Определение дисперсии: Математическое Бюро. Страница 404

alexxlab / / Разное

Дисперсия (теория вероятности) | это… Что такое Дисперсия (теория вероятности)?

Толкование

Дисперсия (теория вероятности)

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Замечания
  • 3 Свойства дисперсии
  • 4 Пример
  • 5 См. также

Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

Замечания

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
  • Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):
D[X] = U»(0) − U‘2(0)
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства дисперсии

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] п.
    н.
  • Пусть — случайные величины, а — их произвольная линейная комбинация. Тогда
где — ковариация случайных величин
В частности:
если независимы;

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

См. также

  • Моменты случайной величины;
  • Ковариация;
  • Выборочная дисперсия;
  • Выборочное стандартное отклонение;
  • Независимость (теория вероятностей).
  • Скедастичность

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужна курсовая?

  • Дисперсия измерений
  • Дисперсные системы

Полезное


Формула дисперсии с примерами решения

Содержание:

  1. Примеры с решением

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема, Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Доказательство.

Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции трёх переменных

Среднее квадратическое отклонение

Уравнение эллипса

Примеры с решением

Пример 1.

Найти дисперсию случайной величины которая задана следующим законом распределения:

Решение:

Найдем математическое ожидание

Напишем закон распределения случайной величины

Найдем математические ожидания

Искомая дисперсия

Замечание. Казалось бы, если и имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и Дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!). Однако в общем случае это не так.

Дело в гом, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений больше, чем вероятности этих же значений н вероятности «близких» значений меньше, чем вероятности тех же значений то, очевидно, дисперсия больше дисперсии

Приведем иллюстрирующий пример

Пример 2.

Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Решение:

Легко убедиться, что

Таким образом, возможные значения н математические ожидания и одинаковы, а дисперсии различны, причем Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство. По определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при величина имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания больше, чем возможные значения вокруг т. е. Напротив, если

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство. Величины и независимы, поэтому, по третьему свойству,

В силу первого свойства

Следовательно,

Свойство становится понятным, если учесть, что величины и отличаются лишь началом отсчетам, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства

По второму свойству,

или

Определение и значение дисперсии | Dictionary.com

  • Основные определения
  • Викторина
  • Связанный контент
  • Примеры
  • Британский

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

[ vair-ee-uhns ]

/ ˈvɛər i əns /

Сохранить это слово!

См. синонимы дисперсии на Thesaurus.com

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

сущ.

состояние, качество или факт изменчивости, расхождения, различия или аномалии.

экземпляр варьируется; разница; несоответствие.

Также называется среднеквадратичным отклонением. Статистика. квадрат стандартного отклонения.

Физика, Химия. количество степеней свободы системы.

Право.

  1. расхождение или несоответствие между двумя утверждениями или документами, которые должны быть согласованы.
  2. отклонение от причины иска, первоначально заявленной в жалобе.

официальное разрешение на выполнение чего-либо, обычно запрещенного правилами, в частности, на строительство способом или с целью, обычно запрещенной законом о зонировании или строительным кодексом.

разногласие, спор или ссора.

ВИКТОРИНА

Сыграем ли мы в «ДОЛЖЕН» ПРОТИВ. «ДОЛЖЕН» ВЫЗОВ?

Должны ли вы пройти этот тест на «должен» или «должен»? Это должно оказаться быстрым вызовом!

Вопрос 1 из 6

Какая форма обычно используется с другими глаголами для выражения намерения?

Идиомы о различии

    в различии,

    1. (о вещах) в состоянии различия или несогласия.
    2. (лиц) в состоянии разногласий или разногласий: в разногласиях с начальством.

Происхождение дисперсии

13:00–50; Среднеанглийский <латинский variantia, эквивалент vari(āre) для изменения) + -antia-ance

ДРУГИЕ СЛОВА ОТ variance

non·var·i·ance, существительноеself-var·i·ance, существительное

Слова рядом дисперсия

переменная скорость, переменная область, переменный резистор, переменная звезда, varia lectio, дисперсия, вариант, вариант Болезнь Крейтцфельдта-Якоба, вариация, вариация, ветряная оспа

Dictionary.com Unabridged На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc., 2022

Слова, относящиеся к дисперсии

отклонение, несоответствие, расхождение, колебание, поворот, аргумент, изменение, конфликт, разногласие, несогласие, разногласие, разногласие, несогласие , разногласие, разобщенность, разнообразие, разделение, переворот, несоответствие, непоследовательность

Как использовать дисперсию в предложении

  • Эта вариативность в эффективности является причиной того, что вы можете захотеть отдать позже, а не сегодня.

    Не ждите: дело в том, чтобы отдать раньше, чем позже|Келси Пайпер|30 ноября 2020 г.|Vox

  • вам для выявления подозрительных отклонений.

    Как обнаружить дезинформацию о выборах (и бороться с ней)|Синтия Горди Гива|23 октября 2020 г.|ProPublica

  • Различия в характерах бывают даже внутри породы.

    Забудьте все, что вы знали о своей собаке (эпизод 436)|Стивен Дж. Дубнер|22 октября 2020 г.|Фрикономика

  • в современных источниках, чтобы описать их.

    Знай свои исторические военные корабли: 7 век до н.э. – 17 век н.э.|Даттатрейя Мандал|4 апреля 2020 г.|Царство истории

  • Обычно это связано с довольно высокими отклонениями от первоначального плана, что означает, что они могут быть оспорены в судебном порядке.

    Почему контроль над арендной платой не работает (ретрансляция эпизода 373)|Стивен Дж. Дубнер|12 марта 2020 г.|Фрикономика

  • Увеличение охвата объясняет 88% дисперсии уровня смертности — чрезвычайно сильная корреляция.

    Медийный маркетинг — это обезболивающее для наркоманов?|Майя Салавиц|4 марта 2014 г.|DAILY BEAST

  • Но мы должны помнить, что экономика объясняет подавляющее большинство различий в политическом доверии и одобрении.

    Вы можете обвинить экономику в непопулярности президента Обамы|Жамель Буи|13 ноября 2013|DAILY BEAST

  • Но за этим скрывается большая разница в результатах: для некоторых людей расходы не стоят того. .

    Неравенство в образовании|Меган МакАрдл|27 июня 2013|DAILY BEAST

  • Что ж, это говорит о том, что колледж в какой-то степени является лотереей; средние значения скрывают большую дисперсию.

    Высшее образование и заработок: теперь с графиками|Меган МакАрдл|20 февраля 2013|DAILY BEAST

  • Сэр Ричард Ланди подошел к Перси, «заявив, что он больше не будет воевать в компании с людьми, находящимися в раздоре и ссорящимися .’

    Король Роберт Брюс|А. F. Murison

  • Только тогда, когда клятва противоречит требованиям долга, воздержание от клятвы не будет грехом.

    Постановление о завете|Джон Каннингем

  • Думаю, столь же очевидно, что три дня романов не расходились с реальной практикой.

    Трехдневный турнир|Джесси Л. Уэстон

  • Она была огорчена, обнаружив, что Генриетта расходится с теми, кто имел практические знания в области образования.

    Дочери Данауса|Мона Кэйрд

  • Различия в прочности существующих мостов таковы, что образованному глазу это очевидно без каких-либо расчетов.

    Encyclopaedia Britannica, 11th Edition, том 4, часть 3 | Различные

Определения британского словаря для дисперсии

или степень расхождения; несоответствие

пример расхождения; разногласия наши разногласия по этому вопросу не должны влиять на нашу дружбу

в разногласиях

  1. (часто идут мимо) (фактов и т. д.) не согласуются; противоречивый
  2. (лиц), находящихся в состоянии разногласий

статистика мера дисперсии, полученная путем взятия среднего квадрата отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения в частотном распределении

разница или расхождение между двумя шагами в судебное разбирательство, особенно между заявлением в состязательной бумаге и доказательствами, представленными в его поддержку

(в США и Канаде) лицензия или разрешение, выданное комиссией по разногласиям в нарушение обычного правила, в частности, для построения вопреки положениям код зонирования

chem число степеней свободы системы, используемое в правиле фаз

учет разницы между фактическими и стандартными затратами на производство

Collins English Dictionary — Complete & Unabridged 2012 Digital Edition © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

Определение

в кембриджском словаре английского языка

Примеры отклонений

отклонение

Вместо того, чтобы нацеливаться на максимально возможную доходность, нацельтесь на диапазон с минимально возможной дисперсией .

От VentureBeat