Линейные операции над векторами Сложение векторов
Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к точке (концу вектора ) и получим вектор (рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор называется суммой векторов и и обозначается . Это нахождение суммы называется правилом треугольника.
Сумму двух неколлинеарных векторов и можно найти по правилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки векторы и , а затем строим параллелограмм (рис. 1.7,6). Диагональ параллелограмма определяет сумму: .
Для нахождения суммы
нескольких векторов можно построить
ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий
начало первого вектора ломаной с концом
последнего ее вектора, равен сумме всех
векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена
сумма четырех
векторов .
Таким способом (правило ломаной)
можно сложить любое конечное число
векторов. Заметим, что сумма векторов
не зависит от точек приложения слагаемых
и от порядка суммирования.
Вычитание векторов
Вектор называется противоположным вектору , если их сумма равна нулевому вектору: . Противоположный вектор имеет длину , коллинеарен и противоположно направлен вектору (рис.1.8,а,б). Нулевой вектор является противоположным самому себе.
Разностью векторов и называется сумма вектора с вектором , противоположным вектору :
Для нахождения разности векторов и приложим к произвольной точке векторы , а также вектор , противоположный вектору (рис.1.9,а). Искомую разность находим по правилу параллелограмма:
Для нахождения разности
проще использовать правило треугольника
(рис. 1.9,6). Для этого прикладываем к
произвольной точке
векторы
.
Вектор при
этом равен искомой разности .
Вычитание векторов — действие, обратное сложению — можно определить также следующим образом: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор (рис.1.9,в), т.е. разность — это решение уравнения .
Пример 1.2. Для векторов на рис. 1.6 найти следующие суммы и разности:
Решение. Учитывая равенство , получаем по правилу треугольника .
Поскольку и , то .
По правилу параллелограмма .
Так как и , находим
Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на действительное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора равна , т.е. ;
2) векторы и коллинеарные ;
3) векторы и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если .
Произведение нулевого
вектора на любое число считается
(по определению) нулевым вектором: ;
произведение любого вектора на число
нуль также считается нулевым вектором: .
а) при умножении на единицу вектор не изменяется: ;
б) при умножении вектора на получается противоположный вектор: ;
в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число , обратное .
г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножении на число получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором .
Действительно, длина вектора равна единице: .
Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором , так как ;
д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна .
На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора на и , а также противоположный вектор .
Видео с вопросами: нахождение суммы векторов, показанных на сетке
Стенограмма видео
Какие три вектора, показанные на диаграмме, при суммировании дают вектор с нулевой величиной?
Здесь у нас есть диаграмма, показывающая пять различных векторов.
Для трех векторов, сложенных вместе, чтобы получить вектор с нулевой величиной, это означает, что если мы начнем с начала координат и сложим вместе три вектора, используя метод кончика к хвосту, они должны вернуться обратно в начало координат. Таким образом, в этом примере сумма 𝐀 плюс 𝐁 плюс 𝐂 является нулевым вектором, который имеет нулевую величину.
Еще один способ представить это, если мы запишем наши векторы в компонентной форме, то есть 𝐀 равно 𝑎 sub 𝑥 𝐢 hat плюс 𝑎 sub 𝑦 𝐣 hat, 𝐁 равно 𝑏 sub 𝑥 𝐢 hat плюс 𝑏 sub 𝑦 𝐣 hat, а 𝐂 равно 𝑐 sub 𝑥 𝐢 hat и 𝑐 sub 𝑦 𝐣 hat — тогда 𝑎 sub 𝑥 плюс 𝑏 sub 𝑥 плюс 𝑐 sub 𝑥 должны быть равны нулю. И 𝑎 sub 𝑦 плюс 𝑏 sub 𝑦 плюс 𝑐 sub 𝑦 также должны быть равны нулю.
Если мы начнем с рассмотрения горизонтальных составляющих пяти векторов, из которых нам предстоит выбирать, мы увидим, что у нас есть два с отрицательными горизонтальными составляющими и три с положительными горизонтальными составляющими. Чтобы горизонтальные компоненты в сумме равнялись нулю, у нас должно быть хотя бы по одному положительному и отрицательному.
Мы не можем просто суммировать три вместе с положительными горизонтальными компонентами, так как это будет уводить нас все дальше и дальше от начала координат в горизонтальном направлении. Следовательно, три выбранных нами вектора должны включать 𝐏 или 𝐐.
Итак, начнем с вектора 𝐏. От кончика вектора 𝐏 нам нужно двигаться в положительном направлении как по горизонтали, так и по вертикали, поэтому вектор 𝐑 кажется хорошим выбором. Итак, давайте сдвинем вектор 𝐑 вниз так, чтобы его хвост коснулся кончика вектора 𝐏. Отсюда у нас возникает проблема, потому что от кончика нашего нового вектора 𝐑 нам нужно, чтобы наш третий вектор шел вертикально вверх без горизонтальной составляющей. И нет вектора, соответствующего этому описанию. Так что, похоже, начинать с вектора 𝐏 было не лучшим выбором.
Вместо этого попробуем начать с вектора 𝐐. Начиная с вершины вектора 𝐐, нам нужно что-то, что идет в положительном направлении по горизонтали и в отрицательном направлении по вертикали.
Так что мы можем попробовать вектор 𝐒. Однако, если мы переместим вектор 𝐒 так, чтобы его хвост коснулся кончика вектора 𝐐, мы окажемся на горизонтальной оси, а это означает, что теперь нам нужно что-то, что идет в положительном направлении по горизонтали без вертикальной составляющей. И у нас нет вектора, соответствующего этому описанию.
Но у нас есть другой выбор вектора с положительной горизонтальной составляющей и отрицательной вертикальной составляющей. И это вектор 𝐓. Сдвинем вектор 𝐓 так, чтобы его хвост коснулся кончика вектора 𝐐.
Теперь нам нужно, чтобы наш третий вектор имел положительные горизонтальные и положительные вертикальные компоненты. И есть только один вариант — вектор 𝐑. Если мы переместим вектор 𝐑 так, чтобы его хвост коснулся кончика вектора 𝐓, то мы получим наш результирующий вектор, который указывает обратно в начало координат.
Таким образом, сумма трех векторов 𝐐, 𝐓 и 𝐑 дает нам нулевой вектор. Таким образом, три вектора, которые можно сложить вместе, чтобы получить вектор с нулевой величиной, это 𝐐, 𝐑 и 𝐓.
Самый быстрый словарь в мире | Vocabulary.com
ПЕРЕЙТИ К СОДЕРЖАНИЮ
векторная сумма вектор, являющийся суммой двух или более других векторов
факторизация, разбивающая целое число или многочлен на его делители
факторизация (математика) разложение объекта на множители таким образом, что при их умножении получается исходный объект
сад победы небольшой участок земли, использовавшийся для выращивания продуктов питания в военное время
викторианский преувеличенно правильный
победивший победивший
вегетарианство диета, полностью исключающая мясо и рыбу
победоносно победоносно
Виктория бисквит торт, состоящий из двух слоев бисквита с желейной начинкой между ними
Слива Виктория большая красная слива, подаваемая в качестве десерта
-
виктимизация акт эксплуатации или несправедливого обращения с кем-либо
Виктор Гесс Американский физик (родившийся в Австрии), первооткрыватель космического излучения (1883-1964)
56″>Викторианский человек, живший в девятнадцатом веке
