Число сочетаний из 2 по 2: Онлайн калькулятор. Вычисление числа сочетаний из n по k элементов

Свойства числа сочетаний

Из формулы (1) для числа сочетаний вытекает 2 свойства числа сочетаний:

1. =

2. +

Из формулы (1) с учетом того, что 0! = 1 вытекает, что = .

С учетом сделанного замечания, второе свойство позволяет вычислять число сочетаний с помощью треугольника Паскаля.

Число сочетаний также называется биноминальным коэффициентом.

Рассмотрим формулы, позволяющие возводить в степень (a+b):

Сравнивая коэффициенты в правых частях с треугольником Паскаля, замечаем, что коэффициенты правых частей совпадают с соответствующими числами треугольника Паскаля.

С помощью метода математической индукции можно доказать формулу:

(2)

Соотношение (2) называется биномом Ньютона; откуда вытекает второе название числа сочетаний – биноминальный коэффициент.

Определение: Преобразование перестановки, которое меняет местами какие-либо два символа, а все остальные символы оставляет на своих местах называется транспозицией.

Определение: Два числа i , j образуют в перестановке инверсию, если i > j , и i стоит в перестановке раньше j.

Пример:

Подсчитать число инверсий в перестановке 32145.

1-ца образует две инверсии, 2-ка образует одну инверсию.

2 + 1 + 0 + 0 + 0 = 3 инверсии.

Сделаем в нашей перестановке транспозицию (поменяем местами 1 и 5). Посчитаем число инверсий.

3 2 5 4 1

4 + 1 + 0 + 1 + 0 = 6 инверсий

Определение: Перестановка называется четной, если число инверсий в ней определено четным числом, нечетная в обратном случае.

Теорема: Каждая транспозиция меняет четность в перестановке.

Определение: Всякое взаимнооднозначное отображения первых n – натуральных чисел на себя называется подстановкой n – го порядка.

Каждую подстановку n – го порядка можно записать с помощью 2 -х перестановок.

В такой записи подчеркивается что три переходит в четыре 3-4, 2-3, 1-2, 4-5, 5-1.Одну и ту же подстановку можно записать различными способами :

1)поменяв в подстановке какие-либо столбцы

При такой записи видим, что число различных подстановок определяется нижней строкой, т.е. числом различных перестановок, следовательно число различных подстановок n-го порядка равного n!.

Подстановка называется четной, если сумма числа инверсий обоих ее перестановок является четным числом и нечетной в противном случае. Отметим , что выполнив в подстановке транспозицию столбцов не изменяим ее четности.

Определитель 2 и 3 порядка вычисляется по следующим формулам.

Для того чтобы обобщить понятия определителей 2 и 3 – го порядка на случай определителя n – го порядка рассмотрим вспомогательную задачу .

Пример:

Сколькими способами на шахматной доске можно расставить ладьи , чтобы они не били друг друга.

1
2
3
4
5
6
7
8
0	1	2	3	4	5	6	7	8

Замечаем что каждому расположению ладей на шахматной доске соответствовать подстановке 8-го порядка.

Число различных подстановок 8-го порядка. Число различных перестановок 8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320. Рассмотрим шахмотную доску 2*2:

1) 2)

II				II
	II		II

1) 1 2 2) 1 2

1 2 2 1

Две ладьи можно расположить двумя способами:

-в первом случае перестановка чётная 1 инверсия.

-во втором не чётная. Заметим, что расположение ладей соответствует образованию слагаемых в определителе второго порядка. Если чётная подстановка, то берётся «+», если не чётная, то «-».

Рассмотрим теперь шахматную доску размера 3*3. Три ладьи можно расположить 6-и способами.

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

Видим, что каждому расположению ладей, соответствует расположение множителей в слагаемых определителя 3-го порядка.

Определителю n-порядка соответствует квадратная матрица А называется число равное сумме n! слагаемых, каждое из которых определяется подстановкой n-ой степени,

причём слагаемое берётся со знаком «+» если подстановка

чётная,и со знаком «-» если не чётная.

Определитель n-го порядка принято записывать =detA=

-число инверсий в подстановке

Свойства определителя.

Определение: При образовании матрицы, при которой её строки становятся столбцами,с теми же номерами,называется транспонированием матрицы.

Транспонируем матрицу А:

Свойство1: Определитель не меняется при транспонировании.

Доказательство: Пусть слагаемые входят в состав определителя А.Это же слагаемое будет входить в состав определителя ,в определителе А знак слагаемого определяется подстановкой ,а в определителе -подстановкой . Видим, что обе подстановки обладают одинаковым числом инверсий, следовательно, определители матрицы и матрицы состоят из одних и тех же слагаемых, взятых с одинаковыми знаками.

Из первого свойства вытекает, что всякое утверждение о строках определителя годится и для его столбцов.

Свойство2: Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

Доказательство: в каждом слагаемом определителя будет присутствовать множитель из нулевой строки, следовательно, все слагаемые равны нулю, и определитель равен нулю.

Свойство3: Если в определители поменять местами две строки, то определитель сменит знак.

Доказательство: пусть в определителе n-го порядка, меняются местами i и j строки. Слагаемые исходного определителя вида (4) имеет знак определяемый подстановкой (4), , поменяв местами i и j строки получим тоже слагаемое, знак которого будет определяться подстановкой , видим, что выполненные подстановки имеют противоположенную чётность, следовательно, заменив местами i и j строки, сменим знаки у всех слагаемых, в результате чего определитель сменит знак.

Свойство4: Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.

Доказательство: пусть определитель равен d, поменяв местами одинаковые строки,получим определитель —d, так как меняем одинаковые строки, то на самом деле определитель не должен измениться d=-d 2d=0 d=0.

Свойство5: Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число k, то сам определитель умножится на число k.

Доказательство: пусть на k умножатся все элементы i-ой строки, так как в каждом слагаемом присутствует множитель из i-ой строки, то при умножении i-ой строки на число k, то каждое слагаемое приобретёт множитель k следовательно весь определитель умножится на k.

Свойство6: Если в определители нет пропорциональной строки, то определитель равен нулю

.

Доказательство: доказательство вытекает из 5 и 4 свойств определителя.

Свойство7: Если в определители элементы i-ой строки представляют собой сумму двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей, все элементы которых кроме элементов i-ой строки такие элементы , как и в исходном определителе, а элементы i-строки в первом определителе состоят из 1-ых слагаемых, а во втором определителе из вторых слагаемых

(1)

Доказательство: Рассмотрим произвольное слагаемое определителя

Используя представление (1), выписанное слагаемое, можем записать в виде:

Воспользовавшись дистрибьютивностью,

получим слагаемые:

Применив эту операцию к каждому слагаемому определителя и ,сгруппировав отдельно 1 и 2-ое слагаемое, получим сумму двух определителей, указанных в свойствах.

Свойство8: Если одна из строк определителя равна линейной комбинации остальных строк, то определитель равен 0.

Доказательство выражается из 7 и 6 свойств.

Свойство9: Определитель не изменится, если к элементам его строки прибавить соответствующие элементы его другой строки, умноженное на некоторое число.

Доказательство выражается из 7 и 8 свойств.

Определение: Минором k-того порядка называется определитель k-того порядка, получаемый из определителя порядка n(n>k) вычеркиваем (n-k) строк и (n-k) столбцов.

Определение: Дополнительным минором к заданному минору k-того порядка называется определитель порядка (n-k), получаемый из определителя порядка n, вычеркиваем k-строк и k-столбцов, в которых расположен исходный минор.

Пусть M некоторый минор k-того порядка, M`-его дополнительный минор.

Определение: Алгебраическим дополнением к минору M называется A=(-1)^SM`(выражение), где S- сумма номеров строк и номеров столбцов, в которых расположен минор M.

Пример: рассмотрим определитель 7-го порядка.

Выписываем минор 3-го порядка, расположенной во 2,5,7 строке и в 1,4,6 столбце.

Теорема: Произведение минора М на его алгебраическое дополнения состоит из слагаемых, которые являются слагаемыми в исходном определителе n-го порядка с теми же самыми знаками.

2.2. Сочетания | Электронная библиотека

Естественные науки / Дискретная математика / 2.2. Сочетания

Сочетанием  элементов множества X называется подмножество конечного множества A Í X. Если |A| = k,  |X| = n, то подмножество X называется сочетанием из n по k. Например, сочетания трех цветов семицветной радуги будут описываться подмножествами, состоящими из трех элементов выбранных из множества, состоящего из 7 элементов.

Треугольник Паскаля и бином Ньютона

Для вычисления числа сочетаний построим таблицу, которая называется треугольником Паскаля. Она основана на следующей теореме:

Теорема 1

Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:

;                       (при 0 < k < n).

Доказательство

Число пустых подмножеств равно 1. Стало быть, . Подмножества, состоящие из n элементов, совпадают со всем множеством, отсюда . Число сочетаний, не содержащих n-й элемент, равно , а число сочетаний, содержащих n-й элемент, равно . Следовательно, при 0 < k < n:

Таблица 2.1 строится на основе теоремы 1 и называется треугольником Паскаля.

Таблица 2.1 Треугольник Паскаля

n k	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6

Теорема 2

Число сочетаний из n по k равно:

.

Доказательство

Применим метод индукции по n. При n = 0 и k = 0 получаем:

.

Пусть теорема верна для n. С помощью теоремы 1 получаем:

Откуда формула верна для n + 1 и всех k < n + 1.

Другой способ доказательства заключается в сопоставлении каждой инъекции ее образа. В этом случае, учитывая, что число инъекций с одинаковым образом равно k!, получаем:

 Þ 

Теорема 3

  (бином Ньютона).

Доказательство

Применим метод индукции по n. Пусть формула верна для n. Тогда

Можно предложить также другое доказательство. Рассмотрим произведение n сомножителей:

(1 + x) (1 + x) … (1 + x).

Сомножители будем рассматривать как ящики. Произведение равно сумме степеней x^k, причем при каждом k слагаемые x^k получаются выбором из ящиков k элементов, равных x.

Отсюда коэффициент при x^k  будет равен количеству содержащих k элементов подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Применение сочетаний

Сочетание можно интерпретировать как размещение без повторений неразличимых предметов в ящиках.

Пример 1

Найдем вероятность угадать 7 номеров из 49 (игра спортлото). Количество вариантов равно числу сочетаний  из 49 элементов по 7. Существует единственный благоприятный вариант. Отсюда вероятность равна:

.

Теорема 4

Число возрастающих функций  f: {1, 2,…, k} ® {1,2, …, n} равно .

Доказательство

Каждой возрастающей функции сопоставим ее образ:

{f(1),  f(2), …, f(k)} Í {1,2, …, n}.

Получим биекцию между возрастающими функциями и подмножествами множества {1, …, n}, состоящими из k элементов. Согласно определению сочетания, число таких подмножеств равно числу сочетаний .

Замечание

Возрастающая функция задается возрастающей последовательностью k чисел. Отсюда число возрастающих последовательностей x₁ < …<x_k  чисел, принадлежащих множеству {1, 2, …, n}, будет равно .

Теорема 5

Число последовательностей натуральных чисел (x₁, x₂, …, x_k),  x_i³1, удовлетворяющих уравнению

x₁ +  x₂  + …  + x_k = n,

равно .

Доказательство

Каждой последовательности (x₁, x₂, …, x_k), удовлетворяющей данному уравнению, сопоставим возрастающую последовательность:

y₁ = x_1, y₂ = x₁ + x₂, …,  y_k-1 = x₁ + x₂ +…+ x_k-1.

Наоборот, каждой возрастающей последовательности y₁ < …< y_k-1 < n можно сопоставить решение данного уравнения, состоящее из чисел:

x₁ = y₁, x₂ = y_{2 –} y₁, …, x_k-1 = y_{k-1 –} y_k-2, x_k= n – y_k—1.

Получаем биекцию между решениями данного уравнения и возрастающими последовательностями, состоящими из k-1 чисел, принимающих значения 1, 2, …, n – 1. По теореме 4 число таких возрастающих последовательностей равно .

Теорема 6

Число неубывающих сюръекций {0,1, …, n^–1} ® {0, 1, …, k – 1} равно .

Доказательство

Каждая сюръекция задает разбиение множества  {0, 1, …, k – 1} на подмножества f ^-1(0), f ^-1(1), …, f ^─1(n  – 1). Пусть  m₀ – наибольший в  f ^-1(0),  m₁ – наибольший в  f ^-1(1), … , m_n-2 –  наибольший в  f^-1(n^{– 2)}. Тогда   m_n-1 = k  – 1.  Следовательно,

0 ≤ m₀ < m₁ < … <  m_n-2  ≤ k – 2.

Число таких последовательностей равно   –  количеству возрастающих функций n – 1 ® k – 1.

Пример 2

Число неубывающих сюръекций n ® 1 равно .

Число неубывающих сюръекций 3 ® 2 равно .

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторением из множества {e_1,e_2, …, e_n} называется линейная комбинация  x₁e₁  + x₂e₂  + …+x_ne_n, состоящая из x₁  элементов e₁, из x₂   элементов e₂,… из x_n   элементов e_n, где x_i   ≥ 0 – неотрицательные целые числа. Если  x₁  + ×…+x_n = k, то оно называется сочетанием с повторениями из n по k.

Пусть, например, имеется 3 цвета: красный, зеленый, синий. Интенсивности этих цветов равны. Сколько смесей суммарной интенсивности 10 можно получить, смешивая  x₁   красных, x₂  зеленых и x₃  синих цвета?

Лемма 1

Пусть   – число сочетаний с повторениями из n по k. Тогда  равно числу неубывающих функций:

{1,2, …, n-1} ® {0,1,2, …, n}.

Доказательство

Рис. 2.2.  Решение уравнения x₁ + ××× +x_n = k

Каждому решению  x₁  + …+x_n = k соответствует неубывающая последовательность:

y₁ ≤ y₂ ≤  …_≤ y_n-1,

где y₁ = x₁, y₂ = y₁+x₂, …, y_n-1 = y_n-2 + x_n-1.

Теорема 7

.

Доказательство

Рассмотрим график неубывающей функции (рис. 2.3). График задается последовательностью из 0 и 1

0 0 1 1 0 0 … 0 1 0 0 … 1 1 … 1,

состоящей из n – 1 + k разрядов, имеющих k единиц.

Рис. 2.3. График неубывающей  функции

Следствие 1

Число сочетаний с повторениями  равно числу неубывающих функций:

{1,2, …, k} ® {1,2, …, n}.

Доказательство

Первый способ: транспонировать графики. Если график (см. рис.2.3) отразить относительно прямой y = x, то получим график функции {1,2, …, k} ® {1,2, …, n}. Это доказывает утверждение следствия.

Второй способ: число неубывающих функций {1,2, …, k} ® {1,2, …, n} равно:

= =.

Получаем следующую таблицу 2.2, содержащую числа конфигураций

Таблица 2.2 Число конфигураций

	функций m®n	неубывающих функций m®n
Всех	nm
Инъективных
Сюръективных	?
Биективных	n!, если m = n, иначе 0	1, если m = n, иначе 0

В таблице 2. 2  m = {0,1, …, m – 1}. Например, число неубывающих сюръективных отображений  {0,1, …, m-1} ® {0,1, …, n – 1} равно .

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов набора. С/без повторения, с/без порядка.

Расчет:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​  n=10 k=4 C4​(10)=(410​)=4!(10 −4)!10!​=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210

Количество комбинаций: 210

Вариантов

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, образованная из множества n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (поэтому расположены).

Количество вариаций можно легко подсчитать, используя комбинаторное правило произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1,2,3,4,5, и мы должны сделать вариации третьего класса, их V ₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60. Vk​(n)=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=(n−k)!n!​ н! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначение с факториалом только более ясное и эквивалентное. Для вычислений вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом вариации n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе. P(n)=n(n−1)(n−2)…1=n! Типичный пример: у нас есть 4 книги, и сколькими способами мы можем расположить их рядом на полке?

Вариации с повторением

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, состоящая из множества n элементов, причем элементы могут повторяться и зависят от их порядка. Типичным примером является образование чисел из чисел 2,3,4,5 и нахождение их количества. Рассчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения: Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n…n=nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка представляет собой упорядоченную группу k-элементов из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок. Pk1​k2​k3​…km​′​​(n)=k1​!k2​!k3​!…km​!n!​ Типичный пример — узнать, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу k-элементов, образованную из множества n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов группы не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами. Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом: Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​ Типичный пример комбинаций: у нас 15 учеников, и мы должны выбрать троих. Сколько их будет?

Комбинации с повтором

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их счет: Ck′(n)=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​ Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству расположений n − 1 разделителей на n-1 + k местах. Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 шоколадок. Предлагают всего 3 вида. Сколько вариантов у нас есть? к = 6, п = 3.

Основы комбинаторики в задачах со словами

• Вычисление CN
  Вычислить: (789 выбрать 786) — (789 выбрать 3)
• Карты
  Игрок получает восемь карт из 32. Какова вероятность того, что он получит а) все четыре туза б) хотя бы один туз
• Вероятность 80856
  Вероятность появления определенного явления одинакова во всех испытаниях и равна 0,7. Попытки повторяются до тех пор, пока это явление не произойдет. Какова вероятность того, что нам придется сделать пятое испытание?
• Вероятности
  Если вероятности A, B и A ∩ B равны P (A) = 0,62, P (B) = 0,78 и P (A ∩ B) = 0,26, вычислить следующую вероятность (объединения. пересечь и противоположная и их комбинации):
• Пересечение) 1566
  В скольких точках пересекаются девять прямых на плоскости, из которых четыре параллельны, а из остальных пяти никакие две не параллельны (а если предположить, что проходят только две прямые через каждый перекресток)?
• Выбор меню
  В Jollibee у вас есть выбор меню C1, C2 и C3. На десерт у вас есть выбор мороженого и персика манго. Сколько различных вариантов у вас есть?
• Первый класс
  В посылке 40 шт. 36 первоклассных, а четыре бракованных. Сколькими способами можно выбрать пять изделий так, чтобы среди них было не более одного бракованного?
• Четырехзначное число 79614
  Определите количество всех четырехзначных натуральных чисел в десятичной системе счисления, в которых отсутствует цифра 0, а каждое из оставшихся девяти чисел встречается не более одного раза.
• Шестерка на костях
  Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет хотя бы одна шестерка?
• Игра в кости
  Мы бросили десять раз, играя в кости. Какова вероятность того, что шестерка выпадет ровно четыре раза?
• Четырехзначное число 65124
  Узнай, сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3 и 8 так, чтобы в каждом полученном четырехзначном числе использовалась двузначная тройка и двузначная восьмерка.
• Вероятность 71784
  Какова вероятность того, что если дважды бросить кубик, выпадет сумма 12?
• Вероятность 69714
  Фабрика производит 35% плитки на линии А, которая дает брак с вероятностью 0,02, и 65% на линии В, где вероятность брака равна 0,03. Какова вероятность того, что выбранная плитка будет бракованной?
• Нумерация страниц
  В книге 88 страниц. Сколько раз цифра 4 используется для нумерации книг?
• Третий класс 8334
  Если к множеству А добавить один элемент, то количество вариантов третьего класса увеличится в два раза. Сколько элементов изначально содержалось в наборе?
• Игрушки
  3 ребенка вытащили из коробки 6 разных игрушек. Сколькими способами можно разделить игрушки, чтобы у каждого ребенка была хотя бы одна игрушка?

more math problems »

• decimals
• fractions
• triangle ΔABC
• percentage %
• permille ‰
• prime factors
• complex numbers
• LCM
• GCD
• LCD
• combinatorics
• equations
• статистика
• … все математические калькуляторы

вероятность — как найти количество комбинаций, в которых есть хотя бы 2 одинаковых числа в эксперименте с 4 людьми, каждый из которых бросает справедливую кость

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 4 месяца назад

Изменено 5 лет, 4 месяца назад 94$. Получение одного и того же числа как минимум от двух человек противоположно получению числа, похожего на другое, которое можно найти с помощью $6P4$. В итоге итоговое решение 1-360/1296$ = 13/18$.

Однако я придумал способ получить другие комбинации «$1296-360=936$», в которых хотя бы 2 числа совпадают. Я попробовал $6(4C2)+6(4C3)+6(4C4)$, основываясь на том, что получение двух одинаковых чисел равносильно выбору 2 чисел из четырех одинаковых чисел, умноженных на 6 разных чисел и т. д…, но общее только в сумме до $ 66 $. Я также пробовал перестановки вместо комбинаций, но это не сработало. Итак, как я могу получить 9 долларов36$ комбинаций? и где они?

Спасибо

• вероятность
• комбинаторика

$\endgroup$

$\begingroup$

Загвоздка в том, что когда вы выполняете второе вычисление, вы также должны вычислить способы для других людей (т. Предупреждение: Этот маршрут запутан.

Назовите четырех человек A, B, C, D.

• Если ровно два человека выбрасывают одно и то же, то вместо $6(4C2)$ нам нужно $ (4C2) \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 $. Термин $4C2$ обозначает количество способов выбрать, кто будет в паре; они могут бросить любой из 6 вариантов. Затем мы рассматриваем первого человека (по алфавиту), которого не было в паре; у них есть 5 оставшихся способов бросить, чтобы не совпадать с парой. У другого человека, который не был в паре, есть 4 варианта броска.
• Точно так же вместо $6(4C3)$ нам потребуется $(4 C 3) \cdot 6 \cdot 5$. 6 снова представляет собой количество способов броска пары, а 5 представляет количество способов броска одиночки.
• Термин $6 (4C4)$ по-прежнему верен.
• И, наконец, нам все еще нужно рассмотреть возможность наличия двух пар, таких как A и C, выбрасывающих 6, в то время как B и D выбрасывают 3. Число способов, которыми это может произойти, равно $\frac 1 2 (4 C 2 ) \cdot 6 \cdot 5$. $4 C2$ представляет собой количество способов выбрать «первую» пару, и путем исключения два других будут во второй паре.

  No related posts.