Чему равен косинус двойного угла: Чему равен косинус двойного угла?

Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла

План урока

• Вывод формул синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла.
• Решение задач на применение формул синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла.

Цели урока

• Знать формулы синуса, косинуса, тангенса, котангенса двойного угла.
• Уметь выводить эти формулы, применять их при преобразованиях тригонометрических выражений, вычислениях.

Разминка

1. Вспомните формулы сложения аргументов.

2. Докажите тождество sin(α-β)sin(α+β)=sin2α-sin2β. (Указание. Воспользуйтесь формулами синуса суммы и разности аргументов, основным тригонометрическим тождеством).

 

В прошлом параграфе мы рассматривали формулы сложения аргументов. Вспомним некоторые из них.

 

1. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

2.  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

3. tg(α+β)=tgα+tgβ1-tgαtgβ, α≠π2+πk, β≠π2+πk, α+β≠π2+πk, k∈Z.

 

В этом параграфе речь пойдет о формулах, позволяющих выразить sin2α, cos2α, tg2α, ctg2α через sinα, cosα, tgα, ctgα. Эти формулы называют формулами двойного угла .

 

Сначала выведем формулу для sin2α. Для этого представим угол 2α в виде суммы α и α и применим формулу синуса суммы аргументов:

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα, т. е.

 

sin2α=2sinαcosα.                  (1)

 

Аналогичным образом выведем формулу для cos2α.

cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α. Итак,

 

cos2α=cos2α-sin2α.                 (2)

---

Пример 1

Вычислить:

 

а) 9cos2α, если cosα=13

б) sin2α, если cosα=0,6; 3π2<α<π.

---

Решение

 

а) Применим к выражению 9cos2α формулу (2) и следствие из основного тригонометрического тождества:

 9cos2α=9(cos2α-sin2α)=9(cos2α-1+cos2α)=9(2cos2α-1)==18cos2α-9.

Так как  cosα=13, то 18cos2α-9=18×19-9=-7.

 

б) По формуле (1) sin2α=2sinαcosα. Найдем sinα, для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin2α+cos2α=1, отсюда sinα=±1-cos2α. По условию α лежит в IV четверти, в которой  sinα<0,тогда sinα=-1-0,36=-0,8. 

Имеем sin2α=2×(-0,8)×0,6=-0,96.

 

Ответ: а) -7;    

              б) -0,96.

---

Перейдем к выводу формул для тангенса и котангенса двойного угла.

• tg2α=tg(α+α)=tgα+tgα1-tgαtgα=2tgα1-tg2α.Значит,
   

tg2α=2tgα1-tg2α.                (3)

 

 

• ctg2α=cos2αsin2α=cos2α-sin2α2sinαcosα. Для того, чтобы ctgα существовал, нужно, чтобы sinα≠0, тогда sin2α≠0.Разделим числитель и знаменатель последней дроби на sin2α: cos2α-sin2α2sinαcosα=cos2αsin2α-sin2αsin2α2sinαcosαsin2α=ctg2α-12ctgα.Тогда
   

ctg2α=ctg2α-12ctgα.                (4)

 

 

Формулы (3) и (4) имеют место тогда, когда справедливы левая и правая части равенств. Формулы (1) и (2) справедливы для любых значений аргумента.

 

Формулы двойного угла (1)–(4) можно использовать и в тех случаях, когда вместо аргумента α записано более сложное выражение, например, cos4x=cos22x-sin22x.

---

Пример 2

Упростить выражение sin2x-2cos2x(sinx+cosx)cos2x-2(sinx-cosx)cos2x.

---

Решение

         

Применим формулы (1) и (2):  2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x-2(sinx-cosx)cos2x-sin2x.

 

Поменяем знаки перед второй дробью и в ее знаменателе: 

2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x+2(sinx-cosx)sin2x-cos2x. 

 

Заметим, что sin2x-cos2x=(sinx-cosx)(sinx+cosx) и сократим вторую дробь на выражение sinx-cosx, тогда 2sinxcosx-2cos2x+2sin2x(sinx+cosx)cos2x+2sinx+cosx.

 

Приведем к общему знаменателю и выполним действие

 2sinxcosx-2cos2x+2sin2x+2cos2x(sinx+cosx)cos2x=2sinx(cosx+sinx)(sinx+cosx)cos2x=2tgxcosx.

 

Ответ: 2tgxcosx.

---

Пример 3

Найти значение выражения sin6x+cos6x, если sinx-cosx=12.

---

Решение

 

sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3. 

По формуле суммы кубов, имеем (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x). 

 

Первый множитель по основному тригонометрическому тождеству равен 1, выделим во втором множителе квадрат разности, для этого представим его в виде 

((sin2x)2-2sin2xcos2x+(cos2x)2)+sin2xcos2x=(sin2x-cos2x)2++sin2xcos2x. 

 

Преобразуем выражение, используя формулы (1), (2) (-(cos2x-sin2x))2+14×(2sinxcosx)2=cos22x+14sin22x.

 

Возведем в квадрат обе части равенства sinx-cosx=12,

получим sin2x-2sinxcosx+cos2x=14, отсюда 2sinxcosx=34, т. е. sin2x=34, sin22x=916. 

 

Применив основное тригонометрическое тождество, найдем cos22x=1-sin22x=716. 

 

Подставим полученные значения в выражение cos22x+14sin22x. Имеем 716+14×916=3764.

 

Ответ: 3764.

---

Упражнение 1

Найти значение выражения:

 

а) 2sin11π12cos11π12;                              б) sin2α, если ctgα=2.

 

---

Упражнение 2

Вычислить cos8x-sin8x, если cos2x=13.

---

Контрольные вопросы

1. Укажите область допустимых значений в формуле tg2α=2tgα1-tg2α .

2. Укажите область допустимых значений в формуле ctg2α=ctg2α-12ctgα .

---

Ответы

Упражнение 1

 

а) -12;                    б) 0,8.

 

 

Упражнение 2

 

527.

---

Чему равен косинус двойного угла? — Знания.site

Последние вопросы

• Математика

  8 минут назад

  Найти область определения функции математика

• Математика

  34 минут назад

  f (x,y) = 7 |-x|-4|3y — 3,4|

  при x= -5 и y= 0,3

  f (x,y)=

• Математика

  34 минут назад

  Чемпионами по скорости роста среди растений считаются грибы.
  На сколько миллиметров вырастет гриб за сутки, если за трое суток он поднимется на 51,84 мм?

• Математика

  34 минут назад

  2+2*2 сколько будет ​

• Математика

  34 минут назад

  6. Реши задачи. а) 3 группы детей по 4 человека в каждой разучивали национальные танцы. Сколько детей разучивало танцы? ​

• Математика

  39 минут назад

  Чи правильне висловлювання 43 076*709+7489 116-9082*(250 600_70+497 696:824)<3000 решение столбиком пж помогите
• Математика

  39 минут назад

  Помогите пожалуйста задачка по математике: Ученик задумал число. Если умножить его на 12 и прибавить к произведению 69, затем полученную сумму разделить на 9, то частное будет ровно 41. Какое число задумалс Ученик

• Математика

  39 минут назад

  Знайти значення виразу якщо: х= 4,8 , у= -2,4 -2,8+x+7,26+(-1,2)+y+(-9,26)=

• Математика

  44 минут назад

  250гр это 223 калории тогда сколько будет в 100гр?

• Математика

  54 минут назад

  Сколько метров в 36700 см

• Математика

  59 минут назад

  Сколько см будет 4 дм 73 см ?

• Математика

  1 час назад

  Математика Очень надет ПОЖАЛУЙСТО помогите

• Математика

  1 час назад

  28/17+(х-8/17)=72/17 допоможіть будь ласка

• Математика

  1 час назад

  Ціна брелока 33,4 грн. Скільки таких брелоків можна придбати за 200 грн? Скільки грошей залишиться?

• Математика

  1 час назад

  График функции математика 11 класс

Все предметы

English

United States

Polski

Polska

Bahasa Indonesia

Indonesia

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Português

Brasil

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day

Формулы двойного угла, полуугла и приведения · Precalculus

Формулы двойного угла, половинного угла и приведения · Предварительное исчисление

В этом разделе вы:

• Используйте формулы двойного угла, чтобы найти точные значения.
• Используйте формулы двойного угла для проверки тождества.
• Используйте формулы сокращения для упрощения выражения.
• Используйте формулы половинного угла, чтобы найти точные значения.

Велосипедные рампы, изготовленные для соревнований (см. [ссылка]), должны различаться по высоте в зависимости от уровня квалификации участников. Для продвинутых участников угол, образованный рампой и землей, должен составлять  θ 

.

, так что tan θ=53.

Угол разделен пополам для новичков. Какая крутизна пандуса для новичков? В этом разделе мы исследуем три дополнительные категории тождеств, которые мы можем использовать, чтобы ответить на такие вопросы, как этот.

Использование формул двойного угла для нахождения точных значений

В предыдущем разделе мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь еще раз взглянем на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где α=β.

Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы,

sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β

Если мы допустим α=β=θ,

тогда у нас есть

sin(θ+θ)=sin θ cos θ+cos θ sin θ    sin(2θ)=2sin θ cos θ

Получение двойного угла для косинуса дает нам три варианта. Во-первых, исходя из формулы суммы, cos(α+β)=cos α cos β−sin α sin β,

и пусть  α=β=θ,

у нас есть

cos(θ+θ)=cos θ cos θ−sin θsin θ    cos(2θ)=cos2θ−sin2θ

Используя свойства Пифагора, мы можем расширить эту формулу двойного угла для косинуса и получить еще две интерпретации. Первый:

cos(2θ)=cos2θ−sin2θ            = (1–sin2θ)−sin2θ                           =1−2sin2θ

Вторая интерпретация:

cos(2θ)=cos2θ−sin2θ            =cos2θ−(1−cos2θ)            =2 cos2θ−1

Аналогично, чтобы вывести формулу тангенса двойного угла, заменив α=β=θ 

в формуле суммы дает

tan(α+β)=tan α+tan β1−tan α tan βtan(θ+θ)=tan θ+tan θ1−tan θ tan θtan(2θ)=2tan θ1−tan2θ

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

sin(2θ)=2 sin θ cos θ

---

cos(2θ)=cos2θ−sin2θ            =1−2 sin2θ            =2 cos2θ−1

---

tan(2θ)=2 tan θ91−003θ

Зная тангенс угла и квадрант, в котором он расположен, используйте формулы двойного угла, чтобы найти точное значение.

1. Нарисуйте треугольник, чтобы отразить данную информацию.
2. Определите правильную формулу двойного угла.
3. Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
4. Упростить.

Использование формулы двойного угла для нахождения точного значения, включающего тангенс грех (2θ)

cos(2θ)

загар (2θ)

Если мы нарисуем треугольник, отражающий предоставленную информацию, мы сможем найти значения, необходимые для решения задач на изображении. Нам дано tan θ=−34,

так, что  θ 

находится в квадранте II. Тангенс угла равен стороне, противоположной соседней стороне, и поскольку  θ 

находится во втором квадранте, смежная сторона находится на оси x и является отрицательной. Используйте теорему Пифагора , чтобы найти длину гипотенузы:

(−4)2+(3)2=c216+9=c225=c2c=5  

[связь].

1. Начнем с того, что напишем формулу двойного угла для синуса.

   sin(2θ)=2 sin θ cos θ

   Видим, что нужно найти sin θ 

   и  cos θ.

   По [ссылке] мы видим, что гипотенуза равна 5, значит sin θ=35,

   и  cos θ=-45.

   Подставьте эти значения в уравнение и упростите.

   Таким образом,

   sin(2θ)=2(35)(−45)            =−2425

2. Запишите формулу косинуса двойного угла.

   cos(2θ)=cos2θ−sin2θ

   Снова подставьте значения синуса и косинуса в уравнение и упростите.

   cos(2θ)=(−45)2−(35)2            =1625−925            =725

3. Запишите формулу тангенса двойного угла.

   тангенс(2θ)=2 тангенс θ1−тангенс2θ

   В этой формуле нам нужен тангенс, который мы получили как  tan θ=−34.

   Подставьте это значение в уравнение и упростите.

   tan(2θ)=2(-34)1-(-34)2           =-321-916           = 32(167)           =-247

Дано sin α=58,

с θ 

в квадранте I, найти cos(2α).

cos(2α)=732

Использование формулы двойного угла для косинуса без точных значений

Используйте формулу двойного угла для косинуса, чтобы записать  cos(6x) 

в единицах cos(3x).

cos(6x)=cos(2(3x+3x))            =cos2(3x)−sin2(3x)                  =2cos2(3x)−1

Анализ

Этот пример показывает, что мы можем использовать формулу двойного угла, не имея точных значений. Он подчеркивает, что шаблон — это то, что нам нужно помнить, и что тождества верны для всех значений в области определения тригонометрической функции.

Использование формул двойного угла для проверки подлинности

Установление тождеств с помощью формул двойного угла выполняется с использованием тех же шагов, которые мы использовали для вывода формул суммы и разности. Выберите более сложную часть уравнения и перепишите ее, пока она не совпадет с другой стороной.

Использование формул двойного угла для установления тождества

Установите следующее тождество с помощью формул двойного угла:

1+sin(2θ)=(sin θ+cos θ)2

знак равенства и перепишите выражение, пока оно не совпадет с левой частью.

(sin θ+cos θ) 2 = sin2θ+2 sin θ cos θ+cos2θ = (sin2θ+cos2θ) +2 sin θ cos θ = 1+2 sin θ cos θ = 1+sin (2θ)

Анализ

Этот процесс не сложен, если вспомнить формулу идеального квадрата из алгебры:

(a±b)2=a2±2ab+b2

, где a=sin θ 

и b=cos θ.

Одним из условий успеха в математике является умение распознавать закономерности. Хотя термины или символы могут меняться, алгебра остается неизменной.

Установите тождество:  cos4θ−sin4θ=cos(2θ).

cos4θ−sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ−sin2θ)=cos(2θ)

Проверка идентичности двойного угла для касательной

Подтвердите идентичность:

tan(2θ)=2cot θ−tan θ

В этом случае мы будем работать с левой частью уравнения и упрощать или переписывать, пока она не сравняется с правой частью уравнения.

tan(2θ)=2 tan θ1−tan2θФормула двойного угла           =2 tan θ(1tan θ)(1−tan2θ)(1tan θ) Умножьте на член, который даст нужный числитель. =21tan θ−tan2θtan θ           =2cot θ−tan θИспользуйте взаимное тождество для 1tan θ.

Анализ

Вот случай, когда более сложная часть исходного уравнения появилась справа, но мы решили работать с левой частью. Однако, если бы мы выбрали для перезаписи левую часть, мы бы работали в обратном направлении, чтобы получить эквивалентность. Например, предположим, что мы хотим показать

2tan θ1−tan2θ=2cot θ−tan θ

Работаем с правой стороны.

2cot θ -tan θ = 21tan θ -tan θ (tan θtan θ) = 2 tan θ1tan θ (tan θ) −tan θ (tan θ) = 2 tan1 — tan2θ

при использовании идентичностей для упрощения тригонометрического выражение или решить тригонометрическое уравнение, обычно есть несколько путей к желаемому результату. Не существует установленного правила относительно того, какой стороной следует манипулировать. Тем не менее, мы должны начать с руководящих принципов, изложенных ранее.

Проверить тождество:  cos(2θ)cos θ=cos3θ−cos θ sin2θ.

cos(2θ)cos θ=(cos2θ−sin2θ)cos θ=cos3θ−cos θsin2θ

Использование формул сокращения для упрощения выражения

Формулы двойного угла можно использовать для получения формул приведения , которые являются формулами, которые мы можем использовать для уменьшения мощности данного выражения, включающего четные степени синуса или косинуса. Они позволяют нам переписать четные степени синуса или косинуса в терминах первой степени косинуса. Эти формулы особенно важны в курсах математики более высокого уровня, в частности исчисления. Также называемые формулами уменьшения степени, включены три тождества, которые легко выводятся из формул двойного угла.

Мы можем использовать две из трех формул двойного угла для косинуса, чтобы вывести формулы приведения для синуса и косинуса. Начнем с  cos(2θ)=1−2 sin2θ.

Решите для sin2θ:

cos(2θ)=1−2 sin2θ 2 sin2θ=1−cos(2θ)   sin2θ=1−cos(2θ)2

Далее используем формулу cos(2θ)=2 cos2θ−1.

Решите для cos2θ:

       cos(2θ)=2 cos2θ−1 1+cos(2θ)=2 cos2θ1+cos(2θ)2=cos2θ

Последняя формула приведения получается путем записи тангенса через синус и косинус:

tan2θ=sin2θcos2θ        =1−cos(2θ)21+cos(2θ)2Подставьте формулы редукции. =(1−cos(2θ)2)(21+cos(2θ))         =1−cos(2θ)1+cos(2θ)

Формулы приведения

Формулы приведения резюмируются следующим образом: (2θ)

Запись эквивалентного выражения, не содержащего степени больше 1

Запись эквивалентного выражения для  cos4x 

, в котором нет ни одной степени синуса или косинуса больше 1.

Мы дважды применим формулу редукции для косинуса.

cos4x=(cos2x)2          =(1+cos(2x)2)2Подставьте формулу приведения вместо cos2x. =14(1+2cos(2x)+cos2(2x))          =14+12 cos(2x)+14(1+cos2(2x)2) Замените формулой приведения вместо cos2x. =14+12 cos(2x)+18+18 cos(4x)         =38+12 cos(2x)+18 cos(4x)

Анализ

Решение находится путем двукратного использования формулы редукции, как уже отмечалось, и формула идеального квадрата из алгебры.

Использование формул уменьшения степени для доказательства тождества

Использование формул уменьшения степени для доказательства

sin3(2x)=[12 sin(2x)] [1−cos(4x)]

левая часть уравнения:

sin3(2x)=[sin(2x)][sin2(2x)]             =sin(2x)[1−cos(4x)2] Подставьте формулу уменьшения мощности. =sin(2x)(12)[1−cos(4x)]             =12[sin(2x)][1−cos(4x)]

Анализ

Обратите внимание, что в этом примере мы заменили

1-cos(4x)2

для sin2(2x).

Формула гласит:

sin2θ=1−cos(2θ)2

Положим θ=2x,

, значит 2θ=4x.

Используйте формулы понижения мощности, чтобы доказать, что 10 cos4x=154+5 cos(2x)+54 cos(4x).

10cos4x=10cos4x=10(cos2x)2            =10[1+cos(2x)2]2Подставьте формулу приведения вместо cos2x. =104[1+2cos(2x)+cos2(2x)]            =104+102cos(2x)+104(1+cos2(2x)2) Замените формулой приведения вместо cos2x. =104+102cos(2x)+108+108cos(4x)            =308+5cos(2x)+108cos(4x)                    =154+5cos(2x)+54cos(4x)

Использование формул половинного угла для нахождения точных значений

Следующим набором тождеств является набор из формул половинного угла , которые могут быть получены из формул редукции и могут использоваться, когда у нас есть угол, который в два раза меньше специального угла. Если мы заменим  θ 

с  α2,

Формула половинного угла для синуса находится путем упрощения уравнения и решения для sin(α2).

Обратите внимание, что формулам половинного угла предшествует a ± 

9знак 0002. Это не означает, что допустимы как положительные, так и отрицательные выражения. Скорее, это зависит от квадранта, в котором α2 

завершается.

Формула половинного угла для синуса получается следующим образом:

   sin2θ=1−cos(2θ)2sin2(α2)=1−cos(2⋅α2)2             =1−cos α2   sin(α2)=±1−cos α2

Чтобы вывести формулу косинуса половины угла, мы имеем

   cos2θ=1+cos(2θ)2cos2(α2)=1+cos(2⋅α2)2             =1+cos α2  cos(α2)=±1+cos α2

Для тождества касательной у нас есть

   tan2θ=1−cos(2θ)1+cos(2θ)tan2(α2)=1−cos(2⋅α2)1+cos(2⋅α2)            =1–cos α1+cos α tan(α2)=± 1−cos α1+cos α

Формулы половин угла

Формулы половин угла следующие: 1 -cos α1+cos α = sin α1+cos α = 1 -cos αsin α

Использование формулы половинного угла для нахождения точного значения функции синуса

Найдите sin(15∘) 

по формуле половинного угла.

С 15∘ = 30∘2,

Мы используем формулу полууга для синуса:

SIN 30∘2 = 1-COS30∘2 = 1–322 = 2–322 = 2–34 = 2–32

Анализ

Обратите внимание, что мы использовали только положительный корень, потому что  sin(15o) 

является положительным.

Зная тангенс угла и квадрант, в котором находится угол, найдите точные значения тригонометрических функций половины угла.

1. Нарисуйте треугольник для представления данной информации.
2. Определите правильную формулу половинного угла.
3. Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
4. Упростить.

Нахождение точных значений с помощью тождеств половин углов

Учитывая, что  tan α=815

и  α 

лежит в квадранте III, найдите точное значение следующего:

1. грех(α2)
2. cos(α2)
3. загар (α2)

Используя данную информацию, мы можем нарисовать треугольник, показанный на [ссылка]. Используя теорему Пифагора, мы находим, что гипотенуза равна 17. Следовательно, мы можем вычислить  sin α=−817 

и  cos α=−1517.

1. Прежде чем мы начнем, мы должны помнить, что если α 

   находится в квадранте III, затем

   180°<α<270°,

   , поэтому

   180°2<α2<270°2.

   Это означает, что клеммная сторона

   α2 

   находится в квадранте II, так как

   90°<α2<135°.

   Чтобы найти sin α2,

   начнем с записи формулы половинного угла для синуса. Затем подставляем найденное значение косинуса из треугольника в [ссылка] и упрощаем.

   sin α2=±1−cos α2        =±1−(−1517)2        = ±32172        =±3217⋅12        =±1617        =±417        =41717

   Выбираем положительное значение sin α2 

   , потому что угол заканчивается в квадранте II, а синус положителен в квадранте II.

2. Найти cos α2,

   запишем формулу половинного угла для косинуса, подставим значение косинуса, которое мы нашли из треугольника в [ссылка], и упростим.

   cos α2=±1+cos α2        =±1+(−1517)2        =±2172        =±217⋅12        =±117        =−1717

   Выбираем отрицательное значение cos α2 

   , потому что угол находится в квадранте II, потому что косинус отрицателен в квадранте II.

3. Найти tan α2,

   запишем формулу половинного угла для тангенса. Снова подставляем найденное значение косинуса из треугольника в [ссылка] и упрощаем.

   tan α2=±1−cos α1+cos α       =±1–(−1517)1+(−1517)        =±3217217        =±322        =−16        =−4

   Выбираем отрицательное значение  tan α2 

   потому что α2 

   лежит в квадранте II, а тангенс отрицателен в квадранте II.

Учитывая, что  sin α=−45 

и  α 

лежит в квадранте IV, найдите точное значение  cos (α2).

−25

Нахождение измерения половинного угла

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела. Велосипедная рампа построена для соревнований высокого уровня с углом  θ 

, образованным рампой и землей. Еще одна рампа должна быть построена вполовину меньшей крутизны для соревнований новичков. Если tan θ=53 

для соревнований более высокого уровня, как измеряется угол для соревнований новичков?

Поскольку угол для соревнований новичков измеряет половину крутизны угла для соревнований высокого уровня, а  tan θ=53 

для соревнований высокого уровня, мы можем найти  cos θ 

из прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора, так что мы можно использовать тождества половинного угла. См. [ссылка].

32+52=34          c=34

Мы видим, что  cos θ=334=33434.

Мы можем использовать формулу половинного угла для тангенса: tan θ2=1−cos θ1+cos θ.

Поскольку  tan θ 

находится в первом квадранте, значит,  tan θ2.

Таким образом,

Tan θ2 = 1–334341+33434 = 34–3343434+33434 = 34–33434+334 ≈0,57

Мы можем взять обратную тангенту, чтобы найти угол: tan -1 (0,57) ≈29,7. .

Таким образом, угол рампы для соревнований новичков составляет ≈29,7∘.

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с формулами двойного угла, половинного угла и сокращения.

• Двухугольные тождества
• Полуугольные тождества

Ключевые уравнения

Формулы двойного угла	sin(2θ)=2sin θ cos θcos(2θ)=cos2θ−sin2θ           =1−2sin2θ                  =2cos2θ−1tan(2θ)=2tan θ1−tan2θ
Формулы приведения	sin2θ=1−cos(2θ)2cos2θ=1+cos(2θ)2tan2θ=1−cos(2θ)1+cos(2θ)
Формулы полууглов	sin α2=±1−cos α2cos α2=±1+cos α2tan α2=±1−cos α1+cos α         =sin α1+cos α        =1-cos αsin α

Ключевые понятия

• Тождества двойного угла получаются из формул суммы основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса. См. [ссылка], [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
• Формулы редукции особенно полезны в математических вычислениях, поскольку они позволяют уменьшить мощность тригонометрического члена. См. [ссылка] и [ссылка].
• Формулы половинного угла позволяют нам найти значение тригонометрических функций, содержащих половинные углы, независимо от того, известен исходный угол или нет. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].

Раздел Упражнения

Вербальный

Объясните, как определить редукционные тождества из тождества двойного угла cos(2x)=cos2x−sin2x.

Используйте тождества Пифагора и изолируйте квадрат члена.

Объясните, как определить формулу двойного угла для tan(2x) 

, используя формулы двойного угла для  cos(2x) 

и  sin(2x).

Формулу половинного угла для tan(x2)=1−cos x1+cos x 

можно определить, разделив формулу для sin(x2) 

на cos(x2).

Объясните, как определить две формулы для  tan(x2) 

, которые не содержат квадратных корней.

 1−cos xsin x,sin x1+cos x,

, умножая верх и низ на  1−cos x 

и  1+cos x,

соответственно.

Для формулы половинного угла, приведенной в предыдущем упражнении для  tan(x2),

объясните, почему деление на 0 не имеет значения. (Подсказка: проверьте значения  cos x 

, необходимые для того, чтобы знаменатель был равен 0.)

Алгебраический

Для следующих упражнений найдите точные значения a) sin(2x),

б) cos(2x),

и в) загар(2x) 

без решения x.

Если sin x=18,

и x 

находится в квадранте I.

а) 3732 

б) 3132 

в) 3731

Если cos x=23,

и  x 

находится в квадранте I.

Если  cos x=−12,

и  x  

находится в квадранте III.

а) 32 

б) −12 

в) −3 

Если tan x=−8,

и x 

находится в квадранте IV.

В следующих упражнениях найдите значения шести тригонометрических функций, если выполнены указанные условия.

cos(2θ)=35 

и 90∘≤θ≤180∘

cos θ=−255,sin θ=55,tan θ=−12,csc θ=5,sec θ=−52,cot θ= −2

cos(2θ)=12 

и 180∘≤θ≤270∘

Для следующих упражнений упростите до одного тригонометрического выражения.

2 sin(π4) 2 cos(π4)

2 sin(π2)

4 sin(π8) cos(π8)

Для следующих упражнений найдите точное значение, используя формулы половинного угла.

 sin(π8) 

2−22

соз(-11π12)

sin(11π12)

2−32

потому что (7π8)

тан(5π12)

2+3

тангенс (−3π12)

тангенс(−3π8)

−1−2

Для следующих упражнений найдите точные значения a) sin(x2),

б) cos(x2),

и в) загар(х2)

без решения x,

когда 0∘≤x≤360∘

Если tan x=−43,

и x 

находится в квадранте IV.

Если sin x=−1213,

и  x 

находится в квадранте III.

а) 31313 

б) −21313 

в) −32 

Если csc x=7,

и  x  

находится в квадранте II.

Если сек x=−4,

и  x 

находится в квадранте II.

а) 104 

б) 64 

в) 153 

В следующих упражнениях используйте [ссылка] для нахождения требуемых половинных и двойных углов.

Найти sin(2θ),cos(2θ),

и tan(2θ).

Найти sin(2α),cos(2α),

и tan(2α).

120169,–119169,–120119

Найти sin(θ2),cos(θ2),

и tan(θ2).

Найти sin(α2),cos(α2),

и tan(α2).

21313,31313,23

В следующих упражнениях упростите каждое выражение. Не оценивайте.

cos2(28∘)−sin2(28∘)

2cos2(37∘)−1

cos(74∘)

1−2 sin2(17∘)

cos2(9x)−sin2(9x)

cos(18x)

4 sin(8x) cos(8x)

6 sin(5x) cos(5x)

3sin(10x)

Для следующих упражнений подтвердите данное тождество.

(sin t−cos t)2=1−sin(2t)

sin(2x)=−2 sin(−x) cos(−x)

−2 sin(−x)cos(−x)=−2(−sin(x)cos(x))=sin(2x )

детская кроватка x−tan x=2 кроватка(2x)

1+cos(2θ)sin(2θ)tan2θ=tan θ

sin(2θ)1+cos(2θ)tan2θ=2sin(θ)cos(θ)1+cos2θ−sin2θtan2θ=2sin(θ)cos(θ )2cos2θtan2θ=sin(θ)cos θtan2θ=cot(θ)tan2θ=tan θ

Для следующих упражнений перепишите выражение с показателем степени не выше 1.

cos2(5x)

cos2(6x)

1+cos(12x)2

sin4(8x)

sin4(3x)

3+cos(12x)−4cos(6x)8

cos2x sin4x

cos4x sin2x

2+cos(2x)−2cos(4x)−cos(6x)32

загар2x sin2x

Технология

Для следующих упражнений уменьшите уравнения до степени единицы, а затем проверьте ответ графически.

tan4x

3+cos(4x)−4cos(2x)3+cos(4x)+4cos(2x)

sin2(2x)

sin2x cos2x

1−cos(4x)8

tan2x sin x

tan4x cos2x

3+cos(4x)−4cos(2x)4(cos(2x)+1)

cos2x sin(2x)

cos2(2x)sin x

(1+cos(4x))sin x2

тангенс2(х2) sin х

Для следующих упражнений алгебраически найдите эквивалентную функцию только с точки зрения  sin x 

и/или cos x,

, а затем проверьте ответ, построив оба уравнения в виде графика.

sin(4x)

4sin xcos x(cos2x−sin2x)

cos(4x)

Расширения

Для следующих упражнений докажите тождества.

sin(2x)=2 tan x1+tan2x

2tan x1+tan2x=2sin xcos x1+sin2xcos2x=2sin xcos xcos2x+sin2xcos2x=

---

2sinxcosx.cos2x0=2sinxcos00(0sx3=2sinxcosx)

cos(2α)=1−tan2α1+tan2α

tan(2x)=2 sin xcos x2cos2x−1

2sin xcos x2cos2x−1=sin(2x)cos(2x)=tan(2x)

(sin2x−1)2=cos(2x)+sin4x

sin (3x) = 3 sin x cos2x — sin3x

sin (x+2x) = sin xcos (2x)+sin (2x) cos x = sin x (cos2x — sin2x)+2sin xcos xcos x = sin xcos2x- sin3x+2sin xcos2x                            =3sin xcos2x−sin3x

cos(3x)=cos3x−3sin2xcos x

1+cos (2t) sin (2t) −cos t = 2 cos t2 sin t — 1

1+cos (2t) sin (2t) −cost = 1+2cos2t —12sintcost — кост = 2cos2tcost (2Sint —1 )                          =2cost2sint−1

sin(16x)=16 sin x cos x cos(2x)cos(4x)cos(8x)

cos(16x)=(cos2(4x)−sin2(4x)−sin(8x))(cos2(4x)−sin2(4x)+sin(8x))

(cos2(4x)−sin2(4x) −sin (8x)) (cos2 (4x) −sin2 (4x)+sin (8x)) = = (cos (8x) −sin (8x)) (cos (8x)+sin (8x)) = cos2 (8x 8x )−sin2(8x)                                                                                             = cos(16x)

Глоссарий

формулы двойного угла

тождеств, полученных из формул суммы синуса, косинуса и тангенса, в которых углы равны

формулы половинного угла

тождеств, полученных из формул приведения и используемых для определения значений половинных углов тригонометрических функций

формулы приведения

тождеств, полученных из формул двойного угла и используемых для уменьшения степени тригонометрической функции

---

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4. 0 International License.

Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

• По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
• Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, Precalculus. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
• Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
• Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx. org/contents/[email protected].»

Калькулятор формулы двойного угла | Тождества

Наш калькулятор формулы двойного угла полезен, если вы хотите найти все основные тождества двойного угла в одном месте и вычислить их быстро. Такие тождества полезны для доказательства, упрощения и решения более сложных тригонометрических задач, поэтому крайне важно, чтобы вы их понимали и запоминали. Не волнуйтесь, мы вам в этом поможем!

Если вы ищете формула двойного угла sin , или вы хотели бы узнать вывод формулы двойного угла cos , мы вас обеспечим. Продолжайте читать этот калькулятор двойных углов, и, надеюсь, тригонометрические тождества для двойных углов больше не будут вашей головной болью.

Что такое двойной угол? Тождества двойных углов

В этом параграфе мы покажем вам тождества двойных углов для синуса, косинуса и тангенса. Во избежание недоразумений, давайте вначале уточним, что такое двойной угол:

Двойной угол означает, что мы увеличиваем заданный угол на два

Так, например:

• 90° — это двойной угол для 45°
• если заданный вами угол равен -π/3, то удвоенный угол равен -2π/3

Теперь мы можем перейти к основным тождествам двойных углов:

1. Синусная формула двойного угла

Чтобы вычислить двойной угол (2θ) синуса относительно исходного угла (θ), используйте формулу:

Эту формулу можно вывести из тождества суммы углов. Поскольку сумма двух синусов равна:

sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(y)*sin(x) ,

для двойного угла, мы можем записать это как :

sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)*cos(θ) + cos(θ)*sin(θ) ,

Что дает нам:

sin(2θ ) = 2 * sin(θ) * cos(θ)

2. Формула двойного угла Cos

Есть несколько формул для двойного угла cos. Три самых популярных уравнения косинуса двойного угла:

По аналогии с синусоидальными тождествами двойных углов можно вывести первое уравнение из тождеств суммы и разности углов:

cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(y)* sin(x)

Для двойного угла это может быть выражено как

cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)*cos(θ) - sin(θ)*sin(θ) ) ,

следовательно

cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)

Чтобы найти две другие формы, воспользуемся известным тригонометрическим тождеством Пифагора:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

• Замените sin²(θ) на 1 - cos²(θ) , чтобы получить второе уравнение:

  cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ) = cos²(θ) – (1 – cos²(θ)) =

  2 * cos²(θ) - 1

• Замените cos²(θ) на 1 - sin²(θ) , чтобы получить третью формулу:

  cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ) = (1 – sin²(θ)) – sin²(θ) =

  1 - 2 * sin²(θ)

3. Формула двойного угла загара

Формула тангенса двойного угла выглядит следующим образом:

Аналогично, используйте формулу суммы тангенсов:

tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / 1 - tan(y)*tan(x)

Для двойного угла уравнение будет таким:

tan(2θ) = tan(θ + θ) = (tan(θ) + tan(θ)) / 1 - загар (θ) * загар (θ)

Наконец, мы нашли итоговое уравнение:

тангенс(2θ) = 2 * тангенс(θ) / (1 - тангенс²(θ))

Калькулятор формул двойных углов — как использовать

После всего этого вам интересно, как использовать этот калькулятор двойного угла? Рекомендация проста — играйте! Обещаем, он не взорвется.