Дробные степени
В то время как положительные целые степени говорят нам, сколько раз умножать основание, а отрицательные степени говорят нам, сколько раз делить на основание, дробные степени включают комбинацию степеней и корней. Когда основание возведено в дробную степень, числитель указывает степень возведения основания, а знаменатель указывает корень, в который возведено основание. Это выражается как
, где b — основание, n — степень, а m — корень дробной степени.
Дробные показатели следуют тем же правилам, что и другие типы показателей. При необходимости обратитесь к странице правил экспоненты, чтобы ознакомиться с правилами экспоненты, поскольку знание правил экспоненты во многих случаях может упростить вычисление дробных экспонент.
Корни n-й степени
Если числитель дробного показателя степени равен 1, выражение вычисляется как корень n-й степени основания. Например, основание, возведенное в степень 1/2, эквивалентно извлечению квадратного корня из b; при возведении в степень 1/3 это означает, что нужно взять корень из основания в кубе и т.
д., так что знаменатель дробного показателя степени определяет, какой корень из основания нужно вычислить.
Пример
Степенное правило
Одно из степенных правил показателей степени гласит, что возведение основания, уже возведенного в степень, в другую степень равносильно возведению того же основания в произведение показателей:
Используя свойство коммутативности, это правило также можно переформулировать следующим образом:
В контексте дробных показателей степени это означает, что порядок вычисления корня или степени не имеет значения. В любом случае результат будет одинаковым, поскольку дробный показатель степени n/m можно разбить следующим образом: b n × 1/m , и переставить так, чтобы либо степень, либо корень вычислялись первыми, согласно приведенному выше правилу.
Пример
или
Обратите внимание, что поскольку 8 — это совершенный куб, первое вычисление выполнить значительно проще, и его можно разумно выполнить без калькулятора, если мы признаем 8 совершенным кубом.
Хотя число 4096 также является идеальным кубом, большинству из нас может быть труднее распознать его как таковое. Таким образом, важно обратить внимание на порядок, в котором мы выполняем операции с дробным показателем степени, поскольку иногда может быть проще сначала вычислить корень, а в других случаях может быть проще сначала вычислить степень.
Умножение дробных показателей степени
В контексте показателей степени можно упростить только выражения с одинаковым основанием или одним и тем же показателем степени с помощью правил возведения в степень. Правила для дробных показателей такие же, как и для других типов показателей:
| То же основание: | Тот же показатель степени: |
Примеры
1.
2.
Деление дробных показателей
Правила деления показателей степени аналогичны правилам умножения. Только выражения с одинаковым основанием или показателем степени могут быть упрощены с помощью правил возведения в степень.
Правила одинаковы как для дробных показателей, так и для других типов показателей:
| Та же база: | Тот же показатель степени: |
Примеры
1.
Существуют и другие правила и свойства относительно дробных показателей. Выше приведены лишь некоторые из наиболее часто используемых.
| |||||
| | |||||
ДОЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ Дробные показатели подчиняются тем же законам, что и . интегральные показатели. Например,Другой способ выразить это будет Заметьте, что число 4 1/2 , если возвести в квадрат в приведенный выше пример произвел число 4 как ответ. Вспомнив, что квадратный корень из
число N есть число x такое, что x 2 = N, заключаем
что 4 1/2 эквивалентно a. Таким образом, мы
имеют следующее определение: дробный показатель степени
формы 1/r указывает на корень, индекс
из них р. Это дополнительно проиллюстрировано в
следующие примеры:Также, Обратите внимание, что в таком выражении, как 8 2/3 , мы можем либо сначала найдите кубический корень из 8, либо возведите 8 в квадрат сначала, как показано в следующем примере:Все числа в оценке 8 2/3 остаются маленький, если кубический корень найден до возведения число во второй степени. Этот порядок операция особенно желательна при оценке число вроде 64 5/6 , Если 64 было поднято сначала в пятой степени, получится большое число. Потребовалось бы много ненужных усилий, чтобы найти корень шестой степени из 64 5 . Если в показателе степени встречается неправильная дробь, например 7/3 в выражении 2 7/3 , принято оставлять дробь в этой форме, а не выражать ее как смешанное число. В форме дроби экспонента сразу показывает, какая мощность предназначен и какой корень предназначен. Однако 2 7/3 можно выразить в другую форму и упростить, заменив неправильный дробь к смешанному числу и запись дробной части в подкоренной форме следующее:Закон показателей степени умножения может быть в сочетании с правилом дробных показателей для решения задач следующий тип:ЗАДАЧА: вычислить выражение 4 2.5 . РЕШЕНИЕ: Практические задачи: 1. Выполнить указанное деление: 9 5 0Ответы: 1. НАУЧНАЯ ОБОЗНАЧЕНИЕ И СТЕПЕНИ 10Техники, инженеры и другие лица, занятые научная работа часто требуется для решения проблем с участием очень больших и очень малых чисел. Такие проблемы, какне редкость. Решение таких проблем с помощью правила обычной арифметики является трудоемким и кропотливый. Кроме того, утомительная арифметика процесс допускает операционные ошибки. Также есть трудности с определением десятичной дроби. точка в результате. Эти трудности могут быть значительно сокращено знанием сил 10 и их использование.Концепция научной нотации может быть продемонстрирована следующее:Обратите внимание, что последнее выражение в каждом из приведенные выше примеры включают число от 1 до 10, умноженное на степень 10. | |||||
Вычислить 100 3/2