Что такое область значения функции в алгебре: Области определения и значений | 7 класс

Область и диапазон | Безграничная алгебра |

Введение в область и диапазон

Область определения функции — это множество всех возможных входных значений, которые дают некоторый диапазон выходных значений

Цели обучения

Определение домена и диапазона функции (выходы) — это диапазон

fff

Ключевые термины

• домен : Набор всех точек, по которым определена функция.
• диапазон : Набор значений, которые функция принимает в качестве вывода.
• функция : отношение между двумя величинами, называемыми входом и выходом; для каждого входа есть ровно один выход.

Что такое домен и диапазон функции?

Домен функции — это набор входных значений

xxx

, для которых определена функция. Домен показан в левом овале на картинке ниже. Функция предоставляет выходное значение,

f(x)f(x)f(x)

, для каждого члена домена. Набор значений, выводимых функцией, называется диапазоном функции, и эти значения показаны в правом овале на рисунке ниже. Функция — это отношение, которое принимает входные данные домена и выводит значения в диапазоне. Правило для функции состоит в том, что для каждого входа есть ровно один выход.

Отображение функции: Овал слева — область определения функции

fff

, а овал справа — диапазон. Зеленые стрелки показывают, как каждый элемент домена сопоставляется с определенным значением диапазона.

Как видно на рисунке, каждое значение домена имеет зеленую стрелку, указывающую ровно на одно значение диапазона. Следовательно, это отображение является функцией.

Мы также можем сказать по набору упорядоченных пар, данных в этом отображении, что это функция, потому что ни одно из

xxx

-значений не повторяется:

(−1,1),(1,1),(7,49),(0,5,0,25)(-1,1),(1,1),(7,49),(0,5,0,25) (−1,1),(1,1),(7,49),(0,5,0,25)

; поскольку каждый вход соответствует ровно одному выходу. (Обратите внимание, что хотя выходное значение

111

повторяется, только входные значения не могут повторяться)

Мы также можем определить это отображение, и набор упорядоченных пар является функцией, основанной на графике упорядоченных пар, потому что точки не образуют вертикальную линию. Если бы значение

xxx

повторялось, были бы две точки, образующие график вертикальной линии, что не было бы функцией. Давайте посмотрим на это отображение и список упорядоченных пар, изображенных на декартовой плоскости. 92х2

. Важно отметить, что не все функции имеют набор действительных чисел в качестве области определения. Например, функция

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​

не определена для

x=0x=0x=0

, потому что вы не можете разделить число на

000

. В этом случае доменом

fff

является множество всех действительных чисел , кроме

000

. То есть

x≠0x\neq0x=0

. Таким образом, домен этой функции равен

R−{0}\mathbb{R}-\{0\}R−{0}

.

Как насчет функции

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x

​

? В этом случае квадратный корень из отрицательного числа не определен, поэтому областью определения является множество всех действительных чисел, где

x≥0x\geq0x≥0

.

Поиск домена и диапазона: задана функция

Чтобы найти домен функции, если он не указан с самого начала, нам нужно посмотреть определение функции, чтобы определить, какие значения не разрешены. Например, мы знаем, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа и нельзя разделить на 9.0005

000

. Имея в руках эти знания, давайте найдем область определения функции.

Пример 1. Найдите домен:

f(x)=1x−1−2+x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}-2}+xf(x)=x−1

​−21​+x

Во-первых, мы знаем, что нельзя делить на

000

, поэтому любое значение

xxx

, вызывающее деление на

000

, не допускается в домене. В этом примере это происходит, когда:

x−1−2=0\displaystyle \sqrt{x-1}-2=0x−1

​−2=0

Решение для

xxx

, это происходит, когда

x=5x=5x=5

, поэтому мы знаем, что

х≠5х\neq5x=5

.

Мы также знаем, что не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это означает, что:

x−1>0\displaystyle x-1>0 x−1>0

После решения для

xxx

мы видим, что

x>1x>1x>1

x>1x>1x>1

 и

x≠5x\neq5x=5

.

Таким образом, чтобы найти значения, не входящие в домен, необходимо найти значения, для которых функция не определена.

Визуализация домена и диапазона

Все значения в домене сопоставляются со значениями в диапазоне, которые визуализируются в виде графиков функций

Цели обучения

Используйте график функции, чтобы определить ее домен и диапазон

Ключевые выводы

Ключевые точки

• Значения в домене сопоставляются со значениями в диапазоне.
• Проверка горизонтальной и вертикальной линии может помочь определить тип связи между доменом и диапазоном.

Ключевые термины

• диапазон : Набор значений (баллов), которые может получить функция.
• домен : Набор всех точек, по которым определена функция.
• функция : Любая математическая формула, которая дает один и только один результат для каждого входа.

Обзор домена, диапазона и функций

Как указано в предыдущем разделе, домен функции — это набор «входных» значений

(x)(x)(x)

 , для которых определена функция. Домен является частью определения функции. Например, область определения функции

f(x)=xf(x) = \sqrt{x} f(x)=x

​

  равна

x≥0x\geq0x≥0

.

Диапазон функции представляет собой набор результатов, решений или «выходных» значений 9{2}f(x)=x2

имеет диапазон

f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0

, поскольку квадрат числа всегда дает положительный результат.

Принимая во внимание как домен, так и диапазон, функция представляет собой любую математическую формулу, которая дает один и только один результат для каждого входа. Следовательно, каждое заданное значение домена в результате имеет одно и только одно значение диапазона, но не обязательно наоборот. Другими словами, два разных значения

xxx

могут иметь одинаковые 93f(x)=−121​x3

.

Пример 1. Определите домен и диапазон каждого графика, изображенного ниже:

Оба графика включают все действительные числа

xxx

в качестве входных значений, поскольку оба графика продолжаются влево (отрицательные значения) и вправо (положительные значения). значения) для

xxx

 (входы). Кривые продолжаются до бесконечности в обоих направлениях; поэтому мы говорим, что областью определения обоих графиков является множество всех действительных чисел, обозначенное как:

 (синий), поскольку все действительные числа могут быть входными значениями. Однако диапазон красного графика ограничен только

f(x)≥0f(x)\geq0f(x)≥0

или

yyy

-значения выше или равные

000

. Диапазон синего графика — все действительные числа,

R\mathbb{R}R

.

Пример 2:

Определите домен и диапазон каждого графа, изображенного ниже:

Домен и диапазон графа: Синий график представляет собой тригонометрическую функцию

f(x)=sin(x)f(x)=sin (x)f(x)=sin(x)

 с областью определения

R\mathbb{R }R

 и ограниченный диапазон

−1≤y≤1-1 \leq y \leq 1−1≤y≤1

(выходные значения существуют только в диапазоне от

−1-1−1

до

111

. Красный график — это функция

f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x}f(x)=−x

​

 с ограниченным доменом

х≥0x \geq 0x≥0

, а также ограниченный диапазон

y≤0y\leq0y≤0

.

Области рациональных и радикальных функций

Рациональные и радикальные выражения имеют ограничения на их домены, которые можно найти алгебраически или графически.

Цели обучения

Вычислите область определения рациональной или радикальной функции, найдя значения, для которых она не определена

Ключевые выводы

Ключевые точки

• Рациональное выражение — это частное двух многочленов. Это может быть выражено как

  P(x)Q(x)\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​

  .
• Область определения рационального выражения установлена ​​так, что знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно, учитывая

  P(x)Q(x)\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​

  ,

  Q(x)≠0Q(x)\ neq 0Q(x)=0

  .
• Чтобы определить область определения рационального выражения, установите знаменатель равным нулю, затем найдите

  xxx

  . Все значения

  xxx

  , кроме тех, которые удовлетворяют

  Q(x)=0Q(x)=0Q(x)=0

  — домен выражения.
• Подкоренное выражение выражается как

  x\sqrt xx

  ​

    и может иметь другие корни, кроме квадратного.
• Радикальная функция выражается как

  f(x)=xf(x)=\sqrt xf(x)=x

  ​

  , (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») представляет собой функцию , которая отображает множество неотрицательных действительных чисел на себя.
• Чтобы определить область определения подкоренного выражения, установите подкоренное число равным нулю, затем найдите

  ххх

  . Все значения

  xxx

   за исключением тех, которые удовлетворяют

  x=0\sqrt x=0x

  ​=0

   , являются доменом выражения.

Ключевые термины

• подкоренное число : число или выражение под знаком радикала.
• рациональное выражение : Выражение, которое может быть записано как частное двух многочленов.

Нахождение областей рациональных функций

Рациональное выражение можно записать как отношение двух полиномиальных функций. Несмотря на то, что это выражение называется рациональным, ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами. В случае одной переменной

xxx

выражение называется рациональным тогда и только тогда, когда его можно записать в виде:

P(x)Q(x)\displaystyle \frac { P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​

где

P(x)P(x)P(x)

и

Q(x)Q(x)Q(x)

являются полиномиальными функциями от

xx x

 и

Q(x)Q(x)Q(x)

не является нулевым полиномом

(Q(x)≠0)(Q(x)\neq 0)(Q(x)=0)

.

Область рационального выражения есть множество всех точек, для которых знаменатель не равен нулю. Если знаменатель уравнения становится равным нулю, выражение в этой точке не определено.

Пример 1. Какова область определения рациональной функции: 92-5)=02(x2−5)=0

Чтобы решить, разделите обе части на

222

, прибавьте

555

к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы получить:

x=±5\displaystyle x=\pm \sqrt { 5 }x=±5

​

.

Следовательно, областью определения является набор всех действительных чисел, кроме квадратного корня из пяти или отрицательного квадратного корня из пяти.

Обратите внимание на график функции ниже. При значениях

x=±5x=\pm \sqrt { 5 }x=±5 92-2\справа)}{х}е(х)=х(х2-2)​

Алгебраически областью определения является множество всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку знаменатель не может быть равен нулю. Один из способов определить это — посмотреть на это графически. Мы можем видеть, что график прерывистый на

x=0x=0x=0

, что указывает на то, что доменом являются все числа, кроме

x=0x=0x=0

. Это имеет смысл, потому что при

x=0x=0x=0

нам пришлось бы делить на ноль, который не определен. Линии графика все ближе и ближе к значению 92-2\вправо)}{x}f(x)=x(x2−2)​

. Чтобы определить область определения этой функции, мы можем изобразить ее на графике и найти, где функция не существует, в данном случае, когда

x=0x=0x=0

.

Поиск областей радикальных функций

Основная функция квадратного корня

f(x)=xf(x)=\sqrt xf(x)=x

​

 (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция , отображающая множество неотрицательных действительных чисел на себя. 2( −х)2 92y=x2

 было бы

y=±x\sqrt y = \pm xy

​=±x

). При построении корней важно помнить, что отрицательные значения

xxx

не будут давать действительные числа. Это будет объяснено далее в разделе о мнимых числах. Чтобы алгебраически определить область определения радикальной функции, найдите значения

xxx

 , для которых подкоренное число неотрицательно (примите его равным

≥0\geq 0≥0

), а затем найти

xxx

. Подкоренное число и — это число или выражение под знаком корня. Все значения

xxx

 за исключением тех, которые удовлетворяют

x≥0\sqrt x \geq 0x

​≥0

 , являются доменом функции.

Пример 3.  Какова область определения радикальной функции:

f(x)=x−3+4\displaystyle f(x) = \sqrt {x-3} +4f(x)=x−3

​+4

Установите подкоренную часть больше или равной нулю и найдите

xxx

 чтобы узнать ограничения на домен:

x−3≥0\displaystyle {x-3} \geq 0x−3≥0

Следовательно,

x≥3x \geq 3x≥3

. Таким образом, все действительные числа, большие или равные

333

 , являются областью определения функции.

Радикальная функция : График уравнения:

f(x)=x−3+4f(x) = \sqrt {x-3} +4f(x)=x−3

​+4

. Функция имеет область определения всех действительных чисел, больших или равных 9. 0005

333

, как показано на графике выше.

Лицензии и атрибуции

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и доработка. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общедоступное достояние: Неизвестно Авторские права

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• диапазон. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• функция. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Алгебра/Функции. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Домен функции. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Домен Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигурка Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Разрешено сопоставление для функции. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Функция Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Википедия. Расположен по адресу : https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics). Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Домен и диапазон. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Алгебра/Функции. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Домен Attribution-ShareAlike
• . Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• диапазон. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Разрешено сопоставление для функции. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• квадратный корень. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Рациональная функция. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безграничный. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• полином. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Разрешено сопоставление для функции. Предоставлено : Wikibooks. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Джульен Койн.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт