Что такое предел функции: Предел функции | это… Что такое Предел функции?

определение, способы решения с примерами

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

• Определение предела функции
• Решение пределов
  • С заданным числом
  • С бесконечностью
  • С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
  • С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

• предел обозначается значком lim;
• под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
• затем справа дописывается сама функция, например:
  

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на (x – 1):

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Глава 43. Предел функции в точке и на бесконечности

Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве и точку , быть может, и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой –окрестности точки имеются точки множества значений аргумента , отличные от . Рассмотрим вопрос о сходимости соответствующей последовательности значений функции .

Существуют два определения Предела функции в точке.

Определение

Число называется Предельным значением функции в точке (или Пределом функции при X® A), если для любой сходящейся к А Последовательности значений аргумента , элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: .

Отметим, что функция может иметь в точке только

Одно предельное значение. Это вытекает из того, что последовательность может иметь только один предел.

Рассмотрим несколько Примеров.

1. Функция Имеет в точке предел, равный –2. Действительно, пусть – любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. , тогда при в силу теорем о свойствах сходящихся последовательностей:

.

2. Функция определена для всех . В точке эта функция не имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю:

и .

Соответствующие последовательности значений функций для них:

.

Таким образом, Определение 1 не удовлетворяется, так как для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

Дадим другое определение пределу функции в точке . Пусть функция определена на некотором интервале , кроме быть может точки .

Определение

Число называется Пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех , Удовлетворяющих условиям при , выполняется неравенство .

Второе определение предела функции означает, что функция имеет предел в точке , если для любой E–окрестности точки можно найти такую d–окрестность точки , что, как только значение аргумента попадет в эту d–окрестность, соответствующее значение функции будет находиться в E–окрестности точки (см. рис. 4.3.1).

Рис. 4.3. 1

Первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением, «на языке последовательностей» (предел функции по Гейне). Второе определение носит название «на языке d–e» (предел функции по Коши).

Теорема

Первое и второе определения предела функций Эквивалентны.

Введем понятия Односторонних пределов функции. Дадим определение односторонних пределов функции «на языке d–e».

Пусть функция определена на полуинтервале (соответственно на полуинтервале , кроме, быть может, точки .

Определение

Число B называется Правым (левым) пределом функции в точке А, если для любого существует такое , что для всех X из правой (левой) D –Окрестности точки А, Т. е. , выполняется неравенство .

Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:

или

( или ).

Приведем в качестве Примера функцию

В точке эта функция имеет левый и правый пределы: , .

Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности , у которой все элементы , соответствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа –1, т. е., предел слева в точке также равен этому числу. Аналогично устанавливается и предел справа.

Пример

Найти правый и левый пределы функции .

Решение

– правый предел.

– левый предел.

Таким образом видим, что левый и правый пределы Не равны!

Теорема

Функция имеет в точке А Предел тогда и только тогда, когда в этой точке Существуют пределы как Справа, так и Слева, и они Равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке .

< Предыдущая		Следующая >

Исчисление

— Является ли предел функцией?

Это прямо в переулке функционального анализа. Мы можем рассматривать предельную операцию как своего рода функционал (функционал — это функция, определенная в векторном пространстве со значениями в ее базовом поле).

Сначала начнем с последовательностей. То есть рассмотрим пространство $c$ сходящихся вещественных последовательностей. На $c$ можно определить следующий функционал: $$ T : c \to \mathbb{R} \\ \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \lim_{n \to \infty} x_n $$ Этот оператор на самом деле имеет некоторые хорошие свойства, во-первых, он линейный, когда вы определяете сложение последовательностей как покоординатное (т.е. $(1,1,1,1,1,\ldots) + (2,1,2,1,2, 1,\ldots) = (3,2,3,2,3,2,\ldots)$) $$ T(\{x_n\} + \{y_n\}) = \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = T(\{x_n\}) + T(\{y_n\}) $$ Вы действительно можете доказать, что этот функционал равен непрерывный . Если вам интересно, что здесь означает непрерывный, я могу объяснить больше (просто прокомментируйте ниже), но пока я собираюсь продолжить.

Теперь мы можем рассмотреть $C[0, 1]$ пространство непрерывных функций, определенных на $[0, 1]$ (со значениями в $\mathbb{R}$), и определить для каждого $z \in [0 ,1]$ $$ T_z : C[0, 1] \to \mathbb{R} \\ T_z(f) = \lim_{x \to z} \, f(x) $$ Здесь следует отметить пару вещей:

• На самом деле это оценочная карта, поскольку каждая $f$ непрерывна, мы просто имеем $$ T_z(f) = f(z) $$
• Опять же можно показать, что это непрерывный функционал
• Мы можем рассматривать это как $$ T : [0,1] \times C[0,1] \to \mathbb{R} \\ T(z, f) = \lim_{x \to z} \, f(x) $$

Возвращаясь к первому пункту выше, я не думаю, что это именно тот тип карты, который вы искали. Проблема в том, что этот оператор не может быть определен правильно, если мы не считаем, что он определен в пространстве непрерывных функций (т.е. что произойдет, если у нас есть разрыв скачка? Какое значение мы должны принять тогда?). Я вижу, вы комментируете это в своем посте («удобно удалить этот набор $N$»), но каким будет наш удобный набор? Как бы вы тогда определили домен? Конечно, мы можем ослабить наши ограничения на домен и придумать других операторов, но я думаю, что пока достаточно функционального анализа 😉

---

Я видел приведенное выше редактирование об изменении вашего домена в зависимости от функции, и у меня есть следующие комментарии по этому поводу:

• Если мы изменим домен для каждой функции, то у вас действительно не будет единой «функции ограничения». ‘, у вас есть функция, которая принимает на вход функцию, создает из нее функцию, а затем эта последняя функция — это то место, где фактически находится операция ограничения. Хотя это кажется хорошим для функционального программирования, с математической точки зрения это не кажется элегантным.
  В самом деле, какая польза от этого для нас? Это определенно не было бы линейно (мне очень нравится линейность)! Также я не уверен, как бы вы говорили здесь о преемственности; я хочу сказать, что ты можешь делать то, что вы сказали делать, но это не очень полезно.
• Я бы предпочел изменить пробел следующим образом: $$ E = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ непрерывен, за исключением конечного числа точек} \} $$ Если бы мы рассматривали только эти функции, то это пространство действительно было бы больше, чем $C(\mathbb{R})$, но оно все еще кажется достаточно элегантным, чтобы с ним можно было выполнять некоторые математические операции. Обратите внимание, что мы не можем рассматривать $f$, которые непрерывны, кроме как на счетном множестве (почему?). Если хотите, я могу более подробно рассказать, почему это пространство довольно красивое (однако для этого потребуется немного теории меры!).

Во всяком случае, я надеюсь, что это то, что вы искали!

исчисление

— Как мы можем определить предел постоянной функции?

Во-первых, давайте признаем тот факт, что в зависимости от пространства, в котором вы работаете, может быть более одного определения предела. Например, предел функции для данного элемента домена, где и домен, и кодовый домен имеют некоторую меру, вы, вероятно, пойдете с определением $\epsilon — \delta$, а если вы говорите об ограничении бесконечной последовательности, вы необходимо иметь определение последовательности. Они связаны, но не совсем одно и то же.

Цитата, которую вы цитируете из этой статьи в Википедии, на которую вы ссылаетесь, использует некоторое текстовое объяснение, чтобы облегчить понимание идеи предела, но это не точно в математические термины. Это должно только облегчить понимание идеи.

Теперь, если вы хотите как-то определить значение «подхода», вам придется взглянуть на определение лаймов. Независимо от выбранного вами определения (перефразированного на более распространенный английский):

$c$ — это $\lim$ $f$ в (что-то — либо элемент в вашем домене, либо что-то, что равно рядом с вашим доменом), если независимо от того, насколько близко вы хотите быть к $c$ (выбрав $\epsilon > 0$, вы можете определить некоторые условия, ограничивающие, какой элемент $x$ вы можете выбрать из своего домена — закройте туда, где вы хотите находиться в своем домене, чтобы для любого $x$ из вашего домена, выбранного таким образом, было верно, что вы находитесь настолько близко к $c$, насколько хотели, т. е.

$|f(x) — c| < \эпсилон$

Это не настоящая цитата, это обобщение-перефразировка.

Таким образом, по-прежнему используя обычное английское объяснение, если вы приблизитесь в своем домене к некоторому $x_0$, вы будете близки к некоторому $c$ в вашем кодовом домене. Если вы уже в $c$, вы также очень, очень близко.

Здесь нет ничего о приближении, но в большинстве случаев большинство ваших значений даже около ваш $x_0$ дает значение, отличное от $c$, поэтому использование термина подход облегчает читателю понять. Но если тебе уже в $c$ технически вы не приближаетесь к , но это не делает определение недействительным. Поэтому, если вы не хотите правильно определить подход, вам придется сказать, что вы либо очень близки к сути, либо уже там.

Обратите внимание, что ваша функция может иногда переходить к $c$, а затем выходить из него.