ЦИКЛОИДА | Энциклопедия Кругосвет
ЦИКЛОИДА (в переводе с греч. кругообразный) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r, катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение
x = rt – r sin t,
y = r – r cos t
Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.
Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей. Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном, автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне.
Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.
Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.
Пусть точка С0 находится внутри окружности. Если провести через С0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A´В´, но ее качение будет сопровождаться скольжением, и точка С0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.
Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.
Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления.
Елена Малишевская
Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»
Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?
Пройти тест
Циклоидный тип — Психологос
При циклоидном типе акцентуации характера наблюдается наличие двух фаз — гипертимности и субдепрессии.
Они не выражаются резко, обычно кратковременны (1—2 недели) и могут перемежаться длительными перерывами. Человек с циклоидной акцентуацией переживает циклические изменения настроения, когда подавленность сменяется повышенным настроением. При спаде настроения такие люди проявляют повышенную чувствительность к укорам, плохо переносят публичные унижения. Однако они инициативны, жизнерадостны и общительны. Их увлечения носят неустойчивый характер, в период спада проявляется склонность забрасывать дела. Сексуальная жизнь сильно зависит от подъёма и спада их общего состояния. В повышенной, гипертимной фазе такие люди крайне похожи на гипертимов.
Подробное описание по А.Е. Личко
Фрагмент из книги «Психопатии и акцентуации характера у подростка»
Как известно, этот тип характера был описан в 1921 Е. Kretschmer и сперва часто упоминался в психиатрических исследованиях. П. Б. Ганнушкин (1933) включил в «группу циклоидов» четыре типа психопатий — конституционально-депрессивный, конституционально-возбужденный (гипертимный), циклотимический и эмотивно-лабильный.
Между тем существует особая группа случаев, где-циклические изменения эмоционального фона никогда даже не приближаются к психотическому уровню [Michaux L., 1953]. Г. Е. Сухарева (1959) отметила подобные непсихотические циклотимические колебания у подростков, которые с наступлением зрелости могут вообще сгладиться. Подобные случаи, с нашей точки зрения, правильнее было бы рассматривать как циклоидные акцентуации.
Наши с С. Д. Озерецковским [Личко А. Е., Озерецковский С. Д.
, 1972] исследования позволили выделить в подростковом возрасте два варианта циклоидной акцентуации — типичные и лабильные циклоиды.
Типичные циклоиды в детстве ничем не отличаются от сверстников или производят впечатление гипертимов. С наступлением пубертатного периода (у девочек это может совпасть с менархе), а еще чаще в 16-19 лет, когда половое созревание завершается, возникает первая субдепрессивная фаза. Чаще она проявляется апатией и раздражительностью. С утра ощущается упадок сил, все валится из рук. То, что раньше давалось легко и просто, теперь требует неимоверных усилий. Труднее становится учиться. Людское общество начинает тяготить. Шумные компании сверстников, ранее привлекавшие, теперь избегаются. Приключения и риск теряют всякую привлекательность. Прежде бойкие подростки теперь становятся унылыми домоседами. Падает аппетит, прежде любимые кушанья перестают вызывать удовольствие. Вместо свойственной выраженным депрессиям бессонницы нередко наблюдается сонливость. Созвучно настроению все приобретает пессимистическую окраску.
Юрий П., 16 лет. Вырос в дружной семье. Хорошо учился в английской школе до последнего класса. Отличался веселым нравом общительностью, живостью, увлекался спортом, охотно участвовав в общественной работе, был председателем школьного клуба.
Последние несколько недель изменился. Без причины ухудшилось настроение, «напала какая-то хандра», все стало валиться из рук, учиться стал с трудом, забросил общественную работу, занятия спортом, перессорился с товарищами. После занятий сиднем сидел дома.
Иногда спорил с отцом, доказывая, что «в жизни нет правды». Ухудшились сон и аппетит В эти дни ему случайно попался под руку научно-популярный журнал со статьей о вреде онанизма. Так как сам тайком занимался мастурбацией, но ранее не придавал этому значения, теперь решил бросить, но обнаружил, что «не хватает воли». Подумал, что его ждут «импотенция, сумасшествие и слабоумие». В эти же дни в школе на общем комсомольском собрании был подвергнут товарищами суровой критике за развал общественной работы, которой ранее руководил. Один из одноклассников назвал его «плесенью общества». На собрании сперва огрызался, потом смолк. Понял, что он — «неполноценный человек». Возникла мысль о самоубийстве. Вернувшись домой из школы выждал ночи и, когда родители уснули, принял 50 таблеток мепробамата Оставил записку, где написал, что он — «духовно нищий человек» виноват перед школой и государством.
Из реанимационного центра был доставлен в подростковое отделение психиатрической больницы. Здесь в первые же дни состояние внезапно и резко изменилось, хотя антидепрессантов не получал.
Настроение стало слегка повышенным, сделался общительным, активным, легко вступал в контакт, был полон энергии. Не понимал, что с ним было, «без всякой причины нашла какая-то хандра». Теперь же все прошло, настроение исправилось, рад, что остался жив. Суицидную попытку оценивает критически. Чувствует себя хорошо, аппетит даже повышен, сон стал крепким и спокойным. Скучает по родным, по школе и товарищам. Стремится продолжать учебу.
Обследование с помощью ПДО. По шкале объективной оценки диагностирован циклоидный тип. Конформность средняя, реакция эмансипации не выражена. Отмечается отрицательная установка на алкоголизацию. По шкале субъективной оценки самооценка недостаточная: черт какого-либо типа не выступило.
Диагноз. Острая аффективная интрапунитивная реакция с истинным покушением на самоубийство на фоне акцентуации циклоидного типа.
Катамнез через 2 года. Успешно окончил школу, учится в институте. Отмечает, что после выхода из больницы бывали «плохие периоды» длительностью в 1-2 нед и повторявшиеся каждые 1-2 мес.
У типичных циклоидов фазы обычно непродолжительны, 1-2 нед [Озерецковский С. Д., 1974]. Субдепрессия может смениться обычным состоянием или периодом подъема, когда циклоид снова превращается в гипертима, стремится в компанию, заводит знакомства, претендует на лидерство и обычно наверстывает то, что было упущено в учебе и работе в субдепрессивной фазе. Периоды подъема случаются реже, чем субдепрессивные фазы, и бывают не такими яркими. По наблюдению Ю. А. Строгонова (1972), иногда лишь обычно несвойственные рис кованные шутки над старшими да стремление везде и всюду острить могут бросаться в глаза окружающим.
У циклоидных подростков имеются свои места «наименьшего сопротивления». Они различны в субдепрессивной фазе и в период подъема. В последнем случае выступают те же слабые места, что при гипертимном типе: непереносимость одиночества, однообразной и размеренной жизни, кропотливого труда, неразборчивость в знакомствах и т. д. В субдепрессивной фазе ахиллесовой пятой становится коренная ломка жизненного стереотипа.
В субдепрессивной фазе появляется также избирательная чувствительность к укорам, упрекам, обвинениям в свой адрес — ко всему, что способствует мыслям о собственной неполноценности, никчемности, ненужности.
Лабильные циклоиды в отличие от типичных во многом приближаются к лабильному (эмоционально-лабильному) типу.
Фазы здесь гораздо короче — два-три «хороших» дня сменяются несколькими «плохими». «Плохие» дни более отмечены дурным настроением, чем вялостью, упадком сил или неудовлетворительным самочувствием. В пределах одного периода возможны короткие перемены настроения, вызванные соответствующими известиями или событиями. Но в отличие от описываемого далее лабильного типа нет чрезмерной эмоциональной реактивности, постоянной готовности настроения легко и круто меняться от незначительных причин
Валерий Р., 16 лет Вырос в дружной семье, привязан к родителям и старшему брату, который служит в армии С детства был живым, ласковым, общительным, послушным. Учится хорошо. В последние два-три года стал сам замечать, что настроение у него колеблется: два-три хороших дня, когда чувствует подъем, чередуются с днями «хандры», когда легко ссорится, появляется, по его словам, «непереносимость замечаний и начальственного тона», предпочитает одиночество, нехотя идет в школу, которую вообще любит Более двух лет влюблен в одноклассницу, очень к ней привязан.
В подростковом отделении психиатрической больницы первые три дня оставался угнетенным, говорил о нежелании жить. Его любимая девочка разыскала его через справочную скорой помощи и пришла его навестить — отказался от свидания с ней.
Затем настроение изменилось к лучшему (психотропных средств не получал), встретился со своей возлюбленной, помирился с ней.
Два дня был «подъем» — стал веселым, общительным, стремился домой скучал по школе. В последующем настроение ровное. Критически оценивает свой поступок, считает себя виноватым. В беседе обнаруживает эмоциональную лабильность, ищет сопереживания.
Обследование с помощью ПДО. По шкале объективной оценки диагностирован лабильно-циклоидный тип. Конформность средняя, реакция эмансипации умеренная. Обнаружен высокий В-индекс (В-6), хотя ни в анамнезе, ни при неврологическом обследовании, ни на ЭЭГ данных за наличие резидуального органического поражения головного мозга не установлено. Психологическая склонность к алкоголизации высокая. По шкале субъективной оценки самооценка правильная, выделяются лабильные, циклоидные, гипертимные черты, отвергаются черты сенситивные.
Диагноз. Реактивная депрессия с суицидной попыткой на фоне акцентуации по лабильно-циклоидному типу.
Катамнез через 2 года. Здоров. Учится в вузе. Повторных суицидных попыток не было. По-прежнему отмечает изменчивость настроения.
Как у типичных, так и у лабильных циклоидов реакции эмансипации и группирования со сверстниками усиливаются в периоды подъема. Увлечения отличаются нестойкостью — в субдепрессивные периоды их забрасывают, в период подъема — возвращаются к ним или находят новые. Заметного снижения сексуального влечения в субдепрессивной фазе сами подростки не хотя, по наблюдениям близких, сексуальные интересы в «плохие дни» гаснут. Выраженные нарушения поведения (делинквентность, побеги из дому и т. п.) циклоидам не свойственны. Но в периоды подъема они могут обнаруживать склонность к алкоголизации в компаниях. Суицидальное поведение в виде аффективных (но не демонстративных) попыток или истинных покушений на самоубийство возможно в субдепрессивной фазе, если в это время подросток подвергается психической травматизации, укрепляющей его в мыслях о своей неполноценности.
Самооценка характера у циклоидов формируется постепенно, по мере того, как накапливается опыт «хороших» и «плохих» периодов.
У подростка такого опыта еще может не быть и поэтому самооценка может оказаться несовершенной.
Циклоидная акцентуация, как указывалось, лишь изредка попадает под наблюдение психиатра (обычно это случаи суицидных попыток). Однако у здоровых подростков ее удается выявить в 2—5 % [Иванов Н. Я., 1976], причем из них половина может быть отнесена к типичным, а другая половина — к лабильным циклоидам. В после-подростковом возрасте (18—19 лет) процент циклоидов значительно возрастает, а процент гипертимов уменьшается [Боровик Т. Я., 1976; Перетяка О. П., 1981] Видимо, в силу каких-то эндогенных закономерностей гипертимный тип может трансформироваться в циклоидный — на фоне постоянной до этого гипертимности появляются короткие субдепрессивные фазы.
Cycloid Определение и значение — Merriam-Webster
1 из 2
циклоид ˈsī-ˌklȯid
: кривая, образованная точкой на окружности при движении по прямой линии
циклоидальный
си-клти-дл
имя прилагательное
Иллюстрация циклоиды
циклоиды
2 из 2
1
: гладкая с концентрическими линиями роста
циклоидные весы
также : имеющие или состоящие из циклоидной чешуи
2
: характеризующиеся чередованием приподнятого и пониженного настроения
циклоидная личность
Примеры предложений
Последние примеры в Интернете
Модель, выставленная в Музее Галилея, позволяет проверить этот результат, построив две дорожки: одну в форме циклоиды , другую в форме дуги окружности для сравнения.
Дженнифер Уэллетт, 9 лет0047 Ars Technica , 17 мая 2020 г.
Решением является циклоида , которая представляет собой кривую, созданную катящимся колесом по кругу.
Дженнифер Уэллетт, Ars Technica , 17 мая 2020 г.
Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «циклоид». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.
История слов
Этимология
Существительное
Французский cycloïde , от греческого kykloeidēs круговой, от kyklos
Первое известное употребление
Существительное
1661 в значении, определенном выше
Первое известное использование циклоиды было
в 1661 г.
Посмотреть другие слова того же года
Словарные статьи Около
циклоидациклогексиламин
циклоида
циклоидальный маятник
Посмотреть другие записи поблизости
Процитировать эту запись «Циклоид».
Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/cycloid. Просмотрено 29Ноябрь 2022 г.Копировать цитирование
Детское определение
циклоида
циклоид
ˈsī-ˌklȯid
: кривая, описываемая точкой на окружности, катящейся по прямой линии
Медицинское определение
циклоида 1 из 2
циклоид ˈsī-ˌklȯid
: циклоидный человек
циклоидный
2 из 2
: , связанный с, имеющей или является личностью, характеризующейся чередующейся высоким и низким настроением
Сравнение Циклотимического
БОЛЬШЕ из Merriam-Webster на
Cycloid Britannica.
com: Энциклопедия статья о Cycloid
. Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите еще тысячи определений и расширенный поиск без рекламы!
Merriam-Webster без сокращений
пестрый
См. Определения и примеры »
Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!
Слова, названные в честь людей
- Тёзка купальника Жюль Леотар какой профессии был?
- Хирург Судить
- Пожарный Акробат
Вы знаете, как это выглядит… но как это называется?
ПРОЙДИТЕ ТЕСТ
Ежедневное задание для любителей кроссвордов.
ОТВЕТЬТЕ НА ТЕСТ
Циклоида и ее свойства Связанные кривые
Циклоида — это кривая, описываемая точкой на окружности, когда она катится по прямой. Циклоида, образованная окружностью радиусом r , катящейся по x -ось представлена параметрическим уравнением:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= rt — r\sin(t)\\ y(t)= r-r\cos(t) \\ \end{matrix}\right.$.
Если точка лежит с коэффициентом f , где 0 ≤ f ≤ 1, вдоль радиуса окружности, то уравнение кривой имеет вид:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= rt — fr\sin(t)\\ y(t)= r-fr\cos(t)\\ \end{matrix}\right.$.
Взаимодействие Geogebra выше показывает окружность с радиусом 1, катящуюся по 9{2\pi} = -4r(-1-1) = 8r$
Длина дуги одной арки циклоиды равна 8 r или в 8 раз больше радиуса окружности, которая ее создала.
Интересно, что формула площади имеет множитель π , как площадь круга, но формула длины дуги не имеет множителя π , как длина окружности.
Объем
Объем V твердого тела, образованного вращением дуги циклоиды вокруг x 93$.
Чашка циклоиды
Каков объем циклоиды, вращающейся вокруг своей оси симметрии и имеющей форму чаши? Я придумал следующий объем, используя дисковый метод. Осью симметрии является линия х = π.
Возьмите горизонтальное поперечное сечение от 0 до π для площади круга, который будет образован вращением. Вычтите значение x из π, чтобы получить радиус этого цикла. Радиус r будет равен $R\pi — R(t-\sin(t))$, где 92}{2}-\frac{8}{3}\right)$ ≈ 38,13 R 3 . Я не смог проверить эту формулу, так как не видел циклоидного вращения в чаше. Однако эта формула кажется подтверждаемой, когда мы находим объем, используя уравнения перевернутой циклоиды, имеющей ось y в качестве линии симметрии:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= Rt + R\sin(t)\\ y(t)= R-R\cos(t)\\ \end{matrix}\right.$
Объем определяется по формуле: $V = \pi \int_{0}^{\pi}(Rt+R\sin(t))^2\cdot R\sin(t)dt$.
Это соответствует тому же объему, что и выше. Этот объем казался бы разумным, если бы он был меньше объема цилиндра, созданного радиусом 93$. Объем циклоидной чашки больше половины объема цилиндра, и это кажется разумным.
Прямоугольный треугольник
Прямой угол спрятан в циклоиде. Угол возникает на пересечении циклоиды и окружности. Диаметр окружности — это гипотенуза.
На изображении выше APC представляет собой прямоугольный треугольник. Чтобы доказать это, мы можем доказать, что ортогональная касательная к циклоиде проходит через окружность, где она касается x — ось. Во-первых, давайте найдем наклон касательной к циклоиде в точке t .
(i) $ \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {dy} {dt} (r-r \ cos t)} {\ frac {dx} {dt} (rt-r \ sin t) } = $ $\frac{r\sin t}{r — r\cos t} =$ $\frac{r\sin t}{1 — \cos t}$
Наклон ортогоналя будет отрицательным обратным : $-\frac{dx}{dy} = -\frac{1-\cos t}{\sin t}$. В точке t точка на циклоиде равна $(rt — r\sin t, r — r\cos t)$.
Следовательно, уравнение ортогонала:
(ii) $y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}[x — (rt — r\sin t)]$
Точка, в которой Окружность, касающаяся оси x , равна rt , потому что t на самом деле является углом, под которым окружность движется вдоль оси x . Следовательно, мы можем найти значение y , когда x равно rt , подставив x = rt в уравнение ортогонала. (Нет необходимости упрощать уравнение прямой в (ii).)
(iii) $y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}[rt — (rt — r\sin t)]$
(iv) $ y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}(r\sin t)$
(v) $y — (r — r\cos t) = r \cos t — r$
(vi) $y = 0$
Следовательно, для любого t ортогональная ось всегда будет пересекать окружность в точке касания с осью x . А поскольку ортогональный угол по определению является прямым, отрезок PA должен пересечь окружность в точке A, что делает AC диаметром окружности.
Если мы позволим y = 0 и решить для x , мы получим x = rt .
Циклоида и синусоида
Синусоида имеет особое отношение к циклоиде. Если мы построим график переведенной синусоиды $y = r\sin(x — \frac{\pi}{2}) + r$. Это точная синусоида только в масштабе r . Форма такая же, как если бы мы начертили y = sin x . Циклоида и синусоида показаны ниже.
Если мы возьмем точку P на циклоиде и проведем параллель в P, то она пересечет синусоиду в D и E и снова циклоиду в G. Отрезки PD и EG конгруэнтны в силу симметрии и равны r грех т .
Мы можем показать, что DO перпендикулярен оси x . Следовательно, сумма отрезков PD и EG равна длине хорды окружности PK для всех t . Или PK в два раза длиннее PD. Это означает, что площадь, ограниченная циклоидой и синусоидой, равна площади круга. А площадь под синусоиды равна удвоенной площади круга, так как площадь под циклоидой в 3 раза больше окружности.