Чему равен корень: Арифметический квадратный корень — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Математический анализ. (Виленкин)

Математический анализ. (Виленкин)
  

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.

Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга «Алгебра» того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
2. Числовые множества.
3. Пустое множество.
4. Подмножество.
5. Пересечение множеств.
6. Сложение множеств.
7. Разбиение множеств.

8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным
2. Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.
6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.
8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.
5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.
8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2. Комбинаторные задачи. Продолжение
§ 3. Определения и формулы
§ 4. Соединения с повторениями
§ 5. Комбинаторные задачи. Окончание
§ 6. Бином Ньютона и его обобщения
§ 7. Краткие исторические сведения
Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности
§ 3. Примеры вычисления вероятностей
§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса
§ 5. Повторение испытаний
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание
§ 7. Краткие исторические сведения

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Цель урока: Дать понятие о корне из числа, научить находить =а по определению.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

Что называется степенью с натуральным показателем? Основанием степени? Показателем степени?

  • A*a*a=?
  • X*x*a*a=?
  • (x-a)*(x-a)=?

Вычислите

(-2); 3; 0,7; 2; (-1); (-1)

Что значит вычесть из числа a число b? (Это значит – найти такое число х=а-b, что х+b=а)

Что значит число a разделить на число b? (Это значит – найти такое число х=а*b, что х*b=а)

II. Вводная беседа.

1. Сколько арифметических действий вы знаете?

(Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. 5 действий.)

2. Назовите обратные им действия. (Сложение и вычитание имеют по одному обратному действию, которые называются “вычитание” и “деление”. Пятое действие – возведение в степень имеет два обратных действия: а) нахождение основания б) нахождение показателя

Определение Нахождение основания называется извлечением корня. Второе действие - логарифмирование. Его будем изучать в 11 классе.

Займемся 1-м действием. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого известна, с давних времен встречалась обратная задача:

Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b?

III. Введение определения

Решим задачу:

Площадь квадратного листа равна 49 м2. Чему равна длина стороны квадрата?

Решение: Пусть сторона листа – х м. Площадь S=x2 м2. Так как 72=49 и (–7)2=49, т.е. числа 7 и –7 называются квадратными корнями.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

=b

b

b=a

При a, не имеет смысла.

Арифметический квадратный корень обозначается значком - радикал, корень.

Примеры =2, т.к. 20, 2=4

=9, т.к. 90, 9=81

-4, т.к. –4<0

4, т.к. 4-16

Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин ( при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

IV. Закрепление определения квадратного корня

№287. (устно).

Докажите, что:

а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25 (т. к. 50, 5=25)

б) число 0.3 есть арифметический квадратный корень из 0.09 (т.к. 0.30, 0.3=0.09)

в) число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49 ( т.к. –7<0)

г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6. (0,60, но о,623,6)

№289 (устно)

а)=

б) =

в) =

д) =

к)=

л)=

м) =

Вычислите:

в)+=

е) –7 + 5,4 =

з) + =

V. Закрепление нахождения значения корня.

№291.

Найдите значение выражения. (Один ученик решает у доски. Класс выполняет работу самостоятельно.)

б) при х=7; 23; 1,83.

Ответы:

Х=7; ===4

Х=23; ===8

Х=1,83; ===0,7

В) х+ при х=0; 0,1; 0,36.

Ответы:

Х=0 0+=0+0=0

Х=0,01 0,01+=0,01+0,1=0,11

Х=0,36 0,36+=0,36+0,6=0,96

№298. Найдите значение переменной х, при котором:

б) =0,5

По определению

Х=0,52

х=0,25

 в) 2*=0

=0:2

=0

по определению

х=02

х=0

 е) 3-2=0

3=2

=

х=()2

х=

VI. Работа по таблицам квадратов.

Пользование таблицей. (Форзац учебника)

№295 (а,б). (устно)

а)=12 =17 =14 =16

б) =15 =13 =18 =19

VII. О знаке радикала

Прочитать по учебнику стр. 214. “В Эпоху возрождения”.

VIII. Вводим операцию ()2=а, при а0.

Из определения арифметического корня следует, при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство ()2=а

Вычислите

()2=а

()2=7

===3

===4

===5

Самостоятельная работа обучающего типа. (Приложение 1)

IX. Три уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося.

1 вариант

х 25 0,36 0,0001 -16 2+ 256
               

2 вариант

а 3 9 -7 36 -13 -11 2
в 6 16 11 64 -12 11
               

3 вариант

а 4 0 5 10 12
в 0 -6 -12 24 9 2 -6
             

X. Итог урока

XI. Домашнее задание.

store.theroot

  • Черная худи унисекс 24/7

    Черная худи унисекс 24/7

    Обычная цена
    от $37.00

    Цена продажи
    от $37.00

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

  • Большая органическая сумка-тоут «Tu Shea»

    Большая органическая сумка «Tu Shea»

    Обычная цена
    $26.00

    Цена продажи
    $26.00

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

  • Черная футболка унисекс 24/7

    Черная футболка унисекс 24/7

    Обычная цена
    от $16. 00

    Цена продажи
    от $16.00

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

  • Наклейки с логотипом Root

    Наклейки с логотипом The Root

    Обычная цена
    от $5.00

    Цена продажи
    от $5.00

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

  • Черная большая сумка 24/7

    Черная большая сумка 24/7

    Обычная цена
    25 долларов США

    Цена продажи
    25 долларов США

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

  • Корневая маска для лица

    Маска для лица The Root

    Обычная цена
    $22. 00

    Цена продажи
    $22.00

    Обычная цена

    Цена за единицу товара
    /за 

    Распродажа Продано

Посмотреть все

The Root жертвует часть выручки «Национальной коалиции справедливости для чернокожих» при покупке этой футболки.

нажмите, чтобы поддержать

Используйте стрелки влево/вправо для перемещения по слайд-шоу или проведите пальцем влево/вправо, если используете мобильное устройство На открытом воздухе

G/O Media может получить комиссию

G/O Media может получить комиссию

Читать дальше

Дома

На улице

Дома0005

Outdoors

Let’s Rock: эти кресла Adirondack со скидкой 16%

Кресла-качалки Adirondack — самая низкая цена за последние месяцы!

By

Erin O’Brien

Advertisement

LeVar Burton Is Still Championing Literacy In «The Right to Read»

Subtitles

  • Off
  • English

Share this Видео

ЛеВар Бертон по-прежнему отстаивает грамотность в «Праве на чтение»

Субтитры

  • Выкл.
  • Английский

ЛеВар Бертон по-прежнему борется за грамотность.

Реклама

Реклама

Реклама

Читать дальше

40004 Lifestyle

Beauty & Health

G/O Media может получить комиссию

G/O СМИ может получить комиссию

Читать

Liakey

Beauty & Health

444 Образ жизни

Красота и здоровье

Попробуйте экологически чистое очищающее средство Caprea’s Organic PH Cleanser со скидкой 47%

Кроме того, посадите упаковку продукта прямо в землю, чтобы вырастить красивые цветы.

By

Brittany Vincent

Advertisement

Advertisement

Read on

Lifestyle

Beauty & Health

G/O Media may get комиссия

G/O Media может получить комиссию

Читать дальше

Стиль жизни

Красота и здоровье

Стиль жизни

4 Красота и здоровье0005

Эта сыворотка за 8 долларов помогает отрастить ресницы.

Используйте наш промо-код, чтобы получить скидку 20%.

Автор:

Эрин О’Брайен

Комментарии (2)

Реклама

Встал в защиту чернокожих женщин против домашнего насилия

Субтитры

  • Off
  • Английский

0249

Сегодня Куин Латифа известна как актриса, телепродюсер и предприниматель. Этот эпизод UR FAV TRAK заново открывает ее корни MC.

Реклама

Читая на

Kinja Deals

G/o Медиа может получить комиссию

G/o Media May May May May May May May May May Leat A Tear As A Commission

9554 4554 9554 9554

.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *