Урок 5. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Напомним, что углом между лучами ОА и ОВ с общим началом называется угол, на который надо повернуть луч ОА вокруг т. О против часовой стрелки, чтобы получить луч ОВ. Если вращение происходит по часовой стрелке, то углу приписывается знак «минус». При этом угол определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2kπ , где k∈z – любое. Определение.
Пусть т.О – начало координат, и пусть вектор ОА (а, в) соответствует комплексному числу z=a+вi ≠0 . Аргументом комплексного числа z (обозначение arg z) называется угол между положительным
направлением оси ОХ и лучом ОА, вычисленный при вращении ОХ по кратчайшему
направлению. Иными словами, arg
z – это тот угол φ=(ОХ,
ОА), для которого -π<φ≤π . Если z=0, то arg z не определяется. Прокомментируем данное определение. Если z а) для точек верхней полуплоскости числа arg z положительны: argZ∈0,π б) для точек нижней полуплоскости числа arg z отрицательны: argZ∈—π,0 в) для точек, лежащих на положительной полуплоскости ОХ: arg z=0 г) для точек, лежащих на отрицательной полуплоскости ОХ: arg z=π Зная а = Rez и в = Jmв, мы можем вычислить arg z, пользуясь тем, что как видно из рисунка: tgargZ=ва Однако, необходимо иметь в виду, что отсюда еще не следует, что argZ=argtgвa . Это не всегда так по той причине, что числа arg z и argtg вa могут принадлежать разным промежуткам, ибо, по определению-π<argZ≤π —π2<argва<π2 Поэтому
следует рассмотреть различные случаи расположения точки z на плоскости. 1)
a > 0, в – любое.
Тогда т. z
= a+вi лежит в правой полуплоскости. При этом
обязательно
А т.к. и —π2<argва<π2 , а числа argz и argва имеют одинаковый тангенс, равный ва , то argz= argва при а>0, в – любом 2) а=0, в>0. Тогда т. z = a+вi лежит на положительной мнимой полуоси и, следовательно, по определению argZ=π2 при а=0, в>0 3) а=0, в<0. Тогда т. z = a+вi лежит на отрицательной мнимой полуоси, и argZ=—π2 при а=0, в<0 4) а<0, в≥0. Тогда т. z = a+вi лежит во втором квадранте: π2<argz≤π следовательно, —π2< argZ-π≤0 а поскольку tgargz-π=tgargz=ва , то argz=π+argtgва при а<0, в≥0 5)
а<0,
в<0. — π<argz<—π2 следовательно, 0<π+argz<π2 , а посколькуtgπ+argz=tgargz=ва при а<0, в<0 Задача 6.1. Вычислить аргументы чисел: а) 1+i, б) 1-i, в) -1+i, г) -1-i, д) 2i, е) -2i, ж) 2, з) -2. Определение. Запись комплексного числа z в виде z = r (cos φ+isinφ ), где r=z, φ= argz называется тригонометрической формой записи комплексного числа z. Поскольку число О не имеет аргумента, то оно не имеет тригонометрической формы. Задача 6.2. Представить в тригонометрической форме комплексные числа: a) 1+i, б) -1+3i , в) 1, г) 3i, д) -5, е) 1+2i. Запись комплексного
числа в виде z=(cos φ +isin φ ),
где φ∈ Argz тоже называется тригонометрической
формой комплексного числа. Из закона равенства (=) комплексных чисел и из того, что z=a2+в2 , φ∈ Argz⇒ ⇒ φ= argz+2kπ вытекает следующие утверждение. Два комплексных числа z1 = r1 (cos φ1+isinφ1 ) и z2 = r2 (cos φ2+isinφ2 ) равны тогда и только тогда, когда модули их равны: r1= r2, а аргументы φ1 и φ2 отличаются на число, краткое 2π : φ1=φ2+2kπ (где k – любое целое число). |
Тогда т. z
= a+вi лежит в третьем квадранте:
Знакомство с комплексными числами на примерах
Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.
Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит.
Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.
Пример 1: z = 6 + 4i
Из чего состоит комплексное число?
Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.
Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.
Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.
Пример 2: z = 0,5 + 9i.
Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i
Пример 3: z = -5 + 19i. Здесь действительная часть a = Re (z) = -5, а мнимая часть b = Im (z) = 19.
Чисто мнимое комплексное число
Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.
Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.
Пример 5. z = -8i. Здесь мнимая часть b = Im (z) = -8, действительная часть a = Re (z) = 0.
Сопряженные комплексные числа
Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел.
Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.
Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:
Пример 6. Комплексно сопряженным к числу z = 7 + 13i является число .
Мнимая единица комплексного числа
И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.
Величина i называется мнимой единицей.
Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже.
А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.
Суммарная полезность Z-номера | SpringerLink
Статья MathSciNet Google Scholar
Алиев Р.А., Ализаде А.В., Гусейнов О.Х. (2015) Арифметика дискретных z-чисел. Inf Sci 290:134–155
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Алиев Р.А., Педрыч В., Крейнович В., Гусейнов О.Х. (2016) Общая теория решений. Inf Sci 327:125–148
Статья MathSciNet Google Scholar
Банерджи Р., Пал С.К. (2015) Z*-числа: расширенные z-числа для машинно-субъективного представления. Inf Sci 323:143–178
Статья MathSciNet Google Scholar
Соруди А., Амраи Т. (2013) Принятие решений в условиях неопределенности в энергетических системах: современное состояние. Обновление Sust Energ, ред. 28:376–384
Артикул Google Scholar
Пал С.К., Банерджи Р., Датта С., Сарма С.С. (2013) Взгляд на подход числа z к cww. Fundamenta Informaticae 124 (1-2): 197–229
MathSciNet Google Scholar
Яакоб А.М., Гегов А. (2016) Интерактивная методология принятия групповых решений на основе топсиса с использованием z-чисел. Int J Comput Intel Syst 9(2):311–324
Статья Google Scholar
Алиев Р.А., Ализаде А.В., Гусейнов О.Х., Джаббарова К.И. (2015) Линейное программирование на основе Z-чисел. Int J Intell Syst 30(5):563–589
Статья Google Scholar
«>Алиев Р., Меммедова К. (2015) Применение моделирования на основе z-числа в психологических исследованиях. Вычислительная техника Intel Neurosci 2015:11
Google Scholar
Алиев Р.Р., Мрайзик Д.А.Т., Гусейнов О.Х. (2015) Принятие решений на основе ожидаемой полезности в соответствии с z-информацией и ее применением. Вычислительная техника Intel Neurosci 2015
Кан Б., Ху Ю., Дэн Ю., Чжоу Д. (2015) Новая методология многокритериального принятия решений при выборе поставщика на основе z-чисел. Math Probl Eng 2015
Jiang W, Xie C, Zhuang M, Shou Y, Tang Y (2016) Слияние данных датчика с z-числами и его применение в диагностике неисправностей. Датчики 16(9):1509
Артикул Google Scholar
Заде Л.А. (2011) Примечание о z-числах. Inf Sci 181 (14): 2923–2932
Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar
«>Уренья Р., Чиклана Ф., Моренте-Молинера Дж. А., Эррера-Вьедма Э. (2015) Управление неполными отношениями предпочтений при принятии решений: обзор и будущие тенденции. Inf Sci 302:14–32
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Wan SP, Wang F, Dong JY (2016) Новый метод ранжирования отношения к риску для интуиционистских нечетких значений и приложение к madm. Appl Soft Comput 40:98–112
Артикул Google Scholar
Das D, De PK (2014) Ранжирование интуиционистских нечетких чисел по новой мере расстояния. J Intell Fuzzy Syst, (препринт): 1–9
Zhang HY, Yang SY, Ma JM (2016) Наборы интервалов ранжирования на основе показателей включения и приложений к трехсторонним решениям. Основанная на знаниях система 91:62–70
Статья Google Scholar
«>Дестерке С., Кузо И. (2015) Ранжирование нечетких интервалов через неточную вероятностную линзу. Система нечетких множеств 278:20–39
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Резвани С. (2015) Ранжирование обобщенных экспоненциальных трапециевидных нечетких чисел на основе дисперсии. Appl Math Comput 262: 191–198
MathSciNet Google Scholar
Бан А.И., Корояну Л. (2015) Упрощение поиска для эффективного ранжирования нечетких чисел. IEEE Trans Fuzzy Syst 23(2): 327–339
Статья Google Scholar
Wang YJ (2015) Ранжирование треугольников и трапециевидных нечетких чисел на основе отношения относительного предпочтения. Appl Math Model 39(2):586–599
Статья MathSciNet Google Scholar
«>Shi Y, Yuan X (2015) Основанный на возможностях метод ранжирования нечетких чисел и приложений для принятия решений. J Intell Fuzzy Syst, (препринт): 1–13
Дюзче С.А. (2015) Новый метод ранжирования трапецеидальных нечетких чисел и его применение к нечеткому анализу рисков. J Intell Fuzzy Syst 28(3):1411–1419
MathSciNet Google Scholar
Xu Z (2014) Ранжирование альтернатив на основе интуиционистского отношения предпочтения. Int J Inf Technol Decis Mak 13(06):1259–1281
Статья Google Scholar
Фриха А., Моалла Х (2015)Процесс аналитической иерархии для объединения данных с нескольких датчиков на основе теории функций доверия. Eur J Oper Res 241(1):133–147
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
«>Chai KC, Tay KM, Lim CP (2016) Новый метод ранжирования нечетких чисел с использованием теории Демпстера-Шафера с нечеткими целями. Inf Sci 346–347:302–317
Статья Google Scholar
Wang Z-X, Liu YJ, Fan Z-P, Feng B (2009) Ранжирование нечетких чисел слева направо по степени отклонения. Inf Sci 179(13):2070–2077
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Ву Д., Мендель Дж. М. (2009) Сравнительное исследование методов ранжирования, мер подобия и мер неопределенности для нечетких множеств интервального типа 2. Inf Sci 179(8):1169–1192
Статья MathSciNet Google Scholar
Vincent FY, Chi HTX, Shen CW (2013) Ранжирование нечетких чисел на основе степени эпсилон-отклонения. Appl Soft Comput 13(8):3621–3627
Статья Google Scholar
«>Джанизаде-Хаджи М., Заре Х.К., Эсламипур Р., Сепехриар А. (2014) Разработанный дистанционный метод ранжирования обобщенных нечетких чисел. Приложение Neural Comput 25(3-4):727–731
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Цзян В., Чжан Дж. (2017) Модифицированное правило комбинации в теории обобщенных доказательств. Приложение Intell 46(3):630–640
Статья Google Scholar
Wu J, Chiclana F (2014)Метод ранжирования отношения к риску для интуиционистских нечетких чисел с интервальным значением, основанный на новых ожидаемых оценках отношения и функциях точности. Appl Soft Comput 22:272–286
Статья Google Scholar
Zhou X, Deng X, Deng Y, Mahadevan S (2017) Оценка зависимости в анализе надежности человека на основе чисел d и ahp.
Nucl Eng Des 313:243–252
Статья Google Scholar
Шелаг М., Греко С., Словински Р. (2014)Грубый набор основанный на доминировании переменной согласованности подход к изучению предпочтений в многокритериальном ранжировании. Inf Sci 277:525–552
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Yu X, Xu Z, Liu S, Chen Q (2014) О ранжировании интуиционистских нечетких значений на основе отношений доминирования. Int J Uncertainty Fuzziness Knowledge Based Syst 22(02):315–335
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Гита С., Наягам В.Л.Г., Поналагусами Р. (2014) Полный рейтинг неполной информации об интервалах. Expert Syst Appl 41(4):1947–1954
Статья Google Scholar
«>Guo K (2014) Количество информации и основанный на установках метод ранжирования интуиционистских нечетких значений Атанасова. IEEE Trans Fuzzy Syst 22(1):177–188
Статья Google Scholar
Vincent FY, Dat LQ (2014) Улучшенный метод ранжирования нечетких чисел с целыми значениями. Appl Soft Comput 14:603–608
Статья Google Scholar
Jiang W, Xie C, Luo Y, Tang Y (2017) Ранжирование z-чисел с помощью улучшенного метода ранжирования для обобщенных нечетких чисел. J Intell Fuzzy Syst 32(3):1931–1943
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Бакар А.С.А., Гегов А. (2015) Многоуровневая методология принятия решений для ранжирования z-чисел. Int J Comput Intel Syst 8(2):395–406
Статья Google Scholar
«>Заде Л.А. (1965) Нечеткие множества. Inf Control 8(3):338–353
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Педриц В., Аль-Хмуз Р., Морфек А., Баламаш А.С. (2015)Распределенная гранулярная кластеризация на основе близости: к развитию глобальных структурных отношений в данных. Soft Comput 19(10):2751–2767
Статья Google Scholar
Liu HC, Lin Q-L, Ren ML (2013) Диагностика неисправностей и анализ причин с использованием подхода нечетких доказательных рассуждений и динамических адаптивных нечетких сетей Петри. Вычислительная промышленность Eng 66 (4): 899–908
Артикул Google Scholar
Liu HC, Liu L, Lin Q-L (2013) Нечеткий режим отказа и анализ последствий с использованием нечеткой доказательной аргументации и методологии, основанной на правилах убеждений.
IEEE Trans Reliab 62(1):23–36
Статья Google Scholar
Лолли Ф., Ишизака А., Гамберини Р., Римини Б., Мессори М. (2015) Flowsort-gdss — новая групповая многокритериальная система поддержки принятия решений для сортировки задач с применением к fmea. Приложение Expert Syst 42: 6342–6349
Артикул Google Scholar
Zhang X, Deng Y, Chan FTS, Mahadevan S (2015) Подход на основе нечетких расширенных аналитических сетевых процессов для глобального выбора поставщиков. Приложение Intell 43(4):760–772
Статья Google Scholar
Zhang X, Deng Y, Chan FTS, Xu P, Mahadevan S, Hu Y (2013) IFSJSP: новая методология для задачи планирования рабочих мест, основанная на интуиционистских нечетких множествах. Int J Prod Res 51 (17): 5100–5119
Артикул Google Scholar
«>Zhang R, Ran X, Wang C, Deng Y (2016) Нечеткая оценка сетевой уязвимости. Qual Reliab Eng Int 32(5):1715–1730
Статья Google Scholar
Jiang W, Wei B, Zhan J, Xie C, Zhou D (2016) Оператор агрегирования усреднения мощности графа видимости: методология, основанная на сетевом анализе. Comput Ind Eng 101: 260–268
Артикул Google Scholar
Wang J, Hu Y, Xiao F, Deng X, Deng Y (2016) Новый метод использования нечетких мягких множеств при принятии решений на основе меры неопределенности и теории доказательств Демпстера-Шейфера: применение в медицинской диагностике. Artif Intell Med 69:1–11
Статья Google Scholar
Цай С.-Б., Чиен М.-Ф., Сюэ Ю., Ли Л., Цзян Х., Чен К., Чжоу Дж., Ван Л. (2015) Использование нечеткого демателя для определения экологических характеристик: пример производства печатных плат на Тайване.
PloS один 10(6):e0129153
Артикул Google Scholar
Лю Дж., Лиан Ф., Маллик М. (2016) Обнаружение и отслеживание соединений на основе распределенного сжатого зондирования для мультистатической радиолокационной системы. Inf Sci 369:100–118
Статья MathSciNet Google Scholar
Hu Y, Du F, Zhang HL (2016) Исследование нестационарных аэродинамических эффектов в циклоидальном роторе с использованием решателя RAN. Аэронавт J 120 (1228): 956–970
Артикул Google Scholar
Цзян В., Вэй Б., Тан Ю., Чжоу Д. (2017) Оператор агрегирования среднего графа упорядоченной видимости: приложение для управления пластовой водой. Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки 27(2):023117
Статья Google Scholar
«>Нгуен Х.Т., Давал С.З.М., Нукман Ю., Аояма Х., Кейс К. (2015) Комплексный подход на основе нечетких лингвистических предпочтений на основе AHP и нечетких COPRAS для оценки станков. PloS один 10(9):e0133599
Артикул Google Scholar
Deng X, Xiao F, Deng Y (2017) Усовершенствованная мера общей неопределенности на основе расстояния в теории функций доверия. Appl Intell, страницы опубликованы в Интернете, doi: 10.1007/s10489-016-0870-3
Mo H, Lu X, Deng Y (2016) Расстояние до общих доказательств. J Syst Eng Electron 27(2):470–476
Статья Google Scholar
Чоу CC (2016) Обобщенная мера подобия для нечетких чисел. J Intell Fuzzy Syst 30(2):1147–1155
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
«>Zhang X, Deng Y, Chan FTS, Adamatzky A, Mahadevan S (2016) Выбор поставщиков на основе теории доказательств и аналитического сетевого процесса. Proc Inst Mech Eng B J Eng Manuf 230(3): 562–573
Статья Google Scholar
Wang JQ, Wu JT, Wang J, Zhang HY, Chen XH (2014) Нечеткие нечеткие лингвистические множества с интервальными значениями и их приложения в многокритериальных задачах принятия решений. Inf Sci 288(1):55–72
Статья MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar
Meng F, Chen X (2015) Подход к неполным мультипликативным отношениям предпочтения и его применение в групповом принятии решений. Inf Sci 309: 119–137
Артикул Google Scholar
Wang J, Xiao F, Deng X, Fei L, Deng Y (2016) Комбинация взвешенных доказательств, основанная на расстоянии доказательств и функции энтропии.
Международный журнал распределенных сенсорных сетей, 12(7)
Zhou X, Shi Y, Deng X, Deng Y (2017) D-DEMATEL: новый метод определения критических факторов успеха при управлении чрезвычайными ситуациями. Saf Sci 91:93–104
Статья Google Scholar
Mo H, Deng Y (2016) Новый оператор агрегирования в лингвистическом принятии решений на основе d чисел. Int J Uncertainty Fuzziness Knowledge Based Syst 24(6):831–846
Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar
Fei L, Hu Y, Xiao F, Chen L, Deng Y (2016) Модифицированный метод TOPSIS, основанный на числах d, и его применение в подборе кадров. Math Probl Eng
Мохамад Д., Шахарани С.А., Камис Н.Х. (2014) Процедура принятия решений на основе z-чисел с методом ранжирования нечетких чисел. В: Международная конференция по количественным наукам и их приложениям (icoqsia 2014): материалы 3-й международной конференции по количественным наукам и их приложениям, том 1635.
Издательство AIP, стр. 160–166
Google Scholar
Мохсен О, Ферештех Н. (2017)Расширенный метод викор, основанный на энтропийной мере для оценки риска режимов отказа – тематическое исследование геотермальной электростанции (ГЭС). Saf Sci 92:160–172
Статья Google Scholar
Du Y, Lu X, Su X, Hu Y, Deng Y (2016) Новый режим отказа и анализ последствий: доказательный метод уменьшения масштаба. Qual Reliab Eng Int 32 (2): 737–746
Артикул Google Scholar
Что именно означает рациональное число в терминах Z? – Blue Moon Grill
Перейти к содержимомуПредыдущий Следующий
Всякий раз, когда вы пытаетесь что-то узнать, этот вопрос должен быть просто вопросом, который вы просто задаете и исследуете.
Математический термин часто используется для обозначения чего-то, что не является числом иррационального числа.
Когда вы сталкиваетесь с проблемой в математике, вы можете спросить себя, что означает рациональное число в математических терминах. http://santodomingo.upmedia.cl/what-can-a-normal-me-an-in-x-y/ Это важный вопрос.
Возможно, вы слышали об иррациональных числах. Возможно, вы задавались вопросом, что означает рациональное число с точки зрения математики. Конечно, есть и другие способы взглянуть на это. Хотя они могут показаться сложными, на самом деле это относительно просто.
Уравнение диапазона иррациональных чисел, с которым вы можете когда-либо столкнуться, выглядит следующим образом: ep (x) = +. Главный пробел в уравнении для чисел и иррациональных чисел заключается в том, что форма может измениться.
С математической точки зрения этот YOUURL.com означает, что существует простая факторизация и что эти числа на самом деле «простые». Хотя числа могут менять форму, все они простые.
В математике рациональные числа — это факт. Это означает, что нет ничего, с чем вы когда-либо спутаете их.
Эти числа никогда не оставят вас в замешательстве, когда вы пытаетесь решить математическую задачу.
Всякий раз, когда у вас есть иррациональный диапазон, возникает ситуация, что означает число в математических условиях, и это число кажется не поддающимся рационализации. Например, предположим, что вы решаете математическую задачу, связанную с извлечением квадратного корня из иррационального множества.
Как решить эту задачу, если вы не знаете, каково рациональное число этого числа? Конечно, единственный способ выяснить это — провести собственное вычисление, и тогда вы точно узнаете, что такое рациональное число.
Однако многие люди понимают свое решение, только взглянув на разные части http://paramountessays.com/ уравнения. Эти люди даже не пытаются взглянуть на ту часть уравнения, которая говорит им, сколько шагов нужно пройти, чтобы найти точный ответ. Они просто останавливаются, когда понимают, что квадратный корень из этого числа иррационален.
Если вы пытаетесь найти ответ на математическую задачу и столкнулись со сложной частью уравнения, но не знаете, какая часть уравнения относится к этому числу, вам нужно будет сделать свой собственный «расчет».