Двукратный интеграл: Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Содержание

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Определение простой { правильной } области

Область $ \mathbf { \textit { D } } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $будем называть $\textbf { простой { правильной } в направлении оси } \quad \mathbf { \textit { Oy } } $, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.

Аналогично определяется область, $\textbf { простая { правильная } в направлении оси } \mathbf { \textit { Ox } } $: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.

Область, правильную { простую } в направлении обеих осей, будем называть $\textbf { правильной } $.

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ Ограниченную замкнутую область $\mathbf { \textit { D } } $, правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right].$

Числа $\mathbf { \textit { a } } $ и $\mathbf { \textit { b } } $ существуют вследствие ограниченности области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _1 (x)$ образована нижними точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { x } } _ { 0 } $ при $a<x_0 <b$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _2 (x)$ — верхними точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.

Аналогичным образом область $\mathbf { \textit { D } } $, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right]. $

Функция $\psi _1 (y)$ образована левыми точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { y } } _ { 0 } $ при $c<y_0 <d$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\psi _2 (y)$ — правыми точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.

$x=\psi _2 (y) x=\psi _1 (y)$ Для правильной области { т.е. области, правильной в направлении обеих осей } существуют оба способа представления:

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right]$ и $D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$

Двукратный { повторный } интеграл

Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ — область, простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. Рассмотрим выражение $J(D)=\int\limits_a^b { \left( { \int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } }\right)dx } $. b { \left[ { \varphi _2 (x)-\varphi _1 (x) }\right]dx } =s(D)$;

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться — это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область $\mathbf { \textit { D } } $ разбита на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области $\mathbf { \textit { D } } $ равен сумме интегралов по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $: $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.

Первый случай:

прямая $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. { с_1 } { f(x,y)dy } } }\right ] $

первая скобка даёт повторный интеграл по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, вторая — по $_ { } \mathbf { \textit { D } } _ { 2 } =\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.

Понятно, что возможны различные случаи взаимного расположения прямых $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 2 } $ и функций $y=\varphi _1 (x)$, $y=\varphi _2 (x)$, но логика доказательства во всех случаях такая же.

Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область $\mathbf { \textit { D } } $ на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ на $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и$\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $; $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $ — на $\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } $. По доказанному, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$, поэтому $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$. Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область $\mathbf { \textit { D } } $ с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $, то $J(D)=J(D_1 )+J(D_2 )+\ldots +J(D_n )=\sum\limits_ { i=1 } ^n { J(D_i ) } $. { \psi _2 (y) } { f(x,y)dx } } $.

Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.

Вычисление площадей плоских областей

Нахождение потенциала

Поток жидкости через поверхность

Специальные векторные поля

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Теорема Стокса

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о нелинейной функции

Нормальные формы

Свойства двойного интеграла

Равносильные формулы алгебры высказываний

Логические следствия

Огравление $\Rightarrow $

23 сентября 2016, 02:24 проектирование км, кмд, кж Двойной интеграл 0 11941 0

Двойной интеграл, вычисление двойного интеграла

Обозначение и геометрический смысл двойного интеграла

Двойной интеграл (ДИ) от функции $f\left(x,y\right)$ по области $D$ обозначают $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dS $ или $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $. При этом область $D$ называется областью интегрирования, $x$ и $y$ — переменными интегрирования, а $dS=dx\cdot dy$ — элементом площади.

Геометрический смысл ДИ от непрерывной неотрицательной функции состоит в том, что он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра, то есть объема тела, ограниченного сверху графиком функции $f\left(x,y\right)$, по бокам — цилиндрической поверхностью (направляющая — линия $L$, образующие параллельны оси $Oz$), а снизу — областью $D$, лежащей в координатной плоскости $xOy$.

Вычисление двойного интеграла

С целью вычисления ДИ осуществляют его приведение к повторному. Вследствие этого результат удается получить путем последовательного вычисления двух обычных определенных интегралов.

Рассмотрим объем определенного криволинейного цилиндра $V=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $, ограничившись простым случаем. Пусть функция $f\left(x,y\right)>0$ положительна в пределах области $D$. Сама область $D$ ограничена на координатной плоскости $xOy$ прямыми линиями $x=a$ и $x=b$, где $ a

Полученный результат представляет собой приведение ДИ к повторному для произвольной непрерывной функции $f\left(x,y\right)$ при условии, что область $D$ является правильной в направлении оси $Oy$.

Правильная в направлении оси $Oy$ область $D$ должна быть образована непрерывными кривыми $y=\vartheta _{1} \left(x\right)$ и $y=\vartheta _{2} \left(x\right)$, а также прямыми $x=a$ и $x=b$, которые удовлетворяют условиям $\vartheta _{1} \left(x\right)\le \vartheta _{2} \left(x\right)$ и $a

В повторном интеграле сначала вычисляют внутренний интеграл, в котором интегрирования выполняется по $y$, а $x$ предполагается постоянным. В результате будет получена функция от $x$, которую нужно проинтегрировать по $x$ в пределах от $a$ к $b$.

Допустимо также рассматривать область $D$ правильной в направлении оси $Ox$.

Правильная в направлении оси $Ox$ область $D$ должна быть образована непрерывными кривыми $x=\psi _{1} \left(y\right)$ и $x=\psi _{2} \left(y\right)$, а также прямыми $y=c$ и $y=d$, которые удовлетворяют условиям $\psi _{1} \left(y\right)\le \psi _{2} \left(y\right)$ и $c

Если область $D$ не является правильной в направлении ни одной из осей, то ее надо разбить на конечное количество правильных подобластей линиями, параллельными осям координат. При этом интеграл по области $D$ будет равным сумме интегралов по каждой из подобластей. То же самое надо сделать, если область $D$ является правильной, но ее границы состоят из нескольких участков, которые имеют разные уравнения.

Замена переменных в ДИ

Предположим, что в координатной плоскости $xOy$ задана замкнутая область $D$, ограниченная линией $L$. {*} }f\left(\vartheta \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)\cdot \left|J\left(u,v\right)\right|\cdot du\cdot dv .\]

Здесь $J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc} {\frac{\partial \vartheta }{\partial u} } & {\frac{\partial \vartheta }{\partial v} } \\ {\frac{\partial \psi }{\partial u} } & {\frac{\partial \psi }{\partial v} } \end{array}\right|$ — функциональный определитель (якобиан) функций $\vartheta \left(u,v\right)$ и $\psi \left(u,v\right)$.

ДИ в полярных координатах — частный случай замены переменных.

Перейдем к полярным координатам $\rho $ и $\phi $, учитывая, что они связаны с прямоугольными координатами $x$ и $y$ с помощью формул $x=\rho \cdot \cos \phi $ и $y=\rho \cdot \sin \phi $. Согласуем обозначения, приняв $u=\rho $, $v=\phi. $

Таким образом, $x=\vartheta \left(\rho ,\phi \right)=\rho \cdot \cos \phi $, $y=\psi \left(\rho ,\phi \right)=\rho \cdot \sin \phi $. Кроме того, $f\left(x,y\right)=f\left(\rho \cdot \cos \phi ,\rho \cdot \sin \phi \right). {3} }{2} \right)=27,85.\]

🎓 Двойной интеграл — презентация на Slide-Share.ru

Первый слайд презентации: Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла Рыбникова Екатерина Группа Э(БУ)-14-1

Изображение слайда

Слайд 2: Вычисление двойного интеграла

2 Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области. Тогда двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что где – площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ox, а – уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Изображение слайда

Слайд 3: Вычисление двойного интеграла

3 Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и кривыми, причем функции непрерывны и таковы, что для всех.

Такая область называется правильной в направлении оси Оу : любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем вы двух точках.

Изображение слайда

Слайд 4: Вычисление двойного интеграла

4 Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох :, где. В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями, где,

Изображение слайда

Слайд 5: Вычисление двойного интеграла

5 Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

Изображение слайда

Слайд 6: Вычисление двойного интеграла

6 С другой стороны,

Изображение слайда

Слайд 7: Двукратный интеграл

7 Это равенство обычно записывается в виде Формула (1) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (3) называют двукратным (или повторным ) интегралом от функции по области D. При этом называется внутренним интегралом. (3)

Изображение слайда

Слайд 8: Двукратный интеграл

8 Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем y постоянным. Для вычисление двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b. Если же область D ограничена прямыми, кривыми, причем для всех , т.е область D – правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью, аналогично получим: ( 4 )

Изображение слайда

Слайд 9: Замечания

9 Формулы (3) и (4) справедливы и в том случае, когда. Если область правильна в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (3), так и по формуле (4). Если область не является правильной ни « по х », ни « по у », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу. Полезно помнить, что внешние пределы в двухкратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Изображение слайда

Слайд 10: Повторный интеграл

1) Если 2) Границы интегрирования по x не зависят от у 3) Границы интегрирования по y не зависят от x (5) Выражение (5) называется повторным интегралом.

Изображение слайда

Слайд 11: Пример 1

11 Вычислить, где область ограничена линиями

Изображение слайда

Слайд 12: Пример 1

12 Решение: На рисунке (слайд 10) изображена область интегрирования. Она правильная в направлении оси Ox. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (4):

Изображение слайда

Слайд 13: Пример 1

Изображение слайда

Слайд 14

14 Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (3). Но для этого область следует разбить на две области:. Получаем:

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Двойной интеграл

15 Ответ один и тот же.

Изображение слайда

3.

1: Двойные интегралы — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 2242

Майкл Коррал
Schoolcraft College

В исчислении с одной переменной дифференцирование и интегрирование рассматриваются как обратные операции. Например, для интегрирования функции $f (x)$ необходимо найти первообразную функции $f$, т. е. другую функцию $F(x)$, производная которой равна $f (x )$. Есть ли аналогичный способ определения интеграции вещественных функций двух или более переменных? Ответ положительный, как мы скоро увидим. Напомним также, что определенный интеграл неотрицательной функции $f (x) \ge 0$ представляет собой площадь «под» кривой $y = f (x)$.

Как мы сейчас увидим, двойной интеграл неотрицательной вещественнозначной функции $f (x, y) \ge 0$ представляет объем «под» поверхностью $z = f (x, y)$. 92\). Мы часто будем писать это как $R = [a,b] \times [c,d]$. Для любого числа $x∗$ в интервале $[a,b]$ разрежьте поверхность $z = f (x, y)$ плоскостью $x = x∗$, параллельной $yz$-плоскость. Тогда след поверхности в этой плоскости представляет собой кривую $f (x∗, y)$, где $x*$ фиксировано, а изменяется только $y$. Площадь $A$ под этой кривой (т.е. площадь области между кривой и $x y$-плоскостью) при изменении $y$ на интервале $[c,d]$, тогда зависит только от значения $x∗$. Поэтому, используя переменную $x$ вместо $x∗$, пусть $A(x)$ будет этой площадью (см. рис. 3.1.1). 9d f (x, y)d y\), так как мы рассматриваем $x$ как фиксированное, а изменяется только $y$. Это имеет смысл, поскольку при фиксированном $x$ функция $f (x, y)$ является непрерывной функцией $y$ на интервале $[c,d]$, поэтому мы знаем что площадь под кривой есть определенный интеграл.

Площадь $A(x)$ является функцией $x$, поэтому методом «среза» или методом поперечного сечения из исчисления с одной переменной мы знаем, что объем $V$ твердых тел под поверхностью $z = f (x, y)$, но над плоскостью $x y$ над прямоугольником $R$ есть интеграл по $[a,b]$ этого креста -площадь сечения $A(x)$: 9d f (x, y)d y \right ] dx \label{Eq3.1}\]

Мы всегда будем называть этот объем «объемом под поверхностью». В приведенном выше выражении используются так называемые повторные интегралы . Сначала функция $f (x, y)$ интегрируется как функция $y$, рассматривая переменную $x$ как константу (это называется интегрированием по $ y$. )). Именно это происходит во «внутреннем» интеграле между квадратными скобками в уравнении \ref{Eq3.1}. Это первый повторный интеграл. После того, как это интегрирование выполнено, результатом будет выражение, включающее только $x$, которое тогда может быть интегрировано по отношению к $x$. Это то, что происходит во «внешнем» интеграле выше (второй повторный интеграл). Конечным результатом является число (объем). Этот процесс прохождения двух итераций интегралов называется двойным интегрированием , а последнее выражение в уравнении \ref{Eq3.1} называется двойным интегралом .

Обратите внимание, что интегрирование $f (x, y)$ по $y$ является обратной операцией взятия частной производной $f (x, y)$ по $y$ . Кроме того, мы могли бы так же легко взять площади поперечных сечений под поверхностью, параллельных плоскости $xz$, которые тогда зависели бы только от переменной $y$, так что объем \ (V\) будет 9b f (x, y)dx d y \label{Eq3.3}\]

, где подразумевается, что тот факт, что $dx$ пишется перед $d y$, означает, что функция $f (x, y)$ сначала интегрируется по $x$ с помощью » внутренние» пределы интегрирования $a \text{ и }b$, а затем полученная функция интегрируется по y с использованием «внешних» пределов интегрирования $c \text{ и }d$. Этот порядок интегрирования можно изменить, если он более удобен.

Пример 3.1

Найдите объем $V$ под плоскостью $z = 8x +6y$ над прямоугольником $R = [0,1]\times [0,2]$. 9b f (x)dx\) представляет собой разность площадей под кривой $y = f (x)$, но выше оси $x$, когда $f (x) \ge 0$, и площадь над кривой, но ниже оси $x$, когда $f (x) \le 0$. Точно так же двойной интеграл любой непрерывной функции $f (x, y)$ представляет собой разность объемов под поверхностью $z = f (x, y)$, но над плоскостью $x y$ когда $f (x, y) \ge 0$, и объем над поверхностью, но ниже $x y$-плоскости, когда $f (x, y) \le 0$. Таким образом, наш метод двойного интегрирования с помощью повторных интегралов может быть использован для вычисления двойного интеграла от 9{2\pi} = -sin{\,3\pi}+sin{\,2\pi} — (-sin{\,\pi}+sin{\,0}) \\[4pt] \nonumber & =0 \конец{выравнивание} \]

Эта страница под названием 3.1: Двойные интегралы распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1. 3, ее автором, ремиксом и/или куратором является Майкл Коррал.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Майкл Коррал
Лицензия
ГНУ ФДЛ
Показать страницу TOC
нет
Теги
1. Двойные интегралы
2. повторных интегралов

Двойные интегралы и площадь

Повторные интегралы и площади

Определение повторного интеграла

Точно так же, как мы можем найти частную производную, рассматривая только одну из переменные истинная переменная и сохраняя остальные переменные постоянными, мы можем возьмем «частный интеграл». Мы указываем, что верно переменной, написав «dx», «dy» и т. д. Также как и в случае частные производные, мы можем взять два «частных интеграла», взяв один переменная за один раз. На практике мы сначала возьмем x, а затем y или y. сначала потом х. Мы называем это повторный интеграл или двойной интеграл .

Определение двойного интеграла

Пусть f(x,y) быть функцией двух переменных, определенных в области R, ограниченной снизу, и выше на

у = г ₁ (х) и г = г ₂ (х)

и влево и вправо на

х = а а также х = б

, то двойной интеграл (или повторный интеграл) от f(x,y) над R определяется

Пример

Найдите двойной интеграл f(x,y) = 6x ² + 2y над R, где R — регион между y = x ² и у = 4.

Раствор

Во-первых, внутренние пределы интегрирования равны x ² и 4. Область ограничена слева x = -2 и справа на x = 2, как показано на рисунке ниже.

Теперь мы интегрируем

Изменение порядка интегрирования

Если область ограничена слева x = h ₁ (y) а справа на x = h ₂ (y) и ниже и выше на y = c и y = d, то мы можем найти двойной интеграл от «dxdy», сначала интегрируя по отношению к x, то относительно y. Иногда нужно сделать выбор, интегрировать ли его в первую очередь. по x, а затем по y. Мы делаем все, что Полегче.

Пример

Найдите двойной интеграл f(x,y) = 3y над треугольником с вершинами (-1,1), (0,0), и (1,1).

Раствор

Если мы пытаемся сначала интегрироваться в отношении y, нам придется разрезать регион на две части и выполнить два повторных интеграла. Вместо этого мы интегрируем с сначала по отношению к х. Область ограничена слева и справа x = -y и x = y. Наименьшее значение, которое получает регион, равно y = 0. а самый высокий y = 1. Интеграл равен

Пример

Оценить интеграл

Раствор

Попробовать как ни крути, ты не найдешь первообразной и мы не хотим получить в Power Series расширения. У нас есть другой выбор. на картинке ниже показан регион.

Мы можно переключать порядок интегрирования. Область ограничена сверху и снизу на y = 1/3 x и y = 0. Двойной интеграл по y сначала, а затем относительно x равно

Подынтегральная функция — это просто константа относительно y, поэтому мы получаем

Это интеграл можно выполнить с помощью простой u-подстановки.

и = х ² дю = 2x дх

и интеграл становится

Зона

Вызов из расчета за первый год, если область R ограничен снизу величиной y = g ₁ (x) и выше на y = g ₂ (x), и а < x < б, площадь указана как

Есть это еще один способ получить это выражение. Если мы допустим подынтегральную функцию 1, то двойной интеграл по области R

Это дает нам еще один способ определения площади.

Теорема: площадь и двойник Интегралы

Если регион R ограничен снизу y = г ₁ (х) и выше на y = g ₂ (x), и 90 320 < 90 321 х < Ь, тогда площадь указана как

Примечание: Если область ограничена слева x = h ₁ (y) и справа ч ₂ (у) с в < y < d, то двойной интеграл от 1 dxdy можно также можно использовать для нахождения площади.

Пример

Установите двойной интеграл, который дает площадь между y = х ² и у = х ³ . Затем с помощью компьютера или калькулятора оценить этот интеграл.

Раствор

На картинке ниже показан регион

Настраиваем интеграл

А компьютер дает ответ 1/12.

Назад на главную страницу Math 117

Назад к математике Дом Департамента

электронная почта Вопросы и предложения

Правило середины для аппроксимации двойных интегралов — Криста Кинг Математика

Преобразование правила средней точки для одиночных интегралов в правило средней точки для двойных интегралов

В прошлом мы использовали правило средней точки для оценки площади под функцией одной переменной.

Мы рисовали прямоугольники под кривой так, чтобы средняя точка в верхней части каждого прямоугольника касалась графика функции.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Затем мы суммировали площади каждого прямоугольника, чтобы найти приблизительную площадь под кривой.

Когда мы переводим это в трехмерное пространство, это означает, что мы используем трехмерные прямоугольные призмы вместо двумерных прямоугольников, чтобы аппроксимировать объем в рамках функции многих переменных. 9n_{j=1}f\left(\overline{x_i},\overline{y_j}\right)\Delta{A}???

???м??? число призм в ???x???-направлении и ???n??? число призм в направлении ???y???-в области ???R???. Чем больше значения ???m??? и ???n???, тем точнее будет аппроксимация. Как только мы узнаем ???R???, ???m??? и ???n???, мы можем найти середину каждой призмы. ???\Дельта {А}??? это площадь основания одной призмы, точно так же, как ???\Delta x??? была шириной одного прямоугольника, когда мы использовали правило средней точки, чтобы найти площадь под функциями с одной переменной.

Как использовать правило середины для аппроксимации двойного интеграла

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Правило средней точки, когда m и n равны

Пример

Используйте правило средней точки для аппроксимации объема под кривой. 92_{j=1}f\left(\overline{x_i},\overline{y_j}\right)\Delta{A}???

Обратите внимание на двойной интеграл в левой части уравнения. Мы превратили его в повторный интеграл (где мы можем интегрировать по одной переменной за раз), присоединив ???x???-интервал к внутреннему интегралу и ???y???-интервал к внешний интеграл. Так как мы ставим пределы интегрирования для ???x??? на внутреннем интервале, значит, надо еще поставить ???dx??? внутри перед ???dy???, который идет вторым после пределов интегрирования для ???y??? находятся во внешнем интеграле. 2+2???, затем подставьте сумму результатов в формулу приближения для ???f\left(\overline{x_i},\overline{y_j}\right)???.

Прямоугольник ???R=[0,2]\times[0,4]??? означает, что мы хотим интегрировать по ???x???-интервалу ???[0,2]??? а на ???y???-интервале ???[0,4]???.

Середины четырех меньших прямоугольников равны

Когда мы переводим это в трехмерное пространство, это означает, что мы используем трехмерные прямоугольные призмы вместо двухмерных прямоугольников, чтобы аппроксимировать объем при функции многих переменных. 92+2\право)\право](2)???

???\влево[\влево(\frac12+1+2\вправо)+\влево(\frac32+1+2\вправо)+\влево(\frac12+9+2\вправо)+\влево( \frac32+9+2\право)\право](2)???

???\влево[\влево(\frac12+3\вправо)+\влево(\frac32+3\вправо)+\влево(\frac12+11\вправо)+\влево(\frac32+11\вправо )\право](2)???

???\влево[\влево(\frac12+3\cdot\frac22\вправо)+\влево(\frac32+3\cdot\frac22\вправо)+\влево(\frac12+11\cdot\frac22\ вправо)+\влево(\frac32+11\cdot\frac22\вправо)\вправо](2)???

???\left[\left(\frac12+\frac62\right)+\left(\frac32+\frac62\right)+\left(\frac12+\frac{22}{2}\right)+\left( \frac32+\frac{22}{2}\right)\right](2)??? 92+2??? по области ???R=[0,2]\times[0,4]??? примерно ???64??? кубических единиц.

Двукратный интеграл: Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Далее:

Двойной интеграл, вычисление двойного интеграла