Действия со степенями с одинаковыми основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Содержание

Смысл степени с натуральным,отрицательным,дробным показателем,Правила действия над степенями: — МегаЛекции

1)Степени с натуральным показателем:

В стране чисел возникли проблемы. Астрономы собрались посчитать размеры видимой части Вселенной. Они утверждали, что для этого необходимо умножить 25 раз число 10 само на себя. Поскольку для этого требовалось очень много места, они требовали снести Дворец алгоритма Евкида, выставку чисел-близнецов и многие другие объекты. Хотя всем хотелось узнать, какая же наша Вселенная, но никому не хотелось жертвовать столь прекласными и ценными сооружениями. Была создана комиссия, которая занялась поисками требуемой свободной площади, но вскоре зашла в тупик.

Неожиданно положение Таблица умножения. Она рассказла свою историю: — Меня придумали для того, чтобы не складывать большое количество одинаковых слагаемых. Ведь теперь никто не пишет 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, теперь записывают 3 х 7. Это очень экономит место. Давайте придумаем что-нибудь похожее для умножения.

И сразу придумали. Число множителей стали записываь маленькой цифрой сзади числа:

Все выражение стали на зывать степенью, количество множителей (маленькую цифру сверху) – показателем степени, а сам множитель – основание степени.

Не прошло и получаса, как торжественно ввели новое действие – возведение в степень, как по стране чисел стали бегать 5⁶, 17⁴ и многие другие. Но только бегать неинтересно, хочется выполнять сложение, умножение, вычитание, то есть вести себя как все порядочные числа. и ту возникли следующие проблемы. После введения действий надо установить правила действий, так, чтобы никому не мешать и никакие законы не нарушать.

Сначала попробовали выполнять сложение, открыли свод законов и ничего не нашли. О вычитании даже думать не стали, а умножение пошло очень легко, ведь всякая степень получается из множителей, значит, если взять одинаковые основания степени, то

Сразу записали в свод законов новое правило:

При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают

С делением возникли проблемы. Всем казалось, что если деление действие обратное уиножению, то приделении надо показатели вычитать, но если , а если .Тогда постановили (под влиянием консервативного меньшинства), что

При делении степеней с одинаковыми основаниями , если m>n, и , если n>m.

Провести проверку нового правил предложили 6⁵ и 6³: , а

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. а полностью правило сформулировать трудно.

Разобралися также со степенями с разными основаниями и одинаковыми показателями. На помощь пришли переместительный и сочетательный законы:

, потому, что ;

Чтобы умножить степени с одинаковыми показателями надо перемножить основания, а показатель оставить без изменения.

Чтобы разделить степени содинаковыми основаниями надо разделит основания, а показатель оставить без изменения.

;

Оказалось, что можно даже возводить степени в степень.

Наступил всеобщий праздник. Особенно понравилось сокращать дроби, раскладывая их на множители:

Подарок преподнес распределительный закон. Он предложил как складывать одинаковые степени, например, , ,т.е. можно складывать коэффициенты.

А если степени с одинаковыми основаниями, но с разными коэффициентами, то можно общий множитель вынести за скобку:

2)степени с отрицательным показателем:

Все уже привыкли к действиям со степенями с натуральными показателями (их так называют, потомучто показатели – натуральные числа).

И нашлись недовольные, те кто не принял участие в создании новых чисел.Революционно настроенные представители отрицательных чисел выступили с заявлением, что их притесняют, не дают развиваться науке,

— Всем известно, что при вычитании может получаться 0, а также отрицательные числа, — говорили они и организовали движение в поддержку степеней с отрицательным показателе.

— Как же может быть отрицательное количество сомножителей?- удивились натуральные числа.

— Надо определить , это как раз подходит под ваше правило:.

-А степени с отрицательным показателем определить, как ( Z_— — отрицательнын целые числа).

Например,

Тогда формула для деления степеней станет просто

— Хорошо, — сказали хранители Свода законов, — тогда докажите, что все правила действий со степенями сохранятся и при введении степеней с отрицательным показателями.

Больше того, отрицательные числа предложили план доказательства всех теорем, о действиях со степенями.

1.В выражении по определению заменить степень с отрицательным показателем на степень с натуральным показателем.

2.Выполнить действия по правилам действий со степенями с натуральными показателями

3. По определению перейти от степеней с натуральными показателя к степеням с отрицательными показателями.

А также привели поясняющие примеры: , записывать можно короче:

Итак, оказалось, что все правила действий сохранились для степеней с отрицательными показателями.

3)степени с дробным показателем:

при извлечении корня из степени делят показатель степени на показатель корня, если такое деление выполнется нацело; например: √a⁴= a², ³√x⁹ = x³ и т. п. Условимся теперь распространить это правило и на те случаи, когда показатель степени не делится нацело на показатель корня. Например, мы условимся принимать, что

Вообще мы условимся, что выражение означает корень, показатель которого есть знаменатель, а показатель подкоренного числа — числитель дробного показателя (т. е.ⁿ√a^m

Условимся еще допускать и отрицательные дробные показатели в том же смысле, в каком мы допустили отрицательные целые показатели; например, условимся, что

Замечание. Дробные показатели были введены в алгебру главным образом голландским инженером Симоном Стевином в начале XVII столетия Позднее, в конце XVII столетия, Оксфордский профессор Джон Валлис ввел в употребление отрицательные показатели.

259. Основное свойство дробного показателя. Величина степени с дробным показателем не изменится, если мы умножим или разделим на одно и то же число (отличное от нуля) числитель и знаменатель дробного показателя. Так:

Действительно, знаменатель дробного показателя означает показатель корня, а числитель его означает показатель подкоренного выражения, а такие показатели, как мы видели можно умножать и делить на одно и то же число.

Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель совершенно так же, как и обыкновенную дробь

: например, мы можем сокращать дробный показатель, или приводить несколько дробных показателей к одному знаменателю.

Воспользуйтесь поиском по сайту:

что такое в алгебре, её свойства, действия с примерами

Содержание:

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре
- Основные определения, свойства
Правила работы со степенями с одинаковым показателем
Решение вычислительных примеров

Содержание

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре
- Основные определения, свойства
Правила работы со степенями с одинаковым показателем
Решение вычислительных примеров

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре

Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.

В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.

Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Степень с натуральным показателем имеет вид выражения aⁿ, где a — основание, а n — любое натуральное число. Читается это выражение как «a в степени n». При этом a может быть любым.

Основные определения, свойства

Следуя из выражения aⁿ, дадим точное определение понятию степени с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a.

5=243.\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Умножение и деление чисел со степенями. Правила умножения степеней с разным основанием

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. 3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 . a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 — 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие — что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х — у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х — х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

Иначе говоря:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

10 упражнений, которые помогут учащимся попрактиковаться в свойствах показателей

Когда дело доходит до обучения математике, я не самый большой поклонник того, чтобы дети просто запоминали правила. Однако при обучении свойствам экспоненты вам буквально нужно, чтобы учащиеся понимали набор правил.

Итак, вот что я люблю делать: во-первых, вводить правила через деятельность по обнаружению. Затем объясните учащимся, что делать в различных обстоятельствах. После того, как вы проинструктировали их обо всех свойствах, им просто нужно попрактиковаться. Чтобы практика была максимально эффективной, ученикам нужно ее много. Кроме того, им нужно увидеть свойства, смешанные вместе, чтобы они были готовы ко всему. В этом посте я поделюсь с вами своими любимыми способами дать учащимся необходимую им практику со свойствами экспоненты.

В своем классе я использую самые разные упражнения. Мы играем в игры и используем карточки с заданиями. Также для упреждающих наборов мы диагностируем проблему. Иногда то, что они изучают, не является самой захватывающей или практической концепцией (как эта, она немного более абстрактна). Однако это просто дает нам, учителям математики, возможность найти способы сделать обучение более увлекательным.

Самый простой способ, который я нашел, — использовать более увлекательные занятия с менее естественными темами. В этом посте я поделюсь с вами некоторыми идеями о том, как практиковать и просматривать свойства экспонент. Все эти мероприятия гарантированно повысят вовлеченность и помогут учащимся более свободно работать с экспонентами.

Список идей:

Properties of Exponents Mazes

Properties of Exponents Knockout Game

Algebra Lab

Math Games

квадратная головоломка

Marget Game с правилами экспонентов

Занятия

Mshp Math Видео

Свойства показателей График и игра

Давайте углубимся в

Каждое из этих действий можно использовать для разных целей. Некоторые из них подходят в качестве звонарей, а другие работают на весь класс. Кроме того, вы обнаружите, что некоторые из них работают в качестве домашнего задания или для циклического повторения. Я призываю вас просмотреть их и найти те, которые будут работать для вас и вашего класса.

Эти три свойства лабиринтов показателей — отличный способ попрактиковаться в различных свойствах показателей. Их можно использовать для домашних заданий, центров, совместной работы или оценки. Я использую лабиринт каждый день для работы со звонком, и он помогает ученикам сесть на свои места и работать. Каждый день, приходя в класс, они знают, с чего мы начинаем.

Этот конкретный набор лабиринтов включает:

*Вопросы, рассматривающие свойства показателей, включая степень нуля, степень единицы, степень степени, отрицательную степень, степень произведения и степень частного.

*3 лабиринта с 15 задачами в каждом

*ключи ответов

*1 лабиринт без отрицательных чисел и 1 лабиринт с отрицательными числами

Вам нравятся математические лабиринты, подобные этому? Каждый месяц мы отправляем БЕСПЛАТНЫЙ математический лабиринт для средней школы членам клуба «Лабиринт месяца». Присоединиться легко — просто зарегистрируйтесь ниже, и вы начнете работу с лабиринтом целых чисел исключительно для членов клуба:

Зарегистрируйте меня в клубе «Лабиринт месяца»!

Не могу дождаться, когда увижу вас там.

Настольные игры отлично подходят для быстрых учеников или для занятий по математике. Эта настольная игра «Экспоненты» готова к печати и использованию. Сообщение в блоге, которое сопровождает эту загрузку, подробно описывает все шаги и правила игры. Многим студентам нравится практиковаться таким образом, потому что это похоже на игру, но в то же время они лучше упрощают свойства показателей. Вы можете скачать игровое поле и правила прямо из блога.

Студентам нравится повторять правила показателей в этой интерактивной игре на выбывание. В эту игру можно играть с интерактивной доской или проектором или без них, чтобы практиковать правила показателей с возрастающей сложностью, включая отрицательные показатели. В нем 20 вопросов, и он отлично подходит для повторения перед тестом. Это действительно дает вам возможность увидеть, где учащиеся нуждаются в помощи.

В этой игре учащиеся выбирают персонажа и нажимают на него, чтобы открыть вопрос. Я прошу всех учеников ответить на вопрос на доске, а затем показать мне свои ответы. Когда я вижу неправильное представление, я могу обсудить его со всем классом. Студенты отслеживают свои баллы, а некоторые персонажи показывают бонусы вместо вопросов. Эти бонусы могут быть дополнительными баллами для них или для определенной группы студентов, или они могут фактически потерять баллы. Моим детям нравится играть в эту игру, и особенно им нравится тот небольшой элемент случайности, который приносят бонусы. Мне нравится, что они получают больше практики, и я вижу, как класс работает в целом.

Иногда я просто хочу, чтобы мои ученики сами попрактиковались в старом добром стиле. Одна из проблем заключается в том, чтобы убедиться, что они получают обратную связь, которая им нужна.

Лаборатория алгебры предлагает учащимся ответить на 10 вопросов, и у них есть пара вопросов, которые вызовут у детей больше затруднений. Студенты могут отвечать на один вопрос за раз. Там есть ссылка на страницу заметок, если им нужна дополнительная помощь.

Еще один онлайн-ресурс, который можно проверить, — Math Games. Этот сайт дает студентам по одному вопросу за раз и имеет 2 уровня. Он дает учащимся звездочки за каждый правильный ответ на вопрос. Некоторые особенности заключаются в том, что вопросы меняются каждый раз, когда вы играете, поэтому вы можете играть много раз.

Вы также можете поделиться этим заданием со студентами напрямую через Google Classroom (оценка!). Это тип деятельности, над которым учащиеся могут работать самостоятельно, если вам нужен центр, когда вы работаете с небольшой группой. В нем не так много наворотов, но он увлекателен. Оба эти веб-сайта были бы отличным дополнением в классе 1:1.

Мне нравится эта квадратная головоломка с показателями, потому что вы на самом деле решаете головоломку во время тренировки. Некоторым детям очень нравится аспект головоломки. В первый раз, когда ваши дети будут решать головоломки такого типа, вы захотите оказать им поддержку. Я показываю им, как это работает, и говорю им, какой квадрат находится в середине. Когда я этого не делаю, некоторые из них пытаются понять, как работает головоломка.

В этой головоломке учащиеся должны упростить 12 различных выражений и попрактиковаться в 6 различных свойствах показателей степени. На некоторых сторонах квадратов нет ответов, поэтому у них всегда есть из чего выбрать. Вам понравится, если вы попробуете!

Я уверен, вы уже заметили, если читали другие сообщения в моем блоге, что в моем классе мы много играем и занимаемся. Иногда самое простое действие может быть выигрышным. Моя любимая «простая» игра, которую мы называем Target Game. Чтобы играть, я просто рисую мишень на доске, а ученики бросают в мишень шарик на присоске, отвечая на вопросы. У меня есть несколько разных вариантов этой игры, но тот, который мы делали в последнее время, состоит из следующих шагов:

Я поставил задачу на видеокамеру, чтобы класс мог выполнить ее на доске.
Все решают задачу индивидуально.
После того, как они закончили, я задаю три вопроса о проблеме.
Каждый из трех детей, ответивших на вопрос, бросает в цель.
Прежде чем бросить в цель, все остальные должны выбрать, кому они доверяют, и получить количество очков, которое получит этот человек.

Все, что вам нужно, чтобы играть в эту игру, это несколько заранее подготовленных вопросов. Вот ссылка на рабочий лист с вопросами, которые вы можете использовать, чтобы играть в эту игру. Ваши ученики будут очень увлечены, и некоторые из них, которые никогда не будут участвовать, будут грызть удила, чтобы получить возможность бросить что-нибудь в вашу доску!

Карточки с заданиями являются основным продуктом в моем классе. Я познакомился с ними несколько лет назад и никогда не оглядывался назад. Что мне в них нравится, так это то, что с ними можно так много сделать. Мы используем их чаще всего как самостоятельную практическую деятельность. Кроме того, я всегда печатаю ответы на обратной стороне карточек, чтобы учащиеся могли получать корректирующие отзывы во время работы. Это работает намного лучше, чем заставлять их решать 20 задач, а затем просматривать ответы.

Карточки с задачами по этим свойствам показателей показывают 6 различных свойств показателей и включают 24 различных вопроса. В пакет контейнеров с заданиями входит ресурс с 10 способами использования карточек с заданиями в классе. С этими карточками можно играть в игры, использовать их в качестве примеров задач для работы всего класса или устанавливать математические станции для самостоятельной практики. Вариантов действительно много.

В дополнение ко всем действиям, описанным выше, вы можете предложить учащимся просмотреть видеоролики, чтобы попрактиковаться в свойствах показателей. В Mash-up Math есть отличная серия видеороликов, в которых исследуются свойства экспонент. Каждое видео длится от 3 до 4 минут. Кроме того, их видео не скучные. Вы не просто наблюдаете, как кто-то объясняет концепцию, стоя у доски.

Видеоролики называются:

— Знакомство с показателями степени

— Возведение показателя степени в другой показатель степени

— Деление показателей степени с одинаковым основанием

— Умножение показателей степени с одинаковым основанием

3 — 9 Exponent

Вы можете перейти на страницу YouTube, на которой они собраны, нажав здесь. Наконец, одной из замечательных особенностей этих видео является то, что у них есть тайм-ауты. Во время тайм-аутов на экране появляется вопрос, на который студенты должны ответить. Вы можете предложить учащимся ответить на эти вопросы в своих тетрадях. Это отличный способ сосредоточить их внимание на том, что они видят в видео.

По какой-то причине я люблю графики. Я действительно люблю их. Каждый раз, когда у понятия есть словарный запас или характеристики, я с радостью сделаю диаграмму. Диаграмма, которую я сделал для этой темы, показанная ниже, является отличным способом просмотреть правила экспоненты. Когда учащиеся используют эту схему, они анализируют происходящее в ситуации. Они также должны продолжать упрощать, если это возможно. Вы можете скачать эту диаграмму бесплатно и использовать ее при обучении экспонентам или при повторении этой темы.

Говоря о диаграммах, вы также можете скачать это бесплатное задание по обзору. Это круговая диаграмма, показанная ниже (понимаете, что я имею в виду, говоря о своей одержимости диаграммами?). Каждый круг имеет несколько выражений экспоненты для упрощения. В основном учащиеся используют это упражнение как упражнение. Они могут проверить ответы под клапанами. С помощью этой таблицы студенты получают много практики за короткий промежуток времени. Мне это нравится для циклической и отработки навыков. На самом деле, это один из способов, которым я провожу обзор со студентами в конце года в пакете обзора для 8-го класса. Но его можно использовать в течение всего года, чтобы быстро и легко освежить этот навык.

Вы найдете множество различных идей для тренировки и изучения свойств экспонент. В этой коллекции представлены некоторые из моих увлечений. Моя задача для вас, чтобы попробовать одну из идей в вашем классе. Я не могу вспомнить, чтобы два года подряд я преподавал что-то одно и то же, поэтому я всегда пробую новое занятие или два для каждого раздела. Я твердо верю, что вам не нужно менять все, чтобы улучшить свое преподавание. Улучшение происходит небольшими постепенными изменениями — всего по одной вещи за раз. Надеюсь, вы готовы раскачать свой блок экспонентов! Спасибо за чтение. До скорого.

Работа с экспонентами — CetKing

Если вы похожи на многих испытуемых, вы оказались в этой знакомой ситуации. Вы ЗНАЕТЕ правила для показателей. Ты знаешь их холодными. Когда вы умножаете одно и то же основание и разные степени, вы складываете степени. Когда вы переводите один показатель в другую степень, вы умножаете эти показатели. Отрицательный показатель? Переверните этот член в знаменатель. Число в нулевой степени? У вас есть 1.
Но как бы тщательно и быстро вы ни усвоили эти правила, стоящая перед вами задача на экспоненту ставит вас в тупик. Вы знаете, что вам нужно ЗНАТЬ, но вы не совсем уверены, что вам нужно ДЕЛАТЬ. И это всегда важная часть при сдаче CAT — необходимо знать основные правила, факты и формулы, но также не менее важно иметь элементы действий для того, как вы будете применять эти знания для решения сложных задач.

Для экспонентов есть три «руководящих принципа», которые вы должны помнить в качестве своих действий. Каждый раз, когда вы застреваете на задаче, основанной на экспоненте, попробуйте сделать одну (или несколько) из следующих вещей:

1) Поиск общих оснований
Большинство известных вам правил возведения в степень применяются только тогда, когда вы имеете дело с двумя показателями одного и того же основания. Когда вы умножаете показатели степени с одинаковым основанием, вы складываете степени; когда вы делите два показателя степени с одинаковым основанием, вы вычитаете. А если два показателя степени одного и того же основания положить равными, то вы знаете, что показатели степени равны. Но имейте в виду — все эти основные правила требуют, чтобы вы использовали показатели степени с одним и тем же основанием! Если CAT дает вам проблему с различными основаниями, вы должны найти способы сделать их общими, обычно путем факторизации их в их основных основаниях. 93y

И поскольку у вас есть одно и то же основание, равное двум разным показателям степени, вы знаете, что показатели степени равны:

5x = 3y

Это означает, что вы можете разделить обе части на 5, чтобы получить x = (3/5 )y, делая правильный вариант ответа D. Но что более важно в более широком контексте, прислушайтесь к этому уроку: когда вы сталкиваетесь с проблемой экспоненты с разными основаниями для нескольких степеней, попытайтесь найти способы получить одинаковые основания, обычно путем простого разложения оснований.

2) Коэффициент для создания умножения 95, например, равно x * x * x * x * x… это множество x, перемноженных вместе. Естественно, почти все правила степени применимы в случаях умножения, деления или нескольких степеней — у вас нет правил, которые непосредственно применяются к сложению или вычитанию. По этой причине, когда вы видите сложение или вычитание в задаче на экспоненту, одним из ваших основных инстинктов должно быть факторизация общих терминов для создания умножения или деления, чтобы вы могли лучше использовать известные вам правила. Так, например, если вам дали задачу: 920, так что вы знаете, что x = 20. И важным ключом к решению этой задачи было умножение сложения на умножение, важнейшее действие, основанное на показателе степени, в день тестирования.

3) Проверяйте небольшие числа и ищите закономерности
Помните: показатели степени — это способ обозначить повторяющееся повторяющееся умножение. И когда вы делаете одно и то же снова и снова, вы, как правило, получаете одинаковые результаты. Таким образом, экспоненты хорошо подходят для поиска и экстраполяции закономерностей. Если вы сомневаетесь — когда проблема включает в себя слишком много абстракции или слишком большие числа для вас, чтобы понять — посмотрите, что произойдет, если вы замените большие или абстрактные термины меньшими, и если вы найдете закономерность, то посмотрите на экстраполировать его. Имея это в виду, рассмотрим задачу: 913, вы можете быть уверены в своем ответе.

Помните: CAT — это проверка того, насколько хорошо вы применяете знания, а не только того, насколько хорошо вы можете их запомнить. Так что для любой концепции не просто знайте правила, но и дайте себе конкретные действия, которые вы будете делать, когда проблемы станут сложными. Для задач с экспонентами у вас есть три руководящих принципа:

1) Поиск общих оснований
2) Фактор для создания умножения
3) Проверка малых чисел для поиска закономерности

экспонентов в реальном мире

Экспоненты, порядковые номера, степени и индексы используются во многих частях нашего современного технологического мира.

Экспоненты используются в физике компьютерных игр, шкалах измерения pH и Рихтера, науке, технике, экономике, бухгалтерском учете, финансах и многих других дисциплинах.

Экспоненциальный рост является критически важным аспектом финансов, демографии, биологии, экономики, ресурсов, электроники и многих других областей.

Экспоненциальный распад связан со светом, звуком, спортивным оборудованием, опасными химическими веществами и радиоактивными отходами.

Exponents используют экономисты, банкиры, финансовые консультанты, специалисты по оценке страховых рисков, биологи, инженеры, программисты, химики, физики, географы, звукорежиссеры, статистики, математики, геологи и представители многих других профессий.

В этом уроке мы покажем несколько способов использования экспонентов в реальной жизни, а также их влияние на наше понимание современного мира вокруг нас.

Показатель степени является фундаментальным, особенно в вычислениях с основанием 2 и 16, а также в формулах физики и электроники, используемых в вычислениях.

В последние годы наблюдается экспоненциальный рост скорости и мощности компьютеров, и, по прогнозам, примерно к 2030 году вычислительная мощность сравняется с человеческим мозгом.

Экспоненты крайне важны в современных интернет-продажах и маркетинге,

Экспоненты важны в инвестициях и финансах.

Сложные проценты также работают против людей с задолженностью по кредитной карте, которую они не выплачивают, потому что долг растет все быстрее и быстрее с каждым расчетным периодом и может быстро выйти из-под контроля.

Экспоненты составляют основу «Демографии» (прироста населения)

Население мира увеличивается необычайно быстро, особенно в развивающихся регионах Африки, Индии и Китая.

Массовый рост населения приводит к массовому использованию ископаемого топлива для промышленности, отопления, электричества и транспорта.

За последние несколько лет наблюдается значительный экспоненциальный рост использования мобильных телефонов и их проникновения на рынок.

Задолженность по потребительским кредитам увеличилась за последние годы до рекордно высокого уровня.

Экспоненты также являются частью пищевых технологий и микробиологии.

Вирусное заболевание (а также многие вирусы электронной почты и компьютерные вирусы) могут распространяться с постоянно возрастающей скоростью, вызывая обширные зараженные области.

Это происходит так же, как вирусный маркетинг разветвляется на все более широкие ветви, когда все больше и больше людей передают что-то все большему количеству других людей.

При взрыве мы получаем неконтролируемое резкое увеличение выхода энергии и силы за очень короткий период времени.

Представьте себе это как очень крутой экспоненциальный график, по сравнению с горящей спичкой, выделяющей энергию на довольно плоском прямолинейном графике.

Экспоненциальный рост

Ситуации, которые мы рассматривали до сих пор, включают «экспоненциальный рост».

Уравнения для графиков этих ситуаций содержат показатели степени, и это приводит к тому, что график начинается медленно, но затем очень быстро растет.

Напр. Подумайте о квадратных числах и о том, как они быстро становятся все больше и больше:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 132 и т. д.

Чтобы достичь числа 100, нам потребуется всего девять квадратных чисел.

Противоположностью «Экспоненциальному росту» является применение показателей степени к дробям, что приводит к «Экспоненциальному затуханию».

Экспоненциальное затухание

Использование отрицательных значений степени приводит к дробям, и когда к этим дробям применяются показатели степени, мы получаем «Затухание».

В процессе «Распада» количество участвующего в нем падает довольно быстро в начале, но затем падение становится все медленнее и медленнее.

Типичный график экспоненциального распада выглядит следующим образом:

Создание графика экспоненциального распада График состоит в том, чтобы взять пачку M&M’s или Skittles и продолжать выливать их из чашки, но каждый раз удаляя все конфеты, которые приземляются с лицевой стороны.

Это должно создать требуемый график.

Большой набор инструкций о том, как это сделать, можно найти по следующей ссылке:

Щелкните здесь для получения инструкций по экспоненциальному графику M&Ms

Экспоненциальный спад – примеры из реальной жизни являются следующие. 100003

Многим вредным материалам, особенно радиоактивным отходам, требуется очень много времени, чтобы разложиться до безопасного уровня в окружающей среде.

Это связано с тем, что эти материалы подвергаются экспоненциальному распаду, и даже небольшое количество оставшегося материала может быть вредным.

Экспоненциальные шкалы

Шкала Рихтера используется для измерения силы землетрясений.

Фактическая энергия каждого землетрясения равна степени 10, но на шкале мы просто берем значение индекса 1, 2, 3, 4 и т. д., а не полное значение показателя степени.

Это означает, что землетрясение по шкале Рихтера 6 на самом деле в 10 раз сильнее, чем землетрясение по шкале Рихтера 5. (Например, 1000000 против 100000).

Точно так же землетрясение по шкале Рихтера 7 на самом деле в 100 раз сильнее, чем землетрясение по шкале Рихтера 5. (Например, 10000000 против 100000).

Шкала рН для измерения кислотности материалов также создается путем получения значений мощности из измеренных мощностей 10 значений концентрации кислоты.

Экспоненты и научная запись

Очень большие числа, такие как расстояние между планетами или население стран, выражаются с использованием степеней 10 в формате, называемом «Научная запись».

Научное обозначение также используется для выражения очень малых десятичных значений, таких как размер молекул вируса гриппа или расстояние между атомами в кристаллической структуре.

Онлайн-презентация об экспонентах в реальном мире

Онлайн-презентация этого урока доступна на SlideShare по следующей ссылке:

Нажмите здесь, чтобы просмотреть нашу презентацию SlideShare

Музыкальное видео об экспонентах

Следующее музыкальное видео, посвященное экспонентам, возможно, является самым успешным математическим видео. когда-либо загруженные на YouTube.

В настоящее время у него более 850 000 просмотров на YouTube, и это просто потрясающее произведение!

Достойно просмотра для всех, кто изучает индексы и экспоненты.

Связанные пункты
Основные индексы и экспоненты
Умножение Экспоненты
Разделяющие выражения алгебры
Разделение. Экспоненты
Научное обозначение

Подписаться
Если вам понравился этот урок, почему бы не получить бесплатную подписку на наш сайт.
После этого вы сможете получать уведомления о новых страницах прямо на свой адрес электронной почты.
Перейдите в область подписки на правой боковой панели, введите свой адрес электронной почты и нажмите кнопку «Подписаться».
Чтобы точно узнать, как работает бесплатная подписка, нажмите на следующую ссылку:
Как работает бесплатная подписка
Если вы хотите предложить идею для статьи или стать приглашенным автором на нашем веб-сайте, напишите нам по адресу адрес горячей почты, показанный в правой части этой страницы.

Отметьте нас на Facebook

Помогите Passy’s World расти
Каждый день Passy’s World предоставляет сотням людей бесплатные уроки математики.
Помогите нам поддерживать этот бесплатный сервис и поддерживать его рост.
Пожертвуйте любую сумму от $2 и выше через PayPal, щелкнув изображение PayPal ниже. Благодарю вас!

PayPal принимает кредитные карты, но вам нужно будет указать адрес электронной почты и пароль, чтобы PayPal мог создать для вас учетную запись PayPal для обработки транзакции. За это действие с вас не будет взиматься плата за обработку, так как PayPal вычитает комиссию из вашего пожертвования до того, как оно попадет в Passy’s World.

Наслаждайтесь,
Пасси
Эта запись была опубликована в Алгебра, Экспоненты, Математика в реальном мире и помечена как сложные проценты, шкала землетрясений, экспоненциальные степени, экспоненциальное затухание, экспоненциальное уменьшение, экспоненциальные графики, экспоненциальный рост, экспоненты, экспоненты сложные проценты, экспоненты в реальном мире, экспоненты музыкальное видео, экспоненты рэп, период полураспада, как люди используют экспоненты, индексы, индексы в реальном мире, индексы, индексы в реальном мире, индексы рэп, рабочие места, которые используют экспоненты , задания, использующие индексы, задания, использующие индексы, логарифмы, экспоненциальный распад M&M, мощности, мощности в реальном мире, радиоактивный распад, радиоактивный период полураспада, показатели реальной жизни, индексы реальной жизни, индексы реальной жизни, мощности реальной жизни, экспоненциальные примеры реального мира, показатели реального мира, индексы реального мира, индексы реального мира, силы реального мира, музыкальное видео undices, кто использует показатели степени, кто использует числа индексов, кто использует индексы, w ho использует степени, зачем изучать экспоненты, зачем изучать индексы, зачем изучать индексы, зачем изучать степени, зачем использовать экспоненты, зачем использовать индексы, зачем использовать индексы, зачем использовать степени, работа с экспонентами.
No related posts.