Деление чисел с степенями с разными основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Напоминание основных определений и теорем

 

Напоминание:

 

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

 n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.

 

Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

 

 

Рассмотрим следующие примеры:

 

Распишем выражения по определению степени.

1)

2)

Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.

 

Формулировка и доказательство теоремы 4

 

 

Теорема 4

 

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 4.

По определению степени:

 .

Итак, мы доказали, что .

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

 

Формулировка и доказательство теоремы 5

 

 

Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

 

Теорема 5

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 5.

Распишем  и по определению степени:

 

Формулировка теорем словами

 

 

Итак, мы доказали, что .

 

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

 

Решение типичных задач с помощью теоремы 4

 

 

Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

 

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

а)

б)

в)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

г)

д)

е)

ж)

 

Обобщение теоремы 4

 

 

Обобщение теоремы 4:

 

 

Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

 

 

з)

 

и)

к)

л)

 

Продолжение решения типичных задач

 

 

Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

 

а)

б)

в)

г)

Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

а)  

б)  

 

Примеры на вычисление

 

 

Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

 

а)

б)

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Представить в виде произведения степеней:

а) ;      б) ;      в) ;      г) ;

2. Запишите в виде степени произведения:

а)       б)        в)  

3. Запишите в виде степени с показателем 2:

а)       б)      в)  

4. Вычислить самым рациональным способом.

а)

 

Урок математики по теме «Свойства степени с натуральным показателем»

Цели урока:

• Образовательные
  • изучить свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием;
  • научить применять их в вычислениях;
  • сформировать умение применять их в преобразовании выражений.
• Развивающие
  • развивать у учащихся умение анализировать;
  • развивать умение обобщать и делать выводы;
  • развивать навыки работы с учебником, справочными материалами.
• Воспитательные
  • воспитывать внимательность, самостоятельность в работе, настойчивость.

Оборудование: компьютер, проектор, Презентация, раздаточный материал для контрольного опроса.

Тип урока: комбинированный

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Постановка целей и задач перед учащимися.

– Здравствуйте ребята! Садитесь. (Дежурные докладывают об отсутствующих). Сегодня на уроке мы будем изучать свойства степени с натуральными показателями, а именно умножение и деление степеней. (Учащиеся записывают тему урока.)
– Какую цель мы можем поставить перед собой на уроке? (Учащиеся обсуждают цель урока в парах, затем озвучивают.)
– Проверим домашнюю работу (задания заранее написаны на доске).

II. Контрольный опрос учащихся

Поработаем устно. (Провести устный счет)

1. Устный  счет

1) Представьте в виде степени: число 16 (4

2; 2⁴; 16¹)
2) Представьте в виде степени: число 64 (2⁶; 4³;  8²; 64¹)
3) Представьте в виде степени: число 625 (5⁴; 25²;  625¹)

 2. Работа на повторение (коллективно)

Задание № 1: Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

1. 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = (0,3)⁶
2. (– ас) • (– ас) • (– ас) • (– ас) • (– ас) = (– ас)⁵
3. 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5¹⁰
4. (х  + 3) • (х + 3) • (х + 3) • (х + 3) = (х + 3)⁴

Задание № 2: Вычислите:

1. 7³ = 34³
2. 2³ – 62 = – 28
3. (– 4²) + 5³ = 141
4. 1⁷ – 11² + 10³ = 880

Задание № 3: Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1.

1) 64 = 4³                                  2) 36 = 6²                    3) 121 = 11²                           4) 27 = 3³

Задание 4: Найдите закономерность:

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁷
(– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = (– 3)⁵
8 · 8 · 8 = 8³
(– 19) · (– 19) = (– 19)²
         

3. Работа по карточкам

Карточка № 1

1. Запишите произведение в виде степени: (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4)

      А                                Б                           В                              Г
–  4 • 7                             4⁷                         (– 4)⁷                     4 • 7

2. Вычислите:       (– 3)² • 5  –  (0,2)²
                                  5       9

Карточка № 2

1. Запишите произведение в виде степени: (– 5) • (– 5) • (– 5) • (– 5) • (– 5)

   А                       Б                       В                  Г
  25                    (– 5)⁵               – 2⁵                 5⁵

2. Вычислите:   (1)² •  2 1   + (0,5)²
                            3          4

Карточка № 3

1.

Запишите произведение в виде степени: (– 3) • (– 3) • (– 3) • (– 3) • (– 3) • (– 3)

  А                     Б                     В                     Г
  3⁶                    6 (– 3)          (– 3)⁶              3 • 6

2. Вычислите:  (– 2)²  •   3   + ( 1)²
                              3         4         3

III. Изучение нового материала

Перед учащимися ставится проблема, как найти произведение степеней? Учащиеся получают задание на карточке.

3² • 3⁴ =

2⁴ • 2³ =

4 • 4⁵ =

Если некоторые пары учащихся затрудняются с решением, то они получают подсказку (воспользоваться определением степени). В результате ученики получают следующие выражения.

3² • 3⁴ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 36

2⁴ • 2³ =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 27

4 • 4⁵ = 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46

– Какие результаты вы получили? Подчеркните начало выражения, его конечный результат.
– Что интересного вы заметили?
– Анализируя результаты наблюдений, умножения степеней. ( На экране учащиеся смотрят доказательство свойств  умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями).

а n • аm = (a • a • • a) • (a •a • • a) = (a •a • • • a = a^{n + m}
                            n  раз            m раз         n + m раз

Учитель формирует свойство степеней с одинаковыми основаниями.

IV. Это интересно

Люди придумали степень с натуральным показателем очень давно:

• Древнегреческий ученый Пифагор придумал, что каждое число можно представить в виде фигуры: 22 • 32 • 42
• Английский математик С.Стивен придумал запись для обозначения степени: 3(3) + 5(2) – 4. Современная запись: 3³ + 5² – 4.
• Индийские ученые открыли и оперировали степенями с натуральными показателями до 9, называя их с помощью комбинации трех слов: «ва» – 2 степень, от слова «варга» – квадрат; «гха» – 3 степень, от слова «гхана» – куб и «гхата», указывающую на сложение показателей. Например: 4-я степень «ва-ва»; 5-я степень «ва-гха-гхата»; 6-я степень «ва-гха»

V. Физкультминутка

VI. Закрепление изученного материала. Опрос фронтально

1. Проверь себя (Презентация)

2. Работа с учебником (коллективная работа)

№ 403 (а, б, в, д, ж)

а) х⁵ • х⁸ = х¹³
в) у⁴ • у⁹ = у¹³
д) х⁹ • х = х¹⁰
ж) 2⁶ • 2⁴ = 2¹⁰

№ 408 (а, в, д)

а) х² • х⁵ • х⁴ = х¹¹
в) m • m³ • m² • m⁵ =  m¹¹
д) 10² • 10³ • 10⁵ = 10¹⁰

№ 414 (а, в, д, ж)

а) х⁵ • х³ = х2
в) а²¹ : а = а²⁰
д) с¹² : с³ = с⁹
ж) 3⁸ : 3⁵ = 3³

№ 417

а) 8⁶  = 8² = 64;                                  б) 10¹⁵ : 10¹² = 10³ = 1000
    8⁴

3. Самостоятельная работа

I вариант                                                         II вариант

№ 409 а, в, д;                                                  № 409 б, г, е;

а) m³ • m² • m⁸ = m¹³                                       б) а

4 • а³ • а² = а9
в) х • х⁴ • х⁴ • х = х¹⁰                                       г) n⁵ • n • n³ • n⁶ = n¹⁵
д) 7⁸ • 7 • 7⁴  = 7¹³                                          е) 5 • 5² • 5³ • 5⁵ = 5¹¹

№ 415 ( а, в, д)                                               № 415 (б, г, е)

а) р¹⁰ :  р⁶ = р⁴                                                б) а⁸8 : а⁴ = а⁴ 
в) х¹⁵ :  х4 = х¹¹                                               г) у⁹ : у = у⁸
д) 10¹⁶ : 10¹² = 10⁴                                          е) 2,3¹⁶ : 2,37 = 2,39

(Контроль – взаимопроверка)

Правильное решение и ответы показываются на экране с помощью проектора.

VI. Домашнее задание

П. 19 стр. 92-94. Учить свойства умножения и деления степеней.

№ 404 (а, в, д, ж),  № 406, № 414 (е-з). Повторить 222 стр.96

VII. Составить слово и отгадать ребусы, связанные с темой сегодняшнего урока

VIII. Подведение итога урока

– Какие  свойства мы  изучили на уроке?
– Как следует выполнять умножение степеней?
– Как следует выполнять деление степеней?

(Объявить оценки за урок и выставить их в дневники учащихся).

Литература:

1. Учебник алгебры 7 класс Ю.Н. Макарычев под редакцией С.А. Теляковского
2. Дидактические материалы.

7.3: Подразделение на других базах

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

70325

• Джули Харланд
• Колледж МираКоста

Вам потребуется: Базовые блоки (карты материалов 3–15)

Теперь мы будем работать над делением по другим основаниям. Во-первых, мы будем делить, используя повторное вычитание с фактическими базовыми блоками. Позже мы будем использовать тот же алгоритм, что и в предыдущем упражнении, для решения задач с повторным вычитанием с частичной таблицей умножения и скаффолдом.

Достаньте базовые блоки Base Three. Мы собираемся использовать их с методом повторного вычитания, чтобы разделить \(221_{\text{три}} \div 21_{\text{три}}\). Делимое равно \(221_{\text{три}}\), которое состоит из 2 плоских, 2 длинных и 1 единицы. Нам нужно выяснить, сколько раз мы можем повторно вычесть делитель \(21_{\text{три}}\) из делимого. Для этого мы можем преобразовать дивиденд только в лонги и единицы, совершив несколько обменов, а затем сформировать как можно больше подмножеств, содержащих 1 лонг и 2 единицы. Количество образовавшихся подмножеств — это то, сколько раз можно вычесть делитель из делимого. Убери свои блоки, чтобы решить эту проблему со мной.

Шаг 1: Сформируйте делимое по основанию три. На самом деле вы должны достать свои базовые три блока и решить задачи с блоками. Я буду использовать инициалы для базовых блоков (U, L, F, B и т. д.), чтобы показать, что происходит. Дивиденд можно показать так:

Ф Ф Л Л У

Шаг 2: Произведите обмен, чтобы можно было сформировать как можно больше подмножеств, каждое из которых содержит делитель, равный 2 длинным и 1 единице. Каждую квартиру можно обменять на 3 лонга, чтобы получить:

Л Л Л Л Л Л Л Л У

Затем один из лонгов можно обменять на 3 единицы, чтобы получить L L L L L L L U U U U. Давайте посмотрим, сможем ли мы вычесть некоторые равные подмножества из 2 лонгов и 1 единицы из делимого. По мере того, как вы вынимаете каждые 2 лонга и единицу, сформируйте их в подмножество.

Я могу взять и сформировать 3 равных подмножества по 2 лонга и по 1 юниту из делимого. В делимом остается одна длинная и 1 единица. Сформированные подмножества выглядят так:

ЛЛУ

ЛЛУ

ЛЛУ

Часть, оставшаяся в делимом, то есть остаток выглядит так:

Шаг 3: Каждое равное подмножество из 2 длинных позиций и 1 единицы, которое было вычтено из дивиденда, считается равным 1 для частного. Дайте себе единицу для каждого равного подмножества, которое вы сформировали, это частное. Оставшиеся длинные и единичные числа являются остатком, потому что они меньше делителя.

Коэффициент: U U U

Остаток: L U

Шаг 4: В частном и/или остатке сделайте необходимые замены, чтобы частное и остаток можно было записать по основанию три.

Коэффициент: L

Остаток: L U

Шаг 5: Запишите частное и остаток по основанию три: \(10_{\text{три}}r. 11_{\text{три}}\).

Следовательно, \(221_{\text{три}} \div 21_{\text{три}} = 10_{\text{три}}r. 11_{\text{три}}\)

Шаг 6: Проверьте ответ. Это показано справа.

Упражнение 1

Следуя примеру на предыдущей странице, шаг за шагом выполните следующее деление. Используйте базовые три блока, чтобы сделать это упражнение. Вы можете использовать инициалы или нарисовать блоки, чтобы показать, как вы делаете деление.

Выполните следующее деление: \(222_{\text{три}} \div 12_{\text{три}}\)

а. Сформируйте делимое по основанию три. Нарисуйте, как выглядит дивиденд:

b. Сделайте обмены, чтобы можно было сформировать как можно больше подмножеств, каждое из которых содержит делитель, равный 1 длине и 2 единицам. Вычтите из делимого несколько равных подмножеств из 1 длинной и 2 единиц. По мере того, как вы вынимаете каждое длинное и 2 единицы, сформируйте их в подмножество. Нарисуйте рисунок всех равных подмножеств, которые вы смогли сформировать, вычитая из делимого, затем нарисуйте отдельно то, что осталось в делимом, которое будет остаток (это должно быть меньше, чем 1 длинный и 2 единицы).

i) Показать все сформированные одинаковые подмножества:

ii) Остаток:

c. Для каждого из равных подмножеств из 1 длинной и 2 единиц, которые были вычтены из делимого и сформированы (показаны в b.i.), присвойте себе единицу — это частное. Изобразите частное в единицах:

d. В частном (часть c) и/или в остатке (часть b.ii) сделайте необходимые замены, чтобы частное и остаток можно было записать по основанию три. Нарисуйте картину того, как выглядят частное и остаток после того, как сделали возможными любые обмены.

Частное:

Остаток:

Проверить: \(\begin{align} 21_{\text{три}} \\ \underline{\times 10_{\text{три}}} \\ 210_{\text{три}} \\ \ подчеркивание {+ 11 _ {\ text {три}}} \\ 221 _ {\ text {три}} \ end {выровнено} \)

e. Запишите частное и остаток по основанию три: ________________________

f. Проверьте ответ.

Упражнение 2

Используйте базовые блоки в указанных базах, чтобы найти частное и остаток для каждой задачи. Затем проверьте свой ответ в базе данных. Показать свою работу. Вы можете умножать, используя любой алгоритм умножения, который вы предпочитаете — вы можете попробовать решетку.

а. \(1204_{\text{пять}} \div 42_{\text{пять}}\) = Чек:	в. \(1345_{\text{шесть}} \div 25_{\text{шесть}}\) = Чек:
б. \(323_{\text{четыре}} \div 23_{\text{четыре}}\) = Чек:	д. \(11111_{\text{два}} \div 101_{\text{два}}\) = Чек:

Вы, возможно, заметили в частях c и d, что вам приходилось делать много стопок, и что многократное вычитание было несколько утомительным, когда вы могли вычесть только одно подмножество делителей из делимого за раз. Здесь полезно использовать идею о том, что делитель, умноженный на длинное, аналогичен умножению на 10 в десятичной системе счисления. Помните, что 10b — это длинное число для некоторого основания, b. Например, если вы умножите 25 на 10, вы получите 250. В системе счисления \(25_{\text{шесть}}\) означает 2 длинных числа и 5 единиц. Когда вы умножаете это на длинное (\(10_{\text{шесть}}\)), вы получаете \(250_{\text{шесть}}\), что составляет 2 плоских и 5 длинных — каждая часть сдвигается вверх на позицию. ценить. Мы можем использовать это в упражнении 2с, чтобы ускорить вычитание. Мы выполним упражнение 2с, используя эту идею на следующей странице.

Упражнение 2c, \(1345_{\text{шесть}} \div 25_{\text{шесть}}\), можно выполнить более эффективным методом. Вот шаги:

Нарисуйте изображение делимого \(1345_{\text{шесть}}\), используя блоки с основанием шесть.

Б Ф Ф Ф Л Л Л Л У У У У У

Вы хотите вычесть из делимого как можно больше подмножеств делителя \(25_{\text{шесть}}\). Это потребует много шагов. Вам придется разбить блок и три квартиры на множество длинных и юнитов. Теперь \(25_{\text{шесть}}\) означает 2 длинных числа и 5 единиц. Если вы умножите это на длинное, вы получите \(250_{\text{шесть}}\), что составляет 2 квартиры и 5 длинных чисел. Если вы вычтете из дивиденда сразу 2 флета и 5 лонгов, это будет то же самое, что шесть раз вычесть из дивиденда 2 лонга и 5 юнитов! А можно вычесть сразу 2 бемоля и 5 лонгов.

Давайте обменяем некоторые части делимого на более мелкие части, чтобы можно было вычесть и сделать подмножества из 2 плоских и 5 длинных. Я начал с обмена блока на 6 флетов и двух флетов на 12 длинных позиций:

.

F F F F F F F L L L L L L L L L L L L L L L U U U U U

Теперь я сформирую как можно больше подмножеств из 2 плоских и 5 длинных.

Ф Ф Л Л Л Л Л

Ф Ф Л Л Л Л Л

Ф Ф Л Л Л Л Л

У меня все еще остается F L U U U U U в делимом, и я не могу больше брать подмножества из 2 простых и 5 длинных. Итак, теперь я пытаюсь вычесть подмножества делителя из того, что осталось в делимом. Опять же, мне нужно совершить несколько сделок. Я обменяю квартиру на 5 лонгов и 6 единиц, так что у меня есть:

Л Л Л Л Л Л У У У У У У У У У У У

Можно сформировать две подгруппы:

Л Л У У У У У

Л Л У У У У У

Все, что осталось в делимом, это единица и 2 лонга, что меньше делителя и является остатком. Таким образом, остаток, LLU, равен \(21_{\text{шесть}}\).

Теперь нам нужно вычислить частное. Каждое из первых 3 сформированных подмножеств было длинной, умноженной на делитель, поэтому для частного я вставил длинное значение для каждого из сформированных подмножеств. Я добавляю единицу для каждого из следующих двух сформированных подмножеств. Итак, у меня есть 3 длинных и 2 единицы для частного, и никаких обменов делать не нужно.

Частное равно L L L U U, или \(32_{\text{шесть}}\), а остаток равен \(21_{\text{шесть}}\).

Следовательно, \(1345_{\text{шесть}} \div 25_{\text{шесть}} = 32_{\text{шесть}}\)r. \(21_{\text{шесть}}\)

Вы должны были получить тот же ответ, когда выполняли упражнение 2c, но вы бы вычитали и образовывали 13 подмножеств делителя, а затем обменивали 13 единиц на ответ в системе счисления с основанием шесть.

(Кстати, если делитель \(25_{\text{шесть}}\) умножить на плоскость, то получится 2 квадрата и 5 плоскостей, что больше, чем делимое, поэтому мы не можем отнять столько делителей за один раз, поэтому мы начинаем с вычитания подмножеств длинного числа, умноженного на делитель, по одному.)

Упражнение 3

Разделите следующее, используя базовые блоки. Вы можете использовать метод, описанный на предыдущей странице, или вычитать по одному подмножеству делителя за раз. Объясните или нарисуйте блоки, чтобы показать, как вы решали задачу. Проверьте свои ответы, используя любой алгоритм умножения.

а. \(1046_{\text{семь}} \div 31_{\text{семь}}\) = _________________________________________________ Чек:

б. \(10021_{\text{три}} \div 22_{\text{три}}\) = _________________________________________________ Чек:

Теперь мы собираемся поработать над делением по разным основаниям, используя тот же алгоритм многократного вычитания, что и в Упражнении 2. Поскольку большинство, если не все из нас, недостаточно знакомы с разными основаниями, чтобы оценивать в уме , составление частичной таблицы умножения становится чрезвычайно полезным для решения этих задач.

Поскольку каждая база имеет разное количество цифр, мы можем выбрать метод удвоения или некоторую частичную таблицу для больших оснований, таких как 11, 12 и 13. Для меньших оснований вы можете подумать о создании полной таблицы. В базе пять вам нужно будет только вычислить 2, 3 и 4 делителя (поскольку 4 — это самая старшая цифра в базе пять). Изучите следующие примеры использования метода лесов в других базах.

Пример 1

Задача о делении по основанию пять: \(200_{\text{пять}} \div 24_{\text{пять}}\). Я прекращаю писать «пять», кроме ответа (в рамке) и чека. Вы должны быть очень осторожны, чтобы помнить, что вы находитесь в базе пять, когда вы складываете (подготовительная работа в начале и сложение в конце проверки, когда вы добавляете остаток), вычитаете (выполняете повторное вычитание) и умножение (в чеке). Для проверки вы можете использовать метод решетки или любой другой метод, который вы предпочитаете.

Пример 2

Задача о делении по основанию два: \(1001011_{\text{два}} \div 111_{\text{два}}\). На самом деле здесь нет никакой подготовительной работы, потому что единственными цифрами по основанию 2 являются 0 и 1.

Для примеров 3 и 4 я решил создать для каждого из них свой вид частичной таблицы умножения.

Пример 3

Задача о делении по основанию восемь: \(2155_{\text{восемь}} \div 61_{\text{восемь}}\). Поскольку это проблема с основанием восемь, я решил составить неполную таблицу, чтобы вычислить делитель, умноженный на 1, 2, 4 и 6. Другой человек может решить составить таблицу только для 1, 2 и 4. Помните, что 7 — старшая цифра в основании восемь. Еще один учащийся может составить полную таблицу для всех цифр по основанию восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Пример 4

Задача о делении по основанию тринадцать: \(1046_{\text{тринадцать}} \div T2_{\text{тринадцать}}\). Поскольку это проблема в системе счисления тринадцать, я решил составить неполную таблицу, чтобы вычислить делитель, умноженный на 1, 2, 4 и 8. Помните, что W — это старшая цифра в системе счисления восемь. Другой человек может составить таблицу для 1, 2, 4, 6, 8, T и W. Помните, что W — это старшая цифра в базе тринадцати. Другой учащийся мог бы составить полную таблицу для всех цифр по основанию тринадцать, но это большая подготовительная работа, которая обычно не окупается.

Убедитесь, что вы попрактиковались в предыдущих четырех примерах, прежде чем выполнять упражнения, которые следуют на следующих страницах.

Для каждой задачи на деление в оставшейся части этого раздела продемонстрируйте свою работу, используя модель, аналогичную последним четырем примерам. Сначала составьте частичную или полную таблицу умножения (подготовьтесь к делению с помощью многократного вычитания). Затем разделите с помощью метода лесов с методом повторного вычитания. Напишите свой ответ в рамке над эшафотом. Затем проверьте свой ответ, умножив делитель на частное и прибавив остаток. Убедитесь, что вы внимательно следите за тем, с какой базой вы работаете, когда складываете, вычитаете и/или умножаете эту базу. Не забудьте написать основание, когда вы пишете частное и остаток.

Упражнение 4

\(222_{\text{три}} \div 12_{\text{три}}\)

Упражнение 5

\(1204_{\text{пять}} \div 42 _{\text{ пять}}\)

Упражнение 6

\(323_{\text{четыре}} \div 23_{\text{четыре}}\)

Упражнение 7

\(1345_{\text{шесть}} \ div 25_{\text{шесть}}\)

Упражнение 8

\(11111_{\text{два}} \div 101_{\text{два}}\)

Упражнение 9

\(1046_{\ text{семь}} \div 31_{\text{семь}}\)

Упражнение 10

\(10021_{\text{три}} \div 22_{\text{три}}\)

Упражнение 11

\(200_{\text{пять}} \div 3_{\text{пять}} \)

Упр.

\text{восемь}}\)

Упражнение 14

\(1046_{\text{тринадцать}} \div 14_{\text{тринадцать}}\)

Упражнение 15

\(101\text{E} _{\text{двенадцать}} \div 54_{\text{двенадцать}}\)

---

Эта страница под названием 7.3: Подразделение на других базах распространяется под лицензией CC BY-NC 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джули Харланд с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Джули Харланд

   Лицензия

   CC BY-NC

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@ https://sites. google.com/site/harlandclub/my-books/math-64

Как преподавать правило частных показателей

Джон Мелони / 19 декабря 2022 г. 25 января 2023 г. / 3 минуты чтения / Математика и прочее Как вы обучаете частному правилу показателей?

• Шаг 1. Разверните выражения
• Шаг 2: Отмените общие множители
• Шаг 3: Запишите упрощенную форму показателя степени
• Шаг 4: Обсуждение

Зачем учить правило отношения показателей степени таким образом?

Словарь для обучения правилу частных степеней

Заблуждения и ошибки, которые могут быть у учащихся

Ресурсы:

Часто задаваемые вопросы:

• Что такое правило частных?
• Каковы 5 правил экспоненты?
• Что является примером правила частного?
• Почему используется правило отношения?

Ключевые понятия правила частных показателей степени

100+ бесплатных математических рабочих листов, практических тестов и викторин

Учащимся важно открыть для себя правила запоминания, а не исследовательскую деятельность правила. Для студентов гораздо более интуитивно понятно делить показатели при делении степеней. Исследовательская деятельность помогает учащимся понять, почему вместо этого имеет смысл вычитать степени. В этом блоге мы говорим о том, как вы можете научить студентов правилу частных.

Как вы обучаете правилу частных степеней?

Шаг 1. Разверните выражения

Предложите учащимся самостоятельно заполнить следующую таблицу.

Когда ученики закончат работу, попросите одного или нескольких учеников заполнить таблицу на доске.

Шаг 2: Сократите общие делители

Проверьте вместе с учащимися, что все, что делится само на себя, равно 1. Вы можете показать им пример 2/2 = 1. Затем попросите учащихся исключить все общие делители в развернутой форме и обвести их все оставшиеся факторы.

Когда ученики закончат работу, попросите одного или нескольких учеников исключить общие факторы и обвести оставшиеся факторы на доске.

Читайте также: Как преподавать нулевые и отрицательные показатели степени

Шаг 3: Запишите упрощенную форму показателя степени

Затем попросите учащихся написать в упрощенной форме степени для каждого примера.

 

Шаг 4: Обсуждение

«Можем ли мы, используя таблицу, вывести «правило» деления степеней с одинаковыми основаниями?»

• Разрешить учащимся разговаривать или работать вместе.
  • Советы, которые вы можете давать повсюду:
    • Скажите им, чтобы они сосредоточились на показателях степени в исходном выражении и на показателе степени в упрощенном выражении. Как соотносятся эти цифры?
    • Дайте им « ^м / ⁿ = ^? » и попросите их подумать о том, что происходит с исходными показателями, чтобы получить окончательный показатель.
• В конце концов, обсудите правило отношения и объясните, как разложение каждой степени позволяет нам отменить любые общие множители как в числителе, так и в знаменателе, и полностью увеличить оставшиеся множители.
• Добавьте правило «a 90 515 m 90 516 /a 90 515 n 90 516 = a 90 515 m–n 90 516 » в растущий список правил экспоненты в классе.

Зачем учить правило частных степеней таким образом?

Преподавание правила отношения экспонент таким образом позволяет учащимся понять причины, лежащие в основе этого правила. Это создает более глубокое концептуальное понимание.

Цифровой соучитель, созданный с помощью ❤️ учителями

ByteLearn экономит ваше время и гарантирует, что каждый учащийся получит необходимую поддержку

Словарь для обучения правилу возведения в частную степени

Показатель степени: Показатель степени (степень) — это небольшое число, расположенное справа вверху от основания.

Показывает, сколько раз основание умножается само на себя.

Степень: Степень числа показывает, во сколько раз будет умножено основное число.

Правило частного:  При умножении степеней с одинаковым основанием вычтите их степени.

а ^M /A ^N = A ^{M — N}

215.

• Напомните учащимся об этом задании. Поощряйте их думать о том, если бы они расширили полномочия, а затем отменили все общие факторы, сколько бы осталось?

Учащиеся не могут учитывать невидимый показатель степени 1, когда переменная записывается без показателя степени

• Напомните им, что любая переменная, записанная без показателя степени, всегда имеет невидимый показатель степени, равный 1!

Ресурсы:

• Слайды для учителей для использования этой деятельности в классе
• Загружаемый рабочий лист для практики коэффициентного правила экспонентов
• Викторина для оценки коэффициента экспоненты

.