Число 11 четное или нечетное: Чётные и нечётные числа — урок. Математика, 2 класс.

ГИПР — Чётное или нечётное число на экране, видеотест 11, быстрый темп смотреть онлайн видео от ГИПР

Категория 12+. Этот видеоролик — основа эпизода игры в репетитора и ученика и позволяет тренироваться отличать чётные и нечётные числа. Правила игры в этом эпизоде такие: после запуска видео репетитор-компьютер (планшет, смартфон, телевизор) показывает (отображает) на экране число, а вопрос репетитора следующий: «Чётное или нечетное число изображено на экране?». Игрок-ученик должен дать ответ (вслух или про себя). Через некоторое время на экране появляется правильный ответ, с которым нужно сравнить свой собственный. Затем показывается следующее число и т. д. Цель игрока-ученика — дать как можно больше правильных ответов. Если все ответы верные, это считается абсолютной победой ученика в этом эпизоде игры. Я рекомендую это видео в первую очередь детям, осваивающим тему «Чётность/нечётность чисел». Таким образом, ролик представляет собой игровой видеотест, имеющий общие черты с программой-тренажером, дающей онлайн примеры и ответы на них. Показ числа длится 1,2 секунды, ответа — 1,2 секунды. Это, на мой взгляд, быстрый темп. Если вы добились успехов в этом и других роликах на эту же тему в быстром темпе, я считаю, что Ваши проявленные навыки находятся на высоком уровне. Если тема игры Вам интересна, но Вам кажется, что вопросы задаются очень часто и Вы не успеваете продумывать ответы, то попробуйте потренировать навыки при помощи видеотестов на эту же тему в среднем темпе. Если же тема не интересна, то не забывайте — это игра и она не должна идти по принуждению. При создании ролика мной преследовалась следующая цель: дать ненавязчивый игровой материал, помогающий повторять пройденную тему детям, с которыми я, как репетитор, индивидуально вживую проводил занятия по арифметике и алгебре. При выборе примеров, времени показа примера, количества примеров в одном ролике, продолжительности ролика, используемых цветов и других параметров в первую очередь я полагался на результаты собственных наблюдений, полученных в процессе указанных занятий.

А именно, конкретизирую, перечисленные и другие параметры выбраны так, чтобы на протяжении одного эпизода игры (времени показа одного видео) игрок-ученик мог давать больше половины правильных ответов и при этом не уставал. При таком подходе к созданию ролика главное, чего я добился в своей практике общения с указанными выше детьми, состоит в следующем: каждый игровой эпизод не вызывал отторжения, а наоборот, настраивал на продолжение игры, а, значит, на очередную тренировку вычислительных навыков без постороннего принуждения. Поскольку предлагаемая игра подразумевает развитие навыков, применяемых в образовательном процессе ребенка, ролик отнесён к категории «Образование». Но я подчеркиваю — ролик не создавался как образовательный материал, соответствующий государственным стандартам в сфере образования, методическим указаниям и рекомендациям для образовательного процесса, т. е. образовательным материалом он не является. Также, по моему мнению и отзывам некоторых моих подписчиков, результат моей работы оказался полностью или частично подходящим ответом на такие популярные поисковые запросы, как: — чётные и нечётные числа; — натуральные числа четные и нечетные; — четные и нечетные числа упражнения; — какие числа нечётные, а какие чётные. Я выкладываю этот видеоролик на всеобщее обозрение руководствуясь следующими соображениями. Для каждого ребенка, обращавшегося ко мне за помощью по математике и с которым я общался вживую, видеотест способствовал освоению темы; фактов негативного влияния не было. Поэтому я предполагаю его полезность и для других заинтересованных людей и рассматриваю его одним из своих личных вкладов в развитие нашего общества, которое само помогало и помогает развиваться мне. Но я подчеркну еще раз — ролик разрабатывался для узкой группы детей, поэтому гарантировать улучшение математических навыков для других людей я не могу, хотя я очень хотел бы видеть такие улучшения. Поэтому обязательно задайте вопрос о полезности этого ролика в Вашем конкретном случае своему педагогу, а также уточните рекомендуемое ежедневное количество игровых эпизодов на разные темы. Прекращайте игру при появлении первых признаков усталости, не играйте больше 30 минут в день. Играем и тренируемся отличать четные числа от нечётных! Мои плэйлисты по чётным и нечётным числам: в медленном темпе: https://rutube. ru/plst/53373 в среднем темпе: https://rutube.ru/plst/53374 в быстром темпе: https://rutube.ru/plst/53375 Большая коллекция моих видеороликов: https://rutube.ru/channel/23724933/ Подборки роликов, структурированные по темам и темпам: https://rutube.ru/channel/23724933/playlists/ Адрес моей группы: https://ok.ru/giprgovorit Мои каналы на других ресурсах: https://zen.yandex.ru/giprgovorit и https://yarus.ru/u/5776747

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Последовательные номера | Определения, примеры, нечетные, четные, наборы и шаблоны

Введение

Перелистывая страницы книги, на каждой странице вы можете увидеть номер страницы, и это поможет вам узнать номер следующей страницы. , сколько страниц находится между 35-й и 62-й страницами или сколько страниц вы уже прочитали. Почему это происходит? Потому что страницы пронумерованы последовательными натуральными числами, и это облегчает вашу жизнь. Иногда объекты нумеруются последовательно по определенному шаблону. Например, в цирке каждый следующий ряд сектора имеет на 2 места больше, чем предыдущий. В зависимости от того, четное или нечетное количество мест в первом ряду, мы получим последовательные четные или нечетные натуральные числа мест в этом секторе.

Что такое последовательные номера?

Самый простой способ познакомиться с последовательными числами — это вспомнить натуральные числа. Натуральные числа — это числа, используемые при подсчете, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Как мы видим, разница между любыми двумя соседними натуральными числами равна 1. Следовательно, последовательные натуральные числа — это числа, которые следуют друг за другом по порядку. от наименьшего к наибольшему, увеличивая на 1.  

Итак, мы готовы определить последовательные числа. Числа, которые непрерывно следуют друг за другом в регулярном порядке счета или образце, называются последовательными числами. Натуральные числа, целые числа, целые числа — все эти числа непрерывно следуют друг за другом в правильном возрастающем порядке и являются последовательными числами.

На практике мы часто начинаем считать последовательные числа с любого числа.

ПРИМЕР: Годы рождения шестерых детей — это шесть последовательных натуральных чисел, а самый старший ребенок родился в 2007 году. Укажите все годы рождения всех детей.

РЕШЕНИЕ: Если старший ребенок родился в 2007 году, то следующий ребенок родился в 2008 году, а все остальные дети – в 2009, 2010, 2011, 2012 годах. Поэтому список годов рождения всех детей 2007, 2008, 2009., 2010, 2011, 2012.

Иногда мы решаем реальные задачи с последовательными натуральными числами в обратном порядке, от наибольшего к наименьшему.

ПРИМЕР: Сегодня пятница, 13 . Какой день недели и какое число было шесть дней назад?

Решение: сегодня — пятница, 13 ^TH

1 день до — четверг, 12 ^Th

2 дня до — среда, 11 ^Th

3 Дни до — вторник, 10 ^.0935-й  

за 4 дня до – понедельник, 9 ^-й  

за 5 дней до – воскресенье, 8 ^-й  

за 6 дней до – суббота, 7 ^-й мы получаем следующее число, называемое преемником данного числа. Например, последующее число 26 равно 26+1=27. Если мы вычтем 1 из любого натурального числа, мы получим предыдущее число, называемое предшественником данного числа. Итак, число 43 предшествует числу 44, потому что 44-1=43. В наборах натуральных чисел и целых чисел каждое число имеет преемника. В наборе натуральных чисел число 1 не имеет предшественника, потому что 1-1=0 не является натуральным числом. В наборе целых чисел число 1 имеет предшественника, а число 0 — нет. В множестве целых чисел у каждого числа есть как преемник, так и предшественник.

Предшественник номера, сам номер и последующий номер – это всегда три последовательных номера.

Это можно записать с помощью математической записи. Если n — заданное число, то предшествующим ему является число n-1, а последующим — число n+1. Список этих трех чисел выглядит так:

n-1, n, n+1

Если мы хотим математически установить последовательные числа, начинающиеся с произвольного числа n, это также легко сделать, просто напишите после каждого числа его преемника ,

n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, …

и получить список последовательных чисел, записанных в порядке возрастания. Здесь число n+1 является преемником числа n, число n+2 является преемником числа n+1 и так далее.

С другой стороны, если нам нужны последовательные числа, записанные в порядке убывания, то мы начинаем с произвольного числа n и пишем после каждого числа его предшественника,

n, n-1, n-2, n-3, n -4, n-5, …

Здесь число n-1 предшествует числу n, число n-2 предшествует числу n-1 и так далее.

ПРИМЕР: Запишите семь последовательных целых чисел:

а) в порядке возрастания, начиная с числа 163;

б) в порядке убывания, начиная с номера 96.

РЕШЕНИЕ: а) Начните с номера 163. Его потомок 163+1=164, поэтому следующим номером в списке будет номер 164. Последующий номер 164 это число 164+1=165. Продолжая вычислять последователей чисел, получаем список из следующих семи чисел

163, 164, 165, 166, 167, 168, 169

b) Начните с числа 96. Его предшественник — 96-1=95, поэтому следующее число в списке — число 95. Предшествующее число 95 — это число 95-1=94. Продолжая вычислять предшественники чисел, получаем список следующих семи чисел

96, 95, 94, 93, 92, 91, 90

Итак, мы уже умеем записывать последовательные числа. Тогда возникает вопрос, как посчитать, сколько записано последовательных цифр.

• Если у нас есть возрастающая последовательность натуральных чисел, n, n+1, n+2, …,n+k, то в этой последовательности есть k+1 чисел.
• Если у нас есть убывающая последовательность натуральных чисел, n, n-1, n-2, …,n-k, то в этой последовательности также есть k+1 чисел.

Почему? Мы добавляем или вычитаем все последовательные числа от 1 до k. Есть k чисел от 1 до k, плюс начальное число даст нам всего k+1 чисел.

ПРИМЕР: Сколько натуральных чисел от 39 до 71 включительно?

РЕШЕНИЕ: Мы можем представить число 71 как сумму 39+32. Если наибольшее число, которое мы прибавляем, равно 32, то из 39 получается 32+1=33 натуральных числа.до 71 включительно.

Последовательные нечетные и четные числа

Иногда нас могут интересовать не все последовательные числа, а только четные последовательные числа или нечетные последовательные числа. Предположим, что на лужайке пасутся гуси. У каждого гуся две ноги, и мы можем считать гусей по головам 1, 2, 3, … или по ногам 2, 4, 6, …

Четные числа, которые непрерывно следуют друг за другом в правильном порядке счета или образце, называются последовательными четными числами. , нечетные числа, которые непрерывно следуют друг за другом в регулярном порядке счета или образце, называются последовательными нечетными числами.

Пример четных последовательных чисел: -12, -10, -8, -6, …

Пример нечетных последовательных целых чисел: 19, 21, 23, 25, 27, …

Разница между двумя последовательными четными числами равна всегда 2. Если мы хотим математически установить последовательные четные числа, начиная с произвольного четного числа n, запишем после каждого числа следующее число, большее на 2, чем предыдущее,

n, n+2, n+4, n+6 ,  n+8, …

Разница между двумя последовательными нечетными числами также равна 2. Если мы хотим математически установить последовательные нечетные числа, начиная с произвольного нечетного числа n, напишите после каждого числа следующее число, большее на 2, чем предыдущее ,

n, n+2, n+4, n+6, n+8, …

Стоит отметить, что мы не различаем эти две последовательности, нам нужно знать, из какого числа, четного или нечетного, каждая из эти последовательности запускаются. Чтобы избежать этого, вы можете записать последовательные четные и последовательные нечетные числа другим способом.

Поскольку все четные числа делятся на 2 без остатка, набор четных натуральных чисел обычно записывается как

2, 4, 6, …, 2k-2, 2k, 2k+2, …

нечетные числа, поэтому множество нечетных чисел записывается как

1, 3, 5, …, 2k-1, 2k+1, …

Такие обозначения используются не только для натуральных чисел, но и для целых. Например, четные целые числа записываются как

…, -4, -2, 0, 2, 4, …, 2k, …

, а нечетные целые числа записываются как

…, -3, -1, 1, 3, … , 2k+1, …

Эти обозначения часто помогают в решении ряда задач.

ПРИМЕР: Сумма трех последовательных нечетных чисел равна 111. Что это за числа?

РЕШЕНИЕ: Пусть 2k-1 будет наименьшим нечетным последовательным числом, тогда два других числа будут 2k-1+2=2k+1 и 2k+1+2=2k+3. Сумма этих чисел равна

(2k-1)+(2k+1)+(2k+3)=111

Решите это уравнение:

2k-1+2k+1+2k+3=111

6k+3=111

6k=111-3

6k=108

k=108÷6

k=18

Следовательно, наименьшее из чисел равно 2(18)-1=36-1 =35, 

                  следующее число 2k+1=2(18)+1=36+1=37,

                  и наибольшее число равно 2k+3=2(18)+3=36+3=39.

Другие наборы последовательных чисел

В предыдущем разделе мы описали, как мы можем представлять четные и нечетные числа. Но четные числа — это числа, которые дают остаток от 0 при делении на 2. Что, если мы рассмотрим деление на 3 вместо 2? При делении на 3 возможны три разных остатка, 0,1 и 2, поэтому целые числа, которые

• делятся без остатка на 3, являются последовательными числами из списка 9.1012

…,-3, 0, 3, 6, 9, …, 3k, …

• оставить остаток от 1 при делении на 3 это последовательные числа из списка

…,-5,-2, 1, 4, 7, …, 3k+1, …

• оставить остаток 2 при делении на 3 являются последовательными числами из списка

…,-4,-1, 2, 5, 8, …, 3k+2, …

Таким образом, это три шаблона последовательных целых чисел, которые оставляют нулевой остаток, остаток 1 или 2 при делении на 3. Таким же образом мы можем разбить множество целых чисел на m непересекающихся последовательностей. чисел их остатками от деления на m. Говорят, что каждая такая последовательность последовательных чисел может быть задана по общему правилу. Например, все числа, которые дают остаток от 3 при делении на 5, могут быть даны по общему правилу 5k+3, где k — целое число.

ПРИМЕР: Какие числа представлены по общему правилу 7k-3, где k — целое число? Можете ли вы представить эти числа, используя другое правило?

РЕШЕНИЕ: Запишите несколько первых членов по следующему правилу:

• при k=1, 7k-3=7⋅1-3=4;
• при k=2, 7k-3=7⋅2-3=11;
• при k=3, 7k-3=7⋅3-3=18;
• при k=4, 7k-3=7⋅4-3=25;
• при k=5, 7k-3=7⋅5-3=32.

Все эти числа оставляют остаток от 4 при делении на 7. Следовательно, список этих последовательных чисел равен

…,-10, -3, 4, 11, 18, 25, 32, …, 7k+4, …

Кстати, записывая все такие последовательные числа, мы успели заметить еще одно правило, определяющее номера этого типа : числа имеют вид 7k+4, где k — целое число.

Свойства последовательных чисел

СВОЙСТВО 1: Для любых двух последовательных чисел разница между каждой парой двух последовательных чисел фиксирована. Разница между двумя последовательными целыми числами всегда равна 1. Если вы возьмете два последовательных целых числа n и n+1, их разница будет (n+1)-n=1.

СВОЙСТВО 2: Для любых двух последовательных чисел сумма этих чисел всегда нечетна. Если взять два последовательных числа, то одно из них обязательно будет четным, а другое – нечетным. Сумма четных и нечетных чисел всегда нечетна.

СВОЙСТВО 3: Для любых двух последовательных нечетных чисел разность всегда равна 2. Если меньшее из двух последовательных нечетных чисел равно 2k-1, то большее нечетное число равно 2k+1, а разность этих чисел равна ( 2к+1)-(2к-1)=2к+1-2к+1=2.

СВОЙСТВО 4: Для любых двух последовательных нечетных чисел сумма этих чисел всегда четна. Если меньшее из двух последовательных нечетных чисел равно 2k-1, то большее нечетное число равно 2k+1, а сумма этих чисел равна (2k+1)+(2k-1)=2k+1+2k-1=4k это четное число.

СВОЙСТВО 5: Для любых двух последовательных четных чисел разность всегда равна 2. Если меньшее из двух последовательных четных чисел равно 2k, то большее четное число равно 2k+2, а разность этих чисел равна (2k+ 2)-(2к)=2к+2-2к=2.

СВОЙСТВО 6: Для любых двух последовательных четных чисел сумма этих чисел всегда четна. Если меньшее из двух последовательных четных чисел равно 2k, то большее четное число равно 2k+2, а сумма этих чисел равна (2k+2)+(2k)=2k+2+2k=4k+2=2(2k +1), то есть четное число как произведение четных и нечетных чисел.

СВОЙСТВО 7: Если n нечетное число, то сумма n последовательных чисел будет делиться на n без остатка.

Шаблоны с последовательными номерами

Очень часто мы пытаемся визуализировать математические факты. На самом деле, последовательные числа очень хороши для такой визуализации. Вот несколько шаблонов, которые иллюстрируют взаимосвязь между последовательными числами.

I. Если мы сложим два последовательных числа вместе, сумма будет нечетным числом, +6=11

n+(n+1)=2n+1

 II. Если мы сложим любые три последовательных числа вместе, они всегда будут кратны 3,

1+2+3=6

2+3+4=9

3+4+5=12

4+5+6=15

(n-1)+n+(n+1) =3n

III. Если мы сложим вместе любые пять последовательных чисел, оно всегда будет кратно 5,

1+2+3+4+5=15

2+3+4+5+6=20

3+4+ 5+6+7=25

4+5+6+7+8=30

(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n

IV. Если мы добавим любое нечетное число k последовательных чисел, оно всегда будет кратно k,

(n-$\frac{k-1}{2}$)+..+(n-1)+n+ (n+1)+…+(n+$\frac{k-1}{2}$)=kn

V. Сумма n последовательных нечетных целых чисел равна n ² ,

1 ² =1

2 ² =1+3

10 3 6

4 ² =1+3+5+7

n ² =1+3+5+…+(2n-1)

VI. Сумма n нечетных целых чисел, начинающихся после предыдущего ряда, равна n в кубе,

1 ³ =1

2 ³ =3+5

3 ³ =7+9+11 3099 =13+15+17+19

5 ³ =21+23+25+27+29

6 ³ =31+33+35+37+39+41

Из последовательных чисел в арифметический ряд разница между одним термином и следующим термином постоянна. Например, набор чисел -7, -3, 1, 5, 9,… образует арифметический ряд, поскольку каждое следующее число получается из предыдущего путем прибавления 4.

В общем случае члены арифметического ряда могут быть записывается как список чисел

a, a+d, a+2d, a+3d, …

Понятие арифметического ряда шире, чем понятие последовательных чисел, потому что число, которое прибавляется к каждому предыдущему члену или вычитается из него (называется разностью ) ряда не может быть натуральным числом.

Что касается последовательных чисел, то для арифметического ряда мы можем написать общее правило, которое определяет n ^th член арифметического ряда,

n ^th член равен a+(n-1)d или более распространенному обозначению a _n =a ₁ +(n-1)d, где

a _n — n ^{-й член} , a ₁ — первый член, а d — разность арифметического ряда

1

1

1

1

1

1

1 еще один трюк, который можно применить как к последовательности последовательных чисел, так и к арифметическому ряду. Во-первых, проиллюстрируйте этот прием на частичном числовом примере.

ПРИМЕР: Какова сумма первых 100 четных натуральных чисел?

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим первые 100 последовательных четных натуральных чисел,

2, 4, 6, 8, 10, …, 192, 194, 196, 198, 200.

Сложите пары из двух чисел следующим образом: первое число слева и первое число справа, второе число слева и второе число справа, … 50 ^-й -й номер слева и 50 ^-й -й номер справа – суммы в каждом случае равны 202 (см. схему).

Таких сумм ровно 50, поэтому сумма всех последовательных четных натуральных чисел из этого списка равна

202×50=10100

Таким же образом можно вычислить сумму произвольного конечного числа членов арифметического ряда. Сложите первое число слева и первое число справа, второе число слева и второе число справа, … – суммы для каждой пары чисел равны 2a+(n-1)d (см. схему) .

Таких сумм n2, поэтому сумма n членов арифметического ряда равна 

(2a+(n-1)d). $\frac{n}{2}$

Викторина

92-4⋅1⋅(-2162)}}{2⋅1}=\frac{-1±\sqrt{1+8648}}{2}=\frac{-1±93}{2}$=- 47, 46

Когда n=-47, то n+1=-47+1=-46.

Когда n=46, то n+1=46+1=47.

ОТВЕТ: -47 и -46 или 46 и 47

2. Найдите четыре пропущенных числа в каждой последовательности последовательных чисел.

а) -56, -55, -54, …, -49, -48.

б) 17, 19, 21, …, 31.

в) 56, 51, …, 26, 21.

РЕШЕНИЕ : а) Разница между любыми двумя последовательными числами в этой последовательности равна 1. последовательность возрастающая, поэтому недостающие числа

-54+1=-53

-53+1=-52

-52+1=-51

-51+1=-50

б) разница между любыми двумя последовательными числами в этой последовательности равна 2. Последовательность является возрастающей, поэтому недостающие числа равны

21+2=23

23+2=25

25+2=27

27+2=29

c) Разница между любыми двумя последовательных чисел в этой последовательности 5. Последовательность убывающая, поэтому пропущенные числа

51-5=46

46-5=41

41-5=36

36-5=31

ОТВЕТ: а) -53, -52, -51, -50  б) 23, 35, 27, 29  в) 46, 41, 36, 31

3. Сколько натуральных чисел от 83 до 118 включительно? Сколько натуральных чисел от 83 до 118 исключаются?

РЕШЕНИЕ . Мы можем представить число 118 как 83+35. Существует 35+1=36 натуральных чисел от 83 до 118 включительно и 35+1-2=34 натуральных чисел от 83 до 118 включительно.

ОТВЕТ: 36 натуральных чисел включительно и 34 натуральных числа исключая

4. Какие числа представляются по общему правилу 6k+11, где k — целое число? Можете ли вы представить эти числа, используя другое правило?

РЕШЕНИЕ: Запишите несколько первых членов по следующему правилу:

• при k=3, 6k+11=6⋅3+11=29;
• при k=2, 6k+11=6⋅2+11=23;
• при k=1, 6k+11=6⋅1+11=17;
• при k=0, 6k+11=6⋅0+11=11;
• при k=-1, 6k+11=6⋅(-1)+11=5;
• при k=-2, 6k+11=6⋅-2+11=-1.

Все эти числа оставляют остаток от 5 при делении на 6. Следовательно, список этих последовательных чисел таков:

…, -7, -1, 5, 11, 17, 23, 29, …, 6k+5, …

Кстати, записывая все такие последовательные числа, мы успели заметить еще одно правило, определяющее числа этого типа: числа имеют вид 6k+5, где k — целое число.

ОТВЕТ : …,-7, -1, 5, 11, 17, 23, 29, …, 6k+5, …

5. Сколько последовательных нечетных чисел находится между 872 и 976?

РЕШЕНИЕ: Разница между двумя последовательными нечетными числами всегда равна 2.

Наименьшее возможное нечетное число — число 873, максимально возможное нечетное число — число 975. Мы можем представить число 975 как 873+102=873+ 2×51. Это означает, что мы добавим 2 к каждому предыдущему числу 51 раз, поэтому количество последовательных чисел между 872 и 976 равно 51+1=52.

ОТВЕТ: 52  

Выводы
1. Последовательные натуральные числа отличаются друг от друга на 1.

   No related posts.