Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Главная Справочник Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка
Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .
Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:
Решение дифференциальных уравнений первого порядка
Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению.
Это множество функций имеет вид
где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).
График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.
Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.
Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.
Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.
Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.
Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:
Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка
1.
Метод Бернулли или метод подстановкиДелаем замену
а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что
Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:
Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:
Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:
Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:
Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.
Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):
Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:
А тогда, находим и искомую функцию
2.
Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постояннойЭтот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).
Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения
которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение
Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:
И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:
Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Официальный сайт Askari Bank Limited, Пакистан
Кредитные карты Askari MastercardAskari Bank предлагает широкий выбор кредитных карт Mastercard подробнее
Последние новостиБанк Аскари, стремящийся содействовать расширению доступа к финансовым услугам и предоставлять быстрые решения с помощью цифровых инноваций, подписал Меморандум о взаимопонимании с Qisstpay BNPL (Pvt).
Подробнее
..Аскари Банк объявил о полугодовой прибыли (прибыль до налогообложения) в размере 12,157 млрд рупий, что свидетельствует о росте в годовом исчислении на 80% благодаря сильным показателям по всем бизнес-сегментам. Прибыль после налогообложения в размере 6,313 млрд рупий…
ПодробнееТранспортные средства, принадлежащие Банку, в различных вариантах доступны для продажи на условиях «Как есть, где есть». Приглашаются закрытые предложения от заинтересованных лиц/партий. Транспортные средства могут быть осмотрены физически…
ПодробнееБанк Аскари подписал Меморандум о взаимопонимании с Пакистанской ассоциацией фрилансеров (PAFLA) с целью цифровой адаптации и облегчения сегмента внебанковских фрилансеров.
Аскари Банк стал партнером Специальной программы обмена талантами (STEP) для улучшения социально-экономической жизни людей с ограниченными возможностями. Это сотрудничество поможет людям с ограниченными возможностями…
ПодробнееУважаемый клиент, В целях обеспечения доступности банковских услуг во время продленных праздников Курбан-Байрам т. е. с 08 по 12 июля 2022 г. следующие филиалы Аскари Банка в дополнение к…
ПодробнееГ-н Вакар Ахмед Малик, председатель фонда Fauji Foundation (FF), открыл образцовое отделение банка «Аскари» для лиц с ограниченными возможностями (ЛОВ), расположенное рядом с семейным клубом Jacaranda,…
ПодробнееУважаемые покупатели! Это должно сообщить, что деятельность по техническому обслуживанию системы должна быть выполнена на Пятница, 10 июня 2022 г.
Подробнее , с 04:00 до 07:00. В течение этого времени Askari Digital Services не будет……
ПодробнееУважаемые уважаемые клиенты! Программа вознаграждений Askari Digital Banking Rewards будет приостановлена для обновления с 1 июля 2022 года. Вскоре мы свяжемся с вами и сообщим вам о других интересных предложениях. Подробнее…
ПодробнееУважаемые покупатели! Для облегчения сбора сборов за хадж с потенциальных паломников для хаджа 2022 года определенные отделения банка «Аскари» будут оставаться открытыми, как указано ниже: Суббота, 28 мая,…
ПодробнееУважаемые покупатели! С 6 мая 2022 года будут соблюдаться следующие банковские сроки: Дни Часы работы с понедельника по четверг с 09:00 до 17:00 Пятница с 09:00 до.
Подробнее ..Г-н Шехрияр Али Шах, директор по цифровым технологиям (CDO) банка Аскари, рассказывает о «Сертификате Пакистана Ная» во время передачи Рамазан на Aaj News Пожалуйста, нажмите на изображение, чтобы посмотреть полностью…
ПодробнееAskari Bank сотрудничает с пакистанской финансовой технологической компанией CashNow, чтобы ускорить процесс финансирования малых и средних предприятий в стране. В составе Аскари…
ПодробнееAskari Bank подписал соглашение с Ahuwat Islamic Microfinance о предоставлении недорогого жилищного финансирования, субсидированного каробара и финансирования сельского хозяйства соответствующим клиентам. Соглашение было…
Подробнее
..
, с 04:00 до 07:00. В течение этого времени Askari Digital Services не будет…
..