Дифференциальное уравнение первого порядка решить: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка вида a1(x)y' + a0(x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным. Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y'+y=b(x).

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

=

Использовать замену переменных y=u*v
Использовать метод вариации произвольной постоянной
Находить частное решение при y() = .

Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y' + a

0(x)y = b(x). Например, для y'-exp(x)=2*y это будет y'-2*y=exp(x).

Теорема. Пусть a₁(x), a₀(x), b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a₁≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x₀, y₀), x₀∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀ и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y'+a0(x)y=0.
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e^x, записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C₁— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).

Пример. Решить уравнение y' + 2y = 4x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y' + 2y = 0. Решая его, получаем y = Ce^-2x. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e^-2x. Подставляя y и y’ = C'(x)e^-2x — 2C(x)e^-2

^x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe^2x, откуда C(x) = 2xe^2x — e^2x + C₁ и y(x) = (2xe^2x — e^2x + C₁)e^-2x = 2x — 1 + C₁e^-2x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y₁(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y₂(x) = C₁e^-2x -собственное движение объекта.

Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin²2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin²2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin

22x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin²2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin²2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin²2x
u’ = 2/sin²2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела.

Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

 

Решение уравнений

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

 

Математика

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

 

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Вы могли бы сначала прочитать о дифференциальных уравнениях
и о разделении переменных!

Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная д

дх  

Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений под названием 9.0009 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Первый заказ

Они «Первый Орден», когда есть только д дх , а не г ² г дх ² или г ³ г дх ³ и т. д.

Линейный

Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда это можно сделать так:

д дх + Р(х)у = Q(х)

Где P(x) и Q(x) являются функциями x.

Для ее решения есть специальный метод:

• Мы изобрели две новые функции от x, назовем их
  u и v и скажем, что y=uv .
• Затем мы решаем найти u , а затем найти v , привести в порядок и готово!

И мы также используем производную от y=uv (см. Производные правила (правило произведения)):

д дх = ты дв дх + в дю дх

шагов

Вот пошаговый метод их решения:

Попробуем посмотреть пример:

Пример 1: Решите это:

д дх − г х = 1

Во-первых, линейно ли это? Да, как есть в форме

д дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = − 1 х и Q(x) = 1

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Замените y = uv и  . д дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: д дх − г х = 1

Становится следующим:u дв дх + в дю дх − уф х = 1

Шаг 2: Фактор частей, включающих v

Фактор v :u дв дх + v( дю дх −

и х ) = 1

Шаг 3: Приравняем член v к нулю

v член приравняем к нулю: дю дх − и х = 0

Итак: дю дх «=» и x

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и «=» дх x

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = ∫ дх x

Интегрируем: ln(u) = ln(x) + C

Сделать C = ln(k):ln(u) = ln(x) + ln(k)

Итак:u = kx

Шаг 5: Подставить u обратно в уравнение на шаге 2

(Помните, что термин

v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв дх = 1

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: k dv = дх x

Поставьте знак интеграла: ∫k dv = ∫ дх x

Интегрируем: kv = ln(x) + C

Делаем C = ln(c):kv = ln(x) + ln(c)

Итак: kv = ln(cx)

И Итак: v = 1 к ln(cx)

Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув:у = кх 1 к ln(cx)

Упрощение: y = x ln(cx)

И это дает это прекрасное семейство кривых:

y = x ln(cx) для различных значений c

Что означают эти кривые?

Они являются решением уравнения   д дх − г х = 1

Другими словами:

В любом месте на любой из этих кривых
наклон минус г х равно 1

Давайте проверим несколько точек на с=0,6 кривая:

Оценка вне графика (до 1 знака после запятой):

Точка	х	и	Уклон ( д дх )	д дх − г х
А	0,6	−0,6	0	0 — −0,6 0,6 = 0 + 1 = 1
Б	1,6	0	1	1 — 0 1,6 = 1 — 0 = 1
С	2,5	1	1,4	1,4 — 1 2,5 = 1,4 — 0,4 = 1

Почему бы не проверить несколько точек самостоятельно? Вы можете построить кривую здесь.

 

Возможно, вам поможет еще один пример? Может чуть сложнее?

Пример 2: Решите это:

д дх − 3 года х = х

Во-первых, это линейно? Да, как есть в форме

д дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = − 3 х и Q(x) = x

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Замените y = uv и  . д дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: д дх − 3 года х = x

Становится следующим: u дв дх + в дю дх − 3уф х = x

Шаг 2: Фактор частей, включающих v

Фактор v :у дв дх + v( дю дх − 3у х ) = x

Шаг 3: Положите член v равным нулю

v член = ноль: дю дх − 3у х = 0

Итак: дю дх «=» 3у x

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и = 3 дх x

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = 3 ∫ дх x

Интегрируем: ln(u) = 3 ln(x) + C

Делаем C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = 3ln(x)

Тогда:uk = x ³

Итак:u = х ³ k

Шаг 5: Подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что член v равен 0, поэтому его можно игнорировать):( х ³ к ) дв дх = x

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = k x ^-2 dx

Знак интеграла: ∫dv = ∫k x ^-2 dx

Интегрируем:v = −k x ^-1 + D

Шаг 7: Подставляем в 9 0009 y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув: у = х ³ к ( −k x ^-1 + D )

Упрощение: y = −x ² + Д к х ³

Заменить D/k с одной константой c : y = с x ³ − x ²

И это дает это прекрасное семейство кривых:

y = c x ³ − x ² для различных значений c

И еще один пример, на этот раз еще сложнее :

Пример 3: Решите это:

д дх + 2xy= −2x ³

Во-первых, линейно ли это? Да, как это в форме

д дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = 2x и Q(x) = −2x ³

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Замените y = uv и  . д дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: д дх + 2xy= −2x ³

Получается так: u дв дх + в дю дх + 2xув = −2x ³

Шаг 2: Фактор частей, включающих v

Фактор v :u дв дх + v( дю дх + 2xu ) = -2x ³

Шаг 3: Приравняем терм v к нулю

v term = ноль: дю дх + 2xu = 0

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и = −2x dx

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = −2∫x dx

Интегрируем: ln(u) = −x ² + C

Сделать C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = −x ²

Тогда: uk = e ^{-x 2}

И так: ты = е ^{-х 2} k

Шаг 5: Подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что член v равен 0, поэтому его можно игнорировать):( е ^{-х 2} к ) дв дх = −2x ³

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = −2k x ³ e ^{x 2} dx 90 004

Поставьте знак интеграла: ∫dv = ∫−2k x ³ e ^{x 2} dx

Интегрируем: v = о нет! это трудно!

Давайте посмотрим. .. мы можем интегрировать по частям… что говорит:

∫RS dx = R∫S dx − ∫R’ ( ∫S dx) dx

(Примечание: мы используем R и S здесь использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)

Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:

• R = −x ² и
• S = 2x e ^{x 2}

Итак, вперед:

Сначала вытащите k:v = k∫−2x ³ e ^{x 2} dx

R = −x ² и S = 2x e ^{x 2} :в = k∫(−x ² )(2xe ^{x 2} ) dx

Теперь интегрируем по частям:v = kr∫s dx — k∫r ‘(∫ s dx) dx

положить r = −x ² и s = 2x e ^{x 2}

, а также r’ = −2x и ∫ s dx = e ^{x 2}

Таким образом, получается: v = −kx ² ∫2x e ^{x 2} dx − k∫−2x (e ^{x 2} ) dx

Теперь интегрируем:v = −kx ² e ^{x 2} + k e ^{x 2} + D

Упростить:v = ke ^{x 2} (1−x ² ) + D

Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув: у = е ^{-х 2} к ( ke ^{x 2} (1−x ² ) + D )

Упрощение: y =1 − x ² + ( Д к )e ^{— x 2}

Замените D/k одной константой c : y = 1 − x ² + с e ^{— x 2}

И мы получаем это прекрасное семейство кривых:

y = 1 − x ² + с e ^{— x 2} для различных значений c

 

9429, 9430, 9431, 9432, 9433, 9434, 9435, 9436, 9437, 9438

Дифференциальные уравнения — DE первого порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В этой главе мы рассмотрим решение дифференциальных уравнений первого порядка. Наиболее общее дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде

\[\begin{equation}\frac{{dy}}{{dt}} = f\left( {y,t} \right) \label{eq:eq1} \end{equation}\]

Как мы увидим в этой главе, общей формулы для решения \(\eqref{eq:eq1}\) не существует. Вместо этого мы рассмотрим несколько особых случаев и посмотрим, как их решить. Мы также рассмотрим некоторые аспекты теории дифференциальных уравнений первого порядка, а также некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка. Ниже приведен список тем, обсуждаемых в этой главе.

Линейные уравнения. В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \(y’ + p(t) y = g(t)\). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.

Разделимые уравнения – В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \(N(y) y’ = M(x)\). Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения. Мы также начнем искать интервал достоверности решения дифференциального уравнения. 9{н}\). В этом разделе также будет представлена ​​идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.

Подстановки. В этом разделе мы продолжим с того места, где остановился последний раздел, и рассмотрим пару других подстановок, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \(y’ = F(\frac{y}{x})\) и \(y’ = G(ax + by)\).

Интервалы достоверности. В этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка. В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим задачи смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкости, которая входит и выходит), проблемы населения (моделирование населения в различных ситуациях, в которых население может войти или выйти) и падающие предметы. (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).

Равновесные решения. В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений \(y’ = f(y)\).