Единичная окружность со значениями синусов и косинусов: Тригонометрические функции на единичной окружности. Синус и косинус — урок. Алгебра, 10 класс.

Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с таким же значением y и, следовательно, с таким же значением синуса. Поскольку значением синуса является координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь такое же значение y , но будет иметь противоположное значение 9.0025 x -значение. Следовательно, его значение косинуса будет противоположно значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с тем же значением x и, следовательно, с тем же косинусом, что и исходный угол в первом квадранте. Угол с тем же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположно значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 11, угол [латекс]\альфа [/латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс]t;[/латекс] значения косинуса противоположны. Угол [латекс]\бета [/латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс]t;[/латекс] значения синуса противоположны.

[латекс]\begin{array}{lll}\mathrm{sin}\left(t\right)=\text{ }\mathrm{sin}\left(\alpha \right)\text{ }\hfill & \text{and}\hfill & \mathrm{cos}\left(t\right)=-\mathrm{cos}\left(\alpha \right)\hfill \\ \mathrm{sin}\left(t\right) )=-\mathrm{sin}\left(\beta\right)\hfill & \text{and}\hfill & \mathrm{cos}\left(t\right)=\text{ }\mathrm{cos}\ left(\beta \right)\hfill \end{array}[/latex]

Рисунок 11

Нахождение опорных углов

Опорный угол угла 9{\circ}[/latex], как показано на рисунке 13.

Рисунок 13: График окружности с вписанным углом 225 градусов.

Показать решение

Попробуйте # 5

Найдите опорный угол [латекс]\frac{5\pi }{3}.[/latex]

Показать решение

Использование опорных углов для нахождения точных значений косинуса и синуса

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если знаем косинус или синус его опорного угла. Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака числа 9.0025 x — значения в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений и в этом квадранте.

Для угла, который имеет специальный угол в качестве опорного угла ([латекс]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4},[/latex] или [латекс]\frac{\ pi}{3},[/latex]) мы можем получить точные выходные значения для синуса и косинуса.

Как сделать

Зная угол в стандартном положении, найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
2. Определить значения косинуса и синуса опорного угла.
3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.
4. Присвойте синусу тот же знак, что и y -значения в квадранте исходного угла.

Пример 6. Использование опорных углов для нахождения синуса и косинуса 9{\circ}\right).[/латекс]

Показать раствор

Пример 7. Использование опорных углов для нахождения синуса и косинуса

1. Используя опорный угол, найдите точные значения [латекс]\mathrm{cos}\left(\frac{5\pi}{4}\ right)[/latex] и [latex]\mathrm{sin}\left(\frac{5\pi}{4}\right).[/latex]
2. Найдите углы между [латекс]0\текст{ и }2\пи[/латекс], которые имеют те же самые значения, что и [латекс]\mathrm{cos}\left(\frac{5\pi}{4}\right )[/латекс] и [латекс]\mathrm{sin}\left(\frac{5\pi}{4}\right). [/latex]

Показать раствор

Попробуйте # 7

1. Используйте опорный угол [латекс]-\frac{\pi }{6}[/латекс], чтобы найти точные значения [латекс]\mathrm{cos}\left( -\frac{\pi}{6}\right)[/latex] и [латекс]\mathrm{sin}\left(-\frac{\pi}{6}\right).[/latex]
2. Найдите углы между [латекс]0\текст{ и }2\пи[/латекс], которые имеют те же самые значения, что и [латекс]\mathrm{cos}\left(-\frac{\pi}{6}\right )[/латекс] и [латекс]\mathrm{sin}\left(-\frac{\pi}{6}\right).[/latex]

Показать раствор

Использование опорных углов для нахождения координат

Теперь, когда мы научились находить значения косинуса и синуса для углов, опорными углами которых являются острые специальные углы, можно определить остальные специальные углы на единичной окружности. Они показаны на рис. 14. Найдите время, чтобы узнать координаты [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] всех основных углов в первом квадранте.

Рисунок 14: Особые углы и координаты соответствующих точек на единичной окружности

Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать эталонные углы для нахождения [латексных]\левых(х,у\правых)[/латексных] координат любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об эталонных углы вместе с тождествами

[латекс]\begin{align*}x&=\mathrm{cos}\left(t\right) \\ y&=\mathrm{sin}\left(t\right).\end{ align*}[/latex][latex]\\[/latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий заданному углу. Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и присваиваем им знаки, соответствующие y – и x – значения квадранта.

Как сделать

Зная угол точки на единичной окружности, найдите [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] координаты точки.

1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол относительно оси x .
2. Найдите косинус и синус опорного угла.
3. Определите соответствующие знаки для [латекс]x[/латекс] и [латекс]у[/латекс] в заданном квадранте.

Пример 8. Использование единичного круга для поиска координат

Найдите координаты точки на единичном круге под углом [latex]\frac{7\pi }{6}.[/latex]

Показать решение

Попробуйте # 8

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex]\frac{5\pi }{3}.[/latex]

Показать решение

Окружности с радиусом, отличным от 1

Предположим, у нас есть окружность с центром в начале координат, отличном от единичной окружности. Как найти координаты точки, в которой конечная сторона угла в стандартном положении пересекает окружность? Из раздела 3.1 мы знаем, что значения синуса и косинуса острого угла не меняются независимо от размера треугольника. Это означает, что [латекс]\mathrm{cos}\left(t\right)[/latex] будет одинаковым, независимо от того, находится ли [latex]t[/latex] в треугольнике с маленькими или большими сторонами. Однако ясно, что координаты точки пересечения торцевой стороны с окружностью радиуса r не будут совпадать с координатами точки на единичной окружности.

Мы можем применить аналогичные рассуждения к рассмотрению значений синуса и косинуса на окружности, которая не является единичной окружностью, как мы делали ранее в этом разделе. Проведя угол в стандартном положении в квадранте 1, мы можем опустить перпендикуляр из точки пересечения конечной стороны с окружностью, центр которой находится в начале координат, на ось x. Если точка на окружности равна (x, y), то стороны прямоугольного треугольника, образованного опусканием перпендикуляра, также будут равны [latex]x\text{ и }y.[/latex] Теперь вместо радиуса 1, у нас будет радиус [латекс]r.[/латекс] Таким образом, [латекс]\mathrm{cos}\left(t\right)=\frac{x}{r}\text{ и }\mathrm {sin}\left(t\right)=\frac{y}{r}.[/latex] Это означает, что [latex]x=r\mathrm{cos}\left(t\right)\text{ и } y=r\mathrm{sin}\left(t\right).[/latex]

Определение

Точка [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] на окружности с центром в начале координат и радиусом [латекс]r[/латекс] соответствует

[латекс]\ begin{align*}x&=r\mathrm{cos}\left(t\right)\text{ и }\\y&=r\mathrm{sin}\left(t\right)\end{align*}[/ латекс][латекс]\\[/латекс]

где [латекс]t[/латекс] — угол в стандартном положении.

Пример 9. Нахождение координат на окружности с радиусом [latex]r[/latex]

Нахождение координат точки на окружности с радиусом 5 под углом [latex]\frac{7\pi}{6 }.[/латекс]

Показать решение

Попробуйте # 9

Найдите координаты точки на окружности радиусом 7 под углом [latex]\frac{5\pi }{3}.[/latex]

Показать решение

Четные и нечетные функции

Чтобы иметь возможность свободно использовать наши функции синуса и косинуса как с положительными, так и с отрицательными входными значениями угла, мы должны изучить, как каждая функция обрабатывает отрицательный вход. Как оказалось, между функциями в этом отношении есть важное различие.

Напомним, что:

• Четная функция — это функция, в которой [латекс]f\left(-x\right)=f\left(x\right).[/latex]
• Нечетная функция — это функция, в которой [латекс]f\left(-x\right)=-f\left(x\right).[/latex]

Мы можем проверить, является ли тригонометрическая функция четной или нечетной, нарисовав единичный круг с положительным и отрицательным углами, как показано на рис. 15. Синус положительного угла равен [латекс]у.[/латекс] Синус отрицательный угол равен [латекс]-y.[/латекс] Функция синуса, таким образом, является нечетной функцией. Косинус положительного угла равен [латекс]х[/латекс], как и косинус отрицательного угла. Следовательно, функция косинуса является четной функцией. 9Рисунок 15 right)\\ \mathrm{cos}\left(-x\right)&=\mathrm{cos}\left(x\right)\end{align*}[/latex]

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и потренируйтесь с функциями синуса и косинуса.

• Тригонометрические функции с использованием единичной окружности
• Синус и косинус единичной окружности
• Синус и косинус единичной окружности и числа Пи, деленные на шесть 9{2}\влево(т\вправо)=1[/латекс]

  Ключевые понятия

  • Нахождение значений функций для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
  • Используя единичную окружность, синус угла [latex]t[/latex] равен y -значению конечной точки единичной окружности дуги длины [latex]t[/latex], тогда как косинус угла угол [latex]t[/latex] равен x -значению конечной точки.
  • Когда синус или косинус известны, мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти другое. Тождество Пифагора также полезно для определения синусов и косинусов специальных углов.
  • Калькуляторы и программы для построения графиков полезны для нахождения синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
  • Областью определения функций синуса и косинуса являются все действительные числа.
  • Диапазон функций синуса и косинуса: [латекс]\влево[-1,1\вправо].[/латекс]
  • Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус исходного угла.
  • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
  • Опорный угол угла представляет собой размерный угол, [латекс]t,[/латекс], образованный конечной стороной угла [латекс]t[/латекс] и горизонтальной осью.
  • Опорные углы можно использовать для нахождения синуса и косинуса исходного угла.
  • Опорные углы также можно использовать для нахождения координат точки на единичной окружности.
  • Если радиус окружности с центром в начале координат не равен 1, мы можем найти координаты точки на окружности, умножив синус и косинус угла на [latex]r.[/latex]

  Глоссарий

  Функция косинуса

  x -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу

  Пифагорейская идентичность

  следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса данного угла плюс квадрат синуса этого угла равен 1

  функция синуса

  y -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу

  единичный круг

  круг с центром в точке [латекс]\влево(0,0\вправо)[/латекс] и радиусом 1.

  тригонометрия — Как в единичном круге получаются значения синуса и косинуса для точек на нем?

  $\begingroup$

  Как видно здесь, в этом единичном кружке (вроде этого: http://www. coolmath.com/sites/cmat/files/images/28-trigonometry-03.gif) и в таблице, которую я ссылка на Википедию ниже, есть несколько точек на единичной окружности, в которых можно использовать радикал, разделенный на значение (для синуса и косинуса, о чем я спрашиваю, это значение равно 2), чтобы получить точное значение для синуса или косинус угла. Например, для $\frac{\pi}{3}$ радиан, где синус этого угла равен $\frac{\sqrt 3}{2}$.

  Чего я не понимаю, так это откуда пришла идея использовать квадратный корень из 3, а также откуда пришла идея разделить значение на 2. Я понимаю, что радиус единичного круга равен 1, а стороны треугольников внутри него должны соответствовать теореме Пифагора (отсюда и эти значения с радикалами, для точности), но это все, что я понимаю.

  Как узнать, что синус радианов $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{\sqrt 3}{2}$? Это мне непонятно.

  https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_constants_expressed_in_real_radicals#Table_of_some_common_angles

  • тригонометрия
  • круги
  • угол

  $\endgroup$

  4

  $\begingroup$

  Начнем с рисунка 1 со всеми данными, как показано.

  No related posts.