Векторы | ЕГЭ по математике (профильной)
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают ${(АВ)}↖{→}$ или строчной (маленькой) буквой, например ${а}↖{→}$
Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.
Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖{→}$.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.
- Правило треугольника (А)
- Правило параллелограмма (Б)
Для любых векторов $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→}$ справедливы равенства:
- $a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$(переместительный закон)
- $(a↖{→}+b↖{→})+c↖{→}=a↖{→}+(b↖{→}+c↖{→})$ (сочетательный закон)
Разность векторов тоже можно получить двумя способами:
Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки.
Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.
Для любых $a↖{→}$ и $b↖{→}$ справедливо равенство $a↖{→}-b↖{→}=a↖{→}+({-b}↖{→})$
Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖{→}⋅b↖{→}=|a↖{→}|·|b↖{→}|·cosα$
Ненулевые векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
Для того чтобы векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a↖{→}=k·b↖{→}$, где $k$ — это некоторое число.
Координаты середины вектора равны средним арифметическим координат его концов.
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
2}}$
Найдите угол между векторами $a↖{→}$ и $b↖{→}$
Решение:
- Сначала нужно найти координаты векторов $a↖{→}$ {2-0;6-0} $b↖{→}${8-0;4-0}
- Найдем скалярное произведение векторов $a↖{→}·b↖{→} = 2·8+6·4=16+24=40$
- Найдем длины каждого вектора $|a↖{→}|= √{4+36}=√{40}; |b↖{→}|=√{64+16}=√{80}$
- Найдем косинус угла между векторами $cosα={40}/{√{40}·√{80}}={40}/{√{40·40·2}}={1}/{√2}={√2}/{2}$
- Найдем угол $α=arccos{√2}/{2}=45$
Ответ: 45
Практика: решай 3 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)
Векторы. Решение заданий №3 по ЕГЭ
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6.
Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Решение заданий
№3
ВЕКТОРЫ
по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике 2016года
http://mathege.ru/or/ege/Main.html
Прототип задания B3(№ 27717)
16. Найдите длину вектора АО ВО .
Решение.
По правилу треугольника:
С
AO BO AO OD AD
Найдём длину AD из п/у ∆AOD
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)
D
O
В
2
AD AD 2 AO 2 OD 2
АD 2 82 62 100
AD 100 10
А
Ответ: 10.
Прототип задания B3 (27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите
длину разности векторов AB и AD .
Решение.
D
С
По правилу треугольника:
AB AD AB DA
А
60
45
DA AB DB
В
DB DB
AB 2 AD 2
DB 602 452 5625 75
Ответ: 75.
Прототип задания B3 (27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите
скалярное произведение векторов AB и AD.
D
А
26
С
Решение.
17
Т.к. векторы AB ⊥AD , то
их скалярное произведение
В
Ответ: 0.
Прототип задания B3 (27711)
Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали
пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов
и . AО ВО
Решение.
D
С
О
А
23
15
В
По правилу треугольника:
AО ВО AО ОD AD
АD 15
Ответ: 15.
Прототип задания B3 (27712)
Две стороны прямоугольника равны 13 и 25.
Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину
разности векторов AО и ВО.
Решение.
D
С
О
А
25
13
В
По правилу треугольника:
AО ВО AО ОВ AВ
АВ 25
Ответ: 25.
Прототип задания B3(№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину
вектора АВ .
Решение.
С
B
O
Найдём длину АВ из п/у ∆AOB
(т.
к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BDи ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)
AВ 2 AO 2 OВ 2
D
АВ AВ
AO 2 OВ 2
AВ 272 362 45
А
Ответ: 45.
Прототип задания B3 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину
вектора АВ AD .
Решение.
С
По правилу параллелограмма
АВ AD АС
AС 66
B
O
А
D
Ответ: 66.
Прототип задания B3(27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны 45 3.
Найдите длину вектора AВ АС.
М
С
AВ АС АМ 2 AО ,
где АО – высота, медиана,
биссектриса р/с ∆ АВС
О
а
Решение.
По правилу параллелограмма:
2
А
а
В
а 3
а
АО а
2
2
2
45 3 3 45 3
АО
67,5
2
2
АМ 135
Ответ: 135.
Прототип задания B3(27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 18.
Найдите скалярное произведение векторов AВ и АС.
Решение.
С
По определению скалярного
произведения, имеем:
18
AВ АС AВ АС cos А,
60°
А
18
В
AВ АС 18 18 cos 60
1
AВ АС 324 162
Ответ: 162.
Прототип задания B3 (№ 00000)
Дан вектор a.
Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.
Решение.
1) координаты вектора a:
y
a x2 x1; y2 y1 ;
8
a
2
0 1
8–2
a 9 1; 8 2 ;
a 8; 6 .
2) длина вектора: a
или: a
9–1
9 x
x2 х1
2
x2 y2 ;
y2 у1 ;
a 82 62 100 10.
Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10.
2
Прототип задания B3 (№ 00000)
Даны векторы a и b .
Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
1) скалярное произведение: a b x x y y
1
2
1
2
2) длины векторов: a x 2 y 2 ; b x 2 y 2
1
1
2
2
y
6
4
0
a
1) a b 2 8 6 4 40
b
2
2) a 22 62 40 ;
8 x
b 82 42 80 .
Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.
Прототип задания B3 (№ 00000)
Даны векторы a и b .
Найдите: 1) сумму координат вектора a b ;
2) найдите квадрат длины вектора a b .
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
1) сумма координат вектора a b: x1 x2 y1 y2
y
2
2) квадрат длины вектора: a b х 2 у 2
6
4
0
1) сумма векторов a b:
a
b
2
8 x
Ответ: 1) 20; 2) 200.
a 2; 6
b 8; 4
a b 10; 10
сумма координат вектора a b:
10 10 20
2
2) a b 102 102 200
Прототип задания B3 (№ 27735)
Найдите угол между векторами a и b .
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
Найдём угол между ними через скалярное
произведение:
y
6
4
0
cos φ
a
b
a b
a b
x1 x2 y1 y2
2
1
2
1
2
x y x2 y 2
2 8 6 4
2
40
40 80
2 2 6 2 82 4 2
40
40
1
2
8 x
⇒
2
Ответ: 45.
⇒ φ 45
Используемые материалы
http://mathege.ru/or/ege/Main.html − ????????? ????????? ????? ??????? ?? ??????????
2015 ????
English Русский Правила
12.
340 Экзаменационная векторная иллюстрация и роялти-фри Экзаменационный клипартЗначки выпускного экзамена задают простой вектор. студенческий колледжPREMIUM
Набор значков дистанционного обученияPREMIUM
Векторный набор линейных значков, связанных с образовательным процессом, обучением, репетиторством и дистанционным онлайн-образованием. монолинейные пиктограммы и элементы дизайна инфографикиPREMIUM
Иконки линий онлайн-образования. векторная иллюстрация включала иконку в виде интернета, видео, аудио пиктограмму личного кабинета для школы, колледжа, университетского обучения. Идеальный редактируемый штрих 64×64 пикселей. ПРЕМИУМ
Иконка выпускного экзамена простой вектор. академическое исследованиеПРЕМИУМ
Значок экзамена диссертации простой вектор. final studyPREMIUM
Векторная иконка экзамена на белом фоне. Знак символа плоского векторного экзамена из коллекции современного образования для дизайна мобильных концепций и веб-приложений.
PREMIUM
Школьный тест подготовки к экзамену. контрольный список концепции экзамена и песочные часы, выбор формы анкеты ответов, векторная плоская иллюстрация образования. онлайн-курс обучения экзамен. заполнить анкету резюмеPREMIUM
Группа студентов за столом занимается. вид сверху.PREMIUM
Значок почтового экзамена простой вектор. окончательное исследованиеPREMIUM
Номер раскраски для детей. рабочий лист для дошкольного, детского сада и школьного возраста. вычитание. считать и раскрашивать. бабочки.PREMIUM
Онлайн-экзамен, контрольный список и карандаш, сдача теста, выбор ответа, форма анкеты, концепция образования, векторная плоская иллюстрацияPREMIUM
Значок бумажного диплома простой вектор. книга финалПРЕМИУМ
У грустных детей плохая оценка на экзамене.PREMIUM
3D контрольный список задач по управлению задачами с мобильным телефоном, держащим руку, эффективная работа над планом проекта, быстрый прогресс, концепция повышения уровня, задание и экзамен.
3d контрольный список значок вектор визуализации illustrationPREMIUM
Иконка концепции графиков экзаменов. дистанционный образовательный процесс. промежуточные и итоговые экзамены. учебный план. идея академического календаря тонкая линия иллюстрации. вектор изолированный контур rgb цветной рисунокPREMIUM
Быстрый выпускной экзамен значок контур вектор. академическое исследованиеPREMIUM
Стрессовая девочка-подросток делает школьное задание векторный мультфильм illustrationPREMIUM
Девушка сидит на полу в окружении ноутбука, книг и бумаг и пишет заметки. женщина учится или готовится к экзаменам дома. студент-подросток усердно учится в скандинавском интерьере дома. PREMIUM
Иконка выпускного экзамена простой вектор. учебная тетрадьPREMIUM
Симпатичный маленький мальчик чувствует себя счастливым, потому что получил хорошую оценку на экзаменеPREMIUM
Красочные школьные принадлежности и канцелярские принадлежности на белом фоне. векторный бесшовный рисунок для баннера, плаката, магазина канцелярских товаров, веб-сайта и оберточной бумаги.
обратно в школу и концепция образованияPREMIUM
Нарисованные от руки быстрые услуги, контрольный список и секундомер, план действий, промедление и эффективность, управление проектами, быстрый опрос, краткий опрос, doodlePREMIUM
Персонаж молодой женщины держит ручку перед огромной книгой, готовится к экзамену по грамматике или делает домашнее задание. студентка читает и учится. образование в университете или колледже концепции. Cartoon vector illustrationPREMIUM
Трудно учиться у подростка. трудности в учебе. уставший ребенок не хочет учиться. концепция вектора образования студенту нужна помощь, чтобы сделать домашнюю работуPREMIUM
Значок задания в виде песочных часов, изометрический стильPREMIUM
Значок задания в виде песочных часов, изометрический стильPREMIUM
Веб-баннер или набор целевых страниц. деловые люди перед коллегами.PREMIUM
Скучающий школьник с рукой на лице сидит за партой и пишет в блокнотеPREMIUM
Подготовка к экзаменам, школьный тест векторная плоская иллюстрация.
девочки и мальчик делают задание в классе. концепция обучения и знаний. плоская векторная иллюстрация. ПРЕМИУМ
Нарисованный от руки онлайн-экзамен, контрольный список и карандаш, прохождение теста, выбор ответа, форма анкеты, концепция образования, вектор каракулейPREMIUM
Учитель-мужчина проводит онлайн-уроки для школьников или студентов университетов. видеокурс, веб-семинар, интернет-класс, услуги личного учителя для индивидуального дистанционного домашнего самообразования. ПРЕМИУМ
Студентка, стоящая перед доской. ПРЕМИУМ
Концепция университетского обучения.0003
Вектор контура значка диплома. студенческая книжкаПРЕМИУМ
Обучение времени по часам. рабочий лист образовательной деятельности для детей и малышей. овощная морковь. игра для детей. простая плоская изолированная цветная векторная иллюстрация в стиле милого мультфильма. школьники. набор мультяшных клипартов для детской раскраски, печати на футболках, значков, логотипов, этикеток, патчей или наклеек.
векторная иллюстрация.ПРЕМИУМ
Онлайн-репетитор абстрактная концепция векторной иллюстрации. ПРЕМИУМ
Онлайн-тест для шаблона баннеров, флаеров, книг и обложек журналов векторная иллюстрация. work testPREMIUM
Вектор контура иконки почтового экзамена. выпускное исследованиеPREMIUM
Студент стоит перед доскойPREMIUM
Молодая женщина Джейн держит ручку перед огромной книгой. готовьтесь к экзамену, делайте домашнее задание, читайте и учитесь. образование, университет, концепция колледжа. 3d векторная иллюстрация персонажей людей. ПРЕМИУМ
Проверка значка буфера обмена простой вектор. final bookPREMIUM
У африканского мальчика много вопросов vector cartoonPREMIUM
Жизнерадостная девушка, работающая журналистом, наслаждается отдыхом в столовой. рисованной в стиле тонкой линии, векторные иллюстрации.ПРЕМИУМ
Изучайте английский язык. студенты учатся с книгами. группа людей в классеPREMIUM
Школьник с вопросами делает домашнее задание vector cartoonPREMIUM
Студент готовится к тесту в последний момент.
плоская векторная иллюстрация. грустный парень пишет задания по ночам, изучает книги, усердно работает перед экзаменом. знание, дедлайн, паника, школьная концепцияPREMIUM
Счастливый милый маленький мальчик учится для тестаPREMIUM
Вектор контура иконки экзамена. final studyPREMIUM
Бумажный вектор контура значка диплома. book finalPREMIUM
Изучение вектора контура иконки папируса. выпускной экзаменPREMIUM
Вид сверху на молодых людей, сидящих за столом и изучающих английский язык. студенты учатся вместеPREMIUM
Развивающая детская игра. соответствующий игровой лист для детей. совпадают по цвету. найти пары птиц и скворечник. учим цвета, тема животныхPREMIUM
Плоский вектор значка выпускного экзамена. учебная тетрадьPREMIUM
Время выучить баннер. девушка-брюнетка сидит на стопке разноцветных книг и читает учебное пособие, готовится к следующему уроку или выпускному экзамену. плоская векторная целевая страница с копией пространства для дополнительного текста.
ПРЕМИУМ
Значок академического экзамена простой вектор. book finalPREMIUM
Снова в школу векторная абстрактная плоская иллюстрация. значки образования и учебы, этикетки, наклейки и элементы дизайна.0003
Домашнее задание. концепция электронного обучения, онлайн-образования, домашнего обучения, веб-курсов, учебных пособий. 3d реалистичная векторная иллюстрация. PREMIUM
Студентка и стопка книг векторная иллюстрацияPREMIUM
Дети учатсяPREMIUM
Развивающая детская игра для детей и малышей. что не подходит логическая игра. найти нечетный, дополнительный объект. тема насекомых. обучающие насекомыеPREMIUM
Значок диплома об окончании школы плоский вектор. студенческая тетрадьPREMIUM
Милый маленький мальчик чувствует себя счастливым, потому что получил хорошую оценку на экзаменеPREMIUM
Значок бумажного диплома плоский вектор. book finalPREMIUM
Значок выпускного студента простой вектор. Study finalPREMIUM
Милому маленькому мальчику грустно из-за плохой оценки на экзаменеPREMIUM
Студенты учатся онлайн дома.
персонажи людей смотрят на ноутбук и учатся со смартфоном, книгами и тетрадями. концепция онлайн-образования. плоская изометрическая векторная иллюстрация. ПРЕМИУМ
Онлайн-курс в университете, видеоурок, подготовка к экзаменам, дистанционный урок грамматики для студентов. человек изучают иностранный язык дистанционно, используя современные интернет-технологии, онлайн-сервис обученияPREMIUM
Симпатичная девушка задает вопросы векторный персонажPREMIUM
Университетский онлайн-курс, видеоурок, подготовка к экзаменам, дистанционный урок грамматики для студентов. люди изучают иностранный язык удаленно, используя современные интернет-технологии, сервис веб-образования. секундомер, план выполнения, прокрастинация и эффективность, управление проектами, быстрая анкета, краткий опрос, doodlePREMIUM
Счастливый милый маленький мальчик, думающий на экзаменеPREMIUM
Значок экзамена с черным рисунком на белом фонеPREMIUM
Женщина из комиксов, улыбающаяся блондинка с книгой на английском языке.
поп-арт портрет.ПРЕМИУМ
Школьники. студенты в классе, ученики готовятся к дню знаний, учатся в школе, готовят набор векторных иллюстраций домашних заданий. символы школьного образованияPREMIUM
Образование и работа в Интернете, занятия через ИнтернетPREMIUM
Значок экзамена ноутбука плоский вектор. рабочий тестПРЕМИУМ
Значок академического выпуска простой вектор. book studyPREMIUM
Векторные плоские люди усердно учатся. измученная уставшая девушка, студентка или работница, сидящая за столом, чашка кофе, переутомление, изучение экзаменов, мужчина, держащий волосы, девушка, взбирающаяся на стопку, мужчина, бегущий с книгами. ПРЕМИУМ
Удивленный мужчина, список дел, задание контрольного списка, управление задачами, концепция прокрастинации, низкий балл теста , векторная плоская иллюстрацияPREMIUM
Вектор контура значка выпускного экзамена. учебникПРЕМИУМ
Счастливая милая девочка учится усердно думаетPREMIUM
Логический ребенок описывает игру с картинками шаблон для печатиPREMIUM
Концепция быстрого образования, подготовка к экзаменам, учебный предмет, крайний срок школьного задания, обзор знаний, самообучение, время учиться, контрольный список, векторный значок, плоская иллюстрацияPREMIUM
Мальчик учитсяPREMIUM
Бумажный вектор контура значка экзамена.
окончательное исследованиеPREMIUM
Иллюстрация концепции изометрических исследованийPREMIUM
Улыбающийся студент мужского пола сидит за партой и пишет векторную плоскую иллюстрацию школьного теста. красочный счастливый парень на экзамене в колледже, изолированные на белом фоне. счастливый подросток за столом в университетеПРЕМИУМ
Вектор контура значка диплома о высшем образовании. экзамен PREMIUM
Концепция изометрического дизайна онлайн-библиотеки со стопкой учебных пособий, покрытых шляпой магистратуры под облачными значками, изометрическая векторная иллюстрацияPREMIUM
Веб-баннер библиотекаря или целевая страница. каталогизация персонала библиотекиPREMIUM
Счастливая милая девочка изучает математикуPREMIUM
Математика 333 — КалендарьИсчисление IIIИсчисление IIIНеделя 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17
|
08.13
4. Перекрестное произведение двух векторов в пространстве.
902:30
2. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций.
902:30
119-122.
5. Упражнения 1*; стр. 158-161.
1. Сложение и вычитание целых чисел
2. Сложение и вычитание рациональных чисел
11.13