Дело о делимости
ЕГЭ по математике с 2015 года будет проводиться на базовом и профильном уровнях. Модель ЕГЭ по математике базового уровня предназначена для выпускников, не планирующих продолжать образование в профессиях, предъявляющих специальные требования к уровню математической подготовки. Учитывая, что в настоящее время существенно возрастает роль общематематической подготовки в повседневной жизни и в массовых профессиях, в модели ЕГЭ по математике базового уровня, усилены акценты на контроль способности применять полученные знания на практике, развитие логического мышления. Так, при проведении апробации базового ЕГЭ по математике в октябре 2014 г. была предложена задача, предполагающая осуществление такого контроля:
Задача из варианта № 120912. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
Решение. Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Последние три цифры 112 дают к сумме 4. Рассмотрим первые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Условиям задачи удовлетворяет сумма цифр, равная 5. Троек с данной суммой цифр три: 122, 212, 221.
Таким образом, подходят числа: 122112, 212112, 221112.
Задача требует от выпускника знаний по теме «Делимость натуральных чисел». Статья написана на основе материалов практических занятий с учащимися. Ее цель − поделиться опытом работы автора, который, надеюсь, поможет вам как при проведении уроков, факультативов, так и может быть использована при подготовке к ЕГЭ.
Тема на делимость чисел изучается в 5-6 классах. При изучении этой темы рассматриваются следующие вопросы: делимость натуральных чисел; признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10; простые и составные числа; разложение натурального числа на простые множители; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное; деление с остатком.
Основная цель изучения темы – познакомить учащихся с основными понятиями делимости чисел (делитель, простое число, разложение на множители, признаки делимости), сформировать навыки их использования. При изучении данной темы можно уделять значительное внимание формированию у учащихся простейших доказательных умений. Доказательство свойств и признаков делимости вначале проводятся на характерных числовых примерах, а затем могут быть распространены на общий случай. При этом учащиеся получают первый опыт доказательства теоретических положений со ссылкой на другие теоретические положения.
Пример формирования простейших доказательных умений будет показан на вопросах изучения признаков делимости. Изучению признаков делимости предшествует введение понятий: делимость числа a на число b, делитель числа а.
Пусть а и b – натуральные числа. Число b называется делителем числа а, если частное от деления а на b является целым числом. В данном случае говорят, что число а делится на число b.
Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 на первоначальном этапе могут быть получены при анализе таблицы умножения.
Формулировке теоремы о делимости произведения предшествует решение следующей задачи: «Назовите все делители числа ****0. Все цифры, кроме последней скрыты, последняя – 0». После того как доказывается делимость на 2, на 5 и на 10, открывается вторая с конца цифра. Формулируется следующая задача: «Назовите делители числа ***00». При обсуждении получаем следующие делители: 100, 50, 20, 10, 5, 2, 4, 25.
На примерах показывается
, ; , 1200
,
, и т.д.
Затем открывается третья с конца цифра. Формулируется следующая задача: «Назовите делители числа **000». При обсуждении получаем следующие делители: 500, 200, 125, 100, 50, 40, 25, 20, 10, 8, 5, 4, 2.
Данная подготовительная работа позволяет выдвинуть гипотезу: «Если хотя бы один множителей делится на данное число, то и все произведение делится на это число».
Доказательство данной гипотезы лучше всего проиллюстрировать сначала на примере:
Докажите, что .
Доказательство. , , тогда , следовательно, .
Затем записывается теорема о делимости произведения в буквенном виде и доказывается.
Теорема. Если , то .
Доказательство. Так как , то , . Тогда следовательно,.
Задача. Назовите делители числа .
При решении этой задачи применяем доказанную теорему. К делителям числа aравным 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно добавить 6:
;
если продолжить
,
то и числа 18, 21, 24 и 40 также делители числа а.
Обоснование признаков делимости на 4, 5 и 8 основывается на свойстве делимости суммы. Используя ранее полученное утверждение о том, что целое число сотен делится на 4, можно методом «проб» сформулировать утверждение: «Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последнее цифры в его записи образуют число, делящееся на 4».
О делимости числа можно судить по делимости его частей: «Если в сумме каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и вся сумма делится на это число».
Руководствуясь распределительным законом умножения относительно сложения, можно обосновать последнее утверждение:
Если и , то .
Докажем признак делимости на 5: «На число 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем или пятеркой». Для простоты рассуждений рассмотрим трехзначные числа.
Доказательство. Пусть − трехзначное число, делящееся на 5. Представим его как сумму
.
10 делится на 5, значит, число делится на 5. Тогда и второе слагаемое – число единиц – должно делится на 5. Отсюда следует, что-либо z=0, либо z=5.
Обоснование признаков делимости на 9 и на 3 строится на использовании остатков от деления разрядных единиц на 9:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
В заключении можно предложить ученикам сформулировать признаки делимости на 6, на 12, на14, на 15: «На число 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3», «На число 12 делятся только те числа, которые делятся и на 3, и на 4», «На число 14 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 7», «На число 15 делятся только те числа, которые делятся и на 3, и на 5».
Примеры задач, при решении которых применяются рассмотренные признаки и свойства делимости
Задача 1. История с покупателем. Покупатель подошел к кассе и сказал: «Я взял 2 пачки соли по 9 пенсов, 2 булки хлеба по 36 пенсов, 3 пачки сахара и 6 пирожных. Цена сахара и пирожных мне неизвестна». Кассир выбил чек на 4 фунта 6 шиллингов и 1 пенс. Покупатель заявил, что кассир ошибся. Прав ли покупатель? (1 фунт стерлингов = 20 шиллингов; 1 шиллинг = 12 пенсов).
Задача 2. Секрет фокусника. Фокусник раздает зрителям по набору карточек с цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Фокус 1. Желающие составляют числа из первых четырех карточек. Фокусник объявляет, что ни одно из составленных чисел не делится на 3.
Рискует ли фокусник ошибиться?
Фокус 2. Фокусник предлагает взять следующую по порядку карточку и вновь составить число уже из пяти карточек. Не глядя, фокусник объявляет, что составленное число не делится на 3.
Почему он в этом уверен?
Фокус 3. Желающие составляют числа, используя весь набор карточек. Фокусник «угадывает», что каждое из составленных чисел кратно числу 9
Раскройте этот секрет. Придумайте свои фокусы.
Задача 3. Игра «Угадайка». Вам наверняка больше 9 лет и, конечно, меньше 100. Запишите число ваших полных лет три раза подряд в строчку.
Например, если мне 23 года, я запишу 23 подряд три раза и получу шестизначное число 232323, которое делится на 7.
Объясните, почему (не деля это число на 7).
Задача 4. Сколько нулей будет в конце произведения чисел
?
Задача 5. Какое частное и какой остаток дает число
при делении на 75?
Задача 6. Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» − две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Задача 7. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11. (Ответ: 8910)
Задачи по теме делимость чисел способствуют развитию познавательного интереса, логического мышления. Вернемся к задачам модели ЕГЭ по математике базового уровня. Эти задачи можно использовать на уроках, во внеурочной работе. Приведем задачи из сборника [4]:
Задача 8. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27.
В ответе укажите получившееся число.
Решение. Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9,то оно делится и на 3. Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти. Девять делится на девять.
Ответ: 135.
Задача 9. Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение. Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.
Ответ: 0.
Задача 10. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир.
При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?
Решение. Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 110 делится на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме должно быть 2 подъезда, 5 квартир на этаже и 11 этажей.
Ответ: 11.
В завершение занятия можно привести старинную легенду.
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
— О, мудрец! — сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5.
Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.
Библиографический список
- Э.Г.Гельфман, Е.Ф.Бек, Ю.Ю.Вольфенгаут, С.Я.Гришпон, Л.Н.Демидова, Н.Б.Лобатенко. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6-го класса. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. − 176с.
- Программы общеобразовательных учреждений. Математика. 5-6 классы. — Бурмистрова Т.А. М :Изд-во Просвещение, 2009
- Решу ЕГЭ. – URL: http://mathb.
reshuege.ru/ - Типовые тестовые задания по математике / Под ред. И.В.Ященко. − М., 2015.
reshuege.ru/1.2 Алгебра логики
ТВ | НВ | Тип | Вопрос/Ответ |
1.2 | 1 | 0 | Какое высказывание называется элементарным? |
Высказывание, представляющее собой пожелание. | |||
Высказывание, представляющее собой не более двух утверждений. | |||
+ | Высказывание,
представляющее собой одно утверждение. | ||
Высказывание, представляющее собой логическое значение. | |||
1.2 | 2 | 0 | Что называется импликацией двух высказываний x и y? |
Новое высказывание, которое является истинным, если высказывание x ложно, и ложным, если высказывание x истинно. | |||
+ | Новое высказывание, которое считается ложным, если высказывание x истинно, а y — ложно, и истинным во всех остальных случаях. | ||
Новое высказывание,
которое считается истинным, если оба
высказывания x, y истинны, и ложным,
если хотя бы одно из них ложно. | |||
Новое высказывание, которое является истинным, если хотя бы одно из высказываний x, y истинно, и ложным, если они оба ложны. | |||
1.2 | 3 | 0 | Чем определяется логическое значение формулы алгебры логики? |
Логическими операциями. | |||
Равносильностью. | |||
+ | Логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. | ||
Эквивалентностью. | |||
1. | 4 | 0 | Укажите закон противоречия. |
x 1 | |||
+ | x & 0 | ||
x & (y x) x | |||
x (y & x) x | |||
1.2 | 5 | 0 | Укажите элементарное высказывание. |
Число 15 делится на 5 и на 3 | |||
Если число 126 делится на 9, то оно делится и на 3 | |||
Число 27 не делится на 3 | |||
+ | Число 7 является делителем числа 42 | ||
1. | 6 | 0 | Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы: |
+ | a = 1; a b = 0; | ||
a = 1; a b = 1; | |||
a = 1; a & b = 0; | |||
a = 0; a & b = 0; | |||
1.2 | 7 | 0 | Проверить, какая из следующих формул не тождественно истинна: |
(p Ú p) ® p; | |||
p Ú ; | |||
+ | p ; | ||
(p ®
p) Ú. | |||
1.2 | 8 | 0 | Найдите логические значения x и y, при которых выполняется равенство |
x = 0, y = 0; | |||
+ | x = 1, y = 0; | ||
x = 1, y = 1; | |||
x = 0, y = 1; | |||
1.2 | 9 | 0 | Определить, какое из сложных высказываний имеет логическое значение истина при x = 0, y = 1, z = 1. |
+ | x y z | ||
x (y z) | |||
(x y) y | |||
(x y) (z ) | |||
1. | 10 | 0 | В чем различия между алгеброй логики и алгеброй чисел? |
Нет различий | |||
+ | Возможны преобразования, основанные на использовании равносильностей | ||
Невозможны некоторые преобразования, доступные алгебре чисел | |||
Нет ничего общего | |||
1.2 | 11 | 0 | Число различных функций алгебры логики n переменных равно |
+ | |||
1. | 12 | 0 | На вопрос: «Кто из трех студентов изучал математическую логику?» получен верный ответ – «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал математическую логику? |
Второй | |||
Первый | |||
Все | |||
+ | Третий | ||
1.2 | 13 | 0 | Что такое предикат? |
+ | Это то, что утверждается
о субъекте. | ||
Это то, о чем что-то утверждается в высказывании. | |||
Это то, что утверждается в операциях алгебры логики. | |||
Это то, что утверждается об объекте. | |||
1.2 | 14 | 0 | Сколько значений имеют предикаты? |
Три | |||
Множество | |||
+ | Два | ||
Одно | |||
1. | 15 | 0 | Какой предикат является дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x)? |
P(x) Q(x) | |||
P(x) Q(x) | |||
P(x) & Q(x) | |||
+ | P(x) Q(x) | ||
1.2 | 16 | 0 | Установите, какая из следующих формул является тождественно ложной: |
(x y) () | |||
((pq)&(qr))(pr) | |||
+ | |||
1. | 17 | 0 | Упростить формулу (xy)&(xy): |
+ | x&y | ||
xy | |||
xy | |||
x | |||
1.2 | 18 | 0 | Укажите, какая формула тождественно ложна |
+ | |||
1. | 19 | 0 | Какой из предикатов не тождественно истинный? |
+ | |||
1.2 | 20 | 0 | Найти отрицание следующей формулы: . |
+ | |||
2
2
2
2
2
2
2=====Ответ 3:======
Важно понимать, что всякий раз, когда они используют аргумент, повторяется шаблон или наблюдение.
бесконечно, они принципиально полагаются на принцип индукции и используют его. А именно:
Они показывают, что что-то верно для нескольких базовых случаев; Они (надеюсь — иногда этот шаг слабый) что, если это верно для некоторых случаев, это будет выполнено для следующих случаев; и они ясно дают понять, что это будет повторяться и будет истинным для бесконечного или неопределенного числа итераций. 9{n+4}$ и так по индукции:
Как вы показали Базовый случай, что это верно для $n = 1,2,3, 4$ (а также $n=5$ и индукционный случай, что если верно для $n$, мы можем сделать вывод, что это верно для всех $n = 1+4k, 2+4k, 3+4k, 4+4k$, ЧТО означает, что это верно для всех $n$
Что ЕСТЬ доказательство по индукции.
….
Но следует другое доказательство по индукции. индукция
9n$ не делится на $5$ ни для какого натурального $n$.Кстати…
Дискретная математика — Не делится на $2,3$ или $5$, но делится на $7$
спросил
Изменено 5 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 18 тысяч раз
$\begingroup$
Задача состоит в том, чтобы определить количество натуральных чисел до $2000$, которые не делятся на $2,3$ или $5$, но делятся на $7$.
Ответ должен быть $76$, но не уверен, как он был получен
Я знаю, что если бы вопрос заключался в том, сколько целых чисел не делятся на $2,3,5$ или $7$, то ответ был бы $458$, и я знаю как это вывести.
- дискретная математика
- интуиция
- включение-исключение
$\endgroup$
$\begingroup$
Решить это можно включением-исключением. Сначала найдите, сколько чисел делится на $7$: это $\lfloor 2000/7 \rfloor = 285$, целая часть $2000/7$.
Теперь исключите те, которые делятся на $2$ (кратны $14$; есть $\lfloor 2000/14 \rfloor$), делятся на $3$ ($\lfloor 2000/21 \rfloor$) и делятся на $5$ ($\lэтаж 2000/35\rэтаж$).
Исключается слишком много. Добавьте обратно те, которые вы удалили дважды или более: $\lfloor 2000/42 \rfloor + \lfloor 2000/70 \rfloor + \lfloor 2000/105 \rfloor$.
Наконец, снова исключите те, которые делятся на все числа $2,3,$ и $5$: они кратны $2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ и есть $\lfloor 2000/210 \rfloor $ такой.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
A-> делится на $2$
B -> делится на $3$
C -> делится на $5$
$|A|=|2000/2|= 1000; |Б| = |2000/3|= 666; |с| = |2000/5| = 400$
$$n(A \чашка B \чашка C) = N(A) + N(B) + N(C) — N(A\крышка B) — N(A\крышка C) — N(B\ заглушка C) + N(A\заглушка B\заглушка C)\\ |A\чашка B \чашка C| = 1000 + 666 + 400 – 333 – 133 – 200 + 66 = 1466$$
Количество целых чисел, не делящихся на $2,3$ или $5 = 2000 – 1466 = 534$
Следовательно, количество целых чисел, делящихся на $7 = | 534/7| = 76$
$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка: для любого числа $n$, не кратного $2,3,5$, получаем, что $7n$ делится на $7$ и не делится на $2,3,5.$ И наоборот.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
\begin{align}\# \text{ чисел, кратных }7\text{, но не }2,3 \text{ или }5 & = \#\text{ чисел, кратных }7\\
& — \#\text{ чисел, делящихся на 7 и 2, т.
е. на 14}\\
& — \#\text{ чисел, делящихся на 7 и 3, т. е. на 21}\\
& — \#\text{ чисел, делящихся на 7 и 5, т. е. на 35}\\
& + \#\text{ чисел, делящихся на 7, 2 и 3, т. е. на 42}\\
& + \#\text{ чисел, делящихся на 7, 2 и 5, т. е. на 70}\\
& + \#\text{ чисел, делящихся на 7, 3 и 5, т. е. на 105}\\
& — \#\text{ чисел, делящихся на 7 и 2 и на 3 и 5, т.е. на 210}
\end{выравнивание}
$\endgroup$
$\begingroup$
$2000/7= 285+5/7$, поэтому существует $285$ положительных кратных $7$ меньше, чем $2000$
Из каждых $30$ такие кратные $15$ делятся на $2$, из оставшихся $15$, $5 $ делятся на $3$, а из оставшихся $10$ $2$ делятся на $5$ (обратите внимание на закономерность). Таким образом, остается 8$ на каждые 30$, кратные только 7$.
285$ = 9\cdot 30 +15$. Таким образом, у нас есть $8\cdot 9=72$ таких кратных до $270$, и легко проверить еще $4$ в финальных $15$.
Здесь вы обнаружите некоторые закономерности, которые могут привести вас к более эффективному общему подходу.
Я предложил «вручную», потому что это может помочь вам понять, почему шаблоны работают — мне это помогло много лет назад!
$\endgroup$
$\begingroup$
Позвольте мне дать вам короткий путь:
(1.) сначала возьмите LCM $2,3,5$ и $7$ мы получим $210$.
(2.) Теперь число, которое не делится на $2$ в $210$, будет $1/2 *210$.—(1)
(3.) Числа, которые делятся на $3$ в 210, равны $3\times 70$, числа $70$ делятся на $3$, поэтому, взяв дробь $70/210$, т.е. $1/3$ числа делятся на $3$, т.е. $2/3 $ числа не делятся на $3$. следовательно, мы можем записать (1) как $210*1/2*2/3$……(2).
(4.) аналогично для $5$, у нас $5*42$, $42$ числа делятся на $5$, поэтому $42/210$ означает, что $1/5$ делится, следовательно, $4/5$ не делятся, следовательно, мы можем написать (2) как $210*1/2*2/3*4/5$—->(3)
(5.)аналогично для $7$, $7*30$, $30$ число делится на $210$ т.