Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта
- Решение квадратных уравнений через дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax2 + bx + c = 0 | b2 — 4ac | |
| ax2 + 2kx + c = 0 | k2 — ac | |
| x2 + px + q = 0 | ||
| p2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax2 + bx | , где D = b2 — 4ac |
| ax2 + 2kx + c = 0 | , где D = k2 — ac |
| x2 + px + q = 0 | , где D = |
| , где D = p2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
D = b2 — 4ac,
так как она относится к формуле:
,
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
3x2 — 4x + 2 = 0.
Определим, чему равны коэффициенты:
a = 3, b = -4, c = 2.
Найдём дискриминант:
D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,
D < 0.
Ответ: корней нет.
Пример 2.
x2 — 6x + 9 = 0.
Определим, чему равны коэффициенты:
a = 1, b = -6, c = 9.
Найдём дискриминант:
D = b
D = 0.
Уравнение имеет всего один корень:
Ответ: 3.
Пример 3.
x2 — 4x — 5 = 0.
Определим, чему равны коэффициенты:
a = 1, b = -4, c = -5
Найдём дискриминант:
D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,
D > 0.
Уравнение имеет два корня:
x1 = (4 + 6) : 2 = 5,
x2 = (4 — 6) : 2 = -1.
Ответ: 5, -1.
§ Дискриминант. Решение квадратных уравнений через дискриминант
Похоже, вы используете блокировщик рекламы.
Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
Скрыть меню
На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Площадь кругаАлгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
- Точка, прямая и отрезок
- Что такое аксиома и теорема
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое
Алгебра 10 класс
- Иррациональные числа
Алгебра 11 класс
- Факториал
Проявить мудрость в чужих делах куда легче, нежели в своих собственных.
Франсуа де Ларошфуко
на главную
Введите тему
Русский язык Поддержать сайт
Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения
Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √b2 − 4ac |
| 2a |
Запомните!
Выражение «b2 − 4ac», которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой «D».
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
x1;2
=| −b ± √D |
| 2a |
По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».
В зависимости от знака «D» (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
2x2 + 5x −7 = 0
D = b2 − 4ac
D = 52 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0
x1;2 =
| −b ± √D |
| 2a |
x1;2 =
| −5 ± √81 |
| 2 · 2 |
x1;2 =
| −5 ± 9 |
| 4 |
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = | x2 = | ||||
| x1 = 1 | x2 = −3 | ||||
| x1 = 1 | x2 = −3 |
Ответ: x1 = 1; x2 = −3
Вывод: когда «D > 0» в квадратном уравнении два корня.
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
16x2 − 8x + 1 = 0
D = b2 − 4ac
D = (−8)2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 =
| −b ± √D |
| 2a |
x1;2 =
| − (−8) ± √0 |
| 32 |
x1;2 =
| 8 ± 0 |
| 32 |
x =
x =
Ответ: x =
Вывод: когда «D = 0» в квадратном уравнении один корень.
III случай
D (дискриминант меньше нуля)
9x2 − 6x + 2 = 0
D = b2 − 4ac
D = (−6)2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D
x1;2 =
| −b ± √D |
| 2a |
x1;2 =
| − (−6) ± √−36 |
| 32 |
Ответ: нет действительных корней
Вывод: когда «D
Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения
Кубический дискриминант | Brilliant Math & Science Wiki
Содержание
- Определение дискриминанта
- Вычисление дискриминанта кубического многочлена
- Связь с формулой Кардано
- Смотрите также 92∆=a4(x1−x2)2(x2−x3)2(x3−x1)2.
Метод Кардано
Квадратичный дискриминант
Аппроксимация корня — деление пополам
Теорема о рациональном корне
Поскольку дискриминант симметричен относительно корней многочлена, мы можем выразить его в виде элементарных симметричных многочленов, то есть коэффициентов при P(x)P(x)P(x). Хотя существует общий метод получения дискриминанта любого многочлена, это элементарный и алгебраический подход.
По формуле Виета имеем
x1+x2+x3=-bax1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=-da.\begin{align} x_1+x_2+x_3 &=-\dfrac{b}{a}\\\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &=\dfrac{c}{a}\\\\ x_1x_2x_3&=-\dfrac{d}{a}. \end{выровнено}x1+x2+x3x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=-ab=ac=-ad. 92∆=a4(m−n)2. Мы не можем напрямую вычислить mmm и nnn, но поскольку они являются циклическими многочленами, оказывается, что элементарные симметричные многочлены mmm и nnn симметричны относительно x1,x2,x_1,x_2,x1,x2 и x3x_3x3 и следовательно, выражается через коэффициенты P (x) P (x) P (x). Итак, найдем их:
m+n=x1x2(x1+x2)+x2x3(x2+x3)+x3x1(x3+x1)=(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)−3x1x2x3= −bc+3ada2.\begin{выровнено}
m+n&=x_1x_2(x_1+x_2)+x_2x_3(x_2+x_3)+x_3x_1(x_3+x_1) \\\\
&=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-3x_1x_2x_3 \\\\
&=\dfrac{-bc+3ad}{a^2}.
\end{выровнено}m+n=x1x2(x1+x2)+x2x3(x2+x3)+x3x1(x3+x1)=(x1+ x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)−3×1x2x3=a2-bc+3ad. 92+18abcd}.
\end{выровнено} Δ=a4(m−n)2=a4(a2−bc+3ad)2−4a4(a4ac3−6abcd+9a2d2+b3d)=b2c2−6abcd+9a2d2−4ac3+24abcd−36a2d2 −4b3d=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.
Процитировать как: Кубический дискриминант. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/кубический-дискриминант/
Дискриминант кубического уравнения
Дискриминант квадратичного уравнения
A x ² + BX + C = 0
IS
77777878777778 гг. .
Если дискриминант Δ равен нулю, уравнение имеет двойной корень, т.
е. существует уникальное x , которое делает уравнение нулевым, и оно дважды считается корнем. Если дискриминант отличен от нуля, то имеются два различных корня.
Кубические уравнения также имеют дискриминант. Для кубического уравнения
A x ³ + BX ² + CX + D = 0
Дискриминант приведен
Δ = 18 ABCD — 8 — Δ — Δ — — — — — — — — — . . d + b ²c² – 4 ac³ – 27 a ² d ².
Если Δ = 0, уравнение имеет кратный корень, в противном случае оно имеет три различных корня.
Замена переменной может привести общее кубическое уравнение к так называемому «депрессивному» кубическому уравнению вида
x ³ + px + q = 0
, в этом случае дискриминант упрощается до
Δ = – 4 p³ – 7 q 9007.
Вот пара интересных соединений. Идея сведения кубического уравнения к депрессивному кубическому восходит к Кардано (1501–1576). То, что в этом контексте называется вдавленной кубической формой, известно как форма Вейерштрасса (1815–1897) в контексте эллиптических кривых. То есть эллиптическая кривая вида
y ² = x ³ + ax + b
находится в форме Вейерштрасса. Другими словами, эллиптическая кривая имеет форму Вейерштрасса, если правая часть представляет собой вдавленную кубическую форму.
Кроме того, эллиптическая кривая должна быть неособой, что означает, что она должна удовлетворять
4 a³ + 27 b ² ≠ 0.
Другими словами, дискриминант правой части не равен -нуль. В контексте эллиптических кривых дискриминант определяется как
Δ = -16 (4 a³ + 27 b ²)
, что совпадает с дискриминантом выше, за исключением коэффициента 16, который упрощает некоторые вычисления с эллиптическими кривыми.
Примечание к полям
В контексте решения квадратных и кубических уравнений мы обычно неявно работаем с вещественными или комплексными числами. Предположим, что все коэффициенты квадратного уравнения действительны. Если дискриминант положительный, существует два различных действительных корня. Если дискриминант отрицательный, есть два различных комплексных корня, и эти корни являются комплексно-сопряженными друг другу.
Аналогичные замечания справедливы для кубических уравнений, когда все коэффициенты действительны. Если дискриминант положительный, существует три различных действительных корня. Если дискриминант отрицателен, существует один действительный корень и комплексно-сопряженная пара комплексных корней.
В первом разделе я рассматривал только то, равен ли дискриминант нулю, поэтому утверждения не зависят от поля, из которого берутся коэффициенты.
Для эллиптических кривых нужно работать с различными полями. Могут быть действительные или комплексные числа, а также конечные поля.