Дисперсия дискретной случайной величины формула: Дисперсия случайной величины, дисперсия что это такое

Дисперсия дискретной случайной величины.

1.Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины. Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

X	– 0,01	0,01	Y	– 100	100
р	0,5	0,5	g	0,5	0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(Х) = – 0,010,5 + 0,010,5 = 0,

М(Y) = – 1000,5 + 1000,5 = 0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения X известен:

X	x1	x2	…	xn
р	р1	р2	…	pn

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁ – М(X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁ – М(X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

X – М(X)	x1 – М(X)	x2 – М(X)	…	xn – М(X)
р	р1	р2	…	pn

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[X – М(X)] = 0.

2.Дисперсия дискретной случайной величины. Формула вычисления дисперсии.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиныот ее математического ожидания:

D(X) = М(X ²)– М ²(X).

3.Свойства дисперсии.

D(С) = 0.

D(СX) = C²D(X).

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

D(X – Y) = D(X) + D(Y).

4.Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

5.Среднее квадратическое отклонение Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Сигма

Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

6.Одинаковое распределение взаимно независимых случайных величин.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

.

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию, а каждой из величин:

.

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии

   D каждой из величин:

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения, а каждой из величин:

7.Начальные и центральные теоретические моменты.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

v_k = M(X^k).

В частности,

v₁ = M(X), v₂ = M(X²).

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(X) = М(X²) – [М(X)]² можно записать так:

. (7.5)

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X – М(X).

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X – М(X))^k:

.

В частности,

. (7.6)

. (7.7)

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (7.5) и (7.7), получим

Всё необходимое о дисперсии — ясно, быстро, просто, понятно с первого раза. Отличные примеры, хорошие пояснения.

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р

Содержание:

• Свойства дисперсии

Чтобы осуществить качественный анализ или выполнить хороший прогноз, недостаточно знать оценку вероятности выполнения события, а также оценку его чаще всего выпадающего результата. Для качественной полноценной проработки, необходимо получить больше данных. Требуется при проведении экспериментальных работ научиться рассчитывать степень отклонения получающихся результатов (случайных величин) от их матожидания. В Теории вероятностей существует отдельный параметр, который отвечает за подобный анализ. Он носит название дисперсия. Другое его наименование — стандартное или среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия без особого труда может быть вычислена для дискретных случайных величин задаваемы последовательностями значений самих величин $ X_1, X_2 … X_n$ и рядом, в котором указаны вероятности $ P_1, P_2 … P_n$, соответствующие каждому конкретному из этих значений.

Определение 1

Для величины, являющейся случайной, дисперсия может быть вычислена согласно типовой формуле, при этом её обозначение D(X), где Х — обозначение случайной величины. Типовая формула для определения значения дисперсии выглядит следующим образом:

$D(X)=M[(X-M[x])^2]$

Здесь указано M, для случайной величины Х это матожидание. Сама дискретная величина представлена в определённом вероятностном пространстве, что значит — она задаётся рядом, в котором каждому конкретному значению, ею принимаемому, соответствует определённая вероятность. Значение дисперсии при этом имеет тот смысл, что она представляет собой математическое ожидание от отклонения дискретной случайной величины, возведённого во вторую степень. Когда говорится «отклонение», то имеется в виду ни что иное, как отклонение случайной величины от её математического ожидания (оно же среднеарифметическое значение и наиболее ожидаемый результат). 

Определение 2

Другой параметр, который наряду с дисперсией также важен для анализа систем, рассматриваемых в Теории вероятностей, называется средним квадратическим отклонением. Параметр также относится к случайной величине и математически представляет собой квадратный корень из дисперсии:

$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$

Пример

Допустим имеется случайная величина Х, являющаяся дискретной. 2D(X)$

Свойство 3

Когда дискретные случайные величины, являющиеся независимыми, суммируются, а затем требуется вычислить их дисперсию, то для них допустимо вычислить дисперсии по отдельности и суммировать полученные результаты, а именно:

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

Из полученного свойства имеют два следствия, первое из которых определяет возможность вычислить дисперсию от суммы любого количества случайных величин, большего двух, как сумму дисперсий этих же самых величин.

$D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)$

Второе следствие определяется для дисперсии взятой от суммы случайной велчиины и постоянной величины, в таком случае результатом данного суммирования будет дисперсия от случайной велчиины, ведь согласно ранее приведённому свойству дисперсия от константы равна нулю.

$D(C+X)=D(X)$

Свойство 4

Из первого и третьего свойства дисперсии нетрудно определить также и то, что при вычитании одной дискретной случайной величины из другой Рассмотрим разность двух случайных величин. Общая дисперсия будет равна сумме их дисперсий. Это утверждение легко вывести из первого и третьего свойств.

$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Видео с вопросами: Расчет дисперсии дискретной случайной величины

Стенограмма видео

Дискретная случайная величина 𝑋 имеет следующее распределение вероятностей. Найдите дисперсию 𝑋, давая ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Во-первых, напомним, что дисперсия дискретной случайной величины является мерой степени, в которой значения этой дискретной случайной величины отличаются от их ожидаемого значения. Формула, которую мы можем использовать для расчета дисперсии 𝑋 на практике, представляет собой математическое ожидание 𝑋 в квадрате минус ожидаемое значение 𝑋 в квадрате. И нам нужно четко понимать разницу в обозначениях здесь. Во втором члене мы находим математическое ожидание дискретной случайной величины 𝑋, а затем возводим его в квадрат, тогда как в первом члене мы сначала возводим в квадрат 𝑋-значения, а затем находим их математическое ожидание.

Можно также вспомнить еще две формулы. Во-первых, ожидаемое значение 𝑋 равно сумме каждого 𝑥-значения в диапазоне дискретной случайной величины, это значения в верхней строке таблицы, которые нам дали, умноженные на их соответствующую вероятность. Это значения во второй строке таблицы. Ожидаемое значение 𝑋 в квадрате представляет собой сумму квадратов каждого 𝑥-значения, умноженную на его вероятность, которая наследуется непосредственно из распределения вероятностей 𝑥.

Нам будет полезно выполнять часть нашей работы в таблице, которая, по сути, является расширением таблицы выше. В первой строке мы собираемся умножить каждое 𝑥-значение на его вероятность. Итак, у нас есть два, умноженные на 0,14, что равно 0,28; три умножить на 0,25, это 0,75; четыре умножить на 0,17, что равно 0,68; пять умножить на 0,28, что равно 1,4; и шесть, умноженные на 0,16, что составляет 0,96. Тогда ожидаемое значение 𝑋 равно сумме этих пяти значений, что равно 4,07.

Теперь мы перейдем к вычислению ожидаемого значения 𝑋 в квадрате. В следующей строке нашей таблицы мы запишем квадраты каждого из 𝑥-значений. 𝑥-значения — это целые числа два, три, четыре, пять и шесть. Таким образом, их квадраты — это значения четыре, девять, 16, 25 и 36. В последней строке нашей таблицы мы умножим эти значения на вероятности. Итак, мы умножаем вторую строку нашей расширенной таблицы на вторую строку первой таблицы. Это дает значения 0,56, 2,25, 2,72, семь и 5,76. Ожидаемое значение квадрата 𝑋 представляет собой сумму этих пяти значений, которая составляет 18,29..

Теперь мы можем вычислить дисперсию этой дискретной случайной величины 𝑋. Возьмем ожидаемое значение 𝑋 в квадрате, то есть 18,29. И из этого мы вычитаем ожидаемое значение 𝑋. Это 4,07 в квадрате. Это 18,29 минус 16,5649, что равно 1,7251. В вопросе указано, что мы должны давать ответ с точностью до двух знаков после запятой, поэтому округляем до 1,73. Тогда дисперсия этой дискретной случайной величины 𝑋 равна 1,73. Само по себе это не дает нам огромного количества информации. Но мы могли бы сравнить это значение с дисперсией другой дискретной случайной величины, чтобы определить, какая из них имеет большую изменчивость.

Видео с вопросами: Расчет дисперсии дискретной случайной величины

Стенограмма видео

Пусть 𝑋 обозначает дискретную случайную величину переменная, которая может принимать значения один, 𝑎 и три. Учитывая, что 𝑋 имеет вероятность функция распределения 𝑓 числа 𝑥 равна 𝑥 более шести, найдите дисперсию 𝑋. Дайте ответ с точностью до двух знаков после запятой места.

Дисперсия дискретного случайного переменная – это мера степени, в которой значения переменной отличаются от их среднее или ожидаемое значение, которое мы обозначаем как 𝜇. Мы вычисляем дисперсию дискретная случайная величина 𝑋 с использованием формулы дисперсии 𝑋 равна ожидаемому значение 𝑋 в квадрате минус квадрат ожидаемого значения 𝑋. Нам нужно быть очень ясными в отношении разница в обозначениях здесь. Ожидаемое значение 𝑋 в квадрате означает, что мы сначала возводим переменную в квадрат, а затем находим ее ожидаемое значение, тогда как квадрат ожидаемого значения 𝑋 означает, что мы находим ожидаемое значение дискретного случайная величина 𝑋 сначала, а затем возведите ее в квадрат. Мы можем заменить ожидаемое значение из 𝑋 с буквой 𝜇, если это помогает с различием.

Формулы расчета каждого из этой статистики таковы. Ожидаемое значение 𝑋 равно к сумме каждого 𝑥-значения в диапазоне дискретной случайной величины, умноженной по соответствующей вероятности. Ожидаемое значение квадрата 𝑋 равно сумма квадратов каждого 𝑥-значения, умноженная на соответствующую вероятность. Эти вероятности являются 𝑓 𝑥 значений в распределении вероятностей 𝑥. Нам дано это распределение в вопрос. Нам сказали, что 𝑓 из 𝑥 равно до 𝑥 более шести, для 𝑥-значений один, 𝑎 и три.

Прежде чем мы сможем рассчитать дисперсии 𝑋, нам нужно определить значение этого неизвестного 𝑎. Для этого напомним, что сумма все вероятности в распределении вероятностей всегда равны единице. Итак, подставляя каждое значение 𝑥 в функцию распределения вероятностей, а затем суммируя три вероятности дает уравнение один больше шести плюс 𝑎 больше шести плюс три больше шести равно один. Умножение на шесть и упрощение выражения в левой части дает 𝑎 плюс четыре равно шесть. И затем вычитая четыре из каждого стороны уравнения, мы находим, что 𝑎 равно двум.

Теперь мы можем записать вероятность распределение 𝑥 в полном объеме. Три значения в диапазоне дискретной случайной величиной являются один, два и три, с соответствующими вероятности один больше шести, два больше шести и три больше шести. Для расчета ожидаемой стоимости 𝑋, добавляем в таблицу новую строку, в которой умножаем каждое 𝑥-значение на его вероятности, что дает один больше шести, четыре больше шести и девять больше шести. Ожидаемое значение 𝑋 представляет собой сумму из этих трех значений; это 14 на шесть, что упрощается до семи на три.

Далее мы хотим рассчитать ожидаемое значение 𝑋 в квадрате. Итак, добавляем в таблицу строку для значения в квадрате 𝑥, равные единице, четырем и девяти. Затем мы добавляем одну последнюю строку в таблица, в которой мы умножаем каждое значение 𝑥 в квадрате на соответствующее 𝑓 из 𝑥 значение, что дает один больше шести, восемь больше шести и 27 больше шести. Ожидаемое значение квадрата 𝑋 равно сумма этих трех значений, которая равна 36 больше шести или просто шести.

Наконец, подставляем два значения, которые мы вычислили в формуле дисперсии, что дает шесть минус семь на три в квадрате.