Решение уравнений, содержащих знак модуля, методом промежутков
Цели урока: научить применять для решения уравнений, содержащих несколько знаков модуля, метод промежутков.
Тип урока: комбинированный с использованием ИКТ.
Оборудование: доска, мел, ТСО.
Ход урока1. Актуализация опорных знаний.
Слайд №1.
Вопросы для повторения темы “Модуль”, “Решение уравнений с модулем”.
- Происхождение слова “модуль”
- Дать определение модуля: алгебраическую и геометрическую его интерпретацию.
- Перечислить известные методы решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
Слайд № 2.
Ответы на вопросы к слайду № 1.
1.Слово “модуль” произошло от латинского
слова “modulus”, что в переводе означает “мера”.
Это многозначное слово, которое имеет множество
значений и применяется не только в математике, но
и в архитектуре, физике, технике,
программировании и других точных науках.
2.1. Определение (алгебраическое).Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна -а, если а меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|>=0.
2.2. Определение (геометрическое). Модуль – абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой.
3. а) Если f(х) проще, чем g(х), то уравнение | f(х)| = g(х) принимает вид
| f(х) > 0
| f(х) = g(х)
| f(х) = – g(х).
При этом не надо решать неравенства, а надо
только подставить в них полученные решения
соответствующих уравнений.
Можно поступить и так: решить совокупность уравнений
| f(х) = g(х)
| f(х) = – g(х), а затем просто сделать проверку.
3. б) Если g(х) проще, чем f(х), то уравнение | f(х)| = g(х) решается так:
g(х) > 0
| f(х) = g(х)
|f(х)| = g(х) == > | f(х) = – g(х).
Изучение нового материала.
Учитель. Если левая часть уравнения F(х)=0 содержит модули некоторых функций, то для решения таких уравнений обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем. По определенным соображениям координатная ось разбивается на некоторое количество промежутков, а затем на каждом из них исследуется рассматриваемая задача.
Запишем алгоритм решения уравнений, содержащих несколько модулей, затем на примере его применим.
Слайд № 3.
- Найти нули подмодульных выражений, то есть
выражения в каждом модуле приравнять к нулю;
решить каждое уравнение.
- Отметить корни каждого уравнения на координатной оси. Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков ( каждый из концов промежутков включают в один из двух соседних промежутков).
- Решать исходное уравнение в каждом промежутке, раскрывая все модули в уравнении для данного промежутка.
- На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается, и затем отбираются те из них, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.
- Объединить все корни, найденные на промежутках: они и есть корни исходного уравнения F(х)=0.
Решим уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 , используя данный алгоритм.
(Решение выполняет учитель с подробным комментированием на доске на боковых досках, так чтобы этими записями можно было пользоваться при закреплении изученного материала)
- Найдем нули подмодульных выражений.
- Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки.
- 4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.
- Таким образом, исходное уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 имеет два корня: х = 0 и х = 4.
| Х – 1=0, | Х – 2 = 0, | Х – 3 = 0 |
| Х = 1, | х = 2, | х =3. |
Получилось 4 промежутка: а) (- ; 1] б) (1; 2 ] в) (2; 3 ] г) (3; + ).
а)( —; 1] | х – 1| = – (х – 1) ; |х – 2| = – (х – 2) | Х – 3| = – (х – 3 ). На данном промежутке
уравнение | х – 1| + | х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно
уравнению – (х – 1) – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это
уравнение, получаем корень: х = 0. Этот корень
принадлежит промежутку а)( – ; 1], следовательно на
рассматриваемом промежутке исходное уравнение
имеет единственный корень х = 0.
б) (1; 2] |х – 1| = х – 1; |х – 2| = – (х – 2) |х – 3| = – (х – 3). На данном промежутке
уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = -2. Этот корень не принадлежит промежутку б) (1; 2] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.
в) (2; 3] | х – 1| = х – 1 ; | х – 2| = х – 2 | х – 3| = -(х – 3). На данном промежутке
уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 равносильно уравнению Х – 1 + Х – 2 – ( Х – 3 ) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 6. Этот корень не принадлежит промежутку в) ( 2; 3] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.
г) ( 3; + ] | Х – 1| = Х – 1; | Х – 2| = Х – 2 | Х – 3| = Х – 3 . На данном промежутке
уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 равносильно
уравнению Х – 1 + Х – 2 + Х – 3 = 6.
Решая это
уравнение , получаем корень: х = 4 Этот корень
принадлежит промежутку г) (3; + ), следовательно на
рассматриваемом промежутке исходное уравнение
имеет единственный корень х= 4.
Ответ: 0 ; 4.
Закрепление новой темы.
Учитель. (к доске вызывает сильного ученика для решения уравнения ).
Решим еще одно уравнение с помощью образца, но решать будет один из учеников на основной доске с подробным комментированием. Класс будет помогать и записывать решение в тетради с нами вместе.
- |Х – 3| + |х + 3| = 8
- Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки. Получается три промежутка: а) (– ; – 10 ] и б) (-10; 10 ] в) ( 10; +).
- 4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.
(ученик решает на доске с комментированием и оформлением поэтапно).
Учитель подводит итоги решения ученика и
вызывает еще одного менее сильного для решения
другого уравнения.
(ученик решает на доске с комментированием и оформлением поэтапно).
2.| Х – 6| – |х + 6| = 8
3. Уравнение | Х– 10| – |х + 10| = 2 класс решает самостоятельно по образцам на доске, затем учитель показывает верное решение на экране.
Слайд № 4.
Решите уравнение | Х – 10| – |х + 10| = 2
1.Найдем нули подмодульных выражений: х – 10 =0 и х + 10 = 0
Х = 10 и х = -10.
а) (-; – 10 ] | Х– 10| =-(Х – 10) и |х + 10|= – (х + 10)
уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно
уравнению –(Х – 10) + (х + 10) =2.
Данное уравнение не имеет корней, следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.
б) (-10; 10 ] | Х– 10| =-(Х – 10) и |х + 10|= х + 10
уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно уравнению –(Х – 10) – (х + 10) =2.
Корень этого уравнения х= 1 Этот корень принадлежит промежутку б) ( – 10; 10] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет корень х=1
в) (10; +). | Х– 10| = Х – 10 и |х + 10|= х + 10
уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно уравнению (Х – 10) – (х + 10) =2.
Данное уравнение не имеет корней, следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.
5. Объединить все корни, найденные на промежутках: они и есть корни исходного уравнения: х=1 Ответ: х = 1.
Подведение итогов урока.
На данном уроке научились решать уравнения с
несколькими модулями методом промежутков.
Домашнее задание: решить уравнение |х + 1| + |х – 3| + | х – 5| = 7.
Конспект урока математики «Решение уравнений и неравенств с несколькими модулями»
Тема: «Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей»
Школа: Назарбаев Интеллектуальная школа физико – математического направления г. Астана
Учитель: Косова Галина Павловна, учитель математики
Цели и задачи урока: Показать преимущества метода интервалов как универсального метода решения задач с модулями. Обратить внимание на важнейшие свойства модулей, использование которых существенно упрощает решение задач.
Образовательная: Организовать деятельность учащихся по повторению свойств модулей. Рассмотреть приёмы и методы, ускоряющие решение некоторых классов задач с модулями.
Развивающая: Содействовать развитию исследовательских навыков, навыков анализа математической ситуации, умений символьной записи, устного счета, классифицировать многочлены.
Воспитательная: Содействовать развитию инициативности, трудолюбия, стремления к совершенствованию своих знаний.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения урока: лекция, беседа.
Структура урока:
Организация начала урока
Актуализация опорных знаний
Осознание и осмысление учебного материала.
Усвоение новых знаний
Первичная проверка понимания учащимися нового материала
Закрепление новых знаний
Задание на дом
Подведение итогов урока.
Рефлексия
Ход урока:
Тема: Решение уравнений и неравенств с несколькими модулями.
Имеются два основных пути решения уравнений с модулями. Первый путь- это раскрытие модулей в зависимости от знака выражений под модулем. Это универсальный способ, пригодный практически во всех случаях. Нельзя его применить только тогда, когда под модулем стоит настолько сложное выражение, что мы не можем исследовать его знак; например многочлен третьей степени, корни которого мы не можем пока найти.
Второй путь- использование следующего свойства модуля: уравнение имеет решения при и не имеет решений при a
На первом уроке мы с вами отработали применение метода интервалов для построения графиков функций линейных, которые имеют несколько модулей. Этот метод существенно сокращает процедуру раскрытия модулей и делает решение задачи менее перегруженным.
Суть метода интервалов заключается в том, что если у подмодульных выражений найти нули, то между этими нулевыми точками выражения будут знакопостоянны.
Это, в свою очередь, даст возможность на каждом из образовавшихся интервалов раскрыть модули и переписать исходное уравнение ( или неравенство) уже в обычной форме. Решив его, в ответ надо включить только те решения, которые этому промежутку принадлежат.
Удобно решение уравнения (неравенства)непосредственно вести под тем интервалом, в котором раскрывались модули, тем самым как бы постоянно напоминая себе в какой области происходит решение.
Рассмотрим пример: Решить уравнение
Решение: Действуем так же, как при построении графика. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения под модулем обращается в ноль: , . На каждом из полученных интервалов выражения под мордулем имеют один знак, и мы его определим.
Третья система решений не имеет, поскольку решение уравнения, входящего в систему, не удовлетворяет неравенству системы. Ответ: -1; -7.
Рассмотрим второй пример:
Решение: Выражения под модулем обращаются в норль в трёх точках: ,,
И мы получим на числовой прямой четыре интервала.
Первая система имеет решение x=1, решение второй системы все числа интервала (1;2] и в третьей системе ответ x=5. Объединяя решения всех систем, получим множество x.
Проверим графически полученное решение. Для этого рассмотрим график функции (он был построен на первом уроке). Проведём горизонтальную прямую y=4 и найдём точки пересечения. Абсциссы этих точек и будут решениями уравнения.
Ответ:
Y=4
Пример 3.
Решение. Заметим, что выражение лучше сразу переписать в виде . На основании свойства, рассмотренного на первом уроке , ( очевидно это одно и тоже). Итак, решаем уравнение. Находим точки, в которых выраженияпод модулеми обращается в ноль: , .
Первой системе удовлетворяют все точки при
Вторая система имеет решение x= , а третья система не имеет решения, так как содержит неверное неравенство.
Ответ:
Метод интервалов при решении неравенств.
При решении неравенств аналогично работает метод интервалов.
Чтобы не сделать ошибки, не нарушить знакопостоянство на интервалах между нулями, необходимо помнить, что у каждого подмодульного выражения коэффициент при x должен быть положительным. Это сделать легко, если помнить свойство модуля: или
Решить неравенство:
Используем опять метод интервалов. Нули подмодульных выражений: , ,
x
Объединяем все ответы:
На вступительных экзаменах в МГУ, 1995г. был такой пример:
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
Имеет ровно два корня.
Эту задачу, конечно, можно решить впрямую, т.е. при всех значениях а, выбрав в конце все нужные значения параметра.
Но это довольно долго. И опять нас выручит метод интервалов и графическая иллюстрация. Уравнение вида f(x)=a равносильно системе , решение которой, в свою очередь, графически представляет из себя нахождение точек пересечения функции y=f(x) и прямой y=a. Это решение можно получить, если мы чётко понимаем, как выглядит график функции y=f(x).
Перепишем исходное уравнение в виде . В котором переменные «разделены»: слева функция только от x, справа-константа, зависящая от а.
В основе построения этого графика всё тот же метод интервалов, так хорошо уже изученный нами.
Чтобы завершить решение задачи, необходимо мысленно прямую y=2 , параллельную оси абсцисс, и передвигая её вдоль оси ординат, выяснить, при каких значениях 2эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках. Понятно, что это возможно либо когда
, либо когда 2=10.
Ответ: (0;3)
y=2
Важнейшие свойства модулей, использование которых существенно упрощает решение задач
Для начала перечислим основные свойства модулей. Часть из них являются наиболее употребляемыми, вывод их несложен, а удобство значительно, поэтому лучше всего их всегда держать в «оперативной памяти».
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
Если заранее быть готовыми к встрече с ними, скорость решения может существенно возрасти.
Пример №1.
Решить уравнение:
Понятно, что свойство 2 превращает это равенство в тождество, получается 0=0. Остаётся только учесть ограничение Ответ:
Пример №2 Решить неравенство:
Последовательное применение свойств 6 и 5. Сразу же даёт ответ.
Ответ:
Приёмы и методы, ускоряющие процесс решения некоторых задач с модулями
Есть задачи, которые можно и нужно решать быстрее, чем это позволяет метод интервалов ( промежутков).
Первые среди них – это простейшие уравнения и неравенства с одним модулем, решением которых заканчиваются практически каждая более-менее сложная задача. Например, ; ; ; или
Их решения может быть достаточно быстро получено из геометрической интерпретации модуля. Ведь известно, что геометрически модуль представляет собой расстояние между двумя точками.
Например, — есть расстояние между точкой x на координатной прямой и точкой 3 этой прямой. Поэтому для решения достаточно выяснить, где расположены все точки прямой, отстоящие от точки 3 на расстоянии 2. Понятно, что это точки x=1, x=5/.
Точно также для решения неравенства надо определить все точки числовой прямой, расстояние от каждой из которых до точки 3 больше 1.- это множество .
Решая неравенство , ищем точки числовой прямой, расстояние от которых до точки 3 не больше 5, т.е. множество . Что касается неравенства , то его решением, очевидно, является пересечение этих двух множеств.
Удобно всё это изобразить на рисунке:
Более сложные задачи по пройденному материалу
Большое количество «вложенных» друг в друга модулей всегда настораживает. Сложность следующей задачи больше психологическая. Однако правила раскрытия модулей на интервалах исследования спокойно работают, практически не требуя от нас новых приёмов. Единственный совет: если раскрывать «вложенные» модули по этим правилам, то удобнее начинать это делать с внутреннего модуля.
Решить уравнение:
Рассматриваем два случая.
А) x или
или
Б) x
В этом случае
x
Ответ: ;.
Например:
Однако в этой задаче надо заметить, что внешний модуль легко снимается, т.к. под ним стоит положительная функция, а потому неравенство становится уже более-менее «обычным».
3
1
7
-3
Ответ: x(-3;1) (3;7)
Рассмотрим другой пример:
Каких- то упрощений в этой задаче уже не видно. Понятно, что, используя метод интервалов, мы будем вынуждены рассматривать достаточно много случаев, попробуем действовать иначе.
Ответ:x(-
В задачах для самостоятельного решения будет ещё немало примеров, которые, несмотря на внешнюю сложность, решаются изученными нами методами.
Задачи для самостоятельного решения:
1.
2.
3.
4.
5.
Теоретические факты, которые мы разобрали на этом уроке вы найдёте на сайте:
http://uztest.
ru/abstracts/?idabstract=95
Module In Linear Equations With Two Variables
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Решение
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Если у вас нет денег, чтобы платить домашнему репетитору, тогда Алгебратор — это то, что вам нужно, и поверьте мне, он делает все, что репетитор сделал бы, и, возможно, даже больше.
Дэниел Коттон, Невада
Я действительно боролся со старой версией… настолько сильно, что просто отказался от нее.
Эта новая версия выглядит лучше и кажется более удобной для навигации. Думаю будет здорово! Благодарю вас!
Том Сэнди, NE
Я использовал вашу программу для подготовки к экзамену по алгебре. Мне очень нравится пошаговый процесс решения и пояснения.
Ричард Уильямс, Лос-Анджелес
Нет проблем, эта новая программа очень проста в использовании и понимании. Это хорошая программа, я желаю вам всего наилучшего. Спасибо!
Мэри Браун, Северная Дакота
Я работаю учителем математики в старшей школе более шестнадцати лет, и, к счастью, со времен Apple II у меня были компьютеры, которые помогали мне в классе. Но ничто еще не дало результатов и не помогло моим ученикам понять столько сложных уравнений и понятий, как Алгебратор! Вот почему в настоящее время я слежу за тем, чтобы каждая школьная система (даже ноутбуки) работала на ней! По крайней мере, это делает нашу работу намного проще!
Адам Боттс, Флорида
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь.
Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 04.11.2009:
- Калькулятор стандартной формы онлайн
- задания 3 класс чтение 2007 рабочие листы
- «разложить следующие выражения методом общих множителей»
- ПРОЦЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
- обучение алгебре онлайн
- онлайн-рабочих листа + поиск тома
- образец бумаги 7 класса
- решить онлайн частное рациональных выражений
- Однородные непостоянные коэффициенты 2-го порядка
- Калькулятор умножения и упрощения рациональных выражений
- Рабочие листы переменных деления дробей
- три фута на четыре фута равно количеству дюймов Таблица формул GED
- онлайн калькулятор для решения неравенств
- математический лист для комбинаций и перестановок
- прентис холл математика алгебра 1 онлайн книга
- рабочие листы по наибольшему общему делителю
- ответ по алгебре 1
- практика перестановки
- факторные уравнения онлайн
- алгебраизатор
- калькулятор упрощающих подкоренных выражений
- как разложить трехчлен куба на множители
- завершить квадратный калькулятор
- квадратный корень с использованием коэффициентов
- алгебра пицца
- решение задач и пропорции с рациональными выражениями рабочие листы
- как решить ряд по математике
- классная математика для детей. com
- Вычисление квадрата и умножения
- Рабочие листы пересечения уклонов
- проверить приведенное уравнение -3-4(t-5)=2(t+3)+11
- упорядочивание дробей от наибольшего к наименьшему листу
- excel полином 3-го порядка
- практика Пирсона 12-4 ответы алгебра 1 помощь
- Бесплатное домашнее задание по первому курсу дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования
- листа ответов для Макдугала Литтелла
- бесплатные учебные листы по математике для 9-го класса для квадратных корней
- листы деления целых чисел
- Пример мировой задачи на показатели с решением или ответами
- слабое решение уравнения в частных производных первого порядка
- как возвести в квадрат многочлен в знаменателе
- prentice hall сложение экспонент
- математические углы
- учебник по математике для 1 класса (Онтарио)
- математика для чайников
- абсолютные значения и радикалы
- программирование Ti-83 плюс делать sin cos tan
- планы уроков по уравнениям с двумя переменными
- рабочих листа по математике, которые вы можете сделать онлайн
- логарифм домашнее задание ответы
- вычитание в слове
- распечатки по математике практика
- Нахождение общего знаменателя в полиномиальных уравнениях
- Образец вступительного экзамена по математике для 9-го класса
- целая сумма Java
- как решить мнимые числа в ti 84
- Программа решения кубических уравнений TI-83
- математических анкеты для второго года обучения
- Курс математики 1 ответы
- базовая алгебра для четвероклассников
- онлайн-решатель факторинга
- Поиск слов по истории Техаса 7-го класса
- Урок PowerPoint о сложении и вычитании
- Как сделать элементарную алгебру
- калькулятор решения алгебраических выражений бесплатно
- вероятности на ti 83
- написание программ калькулятора факторинга
- «Распределительное свойство алгебры»
- Алгебра Гленко 1 ответы
- бесплатных рабочих листа по математике для ged
- алгебра 2 с pizazz
- Дифференциальные уравнения цепей первого порядка
- алгебра 1 онлайн для чайников
- ПРОСТАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕРЕСОМ + решатель
- решение квадратных уравнений, представляющих собой последовательные целые числа
- f(x) квадратный корень из дроби
- математический в Visual Basic
- google элементарная математика нечетная дробь
- бесплатный калькулятор квадратного корня, где я могу ввести свои ответы в
- Алгебра с ключом ответов Pizzazz
- решение уравнений с несколькими корнями с помощью Excel
- уроки дроби в четвертом классе
- график уравнения лайнера
- как обучать детей технической алгебре
- калькулятор упрощения произведения суммы
- бесплатные оценки для восьмиклассников
- Рабочий лист графика наклона/пересечения
- Алгебра 1/ Тригонометрия регентов
- факторинг трехчленов 9 класс математика
com| Предыдущий | Далее |
Решение систем линейных уравнений.
Математика: основные учебные пособияРешение систем линейных уравнений
В предыдущих модулях вы решали алгебраические уравнения для одной переменной, но что, если у вас более одной переменной? Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных. Чтобы решить линейную систему, нам нужно как минимум столько уравнений, сколько переменных. В этом модуле вы узнаете, как решать системы линейных уравнений с двумя переменными, используя графики и алгебраические методы замены и исключения.
Решение уравнений, включающих одну операцию
Примеры и упражнения
Примеры
Нажмите на заголовки ниже, чтобы просмотреть каждый пример.
Пример 1
Решите следующую линейную систему с помощью графика. 2x плюс y равно минус 8, а x минус y равно минус 1.
Решение:
Строка 1: Измените первое уравнение, чтобы выделить y. 2x плюс y равно минус 8 преобразуется в y равно минус 2x минус 8.
Строка 2: определите наклон и точку пересечения с осью y первого уравнения. Наклон первой строки равен 2, а точка пересечения с осью y имеет отрицательное значение 8.
Строка 3: Измените второе уравнение, чтобы выделить y. x минус y равно минус 1 преобразуется в y равно x плюс 1.
Строка 4: Определите наклон и точку пересечения с осью y второго уравнения. Наклон второй линии равен 1, а точка пересечения по оси Y равна 1,9.
0052
Линия 5: начертите линии, используя наклон и точку пересечения по оси Y, и определите точку пересечения. Первая линия, y равна отрицательному значению 2x минус 8, пересекает ось y в отрицательной точке 8 и имеет подъем 2 и пробег 1. Вторая линия, y равна x плюс 1, пересекает ось y в точке 1 и имеет подъем 1 и серия 1. Две линии пересекаются в точке (минус 3, 2).
Строка 6: Решение линейной системы (минус 3, 2).
Пример 2
Решите следующую линейную систему подстановкой. Отрицательное число x плюс y равно отрицательному значению 5, а 2x минус 5y равно 1.
Строка 1: переформулируйте первое уравнение, чтобы выделить y. Уравнение «минус х плюс у равно минус 5» преобразуется в «у равно минус 5 плюс х».
Строка 2: Подставьте выражение минус 5 плюс x вместо y во второе уравнение. После подстановки 2x минус 5y равно 1 становится 2x минус 5 открытых скобок минус 5 плюс x закрытых скобок равно 1.
Строка 3: Найдите x. Чтобы найти x, используйте распределительное свойство, так что уравнение становится 2x плюс 25 минус 5x равно 1. Соберите одинаковые члены и переставьте уравнение так, чтобы отрицательное значение 3 x равнялось отрицательному значению 24. Разделите обе части на отрицательное 3, чтобы получить x равное 8.
Строка 4: Теперь подставьте x равно в первое уравнение, чтобы найти y. После подстановки первое уравнение, минус x плюс y равно минус 5, становится минус 8 плюс y равно минус 5.
Строка 5: Найдите y. у равно 3,
Строка 6: Решение для линейной системы — открытые скобки 8, 3 закрытые скобки.
Строка 7. Проверьте свое решение, подставив в первое уравнение открытые скобки 8 и 3 закрывающие скобки. Отрицательное 8 плюс 3 равно отрицательному 5. Отрицательное 5 равно отрицательному 5, так что это верное утверждение.
Строка 8: Проверьте свое решение, подставив во второе уравнение открытые скобки 8 и 3 закрывающие скобки. 2 умножить на 8 минус 5 умножить на 3 равно 1. 1 равно 1, так что это верное утверждение.
Строка 9: Решение делает оба уравнения верными, поэтому оно правильное.
Пример 3
Решите следующую линейную систему методом исключения. 3x плюс 5y равно минус 11, а x минус 2y равно 11.
Решение:
Строка 1: Умножьте второе уравнение на минус 3, чтобы числовые коэффициенты перед x были одинаковыми в обоих уравнениях, но имели противоположные знаки. -3 умножить на открытые скобки x минус 2y закрытие скобок равно -3 умножить на открытие скобок 11 закрытых скобок становятся отрицательными 3x плюс 6y равно отрицательным 33.
Строка 2: Используя первое уравнение и только что созданное уравнение, сложите уравнения, чтобы исключить x срок. 3x плюс 5y равно минусу 11, добавленному к минусу 3x плюс 6y равно минусу 33 становится 11y равно минусу 44.
Строка 3: Найдите у. y равно минус 4.
Строка 4: Теперь подставьте y равно минус 4 в одно из исходных уравнений, чтобы найти x. После подстановки уравнение 1 становится равным x минус 2, умноженное на минус 4, равно 11.
Строка 5: Найдите x. х плюс 8 равно 11, поэтому х равно 3.
Строка 6: Решение этой системы линейных уравнений: открытые скобки 3, отрицательные 4 закрытые скобки
Строка 7: Проверьте свое решение, подставив открытые скобки 3, отрицательные 4 закрытые скобки в первое уравнение. 3 умножить на 3 плюс 5 умножить на минус 4 равно минус одиннадцать. Отрицательное 11 равно отрицательному 11, так что это верное утверждение.
Строка 8: Проверьте свое решение, подставив во второе уравнение 3 открывающих скобки и 4 минус 4 закрывающих скобки.
3 минус 2, умноженное на минус 4, равно 11. 11 равно 11, так что это верное утверждение.
Строка 9: Решение делает оба уравнения верными, поэтому оно правильное.
Задание
Попробуйте это задание, чтобы проверить свои навыки. Если у вас возникли проблемы, обратитесь за помощью к информации в модуле.
Сводка и рабочий лист
Атрибуция
Примеры Источник: «College Algebra — открывается в новом окне» Джея Абрамсона под лицензией CC BY 4.0 — открывается в новом окне / производная от оригинальной работы — открывается в новом окне
- << Предыдущая : Преобразование формул
- Далее: Полиномы >>
О нас и условия использования | Карта сайта | Свяжитесь с нами
Примечание. Этот материал предназначен в качестве общего руководства, если инструкции вашего преподавателя отличаются от предоставленной нами информации, всегда следуйте инструкциям вашего преподавателя.