Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Доверительный интервал для математического ожидания — это такой вычисленный по данным
интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.
Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений.
Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами «среднее», «среднее значение». В задачах
рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа «Доверительный интервал среднего числа
[величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]». С помощью
доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака
генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые
мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и
генеральной совокупности .
Точечная и интервальная оценки среднего значения
Если среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки — случайной величины — не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: .
Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий
параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным
интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого
показателя генеральной совокупности.
,
α = 1 — P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике.
На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности — средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так:
.
Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если
- известно стандартное отклонение генеральной совокупности;
- или стандартное отклонение генеральной совокупности не известно, но объём выборки — больше 30.
Среднее значение выборки
является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности .
В свою очередь, дисперсия выборки
не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности .
Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе.
где — критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4.
Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины:
сумма значений в наблюдениях ,
сумма квадратов отклонения значений от среднего .
Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания.
вычислим стандартное отклонение:
,
вычислим среднее значение:
.
Подставляем значения в выражение для доверительного интервала:
где —
критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05
.
Получаем:
Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266.
Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится?
Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где — критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82.
Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где —
критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01
.
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02.
Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается.
Точечная и интервальная оценки удельного веса
Удельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 — α :
.
Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что
будут голосовать за кандидата A , 26% — за кандидата B и 28% не знают, за кого будут
голосовать.
Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих
кандидата
Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.
Доверительные интервалы: список решений задач
Доверительные интервалы: теория и задачи
Общие сведения о доверительных интервалах
Введем кратко понятие доверительного интервала, который
1) оценивает некоторый параметр числовой выборки непосредственно по данным самой выборки,
2) накрывает значение этого параметра с вероятностью γ.
Доверительным интервалом для параметра X (при вероятности γ) называется интервал вида , такой что , а значения вычисляются некоторым образом по выборке .
Обычно в прикладных задачах доверительную вероятность берут равной γ = 0,9; 0,95; 0,99.
Рассмотрим некоторую выборку объема n, сделанную из генеральной совокупности, распределенной предположительно по нормальному закону распределения .
Покажем, по каким формулам находятся доверительные интервалы для параметров распределения
Доверительный интервал для математического ожидания
Случай 1. Дисперсия распределения известна и равна . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению
Случай 2. Дисперсия распределения неизвестна, по выборке вычислена точечная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
, где — выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Стьюдента
Пример. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.
Решение. Найдем .
, где — выборочное среднее, — выборочная дисперсия. Подставляем все величины и получаем:
Доверительный интервал для дисперсии
Считаем, что вообще говоря, математическое ожидание неизвестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал имеет вид:
, где — квантили распределения , определяемые из таблиц.
Пример. По данным 7 испытаний найдено значение оценки для среднеквадратического отклонения s=12 . Найти с вероятностью 0,9 ширину доверительного интервала, построенного для оценки дисперсии.
Решение. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии генеральной совокупности можно найти по формуле:
Подставляем и получаем:
Тогда ширина доверительного интервала равна 465,589-71,708=393,881.
Доверительный интервал для вероятности (доли)
Случай 1.
Пусть в задаче известен объем выборки и выборочная доля (относительная частота) . Тогда доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) имеет вид:
, где параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению .
Случай 2. Если в задаче дополнительно известен общий объем совокупности , из которой была сделана выборка, доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) можно найти по скорректированной формуле:
.
Пример. Известно, что Найти границы, в которых с вероятностью заключена генеральная доля.
Решение. Используем формулу:
Найдем параметр из условия , получим Подставляем в формулу:
Другие примеры задач по математической статистике вы найдете на странице
Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения X N(
Пусть известно
генеральное среднее квадратическое
отклонение , но неизвестно
математическое ожидание теоретического
распределения m (среднее значение
).В
таком случае среднее выборочное
,
полученное в ходе эксперимента (п.3.4.2),
также будет являться случайной величинойm ;
).
Тогда «нормализованное» отклонение
N(0;1)
– является стандартной нормальной
случайной величиной.
Задача состоит в поиске интервальной оценки для m . Построим двусторонний доверительный интервал для m так, чтобы истинное математическое ожидание принадлежало ему с заданной вероятностью (надежностью) .
Установить
такой интервал для величины
– это значит найти максимальное значение
этой величины
и минимальное
,
которые являются границам критической
области:
.
Т.к.
такая вероятность равна
,
то корень этого уравнения
можно найти с помощью таблиц функции
Лапласа (Таблица 3, приложение 1).
Тогда
с вероятностью можно утверждать, что случайная величина
,
то есть искомое генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
(3.13)
Величину
(3.14)
называют точностью оценки.
Число
– квантиль нормального распределения – можно
найти как аргумент функции Лапласа
(Таблица 3, приложение 1), учитывая
соотношение 2Ф(u )=
, т.е. Ф(u )=
.
Обратно,
по заданному значению отклонения можно найти, с какой вероятностью,
неизвестное генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
Для этого нужно вычислить
. (3.15)
Пусть
из генеральной совокупности извлечена
случайная выборка методом повторного
отбора. Из уравнения
можно найти минимальный объем
повторной выборки n ,
необходимый для того, чтобы доверительный
интервал с заданной надежностью
не превышал наперед заданного значения .
Оценку требуемого объема выборки
производят по формуле:
. (3.16)
Исследуем точность
оценки
:
1)
При возрастании объема выборки n величина уменьшается ,
и значит, точность оценки увеличивается .
2) С увеличением надежности оценки увеличивается значение аргументаu (т.к. Ф (u ) монотонно возрастает) и значит увеличивается . В таком случае увеличение надежности уменьшает точность ее оценки .
Оценку
(3.17)
называют классической (где t — некий параметр, зависящий от и n ), т.к. она характеризует наиболее часто встречающиеся законы распределения.
3.5.3 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении
Пусть известно, что генеральная совокупность подчинена закону нормального распределения X N(m ; ), где величина среднего квадратического отклонения неизвестна.
Для
построения доверительного интервала
оценки генерального среднего в этом
случае используется статистика
,
имеющая распределение Стъюдента с k = n –1
степенями свободы.
Это следует из того,
что
N(0;1)
(см. п.3.5.2), а
(см. п.3.5.3) и из определения распределения
Стъюдента (ч.1.п.2.11.2).
Найдем
точность классической оценки распределения
Стъюдента: т.е. найдем t из формулы (3.17). Пусть вероятность
выполнения неравенства
задана надежностью :
. (3.18)
Поскольку T St(n -1),
очевидно, что t зависит от и n ,
поэтому обычно пишут
.
(3.19)
где
– функция распределения Стъюдента сn -1
степенями свободы.
Решая
это уравнение относительно m ,
получим интервал
который с надежностью
покрывает неизвестный параметр m .
Величина t , n -1 ,
служащая для определения доверительного
интервала случайной величины T (n -1), распределенной по Стъюденту с n -1
степенями свободы, называется коэффициентом
Стъюдента .
Его следует находить по заданным
значениям n и
из таблиц «Критические точки распределения
Стьюдента».
(Таблица 6, приложение 1),
которые и представляют собой решения
уравнения (3.19).
В итоге получаем следующее выражение точности доверительного интервала для оценки математического ожидания (генерального среднего), если неизвестна дисперсия:
(3.20)
Т.о., существует общая формула построения доверительных интервалов для математического ожидания генеральной совокупности:
где точность доверительного интервала в зависимости от известной или неизвестной дисперсии находится по формулам соответственно 3.16. и 3.20.
Задача 10. Проведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:
Известно,
что они подчиняются закону нормального
распределения с
.
Найти оценкуm *
для математического ожидания m ,
построить для него 90% доверительный
интервал.
Решение:
Итак, m (2.53;5.47).
Задача
11. Глубина
моря измеряется прибором, систематическая
ошибка которого равна 0, а случайные
ошибки распределяются по нормальному
закону, со средним квадратическим
отклонением =15м.
Сколько надо сделать независимых
измерений, чтобы определить глубину с
ошибками не более 5м при доверительной
вероятности 90%?
Решение:
По условию задачи имеем X N(m ; ), где =15м, =5м, =0.9. Найдем объем n .
1) С заданной надежностью = 0.9 найдем по таблицам 3 (Приложение 1) аргумент функции Лапласа u = 1.65.
2)
Зная заданную точность оценки =u =5,
найдем
.
Имеем
. Поэтому число испытаний n 25.
Задача 12. Выборка температуры t за первые 6 дней января представлена в таблице:
Найти
доверительный интервал для математического
ожидания m генеральной совокупности с доверительной
вероятностью
и оценить
генеральное стандартное отклонение s .
Решение:
и
.
2)
Несмещённую оценку
найдем по формуле
:
=-175 | |||||||
=234. |
84;
;
=-192 | |||||||
=116 |
.
3) Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, но известна ее оценка, то для оценки математического ожидания m используем распределение Стъюдента (Таблица 6, приложение 1) и формулу (3.20).
Т.к. n 1 =n 2 =6,
то
,
, s 1 =6.85
имеем:
,
отсюда -29.2-4.1m
1
Поэтому -33.3m 1
Аналогично
имеем,
, s 2 =
4.8,
,
поэтому
–34.9 m 2 m 1 (-33.3;-25.1) и m 2 (-34.9;-29.1).
В прикладных
науках, например, в строительных
дисциплинах, для оценки точности объектов
используются таблицы доверительных
интервалов, которые приведены в
соответствующей справочной литературе.
В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее — это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 — точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.
Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.
При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении
Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности
В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные.
Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .
где p S — выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р — доля признака в генеральной совокупности, Z — критическое значение стандартизованного нормального распределения, n — объем выборки.
Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1.
Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.
Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.
Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.
В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности
Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения.
Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:
Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Доверительные интервалы и этические проблемы
При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы.
Основная из них — как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка — именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.
Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.
Следующая заметка
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462
Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.
Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 (> 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x 1 , x 2 ,…, x n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как (подход, которому дано объяснение выше по тексту).
Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:
Mx 1 = Mx 2 = … = Mx n = M;
Dx 1 = Dx 2 = … = Dx n = D;
Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.
Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:
P(- a
Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n = 2 /n, получаем:
P(- a
Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство
Для любого можно по таблице найти такое число t, что(t)= / 2. Это число t иногда называют квантилем .
Теперь из равенства
определим значение d:
Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:
Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью.
Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25.
Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.
Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства (t) = / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 / 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).
статистический гипотеза генеральный вариационный
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть — случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s 2 по известным формулам.
Случайная величина
распределена по закону Стьюдента с n — 1 степенями свободы.
Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности и по числу степеней свободы n — 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство
или эквивалентное равенство
Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности, а также от параметров выборки и s.
Чтобы определить значение t по величине, равенство (2) преобразуем к виду:
Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 — и числу степеней свободы n — 1 находим t. Формула (3) дает ответ поставленной задачи.
Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной.
Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.
Решение. Величина 1 — в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (1943,4; 2056,6).
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания. Точечная и интервальная оценки удельного веса
1. Пусть известно, что сл. величина x подчиняется нормальному закону с неизвестным средним μ и известной σ 2: X~N(μ,σ 2 ), σ 2 задано, μ не известно. Задано β. По выборке x 1, x 2, … , x n надо построить I β (θ) (сейчас θ=μ), удовлетворяющий (13)
Выборочное среднее (говорят также выборочная средняя) подчиняется нормальному закону с тем же центром μ, но меньшей дисперсией X~N (μ , D ), где дисперсией D =σ 2 =σ 2 /n.
Нам понадобится число К β , определяемое для ξ~N(0,1) условием
Словами: между точками -К β и К β оси абсцисс лежит площадь под кривой плотности стандартного нормального закона, равная β
Например, К 0,90 =1,645 квантиль уровня 0,95 величины ξ
K 0,95 = 1,96.
; К 0,997 =3 .
В частности, отложив от центра любого нормального закона 1,96 стандартных отклонений вправо и столько же влево, мы захватим площадь под кривой плотности, равную 0.95, в силу чего К 0 95 является квантилью уровня 0,95 + 1/2*0,005 = 0,975 для этого закона.
Искомый доверительный интервал для генерального среднего μ есть I А (μ) = (х-σ, х+σ),
где δ = (15)
Дадим обоснование:
По сказанному, сл. величина в интервал J=μ±σ попадает с вероятностью β (рис.9). В этом случае величина отклоняется от центра μ меньше, чем на δ , и случайный интервал ± δ (со случайным центром и такой же как у J ширины) накроет точку μ. То есть Є J μ Є I β , а потому Р{μЄІ β } = Р{ Є J }=β.
Итак, постоянный по выборке интервал I β содержит среднее μ с вероятностью β.
Ясно, чем больше n, тем меньше σ и уже интервал, а чем больше мы берем гарантию β, тем доверительный интервал шире.
Пример 21.
По выборке с n=16 для нормальной величины с известной дисперсией σ 2 =64 найдено х=200.
Построить доверительный интервал для генерального среднего (иначе говоря, для математического ожидания) μ, приняв β=0,95.
Решение. I β (μ)= ± δ, где δ = К β σ/ -> К β σ/ =1.96*8/ = 4
I 0.95 (μ)=200 4=(196;204).
Делая вывод, что с гарантией β=0,95 истинное среднее принадлежат интервалу (196,204), мы понимаем, что возможна ошибка.
Из 100 доверительных интервалов I 0. 95 (μ) в среднем 5 не содержат μ.
Пример 22.
Каким в условиях предыдущего примера 21 следует взять n, чтобы вдвое сузить доверительный интервал? Чтобы иметь 2δ=4, надо взять
На практике часто пользуются односторонними доверительными интервалами. Так, если полезны или не страшны высокие значения μ, но не.приятны низкие, как в случае с прочностью или надежностью, то резонно строить односторонний интервал. Для этого следует максимально поднять его верхнюю границу. Если мы построим, как в примере 21, двусторонний доверительный интервал для заданного β, а затем максимально расширим его за счет одной из границ, то получим односторонний интервал с большей гарантией β» = β + (1-β) / 2 = (1+β)/2, например, если β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.
Например, будем считать, что речь идет о прочности изделия и поднимем верхнюю границу интервала до . Тогда для μ в примере 21 получим односторонний доверительный интервал (196,°°) с нижней границей 196 и доверительной вероятностью β»=0,95+0,05/2=0,975.
Практическим недостатком формулы (15)_является то, что она выведена в предположении, что дисперсия = σ 2 (отсюда и = σ 2 /n) известна; а это бывает в жизни редко. Исключение составляет случай, когда объем выборки велик, скажем, n измеряется сотнями или тысячами и тогда за σ 2 можно практически принять ее оценку s 2 или .
Пример 23.
Положим, в некотором большом городе в результате выборочного обследования жилищных условий жителей получена следующая таблица данных (пример из работы ).
Таблица 8
Исходные данные к примеру
Естественно допустить, что сл. величина X — общая (полезная) площадь (в м 2), приходящаяся на одного человека подчиняется нормальному закону. Среднее μ и дисперсия σ 2 не известны.
Для μ требуется построить 95%-ный доверительный интервал. Чтобы по группированным данным найти выборочные средние и дисперсию, составим следующую таблицу выкладок (табл.9).
Таблица 9
Вычисления X и 5 по сгруппированным данным
| N группы з | Общая площадь в расчете на 1 человека, м 2 | Число жителей в группе г j | Середина интервала x j | r j x j | rjxj 2 |
| До 5.0 | 2.5 | 20.0 | 50.0 | ||
| 5.0-10.0 | 7.5 | 712.5 | 5343.75 | ||
| 10.0-15.0 | 12.5 | 2550.0 | 31875.0 | ||
| 15.0-20.0 | 17.5 | 4725.0 | 82687.5 | ||
| 20.0-25.0 | 22.5 | 4725.0 | 106312.5 | ||
| 25.0-30.0 | 27. 5 | 3575.0 | 98312.5 | ||
| более 30.0 | 32.5 * | 2697.5 | 87668.75 | ||
| — | 19005.0 | 412250.0 |
В этой вспомогательной таблице по формуле (2) подсчитаны первый и второй начальные статистические моменты а 1 и а 2
Хотя дисперсия σ 2 здесь неизвестна, из-за большого объема выборки можно практически применить формулу (15), положив в ней σ= =7.16.
Тогда δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.
Доверительный интервал для генерального среднего при β=0,95 равен I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).
Следовательно, среднее значение площади на одного человека в данном городе с гарантией 0.95 лежит в промежутке (18.54; 19.46).
2. Доверительный интервал для математического ожидания μ в случае неизвестной дисперсии σ 2 нормальной величины. Этот интервал для заданной гарантии β строится по формуле ,где ν = n-1 ,
(16)
Коэффициент t β,ν имеет тот же смысл для t – распределения с ν степенями свободы, что к β для распределения N(0,1), а именно:
.
Другими словами, сл. Величина tν попадает в интервал (-t β,ν ; +t β,ν) с вероятностью β. Значения t β,ν даны в табл.10 для β=0.95 и β=0.99.
Таблица 10.
Значения t β,ν
Возвращаясь к примеру 23, видим, что в нем доверительный интервал был построен по формуле (16) с коэффициентом t β,υ =k 0..95 =1.96, т. к. n=1000.
Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.
Доверительные интервалы: список решений задач
Доверительные интервалы: теория и задачи
Общие сведения о доверительных интервалах
Введем кратко понятие доверительного интервала, который
1) оценивает некоторый параметр числовой выборки непосредственно по данным самой выборки,
2) накрывает значение этого параметра с вероятностью γ.
Доверительным интервалом для параметра X (при вероятности γ) называется интервал вида , такой что , а значения вычисляются некоторым образом по выборке .
Обычно в прикладных задачах доверительную вероятность берут равной γ = 0,9; 0,95; 0,99.
Рассмотрим некоторую выборку объема n, сделанную из генеральной совокупности, распределенной предположительно по нормальному закону распределения . Покажем, по каким формулам находятся доверительные интервалы для параметров распределения — математического ожидания и дисперсии (среднего квадратического отклонения).
Доверительный интервал для математического ожидания
Случай 1. Дисперсия распределения известна и равна . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению
Случай 2. Дисперсия распределения неизвестна, по выборке вычислена точечная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
, где — выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Стьюдента
Пример.
По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.
Решение. Найдем . Тогда доверительные границы для интервала, заключающего истинное значение измеряемой величины можно найти по формуле:
, где — выборочное среднее, — выборочная дисперсия. Подставляем все величины и получаем:
Доверительный интервал для дисперсии
Считаем, что вообще говоря, математическое ожидание неизвестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал имеет вид:
, где — квантили распределения , определяемые из таблиц.
Пример. По данным 7 испытаний найдено значение оценки для среднеквадратического отклонения s=12 . Найти с вероятностью 0,9 ширину доверительного интервала, построенного для оценки дисперсии.
Решение. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии генеральной совокупности можно найти по формуле:
Подставляем и получаем:
Тогда ширина доверительного интервала равна 465,589-71,708=393,881.
Доверительный интервал для вероятности (доли)
Случай 1. Пусть в задаче известен объем выборки и выборочная доля (относительная частота) . Тогда доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) имеет вид:
, где параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению .
Случай 2. Если в задаче дополнительно известен общий объем совокупности , из которой была сделана выборка, доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) можно найти по скорректированной формуле:
.
Пример. Известно, что Найти границы, в которых с вероятностью заключена генеральная доля.
Решение. Используем формулу:
Найдем параметр из условия , получим Подставляем в формулу:
Другие примеры задач по математической статистике вы найдете на странице
Пусть
произведена выборка из генеральной
совокупности, подчиненной закону нормального распределения X N(m ; ).
Это основное предположение математической
статистики основано на центральной
предельной теореме. Пусть известно
генеральное среднее квадратическое
отклонение , но неизвестно
математическое ожидание теоретического
распределения m (среднее значение
).
В
таком случае среднее выборочное
,
полученное в ходе эксперимента (п.3.4.2),
также будет являться случайной величинойm ;
).
Тогда «нормализованное» отклонение
N(0;1)
– является стандартной нормальной
случайной величиной.
Задача состоит в поиске интервальной оценки для m . Построим двусторонний доверительный интервал для m так, чтобы истинное математическое ожидание принадлежало ему с заданной вероятностью (надежностью) .
Установить
такой интервал для величины
– это значит найти максимальное значение
этой величины
и минимальное
,
которые являются границам критической
области:
.
Т.к.
такая вероятность равна
,
то корень этого уравнения
можно найти с помощью таблиц функции
Лапласа (Таблица 3, приложение 1).
Тогда
с вероятностью можно утверждать, что случайная величина
,
то есть искомое генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
(3.13)
Величину
(3.14)
называют точностью оценки.
Число
– квантиль нормального распределения – можно
найти как аргумент функции Лапласа
(Таблица 3, приложение 1), учитывая
соотношение 2Ф(u )=
, т.е. Ф(u )=
.
Обратно,
по заданному значению отклонения можно найти, с какой вероятностью,
неизвестное генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
Для этого нужно вычислить
. (3.15)
Пусть
из генеральной совокупности извлечена
случайная выборка методом повторного
отбора. Из уравнения
можно найти минимальный объем
повторной выборки n ,
необходимый для того, чтобы доверительный
интервал с заданной надежностью
не превышал наперед заданного значения .
Оценку требуемого объема выборки
производят по формуле:
.
(3.16)
Исследуем точность
оценки
:
1) При возрастании объема выборки n величина уменьшается , и значит, точность оценки увеличивается .
2) С увеличением надежности оценки увеличивается значение аргументаu (т.к. Ф (u ) монотонно возрастает) и значит увеличивается . В таком случае увеличение надежности уменьшает точность ее оценки .
Оценку
(3.17)
называют классической (где t — некий параметр, зависящий от и n ), т.к. она характеризует наиболее часто встречающиеся законы распределения.
3.5.3 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении
Пусть
известно, что генеральная совокупность
подчинена закону нормального распределения X N(m ; ),
где величина среднего
квадратического отклонения
неизвестна.
Для
построения доверительного интервала
оценки генерального среднего в этом
случае используется статистика
,
имеющая распределение Стъюдента с k = n –1
степенями свободы. Это следует из того,
что
N(0;1)
(см. п.3.5.2), а
(см. п.3.5.3) и из определения распределения
Стъюдента (ч.1.п.2.11.2).
Найдем
точность классической оценки распределения
Стъюдента: т.е. найдем t из формулы (3.17). Пусть вероятность
выполнения неравенства
задана надежностью :
. (3.18)
Поскольку T St(n -1),
очевидно, что t зависит от и n ,
поэтому обычно пишут
.
(3.19)
где
– функция распределения Стъюдента сn -1
степенями свободы.
Решая
это уравнение относительно m ,
получим интервал
который с надежностью
покрывает неизвестный параметр m .
Величина t , n -1 ,
служащая для определения доверительного
интервала случайной величины T (n -1), распределенной по Стъюденту с n -1
степенями свободы, называется коэффициентом
Стъюдента .
Его следует находить по заданным
значениям n и
из таблиц «Критические точки распределения
Стьюдента». (Таблица 6, приложение 1),
которые и представляют собой решения
уравнения (3.19).
В итоге получаем следующее выражение точности доверительного интервала для оценки математического ожидания (генерального среднего), если неизвестна дисперсия:
(3.20)
Т.о., существует общая формула построения доверительных интервалов для математического ожидания генеральной совокупности:
где точность доверительного интервала в зависимости от известной или неизвестной дисперсии находится по формулам соответственно 3.16. и 3.20.
Задача 10. Проведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:
Известно,
что они подчиняются закону нормального
распределения с
.
Найти оценкуm *
для математического ожидания m ,
построить для него 90% доверительный
интервал.
Решение:
Итак, m (2.
53;5.47).
Задача 11. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределяются по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением =15м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибками не более 5м при доверительной вероятности 90%?
Решение:
По условию задачи имеем X N(m ; ), где =15м, =5м, =0.9. Найдем объем n .
1) С заданной надежностью = 0.9 найдем по таблицам 3 (Приложение 1) аргумент функции Лапласа u = 1.65.
2)
Зная заданную точность оценки =u =5,
найдем
.
Имеем
. Поэтому число испытаний n 25.
Задача 12. Выборка температуры t за первые 6 дней января представлена в таблице:
Найти
доверительный интервал для математического
ожидания m генеральной совокупности с доверительной
вероятностью
и оценить
генеральное стандартное отклонение s .
Решение:
и
.
2)
Несмещённую оценку
найдем по формуле
:
=-175 | |||||||
=234.84 |
;
;
=-192 | |||||||
=116 |
.
3)
Поскольку генеральная дисперсия
неизвестна, но известна ее оценка, то
для оценки математического ожидания m используем распределение Стъюдента
(Таблица 6, приложение 1) и формулу (3.
20).
Т.к. n 1 =n 2 =6,
то
,
, s 1 =6.85
имеем:
,
отсюда -29.2-4.1m
1
Поэтому -33.3m 1
Аналогично
имеем,
, s 2 =
4.8,
,
поэтому
–34.9 m 2 m 1 (-33.3;-25.1) и m 2 (-34.9;-29.1).
В прикладных науках, например, в строительных дисциплинах, для оценки точности объектов используются таблицы доверительных интервалов, которые приведены в соответствующей справочной литературе.
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение s этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. В данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического ожидания с надёжностью b. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности) b, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (6.
9а):
где Ф(t ) – функция Лапласа (5.17а).
В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = s 2:
- Задать значение надёжности – b .
- Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5× b. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t) (см. Приложение 1).
- Вычислить отклонение e по формуле (6.10).
- Записать доверительный интервал по формуле (6.12) такой, что с вероятностью b выполняется неравенство:
. |
Пример 5 .
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если даны:
1) генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5;
2) выборочная средняя ;
3) объём выборки n = 49.
В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания а с надёжностью b все величины, кроме t, известны.
Значение t можно найти, используя (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.
По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее значение t = 2,06. Следовательно, . Подставив в формулу (6.12) вычисленное значение e, можно получить доверительный интервал: 30-1,47
Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания равен: 28,53
Для начала напомним следующее определение:
Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma $. Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами
Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma $.
Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство
Из нее получим
Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta $.
2$. Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma $ на $S$, получим:
Пример задач на нахождение доверительного интервала
Пример 1
Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$. Пусть объем выборки $n=64$, а надежность равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.
Нам необходимо найти интервал ($\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta)$.
Как мы видели выше
\[\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}\]
Параметр $t$ найдем из формулы
\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475\]
Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$.
Таблица T-распределения (односторонний и двусторонний)
Для получения дополнительной информации о частях таблицы t, в том числе о том, как их вычислить, см.: Степени свободы и альфа-уровень.
Посмотрите видео для краткого обзора того, как читать таблицу распределения t:
Как читать таблицу t
Посмотрите это видео на YouTube.
Видео не видно? Кликните сюда.
Таблица T-распределения (один ответвитель)
Чтобы просмотреть таблицу T-распределения для двух ответвлений, щелкните здесь.
| дф | а = 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 | 0,001 | 0,0005 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ∞ | т а = 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,091 | 3,291 |
| 1 | 3,078 | 6.314 | 12.706 | 31.821 | 63.656 | 318,289 | 636,578 |
| 2 | 1,886 | 2,920 | 4.303 | 6,965 | 9,925 | 22.328 | 31.600 |
| 3 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 10. 214 | 12,924 |
| 4 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 7,173 | 8.610 |
| 5 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4.032 | 5,894 | 6,869 |
| 6 | 1.440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5.208 | 5,959 |
| 7 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 4,785 | 5.408 |
| 8 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 4.501 | 5.041 |
| 9 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,297 | 4,781 |
| 10 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 | 4. 144 | 4,587 |
| 11 | 1,363 | 1,796 | 2.201 | 2,718 | 3.106 | 4,025 | 4,437 |
| 12 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 3,930 | 4,318 |
| 13 | 1.350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3.012 | 3,852 | 4.221 |
| 14 | 1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 3,787 | 4.140 |
| 15 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 3,733 | 4,073 |
| 16 | 1,337 | 1,746 | 2.120 | 2,583 | 2,921 | 3,686 | 4.015 |
| 17 | 1,333 | 1,740 | 2. 110 | 2,567 | 2,898 | 3,646 | 3,965 |
| 18 | 1.330 | 1,734 | 2.101 | 2,552 | 2,878 | 3,610 | 3,922 |
| 19 | 1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,579 | 3,883 |
| 20 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,552 | 3.850 |
| 21 | 1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,527 | 3,819 |
| 22 | 1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,505 | 3,792 |
| 23 | 1,319 | 1,714 | 2,069 | 2.500 | 2,807 | 3,485 | 3,768 |
| 24 | 1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,467 | 3,745 |
| 25 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3. 450 | 3,725 |
| 26 | 1,315 | 1,706 | 2,056 | 2,479 | 2,779 | 3,435 | 3,707 |
| 27 | 1,314 | 1,703 | 2,052 | 2,473 | 2,771 | 3,421 | 3,689 |
| 28 | 1.313 | 1.701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,408 | 3,674 |
| 29 | 1.311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,396 | 3,660 |
| 30 | 1.310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,385 | 3,646 |
| 60 | 1,296 | 1,671 | 2.000 | 2,390 | 2,660 | 3,232 | 3,460 |
| 120 | 1,289 | 1,658 | 1,980 | 2,358 | 2,617 | 3,160 | 3,373 |
| 1000 | 1,282 | 1,646 | 1,962 | 2,330 | 2,581 | 3,098 | 3. 300 |
| дф | а = 0,2 | 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,002 | 0,001 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ∞ | т а = 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,091 | 3,291 |
| 1 | 3,078 | 6.314 | 12.706 | 31.821 | 63,656 | 318.289 | 636,578 |
| 2 | 1,886 | 2,920 | 4.303 | 6,965 | 9,925 | 22.328 | 31.600 |
| 3 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 10.214 | 12,924 |
| 4 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 7,173 | 8.610 |
| 5 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4. 032 | 5,894 | 6,869 |
| 6 | 1.440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5.208 | 5,959 |
| 7 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 4,785 | 5.408 |
| 8 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 4.501 | 5.041 |
| 9 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,297 | 4,781 |
| 10 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3.169 | 4.144 | 4,587 |
| 11 | 1,363 | 1,796 | 2.201 | 2,718 | 3.106 | 4,025 | 4,437 |
| 12 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 3,930 | 4,318 |
| 13 | 1. 350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3.012 | 3,852 | 4.221 |
| 14 | 1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 3,787 | 4.140 |
| 15 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 3,733 | 4,073 |
| 16 | 1,337 | 1,746 | 2,120 | 2,583 | 2,921 | 3,686 | 4.015 |
| 17 | 1,333 | 1,740 | 2.110 | 2,567 | 2,898 | 3,646 | 3,965 |
| 18 | 1.330 | 1,734 | 2.101 | 2,552 | 2,878 | 3,610 | 3,922 |
| 19 | 1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,579 | 3,883 |
| 20 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,552 | 3. 850 |
| 21 | 1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,527 | 3,819 |
| 22 | 1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,505 | 3,792 |
| 23 | 1,319 | 1,714 | 2,069 | 2.500 | 2,807 | 3,485 | 3,768 |
| 24 | 1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,467 | 3,745 |
| 25 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3.450 | 3,725 |
| 26 | 1,315 | 1,706 | 2,056 | 2,479 | 2,779 | 3,435 | 3,707 |
| 27 | 1,314 | 1,703 | 2,052 | 2,473 | 2,771 | 3,421 | 3,689 |
| 28 | 1,313 | 1. 701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,408 | 3,674 |
| 29 | 1.311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,396 | 3,660 |
| 30 | 1.310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,385 | 3,646 |
| 60 | 1,296 | 1,671 | 2.000 | 2,390 | 2,660 | 3,232 | 3,460 |
| 120 | 1,289 | 1,658 | 1,980 | 2,358 | 2,617 | 3,160 | 3,373 |
| 8 | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,091 | 3,291 |
Каталожные номера
Бейер, В. (2017). Справочник таблиц вероятностей и статистики, 2-е издание. КПР Пресс.
УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Таблица Т-распределения (Однохвостая и Двухвостая)» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/tables/t-distribution-table/
————————————————— ————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .
Как рассчитать доверительные интервалы
- Почему Алхимик?
- Планы и цены
- Решения
- Услуги
- Ресурсы
Что такое доверительный интервал?
Доверительные интервалы являются важной частью логической статистики, на которой основано большинство маркетинговых исследований.
Проще говоря, в статистике доверительный интервал — это тип интервальной оценки, вычисляемой на основе данных, наблюдаемых в выборке. Другими словами, доверительный интервал — это диапазон значений, в котором исследователи могут быть достаточно уверены в том, что их истинное значение представляет интерес.
Как мы уже обсуждали ранее, цель взятия случайной выборки из интересующей совокупности и вычисления статистического показателя, такого как среднее, из данных выборки, состоит в том, чтобы определить приблизительную оценку среднего значения для большей совокупности.
Тем не менее, исследователи всегда должны утомляться тем, насколько хорошо статистическая выборка фактически оценивает основную ценность населения. Доверительные интервалы решают эту проблему, поскольку они обеспечивают диапазон значений, который, вероятно, содержит интересующий параметр генеральной совокупности.
Что такое уровень уверенности?
Все доверительные интервалы строятся на доверительном уровне, например, 95 процентов.
Уровень достоверности выбирают исследователи, проводящие статистический анализ.
Но что означает 95-процентный уровень достоверности?
Если доверительный уровень равен 95 процентам, это означает, что если бы одна и та же совокупность отбиралась несколько раз и каждый раз производились оценки параметра, результирующие интервалы включали бы истинный параметр совокупности примерно в 95 процентов случаев.
2 типа доверительных интервалов
Существует два типа доверительных интервалов: односторонний и двусторонний.
Односторонние доверительные интервалы и двусторонние доверительные интервалы
Концепция односторонних и двусторонних доверительных интервалов довольно проста.
Двусторонний доверительный интервал заключает в скобки интересующий параметр генеральной совокупности сверху и снизу.
A односторонний доверительный интервал заключает в скобки интересующий параметр совокупности либо сверху, либо снизу, что устанавливает верхнее или нижнее окно, в котором параметр существует.
Как рассчитать доверительный интервал
Чтобы продемонстрировать, как рассчитать доверительный интервал, давайте представим группу исследователей, которые заинтересованы в том, чтобы определить, достаточно ли велики апельсины, выращенные на конкретной ферме, чтобы их можно было продать потенциальному бакалейному магазину. цепь.
Шаг №1: Найдите количество образцов (n).
Исследователи случайным образом выбирают 46 апельсинов с деревьев на ферме.
Следовательно, n = 46 .
Шаг № 2: Рассчитайте среднее значение (x) выборок.
Затем исследователи рассчитали средний вес 86 граммов из своего образца.
Следовательно, х = 86 .
Шаг № 3: Рассчитайте стандартное отклонение (s).
Лучше всего использовать стандартное отклонение всей совокупности, однако во многих случаях исследователи не будут иметь доступа к этой информации. В этом случае исследователи должны использовать стандартное отклонение выборки, которое они установили.
В нашем примере предположим, что исследователи прибегли к вычислению стандартного отклонения по своей выборке. Они получают стандартное отклонение 6,2 грамма.
Следовательно, с = 6,2 .
Шаг 4. Определите доверительный интервал, который будет использоваться.
95-процентные и 99-процентные доверительные интервалы являются наиболее распространенным выбором в типичных исследованиях рынка.
Предположим, что в нашем примере исследователи решили использовать доверительный интервал 95 процентов .
Шаг 5. Найдите значение Z для выбранного доверительного интервала.
Затем исследователи использовали следующую таблицу для определения значения Z:
| Доверительный интервал | З |
| 80% | 1,282 |
| 85% | 1.440 |
| 90% | 1,645 |
| 95% | 1,960 |
| 99% | 2,576 |
| 99,5% | 2,807 |
| 99,9% | 3,291 |
Поскольку они решили использовать 95-процентный доверительный интервал, исследователи определили, что Z = 1,960 .