Число разделить на комплексное число: Деление комплексных чисел | Математика

Лекция Андрея Новикова о том, как делить на ноль — Реальное время

Общество

07:00, 06.11.2017 Сюжет: Открытый лекторий

Ученый КФУ о том, почему математика может все

Нельзя делить на ноль, нельзя извлекать корень из отрицательных чисел. Эти и многие другие «нельзя» математики установили сами. И они же находят варианты, когда эти ограничения не работают. Кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа Института математики и механики КФУ Андрей Новиков рассказывает, почему для математики практически нет ограничений и что произойдет с военным крейсером, если его программа поделит число на ноль. Интернет-газета «Реальное время» продолжает публикации лекций в рамках проекта «Открытый лекторий».

От нуля до бесконечности один шаг

В мире существует много ограничений, например, нельзя делить на ноль, нельзя вычислять корень из отрицательных чисел, нельзя качаться на стульях, нельзя играть со спичками. Многие эти факты принимаются как есть. Но почему нельзя делить на ноль и что делать, когда нельзя, но очень хочется?

— Все знают, что на ноль делить нельзя, потому что непонятно, что в итоге должно получиться. Правда ли, что нельзя? Говорят, можно, если осторожно. Математика — старая наука, и она придумала множество уловок, как обойти это ограничение, — начал лекцию ученый. — Деление — это количество действий, которые совершаются до тех пор, пока от изначального числа ничего не остается. Вам придется вычитать бесконечное число раз, так что деление на ноль дает бесконечность.

Что же происходит, если делить на ноль неосторожно? На слайде ученый демонстрирует пример, когда неосторожное деление на ноль привело к неожиданным последствиям.

— Здесь изображен ракетный крейсер Yorktown ВВС США. На нем программа поделила число на ноль, из-за чего его силовая установка отключилась. Совсем. Это называется «инцидент на Йорктауне»*.

Крейсер USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США. Фото navysite.de

Когда возникают такие ситуации, надо знать, что делать.

— Давайте посмотрим, как в такой ситуации себя ведет математика (см. 3.17 мин.). Для этого поговорим о том, что такое числа. Числа принято изображать в виде прямой. С прямой можно сопоставить окружность. На рисунке из точки N, которая обозначает Северный полюс, проведен отрезок к точке Р. Если мы будем переводить точку P в точку Р’, то это отображение переведет окружность в прямую, — рассказал Андрей Новиков.

Такую операцию можно провести с любой точкой, кроме точки N. Если провести прямую через нее, то получится параллельная прямая, и она будет соответствовать бесконечности. Операция «один делить на число» переворачивает окружность. Поэтому если 1 поделить на ноль, то получится бесконечность, а если 1 поделить на бесконечность, то получится ноль. Это уловка, интерпретация, но именно так это работает, уточнил ученый.

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

Всем известно со школы, что и корень из отрицательного числа вычислять нельзя (см. 5.15 мин).

— Правда ли это? На самом деле нет. Оно может быть любым, любым комплексным числом, — рассказывает лектор.

Это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.

— В первую очередь мы вводим специальное число I, которое в квадрате будет давать –1 и интерпретируем комплексные числа, как пару вещественных чисел (это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел, — прим. ред.). Одно из них отвечает за вещественную часть, другое — за мнимую. Есть еще одна интерпретация этих чисел с помощью тригонометрии. Она позволяет вычислить корень из отрицательных и любых комплексных чисел. Извлечение корня приведет к извлечению корня из модуля и уменьшению угла в два раза, — объясняет ученый.

На рисунке (см. 6.20 мин.) изображен перевод сферы, кроме одной точки в плоскость. Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, — точки бесконечности. Делить можно на любые комплексные числа и опять получать бесконечность. Отображение плоскости в сферу называется стереографической проекцией.

В презентации ученый показывает, что будет, если глобус перевести в стереографическую проекцию (см. 7.37 мин.).

Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, точки бесконечности

Сегодня в математике возможно все

Напоследок ученый «прошелся» еще под одной «аксиоме», которая известна всем, имеющим отношение к математике.

— Те, кто сдает математику, в курсе, что извлекать логарифм из отрицательного числа тоже нельзя. Можно. Только в этом случае опять получатся комплексные числа. Здесь представлены две формулы, которые все описывают.

На слайде на 8.35 минуте ученый демонстрирует как выглядит извлечение логарифма из отрицательного числа.

— Все ли это, на чем снимаются ограничения? Нет, не все. Математика так часто развивается: сначала определяются условия для произведения действий, например, брать производные, интегрировать, а потом эти условия оспариваются и ослабляются, — объясняет Андрей Новиков.

Как еще один пример — математическое допущение, что дифференцированная функция непрерывна. Нет, оказывается, можно дифференцировать разрывные функции (см. 9.46 мин.).

— А можно еще складывать расходящиеся ряды. Это не очень просто, но если сложить числа 1, –1, 1, –1, 1, –1 и т. д., то получится ½, а если начать с –1, то получится –½. Математика может все, — говорит лектор.

В математике много смешного. Например, можно просуммировать все натуральные числа и получить –1/12.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ = –1/12

— Суммируем положительные, получаем отрицательные так бывает. Но для этого нужно изучать такую вещь, как Дзета-функция Римана, — говорит лектор.

В математике многие арифметические действия можно производить по-разному. Можно определить, что что-то мы делаем одним способом, понять, что этим способом сделать нельзя и делать другим. На этом базируется наука, математика развивается. Математика может все, кроме того, что она определила как невозможное.

Записала Екатерина Гумарова

Справка

*21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего прекратила работу двигательная установка корабля. На Yorktown были установлены 27 компьютеров Pentium-Pro на 200 МГц, которые позволяли автоматизировать управление кораблем без участия человека.

На компьютеры крейсера установили новую программу для управления главным двигателем. Один из инженеров, занимавшийся калибровкой топливных клапанов занес в расчетную ячейку программы нулевое значение. 21 сентября программа произвела деление на этот самый ноль. Произошел сбой в софте компьютера, который по цепной реакции перекинулся на другие системы управления. В результате экипажу потребовалось более трех часов, чтобы подключить аварийную систему управления.

ОбществоОбразование

Комплексное число

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар.

 Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z² + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел  , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z² + 1.

Операции над комплексными числами. Сложение комплексных чисел

Сумма двух комплексных числел   и   есть также комплексное число  :

.

(17)

Как следует из выражения (17) при сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются.

На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3).

Рисунок 3: Сложение комплексных чисел

Операции над комплексными числами. Вычитание комплексных чисел

Разность двух комплексных числел  и   есть также комплексное число  :

.

(18)

Как следует из выражения (18) при вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются.

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 4). На первом шаге из вектора   формиуется вектор   после чего вектор   складывается с вектором   по правилу параллелограмма.

Рисунок 4: Вычитание комплексных чисел

5)

УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. 2.

Операции над комплексными числами. Умножение комплексных чисел

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(19)

Таким образом получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще если привести их по формуле Эйлера к показательной форме:

.

(20)

При перемножении в показательной форме модули комплексных числел перемножаются а фазы складываются. На векторной диаграмме это можно представить следующим образом (рисунок 5):

Рисунок 5: Умножение комплексных чисел

При перемножении результирующий вектор поворачивается и его длина изменяется.

Исходя из выражения (15), умножение комплексного числа на чисто мнимое число приводит к повороту вектора на 90 градусов против часовой стрелки (к фазе   прибавляется 90 градусов). При этом из выражения (16) следует что умножение комплексного числа на -1 приводит повороту фазы на угол 180 градусов (вектор отражается относительно 0). Это очень важное замечание, так как емкости и индуктивности имеют чисто мнимые споротивления и служат для поворота вектора комплесного сигнала, в то же время поворот фазы на 180 градусов позволяет сформировать фазоманипулированные сигналы.

Операции над комплексными числами. Деление комплексных чисел

Последняя операция которую осталось рассмотреть — операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:

(23)

Таким образом при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо чтобы . Получим формулу для деления комплексных чисел в явной форме. Пусть

(24)

умножим и числитель и знаменатель дроби на число комплексно-сопряженное знаменателя:

.

(25)

Исходя из (22) в знаменателе дроби получим квадрат модуля знаменателя а числитель перемножим по правилу умножения комплексных чисел:

.

(26)

Поделив почленно реальную и мнимую часть числителя на знаменатель получим:

.

(27)

Выражение (27) — формула деления комплексных чисел в явной форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в явном виде, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.

Что значит разделить комплексное число на другое комплексное число?

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Предположим, у меня есть: $w=2+3i$ и $x=1+2i$. +, \theta \in [0, 2 \pi) $$ Где $r$ — величина, $\theta$ — угол.

При умножении легко: $$ z w = (r_z r_w) \угол (\theta _z + \theta _w) $$ Вы складываете углы и умножаете величины.

При делении вы делаете то, что естественно: $$ \frac z w = \left(\! \frac{r_z}{r_w} \!\right) \angle (\theta _z — \theta _w) $$ Разделить — значит найти разность углов и множитель по величине.

$\endgroup$

$\begingroup$

Когда вы делите $a$ на $b$, вы спрашиваете: «На что мне умножить $b$, чтобы получить $a$?».

Умножение двух комплексных чисел приводит к умножению их модулей и сложению их фаз:

Таким образом, когда вы делите комплекс $a$ на комплекс $b$, вы спрашиваете: «Сколько мне нужно масштабировать $b$ и вращать $b$, чтобы получить $a$? Пожалуйста, дайте мне комплексное число с величиной, эквивалентной тому, насколько я должен масштабироваться, и фазой, эквивалентной тому, насколько я должен вращаться. «.

Пример

Рассмотрим $\frac{1 + i}{1 — i}$. Насколько нам нужно масштабировать и вращать $1-i$, чтобы сделать его таким же, как $1+i$?

На комплексной плоскости видно, что $1-i$ имеет угол поворота 45 градусов по часовой стрелке и величину $\sqrt{2}$. $1+i$, с другой стороны, имеет 45-градусный поворот на против по часовой стрелке и ту же величину $\sqrt{2}$.

Поскольку величины одинаковы, нам не нужно масштабирование. Величина нашего результата будет равна 1.

Чтобы повернуться с 45 градусов по часовой стрелке на 45 градусов против часовой стрелки, мы должны повернуться на 90 градусов против часовой стрелки. Таким образом, наш результат будет иметь фазу 90 градусов против часовой стрелки (то есть вверх по воображаемой оси Y).

Переместите расстояние на 1 вверх по воображаемой оси Y, и вы получите ответ… $\frac{1 + i}{1 — i} = i$. Мы можем убедиться в этом, выполнив умножение: $(1-i) \cdot i = i+1$.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Это значит найти другое комплексное число $y$ такое, что $xy=w$. (Точно так же, как и для действительных чисел.)

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Поскольку умножение можно красиво представить как вращение в комплексной плоскости, вам может быть полезно думать о делении как о форме умножения: $$\frac{2+3i}{1+2i} = \frac{2+3i}{1+2i}\cdot \frac{1-2i}{1-2i} = -\frac{1}{3 }\cdot(2+3i)(1-2i)$$ Итак, вместо того, чтобы думать о делении, вы можете думать о нем как об умножении на сопряженное. 9{i(\theta_1 — \theta_2)}$

$\endgroup$

$\begingroup$

Есть несколько способов описать эту связь;

Поскольку вы попросили дать геометрическое представление, форма вектора должна быть более понятной.

Разделить два комплексных числа означает взять комплексное число, модуль которого равен делению амплитуд комплексных чисел $X$ и $Y$, а фаза нового сгенерированного комплексного числа фактически представляет собой разность фаза между ними. 92$.

$\endgroup$

Разделительные комплексные номера с конъюгатом

BY: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлены: 03-26-2016

Линейная алгебра для Dummies

. ) может складывать, вычитать и умножать комплексные числа. Технически вы не можете делить комплексные числа — в традиционном смысле. Вы делите комплексные числа, записывая задачу деления в виде дроби, а затем умножая числитель и знаменатель на сопряженное.

Сопряжение комплексного числа a + bi равно a – bi .

Произведение ( a + bi )( a – bi ) равно a ² + b ² . Как это происходит? Где и ?

Посмотрите на шаги умножения: ( a + bi )( a – bi ) = a ² – abi + abi – b ² i ² = a ² – b ² (–1) = a ² + b ² , которое является действительным числом без комплексной части. Поэтому, когда вам нужно разделить одно комплексное число на другое, вы умножаете числитель и знаменатель задачи на сопряженное знаменателю.

Этот шаг создает действительное число в знаменателе ответа, что позволяет записать ответ в стандартной форме комплексного числа.

Пример вопроса

1. Разделите 10 + 5 и на 4 – 3 и .

   1 + 2 и . Выразите деление в виде дроби. Умножьте числитель и знаменатель дроби на 4 + 3 i . Вы получаете

   Записав ответ в стандартной форме, вы получите 1 + 2 i .

Практические вопросы

1. Разделить 40 – 20 i на 3 + i .

2. Разделить 5 + 10 i на 2 – i .

3. Разделите 20 – 10 i на –3 + 4 i .

4. Разделить 20 i на 2 + 6 i .

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

1. Ответ: 10 – 10 i .

   Запишите задачу в виде дроби. Затем умножьте и числитель, и знаменатель на сопряженное число знаменателя, 3–9.0137 и . Упростите и напишите окончательный ответ в форме a + bi :

2. Ответ: 5 i .

   Запишите задачу в виде дроби. Затем умножьте числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю 2 + i . Упростите и напишите окончательный ответ в форме a + bi :

3. Ответ: –4 – 2 i .

   No related posts.