Персональный сайт — Числовые неравенства
Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (), «меньше или равно» () образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства: 3 · 7 – 20 > 2 · 4 -10, | — 5 | > 3. В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства ( > , < ) , либо нестрогие ( , ). Запись 5a 4b означает, что 5a либо меньше 4b, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными. Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было справедливым.
Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были справедливы одновременно.
Основные свойства неравенств.
1. Если а > b, то b < а, и, наоборот, если а < b, то b > а.
Доказательство. Пусть а > b. По определению это означает, что число (а — b) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число — (а — b) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому — (а — b) < 0, или b — а < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b < a.
Обратное утверждение предлагаем учащимся доказать самостоятельно.
Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А лежит на числовой прямой правее точки В, то точка В лежит левее точки А, и наоборот (см.
рис. 20).
2. Если a > b, a b > c, то а > с.
Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а) лежит правее точки В (соответствующей числу b), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).
Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.
Пусть а > b, a b > с. Это означает, что числа (а — b) и (b— с) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (а — b) + (b— с) > 0, или а — с > 0. Но это и означает, что а > с.
3. Если а > b, то для любого числа с а + с > b + с, а — c > b — с.
Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.
Доказательство. Пусть а > b. Это означает, что а — b > 0. Но а — b = (а + с) — (b + с). Поэтому (а + с) — (b + с) > 0. А по определению это и означает, что а + с > b + с. Аналогично показывается, что а — c > b — с.
Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 11/2, то получим
61/2 > 51/2. Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > — 1.
Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.
Пусть, например, а + b > с. Требуется доказать, что а > с — b. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b.
4. Пусть а > b. Если с > 0, то аc > bc. Если же с < 0, то ас < bс.
Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Короче это свойство формулируется таким образом:
Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.
Например, умножив неравенство 5 > 1 почленно на 7, получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на — 7 дает — 35 < — 7.
Доказательство 4-го свойства.
Пусть а > b. Это означает, что число а — b положительно. Произведение двух положительных чисел а — b и с, очевидно, также положительно, т. е. (а — b) с > 0, или
ас — bс > 0. Поэтому ас > bс.
Аналогично рассматривается случай, когда число с отрицательно. Произведение положительного числа а — b на отрицательное число с, очевидно, отрицательно, т. е.
(а — b) с < 0; поэтому ас — bс < 0, откуда ас < bс.
Следствие.
Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.
Это вытекает из того, что деление на число с =/= 0 равносильно умножению на число 1/c.
Числовые неравенства и их свойства
Числовые неравенства и их свойства| Цели обучения (ссылка на учебную программу): | 6.2.2.5 знать и применять свойства числовых неравенств; 6.2.2.6 понимать и применять сложение, вычитание, умножение и деление неравенств; |
| Цели урока: | Знают и применяют свойства числовых неравенств все знать и понимать свойства числовых неравенств большинство применять сложение, вычитание, умножение и деление неравенств некоторые составлять двойные неравенства |
| Критерии успеха: | знают свойства числовых неравенств применяют сложение, вычитание, умножение и деление неравенств составляют двойные неравенства |
| Привитие ценностей: | воспитание внимания, уважительного отношения к мнению одноклассников, умения выражать и отстаивать собственное мнение. |
| Межпредметная связь: | самопознание |
| Предыдущие знания: | неравенства, числовые равенства, больше, меньше, равно |
Ход урока
| Этапы урока | Запланированная деятельность на уроке | Ресурсы |
|---|---|---|
Начало урока (4 мин) | Приветствие учащихся Психологический настрой Я улыбнусь вам, а вы улыбнетесь друг другу. И подумаете: как хорошо, что мы сегодня здесь все вместе. Мы скромны и добры, приветливы и ласковы. Мы все здоровы. — Глубоко вдохните и выдохните. Выдохните вчерашнюю обиду. Я желаю всем нам хорошего урока. Сегодня на уроке мы исследуем свойства числовых неравенств и будем решать примеры К концу урока вы сможете выполнять действия с неравенствами Метод «Да и нет»(Каждому обучающемуся раздаются карточки если да — он поднимает зеленую карточку , если нет -красную ). • Если перед скобками стоит знак -,то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняются (нет) • Чтобы умножить алгебраическую сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить (Да ) • Слагаемые,имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми (Да) • Чтобы привести подобные слагаемые,надо : 1) сложить их коэффициенты (да) • Запись суммы ас+вс в виде произведения (а+в)с называют вынесением общего множителя за скобки (да). Ф.О учителем (учащиеся правильно ответившие на вопрос,поощряются смайликами ) | Карточки зеленого и красного цвета, интерактивная доска |
Середина урока (18 мин) | Работа в группах Метод «Вращающиеся станции» (Класс поделен на несколько» станций». Станция «Правило» Числовым неравенством называется выражение вида a< b, a≤ b, для обсуждения новой а>b ,а ≥b где a≤ b ⇔ a< b, a= b, и а ≥b ⇔ a> b, a= b Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным. Станция «Свойства неравенств» Основные свойства. a < b ⇔ b > a a < b и b < c ⇔ a < c a < b ⇔ a + c < b + c или a — c < b — c a < b и c < 0 ⇔ a⋅c> b⋅с или а/c >b/c a < b и c > 0 ⇔a⋅c<b⋅c или a/c<( b)/c a + b > c ⇔a — c > — b a >b ⇔ — a < — b Станция » Действия с неравенствами» a < b и c < d ⇔ a + c < b + d a < b и c > d ⇔ a — c > b — d a > b >0 и c > d >0 ⇔a⋅c>b⋅d Ф. Три наклона, прямо встать, Руки вниз, затем поднять, Руки плавно опустили, всем улыбку подарили ИР. Дифференцированные задания Цель: проверить усвоение учащимися нового материала. Уровень А Сравните числа 1) х-у=0 2) -2,5 и -2,3 3) -2 и 5 Уровень В 1) Прибавьте к обеим частям неравенства -8,5 <1,7 число -6 2) Вычислите из обеих частей неравенства -91/12 <20 число 16 3) Запишите верное неравенство, которое получится если умножить обе части неравенства -4,8<2,5 на число 3 Уровень С 1)Докажите, что ,если а>1,8 и в >9,то1) 5а+4в>38 Дескрипторы: сравнивает числа применяет правило сложения, вычитания, умножения чисел, имеющих разные знаки. | |
Конец урока (5 мин) | Д/задание №889,№896, №904 (по выбору) Цель:осуществление дифференцированного подхода | |
Рефлексия (5 мин) | Метод «Светофор» Учитель предлагает ученикам установить по результатам их работы степень достижения ими учебной цели и приобретение уверенности в своих знаниях. • Зеленый – цели достигнуты, уверенно движутся вперед. • Желтый – частичная динамика, достигнуты отдельные элементы успеха, не достаточная степень уверенности, обращаются за советом, помощью. • Красный – цели не достигнуты, находятся в замешательстве, о чем ставят в известность учителя. Данный метод поможет учителям на начальной стадии обнаружить трудности и позволит ученикам проявлять оперативность в своевременном обращении за помощью к учителю. | Учебное пособие математика 6 класс Раздаточный материал |
Каждая группа находится около своей «станции.» Участникам отведено время не более 6 минут) для обсуждения новой темы и для фиксирования новой темы. По истечении времени группы переходят к другим станциям, где продолжают обсуждение нового материала. 
Как найти решение неравенства с делением
Все ресурсы Алгебры 1
10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →
Алгебра 1 Помощь » Уравнения / Неравенства » Системы неравенств » Как найти решение неравенства с делением
Решить для :
Возможные ответы:
Ни один из других ответов
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти , разделите целые числа и , добавив 1 и вычтя с обеих сторон, чтобы получить .
Затем разделите обе части на 2, чтобы получить . Поскольку вы не делили на отрицательное число, знак менять не нужно.
Сообщить об ошибке
Решите следующее:
Правильный ответ:
Объяснение:
Не забудьте изменить направление знака неравенства при делении на отрицательное число!
Сообщить об ошибке
Приведите набор решений неравенства:
Возможные ответы:
Множество всех действительных чисел
Правильный ответ:
Объяснение:
Обратите внимание на изменение направления символа неравенства, когда выражения делятся на отрицательное число.
или, в интервальной форме,
Сообщить об ошибке
Приведите набор решений неравенства:
Возможные ответы:
Неравенство не имеет решения.
Правильный ответ:
Объяснение:
Обратите внимание на изменение направления символа неравенства, когда выражения делятся на отрицательное число.
или, в интервальной форме,
Сообщить об ошибке
Приведите набор решений неравенства:
Возможные ответы:
Неравенство не имеет решения.
Правильный ответ:
Объяснение:
Обратите внимание на изменение направления символа неравенства, когда выражения делятся на отрицательное число.
или, в интервальной форме,
Отчет о ошибке
.
Правильный ответ:
Объяснение:
Обратите внимание на изменение направления символа неравенства, когда выражения делятся на отрицательное число.
или, в форме интервала,
Отчет о ошибке
Дайте набор решений неравенства:
Возможные ответы:
9
действительные числа
Правильный ответ:
Объяснение:
Обратите внимание на изменение направления символа неравенства, когда выражения делятся на отрицательное число.
or, in interval form,
Report an Error
Solve for :
Possible Answers:
None of the other answers
Correct ответ:
Объяснение:
Сначала сложите и вычтите обе части неравенства, чтобы получить .
Затем разделите обе части на и поменяйте знак, так как вы делите на отрицательное число.
Это дает вам .
Сообщить об ошибке
Найдите решение для следующего сложного неравенства:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
5 Объяснение:
Решите каждое из этих двух неравенств по отдельности:
, или, в интервальной форме,
900004
, или, в интервальной форме,
Два неравенства связаны с «и», поэтому мы берем пересечение двух интервалов.
Неравенство не имеет решения.
Правильный ответ:
Объяснение:
или, в форме интервала,
Отчет о ошибке
← Предыдущий 1 2 3 4. Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
неравенство — Как разделить два неравенства
спросил
Изменено 2 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 6к раз
$\begingroup$
Я хотел бы знать, знает ли кто-нибудь, как правильно разделить одно неравенство на другое, как метод решения, аналогичный тому, когда мы делим одно равенство на другое.