Четырехугольник
Определение четырехугольника
Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.Четырехугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.
Свойства четырехугольников
Четырехугольник может быть:- Самопересекающимся
- Невыпуклым
- Выпуклым
Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен красным цветом)
Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.
Особые виды четырехугольников
Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:
- Параллелограмм
- Ромб
- Прямоугольник
- Квадрат
- Трапеция
- Дельтоид
- Контрпараллелограмм
Подробнее о каждом из особых видов четырехугольника можно узнать, перейдя по ссылкам выше.
Как видно из рисунка, особые виды четырехугольников наследуют свойства своих «предков». Например, прямоугольник (на рисунке показан темно-синим цветом) является особым случаем параллелограмма (на рисунке показан голубым цветом). Таким образом, у него сохраняются все его свойства и добавляются свои, особенные. Поэтому при решении задач про прямоугольники можно применять все свойства и теоремы параллелограмма.
Квадрат (на рисунке показан оранжевым цветом) — частный случай прямоугольника. То есть квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника, а также и свои, особенные. Но, самое интересное, квадрат также является частным случаем ромба (на рисунке показан красным цветом), то есть, кроме указанных (параллелограмм, прямоугольник), он обладает еще и всеми свойствами ромба.
Также, интересными особыми случаями четырехугольника являются трапеция и дельтоид.
Четырехугольник и окружность
Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).
Главное свойство описанного четырехугольника:
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.
Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)
Главное свойство вписанного четырехугольника:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов
Свойства длин сторон четырехугольника
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.
|a -b| ≤ c + d
|a -c| ≤ b + d
|a -d| ≤ b + c
|b -c| ≤ a + d
|b -d| ≤ a + b
|c -d| ≤ a + b
Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.
a ≤ b + c + d
b ≤ a + c + d
c ≤ a + b + d
d ≤ a + b + c
Соотношение сторон и диагоналей может быть выражено формулой
Неравенство Птолемея
Произведение длин диагоналей четырехугольника меньше или равно сумме произведений противоположных сторон четырехугольника.
Теорема Гаусса
Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения диагоналей и точку пересечения этих двух пар противоположных сторон.Соотношение Бретшнайдера
Произведение квадратов диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равно сумме произведений квадратов его противоположных сторон минус удвоенное произведение всех его сторон, которое умножено на косинус суммы двух противоположных углов.
Формула Эйлера
Квадрат двойного расстояния между серединами диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равен сумме квадратов его сторон минус сумма квадратов его диагоналей
Средние линии четырехугольника
У каждого четырехугольника есть три средние линии.
Средними линиями несамопересекающегося четырехугольника называются отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон (первая и вторая) и отрезок, соединяющий середины его диагоналей.
На рисунке средние линии четырехугольника отмечены пунктирными линиями.
Центроид четырехугольника
Центроидом четырехугольника называется точка пересечения всех его средних линий.Обобщенная теорема Ньютона
Средние линии несамопересекающегося четырехугольника, образуемые серединами противолежащих сторон (первая и вторая средняя линия) и отрезком, соединяющим середины диагоналей (третья средняя линия) пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника и его центроид также называется прямой Ньютона.
(см. рисунок выше)
Теорема Вариньона
Четырёхугольники, которые образуются отрезками, соединяющими середины противолежащих сторон (GIHJ), а также середины диагоналей четырехугольника и середины противолежащих сторон (EHFG, JEIF) являются параллелограммами.
Эти параллелограммы называются параллелограммами Вариньона.
Четырехугольник, образованный серединами противолежащих сторон (на рисунке обозначен пунктирной линией GIHJ) называется
- Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
- Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
- Площадь большого параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника
- Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними
- Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей
Содержание главы:
- Существование четырехугольника
- Периметр четырехугольника
- Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника
- Углы четырехугольника
- Правильный четырехугольник (квадрат).
Правильний чотирикутник (квадрат)
Правильний чотирикутник (квадрат)- Ромб
- Трапеция
- Площадь трапеции
- Высота трапеции
- Трапеция (задачи про основания)
- Диагонали трапеции
- Прямоугольная трапеция
- Равнобокая (равнобедренная) трапеция
- Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции
- Высота равнобедренной трапеции
- Равнобокая трапеция
- Равнобокая трапеция (часть 2)
- Трапеция, описанная вокруг окружности
- Параллелограмм
- Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны
- Параллелограмм (часть 2)
- Площадь параллелограмма
- Высота параллелограмма
- Прямоугольник
- Периметр прямоугольника
- Периметр и площадь прямоугольника
0
Вписанная в треугольник окружность | Описание курса | Существование четырехугольника
Вписанный и описанный четырехугольники: свойства, признаки, диагонали
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.
Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны
Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.
Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.
Теорема 9.
Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.
Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.
Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.
Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
Ответ: 122.
Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Решение:
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
Ответ: 12.
Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Решение:
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Ответ: 10.
Задача 4. Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна
Поэтому
Ответ: 148.
Задача 5. Углы четырехугольника относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть
Сумма всех углов четырехугольника равна
А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).
Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:
Подставляем второе уравнение в первое и получаем
Ответ: 90.
Задача 6.
Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .
Поэтому
Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е.
Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е.
Ответ: 107.
Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и
Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.
Тогда или
Сумма дуг и составляет
Вписанный угол А равен половине дуги т.е.
Ответ: 15.
Задача 8.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение:
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна
Выразим сторону квадрата через его диагональ:
Ответ: 32.
Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Решение:
Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.
Ответ: 6.
Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение:
Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями
Тогда боковые стороны
Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.
к. и равносторонний, т.к. Поэтому
– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и
Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –
Ответ: 6.
Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.
Решение:
Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.
Ответ: 12.
Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований
Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:
Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
Ответ: 5.
Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и
Решение:
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.
В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как
Радиус окружности равен половине диаметра:
Ответ: 9.
Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому
Ответ: 8.
Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Решение:
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).
Боковая сторона тогда боковая сторона
Радиус вписанной окружности равен половине т.
е. 2.
Ответ: 2.
Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Решение:
Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:
Ответ: 28.
Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
Ответ: 16.
Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.
Решение:
Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:
Ответ: 16.
Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12.
Найти радиус вписанной окружности.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.
Рассмотрим равнобедренную трапецию
Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),
Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .
Радиус вписанной окружности
Ответ: 6.
Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),
Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:
Ответ: 7.
Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ.
Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.
Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а
Решение:
Обозначим Тогда
Обозначим также
Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.
Значит, Отсюда
Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника
При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это
Пусть
Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:
Из
Из
Из
Из
Мы получили систему уравнений.
Сложив первое и третье из них и выразив как получим:
Кроме того, Это мы нашли в самом начале.
Из системы уравнений
находим:
Значит,
Перестроим чертеж.
Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.
Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.
Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.
По условию, , тогда
опирается на диаметр.
– прямоугольный, – его гипотенуза.
По теореме Пифагора для :
Отсюда
Ответ: 40.
Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
| Справочник по математике | Геометрия (Планиметрия) | Четырехугольники |
| Вписанные четырехугольники и их свойства |
| Теорема Птолемея |
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1.
Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.
Рис.1
Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.
Доказательство. Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.
Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Рис.2
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
|
| Окружность, описанная около параллелограмма | |
| Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | |
| Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | |
| Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | |
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | |
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
| |
| Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. |
| Окружность, описанная около ромба |
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. |
| Окружность, описанная около трапеции |
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. |
| Окружность, описанная около дельтоида |
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. |
| Произвольный вписанный четырёхугольник |
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, |
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).
Рис.3
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Рис.4
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE.
Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
| (1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
| (2) |
Складывая равенства (1) и (2), получаем:
Теорема Птолемея доказана.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Четырехугольник в четырехугольнике
Возраст от 14 до 18 лет
Уровень сложности
Клара из школы Херлуфсхольм в Дании прислала несколько наблюдений:
Я заметил, что четырехугольники, образованные путем соединения середины, всегда имеют две пары параллельных сторон. Это означает, что формируемая форма всегда является квадратом, прямоугольником или параллелограммом. Никаких контрпримеров этому вроде бы не было. Это связано с тем, что когда вы перемещаете одну точку (например, C) и оставляете все остальные точки неизменными, две точки новой формы перемещаются (R и S). Это означает, что
верхняя и нижняя кромки не меняют угол (RS и QP). Однако две другие стороны перемещаются, но с той же скоростью и, следовательно, также остаются параллельными.
PQRS всегда имеет половину площади ABCD. Один из способов показать, что это всегда верно, — провести линию через точки SQ и RP, как показано на прилагаемом рисунке. Когда вы возьмете четверть всего изображения, вы увидите еще один четырехугольник с линией, проходящей через середину (как показано на рисунке под цифрой 1).
Если фигура ABCD вогнутая, соотношение площадей ABCD и PQRS по-прежнему составляет 2:1.
Наблюдения и предсказания Клары верны, но этот способ показать, что PQRS имеет половину площади ABCD, не всегда будет работать. Например, на картинке Клары 3 треугольники в частях разного размера. Это показано ниже. На изображении справа желтый треугольник повернут, чтобы показать, что его площадь меньше, чем у красного.
треугольник.
Самвит из средней школы Мейсона в США прислал это строгое доказательство:
Новый четырехугольник всегда будет параллелограммом.
Для этого доказательства CASTC означает, что соответствующие углы подобных треугольников конгруэнтны, что является частью определения подобного треугольника (например, CPCTC).
Возьмем произвольное изображение четырехугольника, где
E — середина отрезка AB.
F — середина отрезка ВС.
G — середина отрезка CD.
H — середина отрезка DA.
Доказательство двух колонок:
| Заявление | Причина |
|---|---|
| E — середина отрезка AB | Дано |
| сегмент AE конгруэнтен сегменту EB | Определение средней точки |
| АЕ = ЕВ | Определение конгруэнтности |
| АЭ + ЭБ = АВ | постулат добавления сегмента |
| ЭБ + ЭБ = АБ | Замена |
| 2(ЕВ) = АВ | Упростить |
| угол EBF равен углу ABC | Рефлексивное свойство |
| F — середина BC | Дано |
| сегмент FC конгруэнтен сегменту BF | Определение средней точки |
| ФК = БФ | Определение конгруэнтности |
| ФК + БФ = БК | Постулат добавления сегмента |
| БФ + БФ = БК | Замена |
| 2(БФ) = БК | Упростить |
| треугольник EBF подобен треугольнику ABC | Аналог SAS |
| угол CAB равен углу FEB | КАСТК |
| Сегмент AC параллелен сегменту EF | Обратное обращение соответствующих углов |
| G — середина отрезка CD | .Дано |
| Отрезок GC конгруэнтен отрезку GD | Определение средней точки |
| ГК = ГО | Определение конгруэнтности |
| ГХ + ГД = КД | постулат сложения сегментов |
| ГД + ГД = CD | Замена |
| 2(GD) = CD | Упростить |
| угол CDA равен углу GDH | Рефлексивное свойство |
| H — середина DA | Дано |
| сегмент AH конгруэнтен сегменту DH | Определение средней точки |
| АХ = ДХ | Определение конгруэнтности |
| AH + DH = DA | Постулат добавления сегмента |
| ДХ + ДХ = ДА | Замена |
| 2(ДХ) = ДА | Упростить |
| треугольник CDA подобен треугольнику GDH | Аналог SAS |
| угол DAC равен углу DHG | КАСТК |
| Сегмент AC параллелен сегменту HG | Обратное обращение соответствующих углов |
| Сегмент EF параллелен сегменту HG | Переходное свойство параллельных прямых |
| АЭ + ЭБ = АВ | Постулат сложения сегментов |
| АЭ + АЭ = АВ | замена |
| 2(АЕ) = АВ | Упростить |
| Угол HAE равен углу DAB | Рефлексивное свойство |
| AH + DH = DA | Постулат сложения сегментов |
| АХ + АХ = ДА | Замена |
| 2(АН) = ДА | Упростить |
| Треугольник HAE подобен треугольнику DAB | SAS аналог |
| Угол AHE равен углу ADB | КАСТК |
| Сегмент DB параллелен сегменту HE | Обратное обращение соответствующих углов |
| ФК + БФ = БК | Постулат сложения сегментов |
| ФК + ФК = БК | Замена |
| 2(ФК) = БК | Упростить |
| Угол FCG равен углу BCD | Рефлекс |
| ГЦ + ГД = КД | Постулат сложения сегментов |
| ГК + ГК = CD | Замена |
| 2(ГХ) = CD | Упростить |
| Треугольник FCG подобен треугольнику BCD | Аналог SAS |
| Угол CGF равен углу CDB | КАСТК |
| Сегмент DB параллелен сегменту GF | Обратное обращение соответствующих углов |
| Сегмент HE параллелен сегменту GF | Переходное свойство параллельных прямых |
| EFGH — параллелограмм | Определение параллелограмма (противоположные стороны параллельны) |
Наяника из школы для девочек Тиффин в Великобритании доказала, что площадь маленького четырехугольника составляет половину площади большого четырехугольника.
Доказательство Наяники использует тот факт, что маленький четырехугольник является параллелограммом (хотя в одном месте она пишет «прямоугольник», доказательство работает для любого параллелограмма). Это работа Наяники:
Видео из средней школы Srednja Å¡ola ÄŒrnomelj в Словении использовал более короткий метод, чтобы доказать, что фигура является параллелограммом, а также доказал результат о площадях. Нажмите здесь, чтобы увидеть работу Вида.
Мармик из Индии доказал, что площадь PQRS составляет половину площади ABCD, используя формулу площади треугольника $\frac12ab\sin{C}$. Нажмите здесь, чтобы увидеть работу Мармика.
Ана использовала координатную геометрию для получения двух результатов. Нажмите здесь, чтобы увидеть работу Аны.
Локальный подход к вычислению гладких B-сплайновых поверхностей для произвольных четырехугольных базовых сеток | Дж. Вычисл. Инф. науч. англ.
Пропустить пункт назначения навигации
Научно-исследовательские работы
Деннис Мосбах,
Катя Шладиц,
Бернд Хаманн,
Ханс Хаген
Информация об авторе и статье
Электронная почта: dennis.
[email protected]
Электронная почта: [email protected]
Электронная почта: [email protected]
Электронная почта: [email protected]
Дж. Вычисл. Инф. науч. Eng . Feb 2022, 22(1): 011003 (10 страниц)
Номер статьи: JCISE-19-1302 https://doi.org/10.1115/1.4051121
Опубликовано в Интернете: 13 июля 2021 г.
История статьи
Получен:
26 октября 2019 г.
Пересмотренный Просмотры
- Содержание артикула
- Рисунки и таблицы
- Видео
- Аудио
- Дополнительные данные
- Экспертная оценка
- MailTo
- Твиттер
Иконка Цитировать Цитировать
Разрешения
Citation
Мосбах Д.
, Шладиц К., Хаманн Б. и Хаген Х. (13 июля 2021 г.). «Локальный подход к вычислению гладких поверхностей B-сплайнов для произвольных четырехугольных базовых сеток». КАК Я. Дж. Вычисл. Инф. науч. Eng . февраль 2022 г.; 22(1): 011003. https://doi.org/10.1115/1.4051121
Скачать файл цитаты:
- Рис (Зотеро)
- Менеджер ссылок
- EasyBib
- Подставки для книг
- Менделей
- Бумаги
- Конечная примечание
- РефВоркс
- Бибтекс
- Процит
- Медларс
Расширенный поиск
Abstract
Мы представляем метод аппроксимации данных поверхности произвольной топологии моделью гладко связанных B-сплайновых поверхностей. В большинстве существующих решений этой проблемы используются конструкции с ограниченными степенями свободы или они обеспечивают гладкость между поверхностями на этапе постобработки, что часто приводит к нежелательному поведению поверхности вблизи границ.
Наш вклад заключается в разработке локального метода для процесса аппроксимации. Мы вычисляем приближение гладкой поверхности B-сплайна без наложения ограничений на топологию четырехугольной базовой сетки, определяющей отдельные поверхности B-сплайна, используемые векторы узлов B-сплайна или количество контрольных точек B-сплайна. Точная непрерывность касательной плоскости, как правило, не может быть достигнута для набора поверхностей B-сплайна для произвольной базовой четырехугольной базовой сетки. Наш метод генерирует набор B-сплайновых поверхностей, которые приводят к почти касательной плоской непрерывной аппроксимации поверхности и являются водонепроницаемыми, т. е. непрерывными. Представленные примеры демонстрируют, что мы можем генерировать аппроксимации B-сплайнами с разницей векторов нормалей вдоль общих граничных кривых менее одного градуса. Наш подход также может быть адаптирован для локального использования других методов аппроксимации, ведущих к более высоким порядкам непрерывности.
Раздел выпуска:
Научные статьи
Ключевые слова:
большие данные и аналитика, вычислительная геометрия, системы автоматизированного проектирования, виртуальное прототипирование
Темы:
Аппроксимация, B-сплайны, Ошибки
Ссылки
1.
Hoschek
,
J.
,
Lasser
,
D.
и
Schumaker
,
L. L.
,
1993
,
AKED PETERSEMED GEOMETRIC
,
AK PETERESTERS ADDED 9008
,
AK PETERSELES PETERSERSEMELC9818181,
.
Натик, Массачусетс
.
2.
Farin
,
G.
,
2002
,
Кривые и поверхности для CAGD 90: A08 Практическое руководство 90: A080021, 5-е изд.,
Издательство Morgan Kaufmann
,
Берлингтон, Массачусетс
.
3.
PETERS
,
J.
и
FAN
,
J.
,
2010
, «
на комплексе Spack Surfaces от Quard Meshes», «
на комплексе Spack Surfaces от Quad Meshes».
”,
Вычисл. Помощник геом. Дес.
,
27
(
1
), стр.
96
–
105
.
4.
Хаманн
,
С.
,
Бонно
,
Г.-П.
, и
Caramiaux
,
B.
,
2008
,
Международная конференция по геометрическому моделированию и обработке
,
,
9008, Germany, 9000
9, Germany
.0008
, стр.
17
–
32
.
5.
Бонно
,
Г.
-П.
и
HAHMANN
,
S.
,
2014
, «
Гибкий G 1 Интерполяция Quad Meshes 9008 9001,
555558. Модели,
76
(
6
), стр.
669
–
681
.
6.
FAN
,
J.
и
PETERS
,
J.
,
2011
, «
Smooth Bi-3 Spline Surfaces с Neft Latots
88», «Smooth Bi-3 Supline с самым большим количеством HATS
8».”,
Вычисл.
Помощь Des.
,
43
(
2
), с.
7.
Eck
,
M.
, and
Hoppe
,
H.
,
1996
, “
Automatic Reconstruction of B-Spline Surfaces of Arbitrary Topological Type
»,
Труды 23-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным технологиям
,
Новый Орлеан, Лос-Анджелес
.
8.
Петерс
,
J.
,
1994
, « Constructing C 1 Поверхности произвольной топологии с использованием биквадратичных и бикубических сплайнов »,
Quality-Geves Computer Curves Designing and Shapes In Curves Model and Surfaces Designing,
N.
Sapidis
, ed.,
Siam
,
Philadelphia, PA
, стр.0021 .
9.
Milroy
,
M. J.
,
Bradley
,
C.
,
Vickers
,
G. W.
, and
Weir
,
D.
,
1995
, “
G 1 Непрерывность участков поверхности B-сплайна при обратном проектировании
”,
Comput. Помощь Des.
,
27
(
6
), стр.
471
–
478
.
10.
Лай
,
Ж.-Ю.
и
Уенг
,
W.-D.
,
2001
, “
G 2 Непрерывность для фитинга с несколькими поверхностями
”,
Внутр. Дж. Адв. Произв. Технол.
,
17
(
8
), стр.
575
–
585
.
11.
Shi
,
X.
,
Wang
,
T.
, and
Yu
,
P.
,
2004
, “
Практическая конструкция G 1 Гладкие биквинтовые B-сплайновые поверхности над произвольной топологией
”,
Вычисл. Помощь Des.
,
36
(
5
), стр.
413
–
424
8 90.12.
Lin
,
H.
,
Chen
,
W.
, and
Bao
,
H.
,
2007
, “
Адаптивный сетчатый фитинг на основе заплат для обратного инжиниринга
”,
Вычисл.
Помощь Des.
,
39
(
12
), стр.
1134
–
11428 .
13.
Лин
,
К.-Ю.
,
Хуан
,
C.-Y.
,
Лай
,
Ж.-Ю.
,
Цай
,
Ю.-К.
и
Уенг
,
В.-Д. Вычисл. Индустр. англ.
,
62
(
1
), стр.
226
–
244
8 90.
14.
Ю
,
Д.-Ж.
,
2011
, “
Трехмерная реконструкция поверхности костей человека с использованием метода интерполяции на основе B-сплайнов
”,
Вычисл. Помощь Des.
,
43
(
8
), стр.
934
–
947
8 9015.
Zhao
,
X.
,
Zhang
,
C.
,
XU
,
L.
,
XU
,
L.
,
.
0008
,
Yang
,
B.
и
FENG
,
Z.
,
2013
, «
й. для реверс-инжиниринга
»,
Информ. науч.
,
245
(
1
), с.
16.
Йошихара
,
H.
,
Yoshii
,
T.
,
Shibutani
,
T.
, and
Maekawa
,
T.
,
2012
, «
Топологически устойчивая реконструкция поверхности B-сплайна по облакам точек с использованием методов набора уровней и алгоритмов итеративной геометрической подгонки
»,
Вычисл. Помощник геом. Дес.
,
29
(
7
), стр.
422
–
434
17.
FAN
,
J.
и
PETERS
,
J.
,
2008
, «
на плавных BICUBIC SURFACE ”
Международный симпозиум по визуальным вычислениям
,
Лас-Вегас, Невада
, стр.
87
–
96
.
18.
Mourrain
,
B.
,
Vidunas
,
R.
, and
Villamizar
,
N.
,
2016
, «
Размеры и основания для геометрически непрерывных сплайнов на поверхностях произвольной топологии
»,
Вычисл. Помощник геом. Дес.
,
45
(
1
), стр.
108
–
133
.
19.
Blidia
,
A.
,
Mourrain
,
B.
, and
Villamizar
,
N.
,
2017
, “
G 1 – Гладкие сплайны на четырехъядерных сетках с 4-раздельными макропатч-элементами
”,
Вычисл. Помощник геом. Дес.
,
52
(
1
), стр.
106
–
125
8 90.20.
Eck
,
M.
,
DeRose
,
T.
,
Duchamp
,
T.
,
Hoppe
,
Х.
,
Лаунсбери
,
M.
и
Stuetzle
,
W.
,
1995
, «
Multyrestortion Analysis of Corbitrary Meshes
,
. по компьютерной графике и интерактивным технологиям,
Лос-Анджелес, Калифорния
, ACM, стр.
173
–
182
.
21.
Проект CGAL
,
2019
, CGAL User and Reference Manual, https://doc.cgal.org/4.14/Manual/packages.html, [Online; по состоянию на 14.10.2019].
22.
Huang
,
J.
,
Zhou
,
Y.
,
Niessner
,
M.
,
Shewchuk
,
J. R.
и
Guibas
,
L. J.
,
2018
, «
Quadriflow: масштабируемый и надежный метод для четырехугольной промышленности
,”
Computer Graphics Forum
,
37
(
5
,
37
(
5
,
37
(
5
,
37
(
9000 5,
37
(
9000 5,
37
(
5,
37
.
147
–
160
.
23.
Piegl
,
L.
, и
Tiller
,
W. 9008
05 2012
,
Книга NURBS
,
Springer Science & Business Media
,
Берлин, Германия
.
24.
Rogers
,
D. F.
, и
FOG
,
N.
,
1989
, «
Counted B-Spline Crue и Sweeptting
,Crouted B-Spline и поверхность
,
.
Вычисл. Помощь Des.
,
21
(
10
), стр.
641
–
648
.
25.
Hagen
,
H.
и
Schulze
,
G.
,
1987
, «
Automatic Swacking с Geometring Patches с GEOMETIRIN
Вычисл. Помощник геом. Дес.
,
4
(
3
), стр.
231
–
235
.
26.
Kraft
,
D.
,
1988
, «
Программный пакет для последовательного квадратичного программирования
»,
Forschl Раумфарт
.
27.
Джонсон
,
С. Г.
,
2014
, «
Пакет нелинейной оптимизации Nlopt
», http://github.com/stevengj/nlopt, [Онлайн; по состоянию на 14.10.2019].
В настоящее время у вас нет доступа к этому содержимому.
25,00 $
Покупка
Товар добавлен в корзину.
Проверить Продолжить просмотр Закрыть модальныйИспользование «четырехугольника» в предложении
«четырехугольник»
(1) Что это за четырехугольник ?
(2) Квадрат правильный Четырехугольник .
(3) Квадрат правильный Четырехугольник .
(4) Ромб — касательный четырехугольник
(5) В Гомоле панцирь — четырехугольник .
(6) Ромб тангенциальный четырехугольник .
(7) Воздушный змей — это четырехугольник с одной линией симметрии.
(8) Пусть ABCD — произвольный четырехугольник , образованный шарнирными звеньями.
(9) Имеет форму четырехугольника , вытянутого от С.З.
(10) Представляет собой четырехугольник по форме со стороной около 2 м.
предложение для «четырехугольника»
(11) Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами.
(12) Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами.
(13) Воздушный змей — это четырехугольник с одной линией симметрии.
(14) (1) Воздушный змей — это четырехугольник с одной линией симметрии.
(15) Ножницы измененные Четырехугольник в параллелограмм.
(16) Сдвиг превратил четырехугольник в параллелограмм.
(17) Представлен новый четырехугольник гибочный элемент тонкой пластины.
(18) Для четырехугольника ABCD найти P, минимизирующее AP + BP + CP + DP.
(19) Представлен новый четырехугольник гибочный элемент тонкой пластины.
(20) Именно этот четырехугольник KLMN нас будет интересовать.
(22) Они известны как диагонали полного четырехугольника .
(23) Какова форма этого стеклянного здания четырехугольника пирамиды.
(24) Какова форма этого стеклянного здания? четырехугольник пирамида.
(25) Я четырехугольник . У меня есть только пара параллельных сторон. Кто я?
(26) Следуйте четырехугольнику прокатке, увеличьте точность и уменьшите ошибку.
(27) Следуйте четырехугольнику прокатке, увеличьте точность и уменьшите ошибку.
(28) Я четырехугольник . У меня есть только 1 пара параллельных сторон. Кто я?
(29) Полный четырехугольник есть не что иное, как 4-прямая в терминологии Морли.
(30) Четырехугольник имеет ширину 10 м на востоке и только 7 м на западе.
«четырехугольник» предложение
(31) Параллелограмм — это четырехугольник , образованный двумя наборами параллельных прямых.
(32) При соединении четырех точек они образуют четырехугольник — четырехстороннюю фигуру.
(33) Представлен новый алгоритм автогенерации сетки произвольного четырехугольника .
(34) Представлен новый алгоритм автогенерации сетки произвольного четырехугольника .
(35) Разработаны методы, гарантирующие все четырехугольник поверхностей были плоскими.
(36) Эта точка обозначена A 3b, чтобы подчеркнуть, что это вырожденный четырехугольник .
(37) Билинейный Четырехсторонний метод был использован для разделения спиральной водной стенки и ребра.
(38) Декоративная упаковочная бумага покрывала каждую из четырех сторон четырехугольной коробки .
(39) По форме четырехугольник с мысовидным продолжением в Бельгию на севере.
(40) Подвиг Джонса 1930 некоторое время был известен как неприступный четырехугольник гольфа.
«четырехугольник» примеры предложений
(41) 1Билинейный четырехугольник метод был использован для подразделения спирально водной стенки и ребра.
(42) Для эмоционального резонанса флаги почти так же сильны, как четырехугольник ткани может быть.
(43) Для эмоционального резонанса флаги настолько же сильны, как четырехугольник ткани.
(44) Любые четыре звезды, из которых ни одна из трех не лежит на одной прямой, образуют форму четырехугольника .
(45) Бобби Джонс завершил второй этап своего неприступного четырехугольника 1930 Большого Шлема здесь.
(46) Понятно с четырехугольник случай, когда эти пространства имеют несколько компонент связности.
(47) Бобби Джонс завершил второй этап своего неприступного четырехугольника 1930 Большого Шлема здесь.
(48) Формулировка двухмерного изопараметрического четырехугольного элемента выполняется для анализа методом конечных элементов.
(49) Схема поперечного сечения представляет собой четырехугольник , имеющий поверхность стопы, тыльную поверхность и две стороны.
(50) Лист изобилатеральный, устьица четырехстороннее и распространяется только в нижнем эпидермисе.
предложение с «четырехугольником»
(51) Формулировка 2 — D изопараметрического четырехугольного элемента выполняется для конечно-элементного анализа.
(52) Лист изобилатеральный, устьица четырехстороннее и распространяется только в нижнем эпидермисе.
(53) 1 Лист равносторонний, устьица четырехсторонние и распространяется только в нижнем эпидермисе.
(54) Так как это четырехсторонняя фигура, то квадрат можно также назвать четырехугольником или многоугольником.
(55) Сад в форме четырехугольника содержал разные овощи в каждом из четырех квадрантов.
(56) По форме неправильный четырехугольник , но его берега, за исключением запада, глубоко изрезаны.
(57) Перед всем классом ее учитель болтал о том, как доказать, что четырехугольник является квадратом.
(58) Периметр стены до 2,75 м. толстый, окружает неправильный четырехугольник площадью около 1,59 га.
(59) Квадрат – это четырехугольник , у которого четыре стороны одинаковы и все четыре угла прямые.
(60) Испекли треугольный торт, но невеста настояла на четырехугольном десерте с дополнительным бортиком.
используйте «четырехугольник» в предложении
(61) Выползая в тишину, мышь обшарила каждую сторону четырехугольника эллинга в поисках еды.
(62) На основе теории конечных элементов программа изопериметрического четырехугольного элемента составлена с использованием программного обеспечения MATLAB.
(63) Изопараметрический элемент произвольного четырехугольника играет важную роль в анализе методом конечных элементов.
(64) Изопараметрический элемент произвольного четырехугольника играет важную роль в анализе методом конечных элементов.
(65) На основе теории конечных элементов программа изопериметрического четырехугольного элемента составлена с использованием программного обеспечения MATLAB.
(66) Изготовитель пиццы использовал тесто, чтобы сформировать еще один прямоугольник, и уложил каждую корочку стопкой в четырехугольник поддон.
(67) Рассмотрим первый нетривиальный пример задачи равных площадей, четырехугольник , показанный на рисунке 1. четырехугольник соответственно.
(69) Надстройка этого типа может быть возведена на фундаментах круглой или четырехугольной формы контуров.
(70) Программа для создания цилиндра и параллелепипеда путем выдавливания круга и четырехугольника соответственно.
предложение с использованием «четырехугольника»
(71) На основе теории конечных элементов программа изопериметрического четырехугольника элемента создается с использованием программного обеспечения MATLAB.
(72) Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортогональный четырехугольник имеет наибольшую площадь
(73) В рамках данного проекта золотой четырехугольник был объединен с коридорами Восток-Запад и Север-Юг.
(74) Клейн заметил, что при наличии пяти точек четыре из них всегда определяют выпуклый четырехугольник .
(75) В котором Барбара получает небольшой вкус кармической справедливости, поскольку вечный треугольник становится четырехугольник .
(76) Из всех выпуклых четырехугольников s с заданными диагоналями ортогональный четырехугольник имеет наибольшую площадь.
(77) Внутренняя часть ячейки была дискретизирована в пространстве с помощью 4/1 четырехугольника осесимметричных смешанных (u/p) твердотельных элементов.
(78) Оказывается, есть много разных пар четырехугольников фигур, которые образуют непериодический мозаичный узор.
(79) Как и на картине Симоны, все изображенные ковры состоят из рядов восьмиугольных или четырехугольных отсеков.
(80) Слово четырехугольник составлено из слов quad LRB, означающих четыре RRB, и lateral LRB, означающих стороны RRB.
предложения с «четырехугольником»
(81) Я вполне осознаю опасность изогнутых форм в отличие от относительной безопасности четырехугольника форм.
(82) Структура представляла собой сегментированный цилиндр высотой немногим более ста этажей, выступавший из четырехугольного основания.
(83) Каждая фигура была рассортирована по стопкам с единственным четырехугольником четырехугольником без соответствия.
(84) Двухлопастное жилое помещение имеет четырехугольные очертания и частично обрамлено горизонтальными бревнами и вертикальной плитой.
(85) Заняв одну из сторон комнаты четырехугольника , каждый из четырех братьев и сестер казался довольным своей спальней.
(86) Фигуры, рассмотренные в 22, являются частными случаями трапеции, представляющей собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами.
(87) Бетонный элемент был смоделирован с помощью четырехугольника изопериметрического элемента. И стали распределили на бетон.
(88) Бетонный элемент был смоделирован с помощью четырехугольника изопериметрического элемента. И стали распределили на бетон.
(89) Представленные мотивы и фигуры включают полихромные изображения бизонов, масок и четырехугольников знаков неизвестного значения.
(90) A четырехугольник На полях серии очередных встреч также запланирована встреча с Камбоджей, Лаосом и Вьетнамом.
предложение «четырехугольника»
(91) Он сообщил, что было принято решение о строительстве подъездных дорог к автомагистралям, строящимся по проекту золотого четырехугольника .
(92) Затем Беннин показал, что четырехугольник , образованный уравнителем треугольника, действительно всегда является пифагорейским четырехугольником .
(93) Бетонный элемент моделировался четырехугольником изопериметрический элемент. И стали распределили на бетон.
(94) Наконец, четырехугольники создаются для всей модели конструкции с использованием метода шаблона разделенной области.
(95) Рабочее устройство двухсекционное, четырехстороннее, телескопическая стрела, а вилочный узел бокового перемещения принят нормального типа.
(96) Устройство рабочее двухсегментное, четырехугольная телескопическая стрела и вилочный блок поперечного смещения приняты в нормальном типе.
(97) Я предполагаю, что эти кресты и четырехугольники вызваны окнами через улицу, отражающими свет заходящего солнца.
(98) В «Трактате о четырехугольнике » ат-Туси дал первое дошедшее до нас изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии.
(99) Далее представлены метод отображения и метод сопоставления, которые предназначены для четырехугольника разбиения умеренной сетки многообразия.
(100) Далее представлены метод отображения и метод сопоставления, которые предназначены для четырехугольника разбиения умеренной сетки многообразия.
«четырехугольник» предложения
(101) Плоский четырехугольник принят в качестве основного контура при построении уравнений перемещения, и даны четыре основных типа решений.
(102) Плоский четырехугольник принят в качестве основного контура при построении уравнений перемещений, и даны четыре основных типа решений.
(103) Метод аналитической пробной функции (ATF) был разработан на основе четырехугольной системы координат площади (QAC-II) для плоских элементов (ACATF).
(104) И наконец [MakeSentenceWith.com], четырехугольник сетки создаются для всей модели конструкции с использованием метода шаблона разделенной области.
(105) Метод аналитической пробной функции (ATF) был разработан на основе четырехугольной системы координат площади (QAC-II) для плоских элементов (ACATF).
(106) Угол известного четырехугольника (Рущук, Силистра, Шумла, Варна), но его укрепления были снесены в соответствии с Берлинским договором (1877 г.).
(107) Открытая история, он остается одним из величайших игроков, когда-либо игравших в эту игру, и известен своей неприступной четырехугольник — Большой шлем — победа в США
(108) A четырехугольник элемент изгиба пластины со степенями свободы, ACQ, разработан с использованием метода площадных координат и обобщенного согласующего подхода.
(109) Во втором случае, если выпуклый многоугольник представляет собой пятиугольник, включающий все пять точек, то любые четыре из этих точек можно соединить, образуя четырехугольник .
(110) Открытая история, он остается одним из величайших игроков, когда-либо игравших в эту игру, и известен своей неприступностью. (111) A Четырехугольник Изгибаемый пластинчатый элемент со степенями свободы, ACQ, разработан с использованием метода площадных координат и обобщенного согласующего подхода.
(112) А Четырехугольник Пластинчатый гибочный элемент с 12 степенями свободы, ACQ, разработан с использованием метода площадных координат и обобщенного согласующего подхода.
(113) В треугольных и прямоугольных элементах RFI эквивалентен координатам площади треугольной и билинейной полиномиальной интерполяции в четырехугольнике соответственно.
(114) В треугольных и прямоугольных элементах RFI эквивалентен координатам площади треугольной и билинейной полиномиальной интерполяции в четырехугольник соответственно.
(115) Так называемый Варненский четырехугольник , сыгравший важную роль в болгарской военной истории, состоит из крепостей Варна, Шумла, Рущук и Силистрия.
(116) Цель Наблюдение и изучение распределения и гистологических особенностей фасцикулярных групп дельтовидной мышцы в подмышечном нерве на уровне четырехсторонней зоны.
(117) Поверхность гребного винта и его хвостового вихря разделена на ряд небольших гиперболоидных четырехугольных панелей с постоянным стоком источника и дублетным распределением.
(118) 1Внутренние силы в растянутых мембранных конструкциях анализировались с использованием геометрической нелинейной теории конечных элементов с использованием изогнутых четырехугольных изопериметрических узловых элементов.
(119) Внутренние силы в растянутых мембранных конструкциях были проанализированы с использованием геометрической нелинейной теории конечных элементов с использованием криволинейных четырехугольник изопериметрические узловые элементы.
(120) Внутренние силы в растянутых мембранных конструкциях анализировались с использованием геометрической нелинейной теории конечных элементов с использованием изогнутых четырехугольных изопериметрических 8-узловых элементов.
предложение о «четырехугольнике»
(121) Внутренние силы в растянутых мембранных конструкциях анализировались с использованием геометрической нелинейной теории конечных элементов с использованием криволинейных четырехугольник изопериметрический 8 узловых элементов.
(122) Они сильно укрепили его в 1814 году, и вместе с Пескьерой, Мантуей и Леньяго он стал частью знаменитого четырехугольника , который до 1866 года был главной опорой их правления в Италии.
(123) Модель гармоничного перемещения произвольного четырехугольника пластинчатого элемента используется для анализа упругой фундаментной плиты произвольной формы в полубесконечном упругом основании.
(124) 1На основе геометрической нелинейной теории конечных элементов представлен изогнутый четырехугольник изопериметрический элемент с узлами для анализа начальной формы растянутых мембранных конструкций.
(125) Модель гармоничного смещения произвольного четырехугольника пластинчатого элемента используется для анализа упругой фундаментной плиты произвольной формы в полубесконечном упругом основании.
(126) А четырехугольник элемент для изгиба пластины с 12 степенями свободы, ACQ, [MakeSentenceWith.com] разработан с использованием метода координат площади и обобщенного согласующего подхода.
(127) Трапеция LRB в Северной Америке RRB или трапеция LRB в Великобритании и других странах RRB представляет собой четырехугольник , который определяется как форма с четырьмя сторонами, которая имеет один набор параллельных сторон.
(128) Основанный на геометрической нелинейной теории конечных элементов, изогнутый четырехугольник представлен изопериметрический элемент с 8 узлами для анализа начальной формы натяжных мембранных конструкций.
(129) 2Кроме того, параметрическая модель четырехугольника была предложена для решения задачи пересечения поверхности произвольной формы и линии и успешно применена для расчета центра инструмента.
(130) 1Кроме того, параметрическая модель четырехугольника была предложена для решения задачи о пересечении поверхности произвольной формы и линии и успешно применена для расчета центра инструмента.
Пример «четырехугольника»
(131) Кроме того, для решения задачи о пересечении поверхности произвольной формы и линии была предложена параметрическая модель четырехугольника , которая успешно применялась для расчета центра инструмента.
(132) В механизме взмахов используется параллельный четырехсторонний соединительный стержень, который приводит хвостовой плавник робота-рыбы, установленного на раме хвостового плавника, для периодического поступательного движения.
(133) Это не было частью олимпийской программы, когда Бобби Джонс был отмечен торжественным парадом в Нью-Йорке в честь его неприступного четырехугольника победы на Открытом чемпионате Великобритании, Британском любительском чемпионате, США
(134 ) В механизме взмахов используется параллельный четырехугольный соединительный стержень, который приводит хвостовой плавник робота-рыбы, установленного на раме хвостового плавника, для периодического поступательного движения.
(135) Римляне знали это созвездие как Арктос или Урсу; арабы называли четырехугольник , образованный четырьмя звездами a, 0, y, b, Na’sh, a bier, откуда его иногда называют Feretrum majus.
(136) Кроме того, параметрическая модель четырехугольника была предложена для решения задачи о пересечении поверхности произвольной формы и линии и успешно применена для расчета центра инструмента.
(137) 1На основе геометрической нелинейной теории конечных элементов (GNFE) криволинейный четырехугольник представлен изопериметрический элемент с узлами для анализа исходной формы натяжных мембранных конструкций.
(138) Мощность A четырехугольник состоит из полной мощности S, активной мощности P, реактивной мощности Q и мощности искажения N или состоит из треугольника мощности основной гармоники и треугольника мощности гармоники.
(139) Мощность A четырехугольник состоит из полной мощности S, активной мощности P, реактивной мощности Q и мощности искажения N или состоит из треугольника мощности основной гармоники и треугольника мощности гармоники.
(140) На основе теории геометрических нелинейных конечных элементов (GNFE) представлен изогнутый четырехугольник изопериметрический элемент с 8 узлами для анализа исходной формы растянутых мембранных конструкций.
«четырехугольник» в предложении
(141) Таким образом, небольшая и высоко поднятая часть государства простирается на восток от его крайнего северо-восточного угла и примыкает к большому афганскому четырехугольнику г. у тонкого звена долины Панджа.
(142) И Грациана в виде четырехугольника зала с четырьмя огромными гранитными колоннами (сейчас удалены) в центре, он был преобразован в церковь примерно в конце 4-го века и восстановлен епископом Никитием около 550 г.
(143) Четырехугольник , например, состоит из двух треугольников, и его площадь равна произведению половины длины одной диагонали на сумму перпендикуляров, проведенных к этой диагонали из двух других углов.
точки.
(144) Как расположить плоскость четырехугольник заданной формы так, чтобы его геометрическая тень была квадратом; как разместить эллиптический диск с небольшим отверстием в нем, чтобы тень была круглой с ярким пятном в центре, в.
(145) Мы руководствовались при выборе конкретного четырехугольника принятым правилом расположения сторон таким образом, чтобы одинаковые буквы обозначали соответствующие стороны на схеме системы координат и ее обратной.
(146) Банк представляет собой характерное здание, четырехугольник , массивное и низкое, но занимающее большую площадь, без внешних окон и почти полностью неукрашенное; хотя северо-западный угол скопирован с храма Сивиллы в Тиволи.
(147) Баланс регулируется путем шунтирования AD или BD коробкой S, содержащей от 20 до 100 Ом. Все провода в четырехугольнике должны быть из того же металла, что и AB, чтобы избежать случайных термоэлектрических эффектов, которые могут исказить результат.
(148) Наконец, Чешско-Моравские горы, которые окружают Чехию и Моравию и образуют так называемый четырехугольник Чехии, образуют связь австрийской горной системы с холмистой областью (Миттельгебирге) Центральная Европа.
(149) Ассоциированные слова: боковой, латеральный, латеральный, коллатеральный, двусторонний, равносторонний, четырехсторонний , продольный, односторонний, многосторонний, периметр, симметричный, амбидекстральный, симметричный. сторона, а. боковой, побочный, случайный. бок о бок. в приложении.
(150) Кап. 5) мы находим коррелированную проблему изображения солнца, проходящего через четырехугольное отверстие , которое всегда кажется круглым, и далее он отмечает лунообразное изображение затмеваемого солнца, проецируемое таким же образом через промежутки листвы или решетки- Работа.
«quadrilateral» предложения на английском языке
(151) Связанные слова: lateral, laterality, laterally, collateral, двусторонний, равносторонний, четырехугольник , продольный, односторонний, многосторонний, периметр, амбидекстр, амбидекстр, амбидекстрия.
сторона, а. боковой, побочный, случайный. бок о бок. в приложении.
(152) Если при фиксированном АВ четырехугольник 3 слегка деформировать, то очевидно, что мгновенный центр J будет — находиться на пересечении — .~ прямых AD, BC, так как s перемещения точек D, C обязательно перпендикулярны к AD, BC соответственно.
(153) В Шотландии, даже во времена правления Якова VI, лорды парламента всегда назначались баннеретами, а также баронами при их вступлении в должность, часть церемонии заключалась в демонстрации знамени и т. д. Таким образом, бароны-мажоры имели право на привилегию иметь одного слугу, который носил перед ними в поле четырехугольника формы.
(154) Какое современное определение » четырехугольник «?
(155) Как использовать » четырехугольник » с примерами предложений.
(156) Если вам нужно объяснить кому-то, кто изучает английский язык, что » четырехугольник 7 «, что бы вы сказали?
(157) Может показаться, что вопрос простой, но значение слова « четырехугольник » может стать скользким.
» Я слышал до сих пор.
(159) » четырехугольник » — Определение, изображения, произношение и примечания к использованию.
(160) Какое лучшее определение » четырехугольник «?
(161) What is the definition of an » quadrilateral «?
(162) What Is » quadrilateral «? Detailed Definition and Meaning.
(163) Используйте » Квадратный наборок «В предложении.
(164) Слово» Кваровной «В примере предложения.
(165) Английский приговоры с Audio, используя Word» 9183 9000 3
(165) Английский приговоры с помощью Audio, используя Word «9183 3
(165) английский.
(166) Какое определение « четырехугольник » в Merriam-Webster. .)
(168) Как написать хорошее предложение с « четырехугольник «?
(169) » четырехугольник » примеры предложений.
(170) « четырехугольник «: В предложении.
(171) Вот 100 фантастических примеров предложений и словосочетаний со словом « четырехугольник ».
(172) Как объяснить четырехугольник «?
(173) Что я могу сказать, а не» Квадратный «?
(174) Что такое синоним для» квадратный «? Антоним для « Кваровной «?
(176) Что вы имеете в виду под « . (178) Какое лучшее определение « Квадратный «? (179) Что такое» Четырехугольный «Определение и значение? (180) Как использовать» . 181) Слово « четырехугольник » в примерах предложений.0005 (183) Основные значения « четырехугольник «. (184) Полное определение « четырехугольник ». (185) Полное значение « четырехугольник «. (186) Слово « четырехугольник » в примерах предложений. (187) Лучшее определение « четырехугольник «. (188) Определить » четырехугольник » в одном предложении, определите « четырехугольник » одним словом. (189) Что означает « четырехугольник » в предложении. (1901) Слово » четырехугольник «в примерах предложений. (191) Каково происхождение и корень » четырехугольник «.
Предложения повсюду. Когда вы впервые начали изучать английский язык, вы, возможно, запомнили такие слова, как английское значение слова «четырехугольник» ; Но теперь, когда вы лучше понимаете язык, у вас есть лучший способ выучить значение «четырехугольника» с помощью примеров предложений . Правда, есть еще слова, которых ты не знаешь. Но если вы узнаете целых предложений со словом «четырехугольник» вместо слова «четырехугольник» само по себе, вы можете выучить намного быстрее! Почему важно фокусироваться на предложениях? Опять же, без предложений нет настоящего общения. Если бы вы сейчас читали только слова, вы бы вообще не смогли понять, что я вам говорю. — Слово «четырехугольник» в примерах предложений. В английском языке для построения предложений используются все части речи. Все предложения состоят из двух частей: подлежащего и глагола (также известного как сказуемое). Подлежащее – это человек или предмет, который делает что-то или то, что описывается в предложении. Глагол — это действие, которое совершает человек или предмет, или описание человека или предмета. Если в предложении нет подлежащего и глагола, оно не является полным предложением (например, в предложении «Лег спать» мы не знаем, кто лег спать). Простое предложение с «четырехугольником» содержит подлежащее и глагол, а также может иметь дополнение и модификаторы. Однако он содержит только один независимый пункт. Сложное предложение со словом «четырехугольник» содержит как минимум два независимых предложения.
Без предложений язык не работает.
Сосредоточьтесь на изучении английского языка на предложениях со словом «четырехугольник».
Предложения — это больше, чем просто набор слов. Это мысли, идеи и истории. Точно так же, как буквы составляют слова, слова составляют предложения. Предложения формируют язык и придают ему индивидуальность.
— «четырехугольник» в предложении.
— Как использовать «четырехугольник» в предложении.
— 10 примеров предложений «четырехугольник».
— 20 примеров простых предложений «четырехугольник».
Четыре типа построения предложения.
Простые предложения со словом «четырехугольник»
Составные предложения со словом «четырехугольник»
