Признак делимости на 2: примеры, доказательство
Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2. В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2. Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.
Формулировка и примеры признака делимости на 2
Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:
Определение 1Целое число, которое заканчивается цифрами 8, 6, 4, 2 и 0, может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9, 7, 5, 3 или 1, то такое число делимостью на 2 не обладает.
С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.
Приведем несколько примеров использования признака в задачах.
Пример 1Условие: определите, какие из чисел 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 можно разделить на два.
Решение
Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.
Три числа из перечисленных, а именно 8, -946 и 10 900, имеют в конце цифры 8, 6 и 0, значит, их деление на 2 возможно.
Остальные числа (53 и −988 123 761) заканчиваются на 3 и 1, значит, нацело на два они не делятся.
Ответ: на два можно разделить 8, −946 и 10 900, а все прочие заданные числа нельзя.
Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.
Пример 2Условие: выполните разложение 352 на простые множители.
Решение
Поскольку последняя цифра в исходном числе – 2, то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка.
Сделаем это: 352:2=176, а 352=2·176. Полученное число 176 тоже делится на два: 176:2=88, а 176=2·88. Это число тоже можно разделить: 88:2=44, 88=2·44 и 352=2·2·88=2·2·2·44. Продолжаем разложение: 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22; потом 22:2=11, откуда 22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.
Ответ: 352=2·2·2·2·2·11.
Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0, 2, 4, 6 или 8, а все нечетные – 1, 3, 5, 7 или 9.
Как можно доказать признак делимости на 2
Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:
Определение 2Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.
Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10, мы можем представить некое число a как a=a1·10. Число a1, в свою очередь, получится из a, если убрать у него последнюю цифру.
Приведем примеры такого действия: 470=47·10, где a=470 и a1 =47; или же 38 010·10, здесь a=380 100 и a1=38 010. Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2, значит, все произведение может быть разделено на 2. Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.
Переходим к доказательству признака делимости на 2. Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.
Теорема 1Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство 1Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a=a1·10+a0. Здесь a1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49=4·10+9, 28 378=2 837·10+8).
Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t=u+v, и два из них делятся на целое число z, то и третье число также можно разделить на z.
Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a=a1·10+a0, число a0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a0= 0, 2, 4, 6 или 8.
А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a0 = 1, 3, 5, 7 или 9. Это и есть нужное нам доказательство необходимости.
Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a, последней цифрой которого является число 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Указанное свойство делимости и представление a=a1·10+a0 позволяют нам заключить, что a делится на 2.
Если a имеет последнюю цифру 1, 3, 5, 7 или 9, то то a0 не делится на 2, значит, a тоже не делится на 2, иначе само представление a=a1·10+a0 делилось бы на 2, что невозможно. Достаточность условия доказана.
В конце отметим, что числа с последней цифрой 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.
Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a=b+1, при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0, 2, 4, 6 или 8. В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2, значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b=2·q, где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a=2·q+1. Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).
Прочие случаи определения делимости на 2
В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения.
Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.
Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.
Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.
Пример 3Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3n+4n-1 для некоторого натурального n.
Решение
Сначала запишем очевидное равенство 3n+4n-1=2+1n+4n-1. Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:
3n+4n-1=2+1n+4n-1==Cn0·2n+Cn1·2n-1·1+⋯+Cnn-2·22+1n-2+Cnn·2+1n-1+Cnn·1n++4n-1=2n+Cn1·2n-1+…+Cnn-2·22+n·2+1++4n-1=2n+Cn1·2n-1+…+Cnn-2·22+6n
В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:
3n+4n-1=2·2n-1+Cn1·2n-2+…+Cnn-2·2+3n
В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n, поскольку там есть множитель, равный 2.
Ответ: данное выражение можно разделить на 2.
Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.
Пример 4Условие: выясните, будет ли выражение 3n+4n-1 делиться на 2 при любом натуральном значении n.
Решение
Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3n+4n-1 при n, равном единице, можно разделить на 2. У нас получится 31+4·1-1=6, шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n, равное k, и сделаем предположение, что 3k+4k-1 делится на два.
Используя данное предположение, докажем, что 3n+4n-1 можно разделить на 2, если это возможно для 3k+4k-1. Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.
3·3k+4k-1 делится на два, поскольку это возможно для 3k+4k-1, выражение 2·4k-3 тоже можно поделить на 2, потому что у него есть множитель 2, значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2, что объясняется соответствующим свойством делимости.
Ответ: выражение 3n+4n-1 делится на 2 при любом натуральном n.
Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.
Пример 5К примеру, выражение вида (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) делится на 2 при любом натуральном значении n, поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n+6 и n+7.
Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2. Так, на два делится значение (n+1)·(n+6) при любом натуральном n, поскольку между n+5 и n+6 расположено четное количество чисел: n+2, n+3, n+4 и n+5.
Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n=2·m, а также при n=2·m+1 и произвольном целом m, то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n.
Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n3+7·n2+16·n+12 при любых натуральных значениях n.
Решение
Сначала представим данное выражение в виде произведения (n+2)2·(n+3). При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n+2 и n+3
У этой задачи есть и другое решение. Если n=2·m , то n+22·n+3=2m+22·2m+22=4·m+12·2m+3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2.
Если же n=2·m+1 , то
(n+2)2·n+3=2m+1+22·2m+1+3=2m+32·2m+4==2m+32·2·2
Здесь присутствует множитель 2, значит, все произведение обладает делимостью на 2.
Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n3+7·n2+16·n+12=(n+2)2·(n+3) можно разделить на два при любом натуральном значении n.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Простые числа
Математика
Любое число делится само на себя и на 1. Но если числа, которые других делителей, кроме этих двух, не имеют. Таким свойством обладают, например, числа 7, 13, 29, 41. Эти числа играют в арифметике особую роль, и учёные с глубокой древности и до наших дней стараются открыть их тайны.
Число, которое имеет только два делителя — самого себя и 1, называются простым числом.
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … .
Наименьшее простое число — это число 2. Это единственное чётное простое число, все остальные простые числа нетётные.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составлными числами.
Например, число 6 — составное: оно делится не только на 1 и на 6, но и на 2, и на 3.
Число 1 имеет только один делитель — само это число. Поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, или, как говорят, разложит на простые множители.
Разложим на простые множители числ 90:
90 = 2 * 45 = 2 * 3 * 15 = 2 * 3 * 3 * 5.
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью, поэтому разложение числ 90 на простые множители выглядят так:
90 = 2 * 32 * 5.
Таким образом, какое бы натуральное число (кроме числа 1) мы ни взяли, оно либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.
Простые числа — это как бы кирпичики, из которых с помощью умножения могут быть «построены» все остальные натуральные числа.
Часто бывает сложно определить, простым или составным является число. Поэтому еще с древнейших времён математики составляли специальные таблицы простых чисел.
Таблица простых чисел (до 1000)Интересный способ составления списка простых чисел придумал древнегреческий математик Эратосфен (III в.
до н.э.).
Эратосфен писал на восковых табличках специальной палочкой, а составленные числа выкапывал острым концом, после чего табличка напоминала решето. С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена.
Применим его для поиска всех простых чисел, меньших 50.
- Выпишите все натуральные числа от 1 до 50.
- Зачеркните число 1 — оно не простое.
- Число 2 простое; обведите его кружочком и зачеркните все числа, кратные 2, т.е. 4, 6, 8, ….
- Первое незачёркнутое число — это 3. Оно простое. Обведите его кружочком и вычеркните все оставшиеся числа, кратные 3, то, есть 9, 15, ….
- Первое незачёркнутое число — это 5. Оно простое. Обведите его кружочком и вычеркните все числа, кратные 5. И т.д.
Числа которые останутся незачёркнутыми, и есть простые числа.
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно поручить компьютеру; с его помощь уже получены огромные простые числа, которые вручную, наверное, никогда бы не были найдены.
И возникает такой естественный вопрос: можно ли построить, хотя бы в далёком будущем, такой мощный компьютер, чтобы он нашёл все простые числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос был найден… больше двух тысяч лет назад.
Еще великий математик Древней Греции Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, так что полный их список составить просто невозможно. Можно сказать так: среди простых чисел самого большого числа нет.
Используемая литература:
- Источник: Математика. Арифметика. Геометрия. Учебник. 5 класс. Бунемович Е.А., Дорофеев Г.В. Суворова С.Б и др.
5 класс
Другие статьи по теме
Математика
Делимость на 2, 5 и 10
Если цифра 2, 4, 6, 8 или 0, то число делится на 2. Следовательно, 68 делится на 2.
Последняя цифра должна быть 5 или 0, чтобы число делилось на 5. 8 не является ни одной из этих цифр, поэтому 68 не делится на 5. Этого числа нет в таблице умножения на 5.
Вот, например, 70.
70 заканчивается цифрой 0.
Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. 70 в таблице умножения на 10. Оно делится на 10.
Если это цифра 2, 4, 6, 8 или 0, то число делится на 2. Поскольку 70 имеет последнюю цифру 0, оно делится на 2.
Число должно заканчиваться на 5 или 0, чтобы делиться на 5. 70 оканчивается на 0, поэтому оно тоже делится на 5.
Число, которое делится на 10, также делится на 2 и 5, потому что 2 и 5 делятся на 10.
Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 или 10?
Если число оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0, оно делится на 2. Если оно оканчивается на 5 или 0, оно делится на 5. Если оно оканчивается на 0, оно делится на 10. Если оно делится на 10, а также делится на 2 и 5.
Вот таблица примеров чисел, которые будут проверяться на делимость на 2, 5 и 10 по этому правилу.
| Номер | Последняя цифра | Делится на 2 | Делится на 5 | Делится на 10 |
|---|---|---|---|---|
| 42 | 2 | ✔ | ✖ | ✖ |
| 25 | 5 | ✖ | ✔ | ✖ |
| 80 | 0 | ✔ | ✔ | ✔ |
| 1908 | 8 | ✔ | ✖ | ✖ |
| 7540 | 0 | ✔ | ✔ | ✔ |
| 3895 | 5 | ✖ | ✔ | ✖ |
42 оканчивается на 2, значит, оно делится на 2, но не на 5 и не на 10.
25 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5, но не на 2 и не на 10.
80 оканчивается на 0, значит, оно делится на 2, 5 и 10.
Число 1908 оканчивается на 8, поэтому оно делится на 2, но не на 5 или 10.
Число 7540 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 2, 5 и 10.
3895 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5, но не на 2 и не на 10.
Правило кратности на 2
Число делится на 2 только в том случае, если его последняя цифра 2, 4, 6, 8 или 0. Например, 426 делится на 2, так как оканчивается на 2. 327 не делится на 2, так как оканчивается на 7.
Если число делится на 2, значит, оно делится на 2 ровно без остатка. Это в таблице умножения на 2.
Все числа в таблице умножения на 2 повторяют образец последней цифры, оканчивающейся на 2, 4, 6, 8 и 0.
Каждый раз, когда мы доходим до числа, оканчивающегося на 0, шаблон начинается снова.
Это означает, что чтобы проверить, является ли число кратным 2, просто посмотрите на последнюю цифру и проигнорируйте все предыдущие цифры. Если число оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0, то оно кратно 2.
Например, мы будем использовать правило, чтобы проверить, делится ли 68 на 2.
68 оканчивается на 8, которая является одной из цифр 2, 4, 6, 8 или 0.
68 делится на 2, потому что это четное число.
Неважно, насколько велико число, достаточно посмотреть на последнюю цифру, чтобы решить, делится ли число на 2. Например, вот 37 110.
37 100 оканчивается на 0. 0 — четное число, поэтому 37 100 делится на 2.
Вот 209, оканчивающееся на 9.
Чтобы число делилось на 2, оно должно оканчиваться на 2, 4, 6, 8 или 0. Если число оканчивается на 9, оно не делится на 2.
209 не делится на 2.
Правило кратности 5
Число делится на 5, только если его последняя цифра 5 или 0. Например, 935 делится на 5, так как оканчивается на 5. 732 не делится на 5, так как оканчивается на 2.
Если число делится на 5, это означает, что его можно разделить ровно на 5 без остатка. Он находится в таблице умножения на 5.
Все числа в таблице умножения на 5 повторяют шаблон окончания на 5 или 0.
Если число заканчивается любой другой цифрой, кроме 5 или 0, оно не входит в таблицу умножения на 5.
Вот, например, 45.
45 оканчивается на 5. Числа, оканчивающиеся на 5 или 0, делятся на 5, поэтому 45 делится на 5.
Неважно, насколько велико число. Если число оканчивается на 5 или 0, оно находится в таблице умножения на 5. Нам нужно только посмотреть на последнюю цифру.
Вот 17760.
17 760 оканчивается на 0. Если число оканчивается на 5 или 0, оно делится на 5.
Следовательно, 17 760 делится на 5.
Вот 803.
803 оканчивается на 3. Чтобы делиться на 5, число может заканчиваться только на 5 или 0.
803 не делится на 5.
Правило кратности на 10
Число делится на 10, только если оно оканчивается на 0. Например, 770 делится на 10, так как оканчивается на 0. 565 не делится на 10, так как оканчивается на 5.
Если число делится на 10, это означает, что его можно разделить ровно на 10 без остатка. Он находится в таблице умножения на 10.
Все числа в таблице умножения на 10 заканчиваются на 0.
Если число не заканчивается на 0, оно отсутствует в таблице умножения на 10.
Вот, например, 70.
70 оканчивается на 0. Если число оканчивается на 0, оно находится в таблице умножения на 10 и может делиться точно на 10.
70 делится на 10.
Неважно, насколько велико число, если оно оканчивается на 0, оно делится на 10.
Например, вот 2 070 420.
2 070 420 оканчивается на 0. Нам не нужно смотреть на цифры перед последней цифрой, чтобы принять решение.
2 070 420 делится на 10, потому что оканчивается на 0.
Вот пример 177.
177 оканчивается на 7. Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0.
177 не делится на 10.
массивов — Проверьте числа, делящиеся на 2, и распечатайте их в Kotlin
Задавать вопрос
Спросил
Изменено 1 год, 6 месяцев назад
Просмотрено 653 раза
1
Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.
Я работаю над задачей в рамках моего курса Kotlin, и я действительно застрял на этом. Я чувствую, что это что-то простое, но я не вижу этого. Вот объяснение того, что делать для этой задачи:
Вам дан список целых чисел. Перебрать заданный список и вывести в одной строке элементы, которые делятся на 2.
Пример ввода:
8 11 13 2
Пример вывода:
8 2
Это мой код (я распечатал список номеров, чтобы посмотреть, какие номера мне выдаются, так как я их не выбираю, они выдаются курсом автоматически, а я их не вижу):
забавное решение(номера: Список<Целое>) {
переменная делимая = intArrayOf()
for (i in 0..numbers.lastIndex) {
если (числа [я] % 2 == 0) {
делимый = intArrayOf (числа [i])
}
}
println("$числа")
println("${divisible.joinToString("")}")
Это был мой вывод:
[8, 11, 13, 2] 2
Кажется, я выполнил часть проверки, правильно ли числа делятся на 2, но я не совсем понимаю, почему он печатает только 2, и почему сначала не печатает 8, если он делится на 2.
Сначала я использовал список вместо массива для делимой переменной, поэтому я подумал, что это могло быть так, поскольку списки неизменяемы, если я не ошибаюсь, но похоже, что это не так. Если бы кто-нибудь мог объяснить мне, что я делаю неправильно, я был бы очень признателен!
- массивы
- список
- for-loop
- kotlin
- целое число
Вы можете использовать фильтр с предикатом
решение настолько простое с kotlin
val result = list.filter { it % 2 == 0 }
0
Вы переписываете держатель результата ( divisible = intArrayOf() ) для каждого элемента, который делится на 2, поэтому только последнее совпадение хранится в делимый массив .
Вместо
делимое = intArrayOf(numbers[i])
вы должны написать
divisible.add(numbers[i]) // повторная инициализация не требуется
ОБНОВЛЕНИЕ : я пропустил этот массив без операции добавления .