Сложные линейные уравнения с одной переменной: Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Презентацию подготовила учитель ГОУ СОШ № 1961 города Москвы Чистякова Людмила Константиновна

2. Решение линейных уравнений с одной переменной

3. Определение

Линейным уравнением с одной переменной
называется уравнение вида aх + b = с,
где а, в, с – числа, х – переменная.
Например:
3х + 8 = 0,
14 – 2х =9;
– 4х = 10.
• Решить уравнение – это значит найти
все его корни или доказать, что корней
нет.
• Корнем уравнения с одной переменной
называется значение переменной, при
котором уравнение обращается в верное
равенство.
• При решении уравнений с одной переменной
используются следующие свойства:
• Если в уравнении перенести слагаемое из
одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнение, равносильное данному;
• Если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же число, то получится
уравнение, равносильное данному.

6. Алгоритм решения уравнения

1. Раскрыть скобки.
2. Перенести слагаемые, содержащие
переменную, в одну часть уравнения, а
числа без переменной – в другую часть.
3. Упростить, привести подобные
слагаемые.
4. Найти корень уравнения.
5. Сделать проверку.

7. Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак « +», то
скобки можно опустить, сохранив знак
каждого слагаемого, заключенного в
скобки.
Пример.
(25 –3х) + (–2х + 6) = 25 – 3х – 2х + 6 =
= 31 – 5х.

8. Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак « -», то скобки
можно опустить, изменив знак каждого
слагаемого, заключенного в скобки.
( 6х – 3) – ( 14 – 2х) = 6х – 3 –14 + 2х =
= 8х – 17;
12 + ( х – 3) – (– 3х + 1) = 12 + х – 3 +3х –
– 1 = 8 + 4х.

9. Распределительное свойство умножения

а(в + с) =ав +ас
а(в – с) = ав – ас
Примеры:
6 ( 3 – 2х) = 18 – 12х;
– 5 ( а + 3) = – 5а –15.

10. Примеры решения уравнений

4(х + 5) = 12;
4х + 20 = 12;
4х =12 – 20;
4х = — 8;
х = — 8 : 4;
х = — 2.

11. Пример 2

5х = 2х + 6;
5х – 2х = 6;
3х =6;
х = 6 : 3;
х = 2.

12. Пример 3

3 (х + 6) + 4 = 8 – ( 5х + 2)
3х + 18 + 4 = 8 – 5х – 2
3х + 5х = — 18 – 4 + 8 — 2
8х = — 16
х = — 16 : 8
х=-2

13. Задания для самостоятельного решения

• Решить уравнение
1). 2х + 5 = 2 (- х + 1) + 11
2). 6у – 3(у – 1) = 4 + 5у
3). 4 ( х – 1) – 3 = — (х + 7) + 8
4). – 2(5 у – 9) + 2 = 15 + 7(- х + 2)
5). 12 + 4(х – 3) – 2х = (5 – 3х) + 9

14. Ответы

1) 2
2) — 0,5
3) 1,6
4) — 3
5) 2,8

15. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

English     Русский Правила

Линейное уравнение с одной переменной

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Линейное уравнение
с
одной переменной
1
Одной из самых простых и важных
математических моделей реальных ситуаций
есть линейные уравнения с одной переменной.
3х = 12
5у — 10 = 0
2а +7 = 0
Решить линейное уравнение с одной
переменной – это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное числовое
равенство.
2
Найдём корень уравнения:
Мы решили
уравнение!
Решили уравнение – нашли те
значения переменной, при
котором уравнение
обращается в верное числовое

равенство.
3
Не решая уравнений,
проверь, какое из чисел
является корнем
уравнения.
87 + (32 – х) = 105
4
87 + (32 – х) = 105
87 + (32 – 42) = 77
87 + (32 – 14) = 105
87 + (32 – 0) = 119
87 + (32 – 12) = 107
5
Решить уравнение – это
Решим
уравнение:
значит
найти
все его
корни или доказать, что
их нет
(35 + у) – 15 = 31
35 + у = 31 + 15
35 + у = 46
y = 46 -35
6
Уравнения, которые имеют одни и
те же корни, называют
равносильными.
7
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится
равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на число (не равное нулю), то
получится равносильное
уравнение.
8
(у — 35) + 12 = 32;
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями
Решение.
у — 35 + 12 = 32;
у – 23 = 32;
у = 32 + 23;
у = 55;
(55 — 35) + 12 = 32;
30 + 12 = 32;
32 = 32.
Ответ: 55.
9
б) (24 + х) — 21 = 10;
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями
Решение.
24 — 21 + х = 10;
х + 3 = 10;
х = 10 — 3;
х=7
(24 + 7) — 21 = 31 — 21 = 10;
Ответ: 7.
10
в) (45 — у) + 18 = 58;
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями
Решение.
45 + 18 — у = 58;
63 — у = 58;
у = 63 — 58;
у=5
(45 — 5) + 18 = 40 + 18 = 58.
Ответ: 5.
11
входит в уравнение
обязательно в
(45 — у) + 18 = 58
3х² + 6х + 7 = 0
12
2(3х — 1) = 4(х + 3)
Решение уравнений состоит в постепенной замене
более простыми равносильными уравнениями.
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3)
6х – 2 = 4х + 12
6х – 4х = 2 + 12
х = 14 : 2
х=7
13
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
6х – 2 = 4х + 12 – 14 + 2х
6х – 4x — 2х = 2 + 12 – 14
(а = 0, b = 0)
При подстановке любого значения х получаем
верное числовое равенство:
0·x = 0
x – любое число
14
2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х
Приведем к стандартному виду:
2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х
6х – 2 = 4х + 12 + 2х
6х – 4x — 2х -2 — 12 = 0
(а = 0, b = -14)
При подстановке любого значения х получаем
неверное числовое равенство:
-14·x = 0
15
Математическая модель позволяет анализировать
и решать задачи.
При решении задачи четко выполнены три этапа:
1)
Получение математической модели.
Обозначают неизвестную в задаче величину буквой,
используя эту букву, записывают другие величины,
составляют уравнение по условию задачи.
2) Работа с математической моделью.
Решают полученное уравнение,
находят требуемые по условию задачи величины.
3) Ответ на вопрос задачи.
Найденное решение используют для ответа на вопрос задачи
применительно к реальной ситуации.
16
Три бригады рабочих изготавливают игрушки к Новому году. Первая бригада
сделала шары. Вторая бригада изготавливает сосульки и сделала их на 12
штук больше, чем шаров. Третья бригада изготавливает снежинки и
сделала их на 5 штук меньше, чем изготовлено шаров и сосулек вместе.
Всего было сделано 379 игрушек. Сколько в отдельности изготовлено шаров,
сосулек и снежинок?
Шары – ?
?
Сосульки – ? на 12 шт. больше, чем
— на 5 шт. меньше, чем
Снежинки — ?
1) Получение математической модели.
х (шт.)
Обозначим
шары –
х + х + 12 = 2х + 12 (шт.)
сосульки – х + 12 (шт.)
снежинки — 2х + 12 – 5 = 2х + 7 (шт.)
Так как по условию всего было сделано 379 игрушек, то составим уравнение:
х + (х + 12) + (2х + 7) = 379
математическая
модель ситуации
17
2) Работа с математической моделью.
х + ( х + 12) + (2х + 7) = 379
Решение уравнений состоит в постепенной замене более
простыми равносильными уравнениями.
Приведем к стандартному виду:
х + х + 12 + 2х + 7 = 379
4х + 19 = 379
4х = 379 — 19
4х = 360
х = 360 : 4
х = 90
90 шт. — шаров
х + 12 = 90 + 12 = 102 (шт.) — сосульки
2х + 7 = 2 · 90 + 7 = 187 (шт.) — снежинок
3) Ответ на вопрос задачи:
90 шт. – шаров, 102 (шт.) – сосульки,
187 (шт.) — снежинок
18
1. Что называется уравнением?
2. Что называется корнем уравнения? Сколько корней
может иметь уравнение?
3. Какие уравнения называются равносильными?
4. Сформулируйте основные свойства уравнений.
5. Стандартный вид линейного уравнения.
6. Какое уравнение называется линейным?
19
§4.Выучить определение линейного
уравнения; алгоритмы решения линейного
уравнения (стр.20; 21).
Решить:
№4.1—4.6(а).
20

English     Русский Правила

0.5 Линейные уравнения с одной переменной

Краткий справочник

Решите алгебраическое уравнение, используя свойство сложения равенства

Прежде всего, давайте определимся с некоторыми важными терминами:

• символы, обозначающие неизвестные переменные: количество, они часто обозначаются буквами, например x , y или z .
• коэффициент: Иногда переменная умножается на число. Это число называется коэффициентом переменной. Например, коэффициент 3 92[/латекс].

  Уравнение, состоящее из коэффициентов, переменных, терминов и выражений.

  Использование свойства сложения равенства

  Важным свойством уравнений является то, что вы можете добавлять одну и ту же величину к обеим частям уравнения и при этом поддерживать эквивалентное уравнение.

  Аддитивное свойство равенства

  Для всех действительных чисел a , b и c : Если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а+с=b+с[/ латекс].

  Если два выражения равны друг другу, и вы добавляете одно и то же значение к обеим частям уравнения, уравнение останется равным.

  Решите алгебраические уравнения, используя свойство сложения равенства

  Когда вы решаете уравнение, вы находите значение переменной, которая делает уравнение верным. Чтобы решить уравнение, вы изолируете переменную . Изолировать переменную означает переписать эквивалентное уравнение, в котором переменная находится на одной стороне уравнения, а все остальное — на другой стороне уравнения.

  Поскольку вычитание можно записать как сложение (сложение противоположного значения), свойство сложения равенства можно использовать и для вычитания. Точно так же, как вы можете прибавить одно и то же значение к каждой части уравнения, не меняя смысла уравнения, вы можете вычесть одно и то же значение из каждой части уравнения.

  Всегда полезно проверить свой ответ, независимо от того, просят вас об этом или нет.

  Приведенные выше примеры иногда называют одношаговыми уравнениями , потому что для их решения требуется только один шаг. В этих примерах вы либо прибавили, либо вычли константа из обеих частей уравнения, чтобы изолировать переменную и решить уравнение.

  Для любого уравнения вы можете проверить свое решение, подставив значение переменной в исходное уравнение. Другими словами, вы оцениваете исходное уравнение, используя свое решение. Если вы получите истинное утверждение, то ваше решение верно.

  Решение одношаговых уравнений, содержащих абсолютные значения, с добавлением

  Абсолютное значение числа или выражения описывает его расстояние от 0 на числовой прямой. Поскольку абсолютное значение выражает только расстояние, а не направление числа на числовой прямой, оно всегда выражается как положительное число или 0,9.0009

  Например, [латекс]-4[/латекс] и 4 имеют абсолютное значение 4, поскольку каждое из них является 4 единицами от 0 на числовой прямой, хотя они расположены в противоположных направлениях от 0 на числовой прямой.

  При решении абсолютного значения уравнений и неравенств необходимо учитывать как поведение абсолютного значения, так и свойства равенства и неравенства.

  Поскольку как положительные, так и отрицательные значения имеют положительное абсолютное значение, решение уравнений абсолютного значения означает поиск решения как для положительных, так и для отрицательных значений.

  Давайте сначала рассмотрим очень простой пример.

  [латекс] \displaystyle \left| x \right|=5[/latex]

  Это уравнение читается как «абсолютное значение x равно пяти». Решением является значение(я), отстоящее на пять единиц от 0 на числовой прямой.

  Вы можете сразу подумать о 5; это одно из решений уравнения. Обратите внимание, что [латекс]-5[/латекс] также является решением, потому что [латекс]-5[/латекс] находится в 5 единицах от 0 в противоположном направлении. Итак, решение этого уравнения [латекс] \displaystyle \left| x \right|=5[/latex] равно [latex]x = −5[/latex] или [latex]x = 5[/latex].

  Решение уравнений вида [латекс]|x|=a[/латекс]

  Для любого положительного числа a решение [латекс]\влево|х\вправо|=а[/латекс] равно

  [latex]x=a[/latex] или [latex]x=−a[/latex]

  x может быть одиночной переменной или любым алгебраическим выражением.

  Аналогичным образом можно решить более сложную задачу об абсолютном значении.

  Решите алгебраические уравнения, используя свойство равенства умножения

  Точно так же, как вы можете складывать или вычитать одну и ту же точную величину в обеих частях уравнения, вы также можете умножать обе части уравнения на одну и ту же величину, чтобы написать эквивалентное уравнение. Давайте для начала рассмотрим числовое уравнение [latex]5\cdot3=15[/latex]. Если вы умножите обе части этого уравнения на 2, вы все равно получите верное уравнение.

  [латекс]\begin{array}{r}5\cdot 3=15\,\,\,\,\,\,\, \\ 5\cdot3\cdot2=15\cdot2 \\ 30=30\ ,\,\,\,\,\,\,\end{array}[/latex]

  Эта характеристика уравнений обобщается в свойстве умножения равенства .

  Свойство равенства умножения

  Для всех действительных чисел a , b и c : Если a = b , то }[/latex] (или ab = ac ).

  Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

  Если уравнение включает в себя умножение или деление, вы можете «отменить» эти операции, используя обратную операцию, чтобы изолировать переменную. Когда операция умножения или деления, ваша цель состоит в том, чтобы изменить коэффициент на 1, мультипликативное тождество.

  Вы также можете умножить коэффициент на обратный мультипликатив (обратный), чтобы изменить коэффициент на 1.

  В следующем примере мы решим одношаговое уравнение, используя свойство равенства умножения. Вы увидите, что переменная является частью дроби в данном уравнении, и использование свойства равенства умножения позволяет нам удалить переменную из дроби. Помните, что дроби подразумевают деление, так что вы можете думать об этом как о делении переменной k на 10. Чтобы «отменить» деление, вы можете использовать умножение, чтобы изолировать k . Наконец, обратите внимание, что в уравнении есть отрицательный член, поэтому будет важно подумать о знаке каждого члена, когда вы будете решать задачу. Останавливайтесь после каждого шага, чтобы убедиться, что все термины имеют правильный знак.

  Решение одношаговых уравнений, содержащих абсолютные значения, с помощью умножения

  Помните, что абсолютное значение относится к расстоянию от нуля. Вы можете использовать тот же метод: сначала выделить абсолютное значение, а затем настроить и решить два уравнения, чтобы решить уравнение абсолютного значения, включающее умножение.

  Использование свойств равенства для выделения переменных и решения алгебраических уравнений

  Шаги с видимым концом

  Есть некоторые уравнения , которые вы можете быстро решить в уме. Например, каково значение y в уравнении [латекс]2у=6[/латекс]? Скорее всего, вам не нужно было доставать карандаш и бумагу, чтобы вычислить, что [латекс]у=3[/латекс]. Чтобы получить ответ, нужно было сделать только одно: разделить 6 на 2.

  Другие уравнения сложнее. Решить [латекс]\displaystyle 4\left( \frac{1}{3}t+\frac{1}{2}\right)=6[/latex], ничего не записывая, сложно! Это потому, что это уравнение содержит не только переменная , а также дроби и термины в скобках. Это многошаговое уравнение , для решения которого требуется несколько шагов. Хотя многошаговые уравнения требуют больше времени и больше операций, их все же можно упростить и решить, применяя основные алгебраические правила.

  Вы можете думать об уравнении как о шкале баланса, цель которой состоит в том, чтобы переписать уравнение так, чтобы его было легче решать, но оно оставалось сбалансированным. Свойство сложения равенства и свойство умножения на равенство объясняют, как можно сохранить баланс шкалы или уравнения. Всякий раз, когда вы выполняете операцию с одной частью уравнения, если вы выполняете точно такую ​​же операцию с другой стороной, вы сохраните обе части уравнения равными.

  Если уравнение имеет вид [латекс]ах+b=с[/латекс], где x — переменная, уравнение можно решить, как и раньше. Сначала «отменить» сложение и вычитание, а затем «отменить» умножение и деление.

  В некоторых уравнениях переменная может стоять по обе стороны от знака равенства, как в этом уравнении: [латекс]4x-6=2x+10[/латекс].

  Чтобы решить это уравнение, нам нужно «переместить» один из переменных членов. Это может затруднить решение, с какой стороны работать. Неважно, какой член перемещается, [латекс]4x[/латекс] или [латекс]2x[/латекс], однако, чтобы избежать отрицательных коэффициентов, вы можете переместить меньший член.

  Примеры

  Решите: [латекс]4x-6=2x+10[/латекс]

  Показать решение

  Решение многошаговых уравнений с абсолютным значением

  Мы можем применить те же методы, которые мы использовали для решения одношагового уравнения, содержащего абсолютное значение, к уравнению, для решения которого потребуется более одного шага. Давайте начнем с примера, где первым шагом является написание двух уравнений, одно из которых равно положительному 26, а другое равно отрицательному 26.

  Теперь давайте рассмотрим пример, в котором вам нужно выполнить один или два алгебраических шага, прежде чем вы сможете написать свое уравнение. два уравнения. Цель здесь состоит в том, чтобы получить абсолютное значение на одной стороне уравнения само по себе. Затем мы можем продолжить, как мы делали в предыдущем примере.

  Распределительное свойство

  При решении линейных уравнений нам часто приходится выполнять некоторую работу, чтобы записать линейные уравнения в знакомой нам форме. В этом разделе основное внимание будет уделено манипулированию уравнением, которое нас просят решить, таким образом, чтобы мы могли использовать навыки, которые мы приобрели для решения многоэтапных уравнений, чтобы в конечном итоге прийти к решению.

  Скобки могут затруднить решение проблемы, если не сделать ее невозможной. Чтобы избавиться от этих нежелательных скобок, мы должны использовать распределительное свойство. Используя это свойство, мы умножаем число перед скобками на каждый член внутри скобок.

  Распределительное свойство умножения

  Для всех вещественных чисел a, b, и c , [latex]a(b+c)=ab+ac[/latex].

  Это означает, что когда число умножает выражение в круглых скобках, вы можете распределить умножение на каждый член выражения отдельно. Затем вы можете выполнить шаги, которые мы уже практиковали, чтобы изолировать переменную и решить уравнение.

  В следующем примере вы увидите, что по обе стороны от знака равенства стоят круглые скобки, поэтому вам нужно будет дважды использовать распределительное свойство. Обратите внимание, что вам нужно распределить отрицательное число, поэтому будьте осторожны с отрицательными знаками!

  Иногда вы сталкиваетесь с многошаговым уравнением с дробями. Если вы предпочитаете не работать с дробями, вы можете использовать свойство равенства умножения, чтобы умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей в уравнении. Это удалит все дроби из уравнения. См. пример ниже.

  Конечно, если вам нравится работать с дробями, вы можете просто применить свои знания операций с дробями и решить.

  Независимо от того, какой метод вы используете для решения уравнений, содержащих переменные, вы получите один и тот же ответ. Вы можете выбрать способ, который вы считаете самым простым! Не забудьте проверить свой ответ, подставив свое решение в исходное уравнение.

  Иногда вы сталкиваетесь с многошаговым уравнением с десятичными дробями. Если вы предпочитаете не работать с десятичными дробями, вы можете использовать свойство равенства умножения, чтобы умножить обе части уравнения на коэффициент 10, что поможет очистить десятичные дроби. См. пример ниже.

  Вот несколько шагов, которые необходимо выполнить при решении многошаговых уравнений.

  Решение многошаговых уравнений

  1. (Необязательно) Умножьте, чтобы очистить дроби или десятичные дроби.

  2. Упростите каждую сторону, сняв скобки и объединив одинаковые термины.

  3. Добавьте или вычтите, чтобы изолировать переменный термин — возможно, вам придется переместить термин вместе с переменной.

  4. Умножьте или разделите, чтобы изолировать переменную.

  5. Проверьте решение.

  Решение систем линейных уравнений с комплексными коэффициентами и переменными

  спросил 6 лет, 3 месяца назад

  Изменено 3 года, 3 месяца назад

  Просмотрено 31к раз

  $\begingroup$

  Как решить сложную систему уравнений, используя только декартово представление комплексных чисел вручную? Например, возьмем следующую систему линейных уравнений:

  $(1+i)z_1 — z_2 = i$

  $(1-i)z_1 + (1+i)z_2 = 1$

  Эта система содержит оба сложных переменные и комплексные коэффициенты.

  No related posts.