения 2 или любого значения в (−∞,−1)∪(1,∞) , поэтому cos−1(2) не определен.
Каково значение Cos, обратное 1?
Как вы можете видеть ниже, cos–1 (1) равен 270° или, в радианах, 3П/2. «-1» представляет собой минимальное значение функции косинуса, когда-либо получаемое и возникающее при Π, а затем снова при 3Π, при 5Π и т. д.
Где Cos равен?
Всегда, всегда синус угла равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу (opp/hyp на диаграмме). Косинус равен прилежащая сторона, разделенная гипотенузой (прил/гип).
Синус какого угла равен 1 2?
Таблица синусов
| х (градус) | х (рад) | грех (х) |
|---|---|---|
| 0° | ||
| 30° | π/6 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 |
| 60° | π/3 | √3/2 |
Смотрите также, как текут ледники
Каково значение tan1 0?
Тригонометрическая таблица соотношений различных углов
| Угол | 0° | 45° |
|---|---|---|
| загар | 1 | |
| детская кроватка | ∞ | 1 |
| csc | ∞ | √2 |
| сек | 1 | √2 |
Что такое cos 2 theta sin2theta?
Формула косинуса двойного угла: cos(2тета)=cos2(тета) – sin2(тета).
Комбинируя эту формулу с тождеством Пифагора, cos2(тета) + sin2(тета)=1, появляются две другие формы: cos(2theta)=2cos2(theta)-1 и cos(2theta)=1-2sin2(theta). … Эти формулы очень полезны в исчислении.
Как вы используете cos 2?
Чтобы ввести cos2x в свой калькулятор, вычислите cos x и возведите его в квадрат. Для алгебраического решения напишите y = cos x, и тогда уравнение примет вид 2 y2 – 3 y – 4 = 0.
Как я могу обратить свои грехи?
Функция обратного синуса
- Начните с: sin a° = противоположность/гипотенуза.
- sin а° = 18,88/30.
- Рассчитайте 18,88/30:sin a° = 0,6293…
- Обратный синус: a° = sin−1 (0,6293…)
- Используйте калькулятор, чтобы найти sin−1(0,6293… ):a° = 39,0° (с точностью до 1 знака после запятой)
Каково значение корня Cos 2?
π4 Точное значение arccos(√22) arccos ( 2 2 ) равно №4 . Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах.
Что из следующего является ветвью главного значения Cos − 1x?
(c) Мы знаем, что ветвь главного значения cos–1 x равна [0,π].
Как найти главное значение косинуса?
Как найти общее и главное значения cos−1 x? Пусть cos θ = x, где, (- 1 ≤ x ≤ 1), то θ = cos−1 x. Здесь θ имеет бесконечно много значений. Пусть 0 ≤ α ≤ π2, где α — положительное наименьшее числовое значение и удовлетворяет уравнению cos θ = x, тогда угол α называется главным значением cos−1 x.
Является ли Cos 1 таким же, как 1 cos?
Обозначение cos−1(x) означает то же самое, что и arccos(x). Если бы вы хотели поговорить о sec(x), равном 1/cos(x), вы бы написали (cos(x))−1.
Косинус какого угла равен 1?
Синусы и косинусы особых общих углов
| Степени | радианы | косинус |
|---|---|---|
| 60° | π/3 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2 / 2 |
| 30° | π/6 | √3 / 2 |
| 0° | 1 |
Смотрите также, что означает грива в текстовых сообщениях
В чем разница между COS и COS 1?
в том, что арккосинус это (тригонометрия) любая из нескольких однозначных или многозначных функций, которые являются обратными символу функции косинуса: arccos, cos–1, а косинус (тригонометрия) в прямоугольном треугольнике, отношение длины стороны, прилегающей к острому треугольнику угол к длине символа гипотенузы: cos.
Чему равен COS?
Поскольку косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значение арккосинуса равно 30° или примерно 0,52 радиана.
…
Графики обратных тригонометрических функций.
| Функция | Домен | Диапазон |
|---|---|---|
| грех-1 (х) | [−1,1] | [−π2,π2] |
| соз-1(х) | [−1,1] | [0,π] |
| тангенс −1 (х) | (−∞,∞) | (−π2,π2) |
| детская кроватка−1(x) | (−∞,∞) | (0, π) |
Каково значение Cos, обратное 1 на 4?
Следовательно, cos(arcsin(14))≥0 .
Может ли cos тета быть 2?
Я хочу поговорить о других формах косинусных тождеств с двойным углом. … Косинус 2 тета 1 минус 2 синус в квадрате тета, косинус 2 тета равен 2 косинусу в квадрате минус 1.
Является ли арккосинус таким же, как арккосинус?
Определение Arccos
Арккосинус x определяется как функция арккосинуса от x, когда -1≤x≤1.
2? да. Оба выражения подразумевают, что вы сначала находите значение косинуса, а затем возводите результат в квадрат.
Что такое тета, когда COS равен 1 2?
Учитывая это, cosθ=12 . Но известно, что, поскольку60°=12 . Кроме того, cos300°=12. ∴θ=60° и θ=300°.
Почему квадрат синуса плюс квадрат косинуса равен 1?
Решите, потому что х = -1/2
Тригонометрия единичного круга – Sin Cos Tan – Радианы и градусы
Что такое факториал 1/2? УДИВИТЕЛЬНО (1/2)! = (√π)/2
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | cos(45 градусов) | ||
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | 30 | ||
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
оценка cos(inverse)1/2 | Wyzant Спросите эксперта
Тригонометрия
Сеси Г.
оценка cos(inverse)1/2
оценка arccos1/2.
Я этого не понимаю? Что значит оценивать? Как мне это сделать? Какие шаги? Пожалуйста, покажите шаг за шагом с объяснением. Я не знаю, как это сделать. Кроме того, как я могу поставить ответ? Вариантов ответов нет, только поле для ввода ответа. Я действительно не понимаю.
Я снова задаю этот вопрос, потому что до сих пор не понимаю. У меня может быть только один ответ…?
Подписаться І 2
Подробнее
Отчет
1 ответ эксперта
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые
Джон П. ответил 16.03.15
Репетитор
5,0 (173)
Знающий репетитор по математике, естественным наукам, SAT, ACT — выпускник Гарварда с отличием
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
«Вычислить» означает «найти значение».
Например, если вас попросили оценить 3x + 4, когда x равно 3, вы подставили бы 3 вместо x и выполнили вычисление, в результате чего вы получили бы 13.
К этому моменту у вас должно быть начали изучать обратные тригонометрические функции, такие как arccos (также известный как cos -1 ). Вместо того, чтобы находить косинус числа, они хотят, чтобы вы нашли число, косинус которого равен 1/2.
Если вы посмотрите на график функции косинуса, то увидите, что есть много чисел, у которых косинус равен 1/2. Это повторяется снова и снова. Таким образом, чтобы сделать arccos функцией только с одним значением, определение ограничено так, чтобы диапазон был от 0 до π.
Когда вы недавно изучали тригонометрические функции, вы, вероятно, видели диаграмму, показывающую значения sin, cos и tan для наиболее важных углов. Там вы бы увидели, что cos π/3 = 1/2. Таким образом, π/3 — это один из углов, cos которого равен 1/2.