Деление выражения на выражение: Деление многочленов столбиком онлайн

Деление многочленов столбиком онлайн

Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Для любых многочленов f(x) и g(x), g(x) ≠ 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что f(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x).

Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Инструкция. Для получения решения в онлайн режиме необходимо ввести числитель и знаменатель.

При оформлении в качестве переменной использовать xtzupλ

Пример деления в столбик.

Найти частное деления и остаток многочлена:

№1.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2
-9x2-42

№2.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2 -9x
-9x2-42
-9x2 + 27x
-27x -42

№3.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2 -9x -27
-9x2-42
-9x2 + 27x
-27x -42
-27x + 81
-123

Целая часть: x² -9x ^{-27
Остаток: -123}

Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.

Пример №1. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x⁵+3x³-x²+4x+1, Q(x)=2x²-x+1

Пример №2. Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x⁴+6x³-2x²+x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x³(x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x³(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x³(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Деление многочленов онлайн

Онлайн калькулятор осуществляет деление многочленов двумя различными способами: делением в столбик и методом неопределенных коэффициентов. Для работы калькулятора введите исходные данные своей задачи.

Метод деления в столбик рассмотрим на следующем примере. Пусть нам требуется разделить многочлен

на многочлен

Сразу необходимо отметить, что:

деление многочленов возможно только в том случае, если степень многочлена делимого больше или равна степени многочлена делителя.

В нашем случае указанное условие выполняется т.к. степень многочлена делимого равна трём, а степень многочлена делителя — двум.

Чтобы осуществить деление многочленов, запишем многочлен делимое слева от вертикальной черты, а многочлен делитель — справа:

Далее, разделим слагаемое со старшей степенью многочлена делителя на слагаемое со старшей степенью многочлена делимого :

Запишем полученный результат (частное от деления) справа под чертой:

Теперь, умножаем на многочлен делитель , получаем:

Записываем полученный результат слева под многочленом делимым:

Вычитаем из многочлена делимого полученный результат:

Записываем полученный многочлен в столбик:

Далее, процедура повторяется, т. е. мы делим слагаемое со старшей степенью полученного многочлена ( ) на слагаемое со старшей степенью многочлена делителя ( ), и т.д., в результате получаем:

Процесс деления останавливается, когда степень многочлена остатка меньше степени многочлена делителя. Это условие описано выше.

Записываем полученный результат следующим образом. Сначала записываем частное (многочлен справа под чертой) равное , затем прибавляем к нему дробь, числителем которой является многочлен остаток равный (тот многочлен, который остался после всех вычитаний слева снизу в столбике) а знаменателем — многочлен делитель . В результате получаем:

Таким образом:

Другим способом деления многочленов является метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на том же самом примере. В общем случае, результат деления многочленов можно записать в следующем виде:

где — многочлен частное, степень которого равна разности степеней многочлена делимого и многочлена делителя, т.е. в нашем случае — единице. — многочлен остаток, степень которого не больше степени многочлена делителя, т.е. в нашем случае — не больше единице.

Теперь, запишем многочлен в общем виде:

— неизвестные пока коэффициенты.

Тоже самое для многочлена :

— неизвестные пока коэффициенты.

Таким образом, получаем следующее равенство:

Итак, нам нужно определить неизвестные коэффициенты и . Для этого домножаем обе части приведенного выше равенства на знаменатель — многочлен делитель , получаем:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

Для того, чтобы сохранить верное равенство, нам нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получаем следующую систему линейных уравнений:

В результате решения этой системы, получаем следующие значения коэффициентов:

Подставляем значения полученных коэффициентов и исходное равенство:

Как видно, данный результат полностью совпадает с результатом, полученным методом деления в столбик.

Решение систем уравнений онлайн
Калькулятор метода подстановки
Метод Крамера онлайн

Деление алгебраических выражений – Методы, правила и примеры

LearnPracticeDownload

Деление алгебраических выражений выполняется так же, как деление двух целых чисел или дробей. Разделение двух алгебраических выражений или переменных выражений включает удаление общих терминов и их сокращение. Эти общие термины включают константы, переменные, термины или просто коэффициенты. В этой статье давайте узнаем о правилах деления различных типов алгебраических выражений с решенными примерами.

1.	Что такое разделение алгебраических выражений?
2.	Деление монома на моном
3.	Деление многочлена на моном
4.	Деление многочлена на многочлен
5.	Примеры деления алгебраических выражений
6.	Часто задаваемые вопросы

Что такое разделение алгебраических выражений?

При делении алгебраического выражения мы сокращаем общие члены, что аналогично делению чисел. Деление алгебраических выражений включает следующие шаги.

• Шаг 1: Непосредственно извлеките общие термины или создайте заданные выражения для проверки общих терминов.
• Шаг 2: Отменить общий термин.

Примечание. Здесь общие термины соответствуют одному из следующих: константы, переменные, термины или просто коэффициенты.

Существуют различные типы деления алгебраических выражений.

• Деление одночлена на одночлен
• Деление многочлена на одночлен
• Деление многочлена на многочлен

В любом случае мы сначала удаляем общие члены из заданных многочленов, а затем удаляем этот общий член/члены. Давайте обсудим их в каждом конкретном случае.

Деление монома на моном

Одночлен — это тип выражения, который имеет только один член. Ниже приведен правильный метод деления одночлена на другой одночлен:

Рассмотрим пример: 27x ³ ÷3x

Здесь 3x и 27x ³ — два одночлена.

• Напишите их простую факторизацию. 27x ³ ÷ 3x = 27×x×x×x/3×x
• Отменить общий термин, равный 3x.

Таким образом, 27x ³ ÷ 3x = 9x ²

Деление многочлена на одночлен

Многочлен содержит несколько типов выражений, некоторые из которых являются биномиальными, трехчленными или уравнением с n членами.

Теперь займемся делением многочленов на одночлены.

(4г ³ + 5г ² + 6г) ÷ 2г

Здесь трехчлен равен 4г ³ + 5г ² + 6г, а одночлен равен 2г.

• В трехчлене, если взять общий множитель 2y, получается: 4y ³ + 5y ² + 6y = 2y(2y ² + (5/2)y + 3)
• Теперь выполняем операцию деления: {2y(2y ² + (5/2)y + 3)} ÷ 2y. Вычеркнуть 2г из числителя и знаменателя: (4г ³ + 5г ² + 6г) ÷ 2г = 2г ² + (5/2)у + 3

Таким образом, (4г ³ + 5г ² + 6г) ÷ 2г = 2г ² + (5/2)у + 3

Деление многочлена на многочлен

Рассмотрим многочлены, которые делят многочлен для выполнения операции деления.

(7x ² + 14x) ÷ (x + 2)

Здесь оба многочлена существуют в биномиальной форме.

• Убрать общие множители. Для многочлена 7x ² + 14x x — общий множитель.
• Итак, считайте «7x» общим фактором среди них. Тогда получается 7x ² + 14x = 7x(x+2)
• Теперь (7x ² + 14x) ÷ (x + 2) = 7x(x + 2) / (x + 2)
• Исключив (x+2) из ​​числителя и знаменателя, мы получим решение для длинных делящих многочленов как: (7x ² + 14x) ÷ (x + 2) = 7x

Таким образом, (7x ² + 14x) ÷ (x + 2) = 7x

Темы, относящиеся к делению алгебраических выражений

• Факторизация алгебраических выражений
• Вычитание алгебраических выражений
• Сложение алгебраических выражений
• Умножение алгебраических выражений

Важные примечания

• Мы можем добавлять и вычитать только подобные или похожие термины.
• Мы можем умножать как одинаковые, так и разные термины.
• Деление алгебраического выражения осуществляется с помощью алгебраических тождеств.
• Помните, что отрицательный знак также распространяется на все термины в скобках.

 

Примеры деления алгебраических выражений

1. Пример 1: Роуз хочет разделить многочлен (4x ³ -3x ² +4x) на одночлен 2x. Можете ли вы помочь ей с решением?

   Решение:

   Здесь полином равен 4x ³ −3x ² +4x, а моном равен 2x.
   Если взять общий множитель 2x из числителя, получится:

   4x ³ −3x ² +4x=2x(2x ² −(3/2)x+2)

   Теперь разделим выражение на 2x:
   (4x ³ −3x ² +4x)÷2x={2x(2x ² −(3/2)x+2)}÷2x

   . Сокращая 2x из числителя и знаменателя, мы получить:

   2x ² −(3/2)x+2

   Следовательно, (4x ³ −3x ² +4x)÷2x=2x ² −(3/2)x+2

2. Пример 2: Можем ли мы помочь Эшли найти решение (24a ² +48a)÷(6a+12), используя деление многочлена полиномиальным методом?

   Решение:

   Нам нужно найти: (24a ² +48a)÷(6a+12)

   Сначала найдем общие множители многочленов (24a ² +48a).
   Здесь 4а — общий множитель. Следовательно, получается 24a ² +48a=4a(6a+12)

   Выполним деление алгебраической операции,

   (24a ² +48a)÷(6a+12)=[4a(6a+12)]÷(6a+12)

   Исключив (6a+12) из ​​числителя и знаменателя, мы получим решение для деления.
   Таким образом, [4a(6a+12)]÷(6a+12)=4a

   Следовательно, (24a ² +48a)÷(6a+12)=4a

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по разделу алгебраических выражений

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о разделе алгебраических выражений

Что такое разделение алгебраических выражений в математике?

Деление алгебраического выражения аналогично делению чисел. В этом методе мы выполняем деление, вынимая общие члены, и получаем упрощенный ответ на деление заданных алгебраических выражений,

Какие этапы деления алгебраических выражений?

Шаги для разделения алгебраических выражений:

• Шаг 1: Непосредственно удалите общие термины или разложите данные выражения на множители, чтобы проверить наличие общих терминов.
• Шаг 2. Отмените общий термин.

Как разделить два алгебраических выражения?

При делении двух алгебраических выражений мы исключаем общие члены из выражений, что аналогично делению чисел.

Каковы шаги к делению рациональных алгебраических выражений?

Несколько шагов для деления рациональных алгебраических выражений:

• Шаг 1: Проверьте множители числителей и знаменателей всех заданных дробей.
• Шаг 2: Измените знак деления на знак умножения, верните дробь и умножьте члены.
• Шаг 3: Сократите указанные дроби.

Каков результат деления многочлена на многочлен?

Результат деления многочлена на многочлен дает ответ на деление двух многочленов, которое выполняется с помощью шагов, указанных ниже:

• Проверка на заданные многочлены.
• Убрать общие множители.
• Удалив этот общий множитель из числителя и знаменателя, мы получим решение деления двух заданных многочленов в большую сторону.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Раздел алгебраических выражений Рабочий лист 92)/2`

После того, как вы попрактикуетесь с ними, вы сможете делать это, не разделяя их сначала на 2 дроби.

Деление на дробь

Помните следующее при делении алгебраические выражения.

, обратное числа x , равно `1/x`.

Например, обратная величина 5 равна 1/5, а обратная величина 1 2/3 равна 3/5.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратное дроби.

Например, `3/4 -: 7/x=3/4xxx/7=(3x)/28`

Пример 4

Упростить

`(3+1/х)/(5/х+4)`

Ответить

Я покажу вам, как это сделать двумя разными способами. Стоит увидеть оба, потому что они оба полезны. Вы можете решить, что проще 😉

Решение 1. Умножение на обратное число

Я беру верхнее выражение (числитель) и превращаю его в одну дробь со знаменателем х .

`3+1/х=(3х+1)/х`

Аналогично поступаем с нижним выражением (знаменатель):

`5/х+4=(5+4х)/х`

Итак вопрос стал:

`(3+1/х)/(5/х+4)=((3х+1)/х)/((5+4х)/х)`

Мы думаем о правой стороне как о делении верха на низ:

`(3x+1)/x-:(5+4x)/x`

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную величину:

`(3x+1)/(x)xxx/(5+4x)=(3x+1)/(5+4x)`

x отменяется, и у нас есть окончательный ответ, который уже нельзя упростить.

Решение 2. Умножение верхнего и нижнего пределов

Я понимаю, что у меня есть «/ x » как в числителе, так и в знаменателе. Поэтому, если я просто умножу верх и низ на x , это упростит все, удалив дроби сверху и снизу.

`(3+1/х)/(5/х+4)ххх/х`

Я действительно просто умножаю на «1» и не меняю исходное значение дроби — просто меняю ее форму.

Итак, я умножаю каждый элемент верха на x и каждый элемент низа на x и получаю:

`(3+1/х)/(5/х+4)ххх/х=(3х+1)/(5+4х)`

Я не могу дальше упрощать.

Длинное деление в алгебре

Прежде чем мы рассмотрим пример с использованием алгебры, давайте вспомним, как выполнять деление в большую сторону с помощью 9.0054 сначала набирает .

Пример 5

Давайте 23 576 разделим на 13.

Мы можем записать это как дробь:

`23576/13`

Теперь, чтобы разделить это (при условии, что у нас нет калькулятора), мы могли бы действовать следующим образом.

23 разделить на 13 = 1 с остатком 10.

Сводим 5 (следующее число после 3) вниз.

Теперь у нас есть

105 разделить на 13 будет 8 с остатком 1 92-11x-4)-:(x-4)`

Ответить

Мы делим многочлен степени 2 на многочлен степени 1. Это алгебраическое деление в длину.

Шаг 1: Мы смотрим на первый член (3 x ² — 11 x — 4) и первый член ( x — 4).

Разделим следующим образом: 3 x ² ÷ x = 3 x

Запишем 3 x в начало деления и умножим (3 x )( x — 4) = 3 x ² — 12 x , чтобы получить вторую строку нашего решения.

Шаг 2: Вычитание второй строки из первой дает:

Будьте осторожны с

-11 х — (-12 х ) = -11 х + 12 х = х

Шаг 3: Снизьте -4 из первой строки:

Шаг 4: Разделите x (в 3-й строке) на x из ( x − 4) в вопросе. Наш ответ 1, и мы пишем «+ 1» в верхней части нашего длинного деления.

Затем умножьте (1) на ( x − 4), чтобы получить 4-ю строку.

Шаг 5: Вычтите 4 -й ряд из 3 -го:

SO (3 x ² — 110410 x — 4) ÷ ( x — 4) = 3 — 4) ÷ ( x — 4) = 3 — 4). + 1 92+6+7x)/(2x+1)` as (6 x ² + 7 x + 6) ÷ (2 x + 1)

Снова делим многочлен степени 2 полиномом меньшей степени (1). Это алгебраическое длинное деление.

Шаг 1: 6 x ² ÷ 2 x = 3 x

, так что мы записываем следующее, используя (3 x ) (2 x + 1) = 6 10 x ) (2 x + 1) = 6

181818181811) (2 x + 1) = 6 181818111) (2 x + 1) = 6 18111111) (2 x + 1) = 6

x ) (2 x + 1). х ² + 3 х для второго ряда:

Шаг 2: Мы вычитаем 6 x ² + 3 x из первого ряда:

Шаг 3: .

No related posts.