Что делится на 40: НОД и НОК для 40 и 41 (с решением)

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Наибольший общий делитель — не только важная тема в алгебре, но и полезная штука во взрослой жизни. В этой статье узнаем все про вычисление НОД.

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел

a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

1. Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.


2. А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.


3. Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 12, 6, 42, 18. Он будет равен шести. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 6. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

   Д (28) = 2 * 2 * 7

   Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2



2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

   НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

    



2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:
   2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

    



2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

1. Разложим оба числа на простые множители:

    



2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.
    



3. Перемножим общие множители:

   НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

1. Большее число поделить на меньшее.


2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.


3. Первый остаток поделить на второй остаток.


4. Второй остаток поделить на третий и т. д.


5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)


2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)


3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)


4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.


2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.


3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство   Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.   Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.   В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b. Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

• Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство   Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.   Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

373.9K

Арифметическая прогрессия: свойства и формулы

К следующей статье

Что такое угол? Виды углов

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Число 2

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители. ..

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

42 и 40 79 и 196 275001 15000060 15000000 89 29 5000060 5000000 5861 5801 12015 629 569 3814 3754 127 67 1882388 1067 1007 29 и 70 2101 2041

Два

Описание числа 2

Положительное вещественное однозначное число 2 – простое. Произведение всех цифр числа: 2. 2 — количество делителей. И сумма этих делителей: 3. Обратное число к 2 – 0.5.
Это число представляется произведением: 1 * 2.

Другие представления числа 2: двоичная система: 10, троичная система: 2, восьмеричная система: 2, шестнадцатеричная система: 2. Число байт 2 представляет из себя 2 байта .

Число 2 азбукой Морзе: ..—

Число является числом Фибоначчи.

Синус числа: 0.9093, косинус числа: -0.4161, тангенс числа: -2.1850. Натуральный логарифм: 0.6931. У числа есть десятичный логарифм: 0.3010. Квадратный корень числа 2: 1.4142, а кубический: 1.2599. Возведение числа 2 в квадрат: 4.0000.

Число секунд 2 можно представить как 2 секунды . Цифра 2 — это нумерологическое значение числа 2.

• ← 1
• 3 →

Заметки о том, как определить, делится ли число на 40

Вам когда-нибудь приходилось делить число на 40? Если да, то этот пост в блоге для вас! В нем мы обсудим, как определить, делится ли число на 40. Это полезный навык, особенно когда речь идет о расчете налогов и других финансовых вопросах. Мы также дадим несколько советов, как сделать процесс деления чисел на 40 проще и эффективнее. Итак, являетесь ли вы студентом, пытающимся сдать экзамен по математике, или владельцем бизнеса, ищущим простой способ расчета налогов, в этом блоге есть кое-что для вас!

Краткий обзор делимости на 40: 

Прежде чем углубляться в особенности делимости на 40, давайте кратко рассмотрим, что это значит. Короче говоря, число делится на 40, если сумма его цифр, умноженная на четыре, равна самому числу. Например, число 120 делится на 40, потому что (12 х 04) = 48. Другой пример: число 2520 не делится на 40, потому что (25 х 04) = 100, что не равно 2520. Понятно? Большой! Перейдем к советам и рекомендациям.

Советы и приемы для определения делимости на 40

Существует несколько различных методов, которые можно использовать для определения, делится ли число на 40. Мы обсудим два из них в этом сообщении блога.

Первый метод

Первый метод самый простой в использовании. Все, что вам нужно сделать, это разделить число на 40 и посмотреть, будет ли результат целым числом. Например, если вы пытаетесь определить, делится ли число 1920 на 40, просто разделите 19.20 на 40 и посмотрите, что получится. Ответ (48) представляет собой целое число, что означает, что 1920 действительно делится на 40.

Второй метод

Второй метод немного сложнее, но он может быть полезен, если число, которое вы пытаетесь вычислить, деление не целое число. Чтобы использовать этот метод, нужно сначала найти остаток при делении числа на 40. Это можно сделать с помощью калькулятора или листа бумаги и карандаша. Например, если вы пытаетесь определить, делится ли число 45 на 40, разделите 45 на 40 и найдите остаток. Ответ (пять) говорит нам о том, что 45 не делится на 40, так как пять не равно нулю.

Теперь, когда вы знаете, как определить делимость на 40, проверьте свои навыки! Попробуйте разделить несколько чисел и посмотреть, получится ли у вас все правильно.

Примеры

• Определить, делится ли число 2020 на 40

Ответ положительный, поскольку (20 x 04) = 80, что равно 2020. на 40

Нет, так как (25 х 04) = 100, что не равно 2560.

• Определите, делится ли число 330 на 40

Ответ положительный, так как (33 x 04) = 132, что равно 330.

• Определите, делится ли число 1440 на 40
  2

2 Ответ — нет, так как (14 х 04) = 56, что не равно 1440.

• Определить, делится ли число 108 на 40

Ответ — да, так как (108 х 04) = 432, что равно 108.

Делимость на 40 — это свойство натуральных чисел, которое гласит, что любое число, которое делится без остатка на 40, также делится без остатка на 2, 4 и 10. Это означает, что последние две цифры числа всегда делятся либо на 2, либо на 4. Например, число 2400 делится на 40 без остатка, потому что две его последние цифры (00) делятся и на 2, и на 4. Существует несколько различных методов, которые можно использовать для определения того, число делится на 40. Самый простой — просто разделить число на 40 и посмотреть, является ли результат целым числом. Более сложный метод заключается в нахождении остатка при делении числа на 40.

Как узнать, делится ли число на 4

Как узнать, делится ли число на 4

Чтобы определить, делится ли число на 4, выполните следующие действия:

1. Посмотрите на две последние цифры в столбцах десятков и единиц числа.
2. Если это двузначное число делится на 4, то исходное число делится на 4.
3. Все двузначные числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Если число делится на 4, это означает, что оно кратно 4. Число, которое делится на 4, находится в таблице умножения на 4 и может быть разделено точно на 4 без остатка.

Число делится на 4, если его последние 2 цифры делятся на 4. Нет необходимости смотреть на предыдущие цифры. Все числа делятся на 4, если их можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Например, мы проверим, делится ли 732 на 4.

Первый шаг — посмотреть на последние 2 цифры номера.

Последние две цифры числа 732 — 32.

Следующий шаг — решить, делятся ли последние 2 цифры на 4.

32 можно разделить пополам, а затем еще раз пополам, чтобы получить целое число. 32 ÷ 2 = 16, а затем 16 ÷ 2 = 8. 32 кратно 4, потому что это 4 × 8.

32 делится на 4, значит, 732 делится на 4.

Это означает, что 732 можно разделить ровно на 4.

732 разделить на 4 будет 183.

Правило делимости на 4 говорит нам только о том, делится ли число на 4, но не дает ответа на деление.

Вот пример использования правила делимости на 4 для доказательства того, что число не делится на 4.

У нас 44 422.

Глядя на две последние цифры числа 44 422, мы получаем 22.

22 не кратно 4, следовательно, число 44 422 также не кратно 4.

Мы знаем, что 22 не кратно 4, потому что его нельзя разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

Половина от 22 составляет 11, а половина от 11 — 5,5.

Вот еще один пример использования правила для проверки на делимость на 4.

Вот 3740.

Последние две цифры 40.

40 кратно 4, значит, 3740 тоже кратно.

Мы видим, что 40 можно разделить пополам и еще раз пополам, чтобы получить 10. 40 — это 10 лотов по 4.

Почему работает правило делимости на 4?

?

Правило делимости на 4 работает, потому что 4 делится точно на все числа, кратные 100. Сотни числа всегда делятся на 4, поэтому необходимо проверять только цифры в столбцах десятков и единиц. Если последние 2 цифры делятся на 4, число делится на 4.

Все числа, кратные 100, делятся на 4. Это потому, что 4 × 25 = 100. Если 4 делится точно на 100, оно делится точно на все числа, кратные 100, такие как 200 и 300.

Все числа можно разделить на сотни, десятки и единицы. Например, 116 можно записать как 100 + 16.

100 делится на 4, поэтому нам просто нужно проверить, делится ли 16 на 4. Если и 100, и 16 делятся на 4, то 116 тоже делится на 4.

Мы просто проверяем последние две цифры числа 16.

16 делится на 4, потому что мы можем разделить его пополам и еще раз пополам, чтобы получить целое число.

16 — это 4 лота по 4.

16 кратно 4, значит, 116 кратно 4.

Все трехзначные числа и больше могут быть записаны как кратные 100 плюс двузначное число. Число, кратное 100, делится на 4, поэтому, если последние 2 цифры делятся на 4, само число делится на 4.

Например, 52 164 можно записать как 52 100 + 64. 52 100 кратно 100 и, следовательно, делится на 4. Нам просто нужно решить, кратно ли 64 4.

64 можно разделить пополам, чтобы получить 32, и еще раз разделить пополам, чтобы получить 16. 64 — это 16 × 4.

64 делится на 4, значит, 52 164 тоже делится на 4.

Стратегия «Разделить пополам и снова пополам»

Стратегия «пополам, затем еще раз пополам» — это метод, используемый для деления больших чисел на 4. Деление на 4 аналогично делению на 2 и последующему делению еще раз на 2. Этот метод используется для разбиения более сложных подразделений на более управляемые этапы.

Например, чтобы разделить 20 на 5, мы делим 20 пополам и еще раз делим пополам.

Половина 20 — это 10. 10 — четное число, и мы можем снова разделить его пополам.

Половина 10 равна 5. Следовательно, 20 ÷ 4 = 5.

Хотя стратегия «пополам и снова пополам» состоит из 2 шагов, ими, как правило, легче управлять, чем простым делением числа на 4.