Числовые и буквенные выражения — что такое математическое выражение
Главная » 5 класс. Математика. » Числовые выражения и буквенные выражения — правила
Автор Ольга Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 17.2k. Опубликовано
При решении примеров и уравнений нужно четко отличать — что такое числовые выражение, а что такое буквенные выражения. Поэтому сегодня пройдем эту тему и посмотрим видео. Итак, выучите правила.
Содержание
Правила математики о числовых и буквенных выражениях
Числовое выражение — это такое выражение, которое составлено из чисел и имеет знаки «+», «-», а также знаки умножения или деления. В числовом выражении могут также быть и скобки.
Число, которое получается в результате выполнения математических операций, входящих в это числовое выражение, называется значением числового выражения.
Буквенные выражения — это выражения, содержащие латинские буквы, а также знаки математических операций сложения, вычитания, умножения и деления или скобки (при необходимости).
Числа, которые заменяют букву, называются значениями этой буквы.
Чтобы запомнить правила, давайте обратимся к примерам. Примеры — самый простой наглядный способ запомнить утверждения, приведенные выше.
Посмотрите видео:
Примеры числовых выражений
— в левой части этого равенства стоит числовое выражение, а в правой части — значение числового выражения.
— в левой части равенства — числовое выражение, а в правой части — значение числового выражения.
Посмотрите еще примеры числовых выражений:
- ,
- ,
- ,
- .
Примеры буквенных выражений
Примеры буквенных выражений:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Буквенных выражений может быть множество.
Для буквенных выражений каждая буква — это определенное число. Или множество разных чисел.
Когда применяются буквенные выражения
Буквенные выражения применяются тогда, когда нам надо, например, ввести формулу для нахождения той или иной величины. Например, вы знаете — что периметр прямоугольника, это сумма всех его сторон. Для периметра в общем виде можно записать буквенное выражение:
, где — ширина прямоугольника, а — его длина.
В правой части вы увидели буквенное выражение, значениями букв и — будут числа — значения ширины и длины прямоугольника.
Математические выражения
Математическое выражение — это выражение, содержащее и числовое и буквенное выражение, а также их произведение, сумму, разность или деление.
То есть, например
— это математическое выражение.
Число перед буквой в математическом выражении — это коэффициент, означающий, что это число умножается на букву, которая может иметь переменное значение.
Буквенные, числовые и математические выражения — необходимо различать, чтобы понимать условия задачи, например, вас могут попросить упростить математическое выражение или попросить найти значение числового выражения.
Поэтому необходимо знать — что это такое.
Если вам все понятно — выполните тест «Числовые и буквенные выражения».
определение и виды, алгоритм для оптимизации решения и пример вычисления
Математика
12.11.21
14 мин.
Вычисление числовых выражений в 7 классе является базой для изучения других дисциплин, поскольку применяется специальный алгоритм для упрощения решения задач. В интернете можно найти много методик, обеспечивающих быстрый расчет заданий и параметров. Однако не все они являются правильными, так как составляются людьми, которые не являются специалистами в физико-математической сфере.
Оглавление:
- Общие сведения
- Приоритет операций
- Исключение из правил
- Универсальный алгоритм
- Примеры задач и их решение
Общие сведения
В алгебре существует 2 типа выражений: числовой и алгебраический.
Многие их путают, поскольку не знают смыслового значения. Определение для первого типа: числовое — вид тождества, которое состоит из чисел, скобок и знаков арифметических операций.
Иными словами, числовое выражение представляет собой совокупность чисел и знаков арифметических операций, имеющую логическое завершение. Алгебраическое — тождество, содержащее не только все компоненты числового, но и неизвестные (переменные) величины. Например, 25-(25-m)+2 (3−2m).
Например, тождество «25-(25 / 5)*2» является числовым выражением, а «25-*2+*3» — просто набор математических символов. Последний нельзя называть числовым или алгебраическим.
Операция сложения обозначается знаком «+», вычитания — «-«, умножения (произведения) — «*», деления — «/» или «:». В первом случае основными компонентами выражения являются 2 слагаемых и результат — сумма. Следует отметить, что слагаемых может быть любое количество.
Следующей операцией является вычитание. Она состоит из следующих элементов: уменьшаемого, вычитаемого и разности.
Уменьшаемое одно, а вычитаемых может быть большое количество.
Произведение состоит также из нескольких компонентов: множимое, множитель и произведение. Первый элемент — число, которое следует умножить. Второй — на какое значение умножается. Результат называется произведением. Однако для простоты используется сокращенное название элементов — множители. Это обусловлено ассоциативным свойством умножения: от перестановки коэффициентов его величина не изменится. Существует следующие типы записей:
- Полная: 25*(25-n)+2*(3−2*n)-2*(7*n+2*n).
- Сокращенная: 25 (25-n)+2 (3−2n)-2 (7n+2n).
Последняя применяется практически всегда, поскольку математики считают это «правилом хорошего тона».
Операция деления состоит из следующих компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — число, которое следует разделить на делитель. При этом результат бывает целым и дробным. Последний записывается в виде десятичной (целая часть отделяется от дробной запятой) или обыкновенной дроби, состоящей из числителя (расположен вверху) и знаменателя (внизу).
Приоритет операций
Чтобы вычислить значение какого-либо выражения, нужно разобраться в приоритете. Он задается скобками, т. е. выполняются первые действия, находящиеся в них. Если тождество содержит много групп, отделенных скобками, рекомендуется выполнять операции слева направо (последовательно).
Умножение и деление имеют высший приоритет по сравнению с другими операциями. Однако существуют и другие более сложные расчеты, которые следует выполнять в первую очередь. К ним относятся следующие:
- Возведение в степень.
- Вычисление выражения под знаком радикала (корня).
- Нахождение логарифма.
- Расчет факториала.
- Получение результата при решении тригонометрических функций.
- Нахождение производной или дифференциала.
Знак скобки обладает наивысшим приоритетом. Чтобы понять механизм последнего, следует разобрать следующий пример: 2*(2*(3−1)+2−2*5+7−7*2).
В этом случае следует составить план решения выражения (нумерация пунктов соответствует порядку выполнения вычислений):
- (3−1) = 2.
- 2*(3−1) = 2*2 = 4.
- 2*5 = 10.
- 2−10 = -8.
- 7*2 = 14.
- 7−14 = -7.
- 4−8−7 = 4−15 = -11.
- 2*(-11) = -22.
Ответ, полученный при решении числового выражения для алгебры 7 класса, эквивалентен значению -22. Если приоритет не учитывать, получится такой ход решения выражения:
- (3−1) = 2.
- 2*(3−1) = 4.
- 2*(3−1) + 2 = 6.
- 6−2 = 4.
- 4*5 = 20.
- 20+7 = 27.
- 27−7 = 20.
- 20*2 = 40.
- 40*2 = 80.
В результате при неверных расчетах получается значение, равное 80. При этом значения в первом и втором случаях сильно отличаются. Этот пример доказывает, что знание приоритета арифметической операции сильно влияет на результаты вычислений. Иногда для удобства можно отступить от правил.
Исключение из правил
Алгебра — дисциплина, в которой следует учитывать оптимизацию вычислений, поскольку это сказывается на времени выполнения поставленной задачи.
2: [(7u-7)+3 (3−2u)] / [1+2u+6].
Найти решение выражения оказалось довольно просто, поскольку для удобства были использованы основные математические правила (вынесение общего множителя и формула сокращенного умножения). После этого на пятом шаге алгоритма использовались правила приоритета операций. Решить пример можно и другим способом — раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Однако этот подход занял бы намного больше времени, а также привел к возможным ошибкам. Исходя из этого можно сформулировать главный принцип не только алгебры, но и других дисциплин с физико-математическим уклоном. Суть его состоит в следующем: любое выражение перед нахождением окончательного результата следует привести к простому виду.
Универсальный алгоритм
Математики разработали специальный алгоритм, облегчающий вычисления на начальном этапе обучения.
2, М = s 2 , N = 3, О = (1-s)(1+s) и Р = 3s 2 .
Вычисление выражения позволяет сформулировать основное правило: при решении сложного тождества нужно разбить его на простые элементы. Этот принцип позволяет решать задачи, связанные с такими направлениями: бизнес, программирование, научные исследования и т.
Результат, полученный в последнем пункте, нужно оставить без изменений, т. к. выражение является упрощенным.
Таким образом, для решения алгебраических и числовых выражений следует руководствоваться определенными алгоритмами, позволяющими избежать ошибок и лишних вычислений.
Видео с вопросом: Упрощение числовых выражений с участием корней для нахождения значения неизвестного
Учитывая, что 9√8 + 10√50 = 𝑥√2, найдите значение 𝑥.
Стенограмма видео
Учитывая, что девять раз квадрат корень из восьми плюс 10 умноженный на квадратный корень из 50 равен 𝑥 умноженному на квадрат корень из двух, найдите значение 𝑥.
В этом вопросе нам дается
уравнение с неизвестным значением 𝑥 и попросили решить для 𝑥.
Сначала заметим, что восемь равно
два в квадрате, умноженные на два, что позволяет нам переписать первый член в левой части
сторону уравнения. Точно так же мы можем вычислить, что 50
равно пяти квадратам, умноженным на два, что позволяет нам переписать второй член на
левую часть уравнения, как показано на рисунке.
Теперь мы можем применить наш результат к упростить левую часть уравнения. Во-первых, мы устанавливаем 𝑎 равным двум и 𝑏 равно двум, чтобы увидеть, что квадратный корень из восьми равен удвоенному квадратный корень из двух. Помните, нам нужно умножить это выражение через коэффициент, который равен девяти. Точно так же мы можем также установить 𝑎 равным до пяти и 𝑏 равно двум, чтобы увидеть, что квадратный корень из 50 равен пятикратному квадратный корень из двух. Нам нужно умножить этот член на 10. И далее замечаем, что сумма эти два члена равны 𝑥, умноженному на квадратный корень из двух.
Теперь мы можем оценить продукты в
каждый член в любом порядке, который мы хотим, так как умножение действительных чисел
ассоциативный.
Мы можем вычислить, что девять раз
два равно 18, а 10 умножить на пять равно 50. Итак, у нас есть корень 18 из двух плюс 50.
корень два равен 𝑥 корню два. Тогда мы можем упростить левое
стороны уравнения, отметив, что оба термина имеют общий множитель корня два и
применяя распределительное свойство умножения действительных чисел на
добавление. Это дает нам 18 плюс 50
умноженное на квадратный корень из двух равно 𝑥 умноженному на квадратный корень из
два.
Затем мы можем оценить сумму в коэффициент для получения 68 корня два равен 𝑥 корня два. Наконец, мы можем разделить обе стороны уравнения на квадратный корень из двух, что равносильно умножению на обратный корню два, чтобы получить, что 𝑥 равно 68.
Оценка числовых выражений
Правило PEMDAS можно использовать для упрощения или вычисления сложных числовых выражений с помощью более чем одной двоичной операции.
Очень простой способ запомнить правило PEMDAS:
P —-> Круглые скобки (или квадратные скобки)
E —-> Показатель степени
M —-> Умножение
D —-> Деление
A —-> Сложение
S —-> Вычитание
Важные примечания:
1. В конкретном упрощении, если у вас есть и умножение, и деление, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.
2. Умножение не всегда предшествует делению. Мы должны сделать один за другим в порядке слева направо.
Примеры:
16 ÷ 4 x 3 = 4 x 3 = 12
В приведенном выше упрощении мы имеем и деление, и умножение.
Слева направо у нас сначала деление, а потом умножение.
Итак, сначала мы делаем деление, а потом умножение.
Задача 1 :
Оцените следующее числовое выражение.
29 — 5 x 3
Решение:
Выражение 29 — 5 x 3 | Оценка = 29 — 5 x 3 = 29 — 15 = 14 | Операция Умножение Вычитание Результат |
Задача 2 :
Оцените следующее числовое выражение.
(14 + 12) x 3
Решение:
Экспрессия (14 + 12) x 3 | Оценка = (14 + 12) x 3 = 26 x 3 = 78 6 | Операция Скобки Умножение Результат |
Задача 3:
Оцените следующее числовое выражение.
9 2 — 15 ÷ 3
Решение:
Выражение 9 2 — 15 ÷ 3 | Evaluation = 9 2 — 15 ÷ 3 = 81 — 15 ÷ 3 = 81 — 5 = 76 | Операция Степень Деление Вычитание Результат |
Задача 4:
Оцените следующее числовое выражение.
5 + 5 x (5 + 7) ÷ 4 — 6
Решение:
Выражение 5 + 5 x (5+7) ÷ 4 -6 | Оценка = 5 +5 x (5 +7) ÷ 4 -6 = 5 + 5 x 12 ÷ 4 -6 = 5 + 6073 6973. 3733.3333333333333333333333333333333333333673. 373333333..... . 73. 73. 73. 73. . . . . 7. . . 7. 39003 . ÷ 4 -6 = 5 + 15 -6 = 20 — 6 = 3 7 9000 3 2 | Операция Скобки Умножение Деление Сложение Вычитание Результат |
Задача 5 :
Оцените следующее числовое выражение.
-2(12 ÷ 4 x 3) + 10
Решение:
Выражение -2(12 ÷ 4 x 3) + 10 | Оценка = -2 (12 ÷ 4 x 3) + 10 = -2 ( 12 ÷ 4 x 3) + 10 = -2 ( 3 x 3) + 100003 = -2 ( 3 x 3) + 100003 = -2 ( 3 x 3). = — 2(9 ) + 10 = -18 + 10 = -8 | Операция Скобки Деление Умножение Умножение Вычитание Результат |
) + 10Задача 6:
Оцените следующее числовое выражение.
6 + [(16 — 4) ÷ (2 2 + 2)] — 2
Решение:
Выражение 6+[(16-4)÷(2²+2)]-2 | Оценка = 6+ [(16-4)÷(2 2 +2)] -2 = 6+[12÷( 2 2 +2)]-2 = 6+[12÷ (4+2) ]-2 = 6+ [12÷6] -2 = 6+2 — 2 = 8 — 2 = 6 | Операция Скобки Степень Скобки Скобки Сложение Вычитание 3 Результат |
Задача 7 :
Оцените следующее числовое выражение.
(96 ÷ 12) + 14 x (12 + 8) ÷ 2
Решение:
Выражение (96÷12)+14x(12+8) ÷ 2 | Оценка = (96 ÷ 12) +14x (12 +8) ÷ 2 = 8 + 14x 20 ÷ 2 = 8 + 28073 3 = 8 + 28073 28073 2 2 = 8 + 28073 28073 2 = 8 + 28073 2 2 = 8 + 28073 2 = 20 ÷ 2 = 20 . = 8 + 140 = 148 | Операция Скобки Умножение Деление Сложение Результат |
Задача 8 :
Оцените следующее числовое выражение.
(93 + 15) ÷ (3 x 4) — 24 + 8
Решение:
Выражение (93+15)÷(3×4)-24+8 | Оценка = (93+ 15) ÷ (3×4) -24+ 8 = 108 ÷ 12 — 24+ 8 = 9 — 24 + = = 9 — 24 + = = = = 9 — 24 += 9 — 24 + = 9 — 24 + .  -15 + 8 = -7 | Операция Скобки Деление Вычитание Вычитание Результат |
Задача 9 :
Оцените следующее числовое выражение.
55 ÷ 11 + (18 — 6) x 9
Решение:
Выражение 55÷11+(18-6)x9 | Evaluation = 55÷11+ (18-6) x9 = 55÷11 + 12×9 = 5 + 12×9 = 5 + 108 = 113 | Операция Скобки Деление Умножение Сложение Результат |
Задача 10 :
Оцените следующее числовое выражение.
(7 + 18) x 3 ÷ (2 + 13) — 28
Решение:
Выражение (7+18)x3÷(2+13)- 28 | Оценка = (7+18) x3÷ (2+13) -28 = 25 x 3 ÷ 15 — 28 = 75 ÷ 15 — 28 = 5 — 28 = -2 = -2 = -2 = 3933  |