Если диагонали то этот параллелограмм является прямоугольником: Признаки прямоугольника и квадрата — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Прямоугольник, ромб и квадрат – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Конспект

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Свойства прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.
Каждый угол прямоугольника равен 90°.
Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Накрест лежащие углы при диагонали равны.
Диагонали прямоугольника равны.
Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.
Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Признаки прямоугольника

Если три угла четырехугольника прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.
Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны и для квадрата.

Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны.
Противоположные стороны квадрата параллельны.
Сумма углов квадрата равна 360°.
Диагонали квадрата имеют одинаковые длины.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам.
Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные, и прямоугольные.

Признаки квадрата

Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Формулы определения длины диагонали квадрата:

\(d=a\sqrt{2}; \ d=\sqrt{2S}; \ d=2R; \ d=2r\sqrt{2}\).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Свойства ромба

Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:

Диагонали перпендикулярны.
Диагонали являются биссектрисами его углов.

Центром вписанной в ромб окружности будет точка пересечения его диагоналей.

Признаки ромба

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.

2}\).

Вопросы

Диагональ ромба равна его стороне. Найдите меньший угол ромба.
В параллелограмме \(ABCD\) сторона \(AB=7, AD=3,sinA=\frac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.

Диагональ квадрата равна \(2\sqrt{8}\) см. Найдите сторону квадрата.
Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.
Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6. Числовое значение площади прямоугольника принадлежит промежутку

Сообщить об ошибке

Прямоугольник — презентация на Slide-Share.ru 🎓

Первый слайд презентации: Прямоугольник

Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Ясно, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма, следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма. В частности, в прямоугольнике противоположные стороны попарно равны и диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Изображение слайда

Слайд 2: Упражнение 1

Докажите, что диагонали прямоугольника равны. Доказательство. Пусть ABCD – прямоугольник. Прямоугольные треугольники ABC и BAD равны по двум катетам. Следовательно, AC = BD, что и требовалось доказать.

Изображение слайда

Слайд 3: Признак прямоугольника

Теорема (Признак прямоугольника.) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Доказательство. Пусть ABCD – параллелограмм и AC = BD. Т реугольники ABC и BAD равны по третьему признаку равенства треугольников ( AB – общая, AC = BD, BC = AD ). Следовательно, угол ABC равен углу BAD. Но эти углы в сумме составляют 180 о. Значит, каждый из них равен 90 о. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то и остальные его углы также равны 90 о, т.е. ABCD – прямоугольник.

Изображение слайда

Слайд 4: Ромб

Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Из второго признака параллелограмма следует, что ромб является частным случаем параллелограмма.

Изображение слайда

Слайд 5: Упражнение 2

Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны. Доказательство. Пусть ABCD – ромб, O – точка пересечения диагоналей. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то BO = OD. Следовательно, AO – медиана равнобедренного треугольника ABD ( AB=AD ). Так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой, то прямые AO и BD перпендикулярны.

Изображение слайда

Слайд 6: Признак ромба

Теорема. (Признак ромба.) Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD – параллелограмм, диагонали AC и BD перпендикулярны, O – точка их пересечения. П рямоугольные треугольники AOB и AOD равны (по двум катетам: AO – общий, OB = OD ). Следовательно, AB = AD. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то и остальные его стороны равны, т.е. ABCD – ромб.

Изображение слайда

Слайд 7: Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Можно также сказать, что квадратом является ромб, у которого все углы прямые.

Изображение слайда

Слайд 8: Упражнение 3

Три угла четырехугольника равны 90 о. Является ли этот четырехугольник прямоугольником ? Ответ: Да.

Изображение слайда

Слайд 9: Упражнение 4

Верно ли, что если диагонали четырехугольник а равны, то этот четырехугольник – прямоугольник ? Ответ: Нет.

Изображение слайда

Слайд 10: Упражнение 5

Верно ли, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником? Ответ: Нет.

Изображение слайда

Слайд 11: Упражнение 6

Изобразите прямоугольник, две противоположные вершины которого даны на рисунке, а оставшиеся вершины расположены в узлах сетки. Сколько решений имеет задача? Ответ: 3.

Изображение слайда

Слайд 12: Упражнение 7

Изобразите ромб, две противоположные вершины которого даны на рисунке, а оставшиеся вершины расположены в узлах сетки. Сколько решений имеет задача? Ответ: 3.

Изображение слайда

Слайд 13: Упражнение 8

Изобразите квадрат, две противоположные вершины которого даны на рисунке, а оставшиеся вершины расположены в узлах сетки. Сколько решений имеет задача? Ответ: 1.

Изображение слайда

Слайд 14: Упражнение 9

Из точки D, принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, проведены две прямые, параллельные катетам. Сумма периметров получившихся треугольников AKD и DLB равна 10 см. Найдите периметр данного треугольника ABC. Ответ: 10 см.

Изображение слайда

Слайд 15: Упражнение 10

Два равных прямоугольных треугольника приложили один к другому таким образом, что их гипотенузы совпали, а неравные острые углы приложились один к другому. Какой при этом получился четырехугольник? Ответ: Прямоугольник.

Изображение слайда

Слайд 16: Упражнение 11

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом 60 о. Найдите диагонали прямоугольника. Ответ: 10 см.

Изображение слайда

Слайд 17: Упражнение 12

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 5 см. Найдите диагонали данного прямоугольника. Ответ: 10 см.

Изображение слайда

Слайд 18: Упражнение 13

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Какие углы образуют диагонали со сторонами прямоугольника? Ответ: 30 о и 60 о.

Изображение слайда

Слайд 19: Упражнение 14

Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен 120 . Чему при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали? Ответ: 1:2.

Изображение слайда

Слайд 20: Упражнение 15

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH, равная 3 см. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками K и L. Ответ: 3 см.

Изображение слайда

Слайд 21: Упражнение 16

Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см. Ответ: 13 см.

Изображение слайда

Слайд 22: Упражнение 17

В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен 50 о. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника. Ответ: 25 о и 65 о.

Изображение слайда

Слайд 23: Упражнение 18

Перпендикуляр BH, опущенный из вершины B прямоугольника ABCD на его диагональ AC, делит угол B в отношении 2:3. Найдите: а) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами; б) угол между перпендикуляром BH и диагональю BD. Ответ: а) 36 о и 54 о ; б) 18 о.

Изображение слайда

Слайд 24: Упражнение 19

Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 4 см и 5 см. Найдите стороны данного прямоугольника. Ответ: 4 см и 9 см.

Изображение слайда

Слайд 25: Упражнение 20

Чему равна меньшая диагональ ромба со стороной а и острым углом в 60 о ? Ответ: a.

Изображение слайда

Слайд 26: Упражнение 21

В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба. Ответ: 60 o, 120 o, 60 o, 120 o.

Изображение слайда

Слайд 27: Упражнение 22

Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. Ответ: 8 0 o, 1 0 0 o, 8 0 o, 1 0 0 o.

Изображение слайда

Слайд 28: Упражнение 23

Чему равен угол между: а) диагоналями квадрата: б) диагональю и стороной квадрата? Ответ: а) 9 0 o ; б) 45 o.

Изображение слайда

Последний слайд презентации: Прямоугольник: Упражнение 24

В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5 см. Найдите периметр этого квадрата. Ответ: 40 см.

Изображение слайда

Прямоугольник — что это, признаки и свойства прямоугольника и его диагоналей

Обновлено 22 июля 2021 Просмотров: 152 548 Автор: Дмитрий Петров

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.

Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.

Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».

Прямоугольник — это.

Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).

У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.

То есть выглядит это так:

Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.

Судите сами:

У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.

У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.

Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.

Признаки прямоугольника

Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.

В случае с прямоугольником их всего три:

Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника

Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.

Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:

Свойства прямоугольника

К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:

Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
1. У прямоугольника равны противоположные стороны.
2. У прямоугольника противоположные стороны параллельны.
У прямоугольников все прилегающие друг к другу стороны пересекаются под прямыми углами. А в сумме они дают 360 градусов.
У прямоугольников обе диагонали равны между собой.
Диагональ прямоугольника делит фигуру ровно пополам, и в результате получаются два одинаковых прямоугольных треугольника.
Диагонали прямоугольника пересекаются в его геометрическом центре. А их точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Более того, все четыре отрезка равны между собой.
У прямоугольника точка пересечения диагоналей является еще и центром описанной вокруг окружности. Причем длина диагонали одновременна является диаметром (что это такое?) этой окружности.

Периметр и площадь

Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.

Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:

Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:

К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.

Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Математика

Поделиться в соцсетях

Прямоугольник / Четырехугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Четырехугольники
Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

ABCD — прямоугольник.

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB: ABCD — прямоугольник, А и B — прямые, ABD иACB — прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360⁰(2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90⁰, ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, A = 90⁰

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180⁰, т. е. A + В = 180⁰, В = 180⁰— A = 180⁰ — 90⁰ = 90⁰

Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90⁰ и В = D = 90⁰

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 419, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 448, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 458, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 531, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 602, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 617, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 4, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Поиск для:

Архивы

Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

Рубрики

РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКРаботы статградрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

Страницы

04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
100balnik отзывы пользователей
11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
11 апреля 6 класс история ответы и задания
11 апреля 7 класс биология ответы и задания
11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
16 апреля 5 класс история ответы и задания
16 апреля 6 класс биология ответы и задания
16 апреля 7 класс география ответы и задания
16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
18 апреля 11 класс химия ответы и задания
18 апреля 5 класс биология ответы и задания
18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
18 апреля 7 класс математика ответы и задания
18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
2 апреля 11 класс история ВПР
2 апреля 7 класс английский язык ВПР
20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
4 апреля 11 класс биология ВПР
4 апреля 7 класс обществознание ВПР
4 класс диктант 2019 год
4 класс диктант платно
4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
4 класс математика платно ответы и задания
4 класс окр. мир платно
4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
4 класс русский тест 2019 год
4 класса тест платно
5 класс биология платно
5 класс история платно
5 класс русский язык впр 25 апреля
5 класс русский язык платно
6 класс история платно
6 класс математика впр 25 апреля
6 класс математика платно
6 класс общество платно
6 класс платно гео ответы и задания
6 класс платно ответы и задания
7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
7 класс история впр 25 апреля
7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
9 апреля география 6 класс ВПР 2019
9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс информатика огэ 2019 год
9 класс математика огэ 2019 год
9 класс обществознание ОГЭ 2019
9 класс ОГЭ 2019
9 класс русский язык ОГЭ 2019
9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
FAQ
My Calendar
Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
Английский язык 9 класс платно
Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
Архив работ
- 01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
- 05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
- 06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
- 12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
- 12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
- 13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
- 14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
- 14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
- 15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
- 18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
- 19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
- 19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
- 21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
- 24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
- Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
- Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
- Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
- ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
- ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
- ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
- ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
- ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
- ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
- ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
- ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
- ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
- ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
- ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
- ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
- ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
- Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
- Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
- История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
- Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
- Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
- Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
- Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
- МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
- Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
- Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
- Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
- Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
- Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
- Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
- Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
- Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
- Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
- РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
- РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
- Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
- Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
- Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
- Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
- Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
- Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
- Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
- Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
- Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
- Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
- Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
- Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
- Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
- Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
- Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
- Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
- Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
- Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
- Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
- Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
- Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
- Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
- Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
Биология 6 класс платно
Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
Биология ОГЭ 2018 платно
Благодарим за ваш заказ!
Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
Ваши отзывы — пожелания
Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
Витрина
ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
ВПР 11 класс география
ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
ВПР география 10-11 класс
ВПР математика 5 класс ответы и задания
ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
ВПР физика 11 класс резервный день ответы
ВПР ХИМИЯ 11 05.04
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Входные контрольные работы ФГОС варианты и ответы с 1 по 11 класс
Гарантия
ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
ГДЗ 5 классы решебники
ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
ГДЗ решебники
Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
География 11 класс платно
География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
География 9 класс СтатГрад задания и ответы
География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
Добро пожаловать
Доступ ко всем работам
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
Задания и ответы Англ. яз 18.11
Задания и ответы Биология 14.11
Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
Задания и ответы для работ Республики Коми
Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
Задания и ответы Математика 03. 12
Задания и ответы Математика 17.11
Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
Задания и ответы МХК 15.11
Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
Задания и ответы ПРАВО 14. 11
Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
Задания и ответы Русский язык 19.11
Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
Задания и ответы Физика 18.11
Задания и ответы Химия 24.11
Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
Закрытый раздел
Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
Информатика 11 класс платно
Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
Информатика 9 класс 06. 03
Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Информатика ОГЭ 2018
Информатика ОГЭ 2018 платно
Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
История 11 класс задания и ответы СтатГрад
История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
История 5 класс ВПР 25.04
История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
История 7 класс платно 24 апреля
История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
Итоговое сочинение 05. 12.2018
Итоговое сочинение 2017
Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
Как получить задания и ответы для ВПР 2019
Как получить работу задания и ответы
Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
КДР (задания+ответы) на Январь 2017
КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР апрель 2017 работы задания и ответы
КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР задания и ответы
КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
КДР Май 2017 работы задания и ответы
КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
КДР математика 9 класс 19.04
КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
КДР по литературе 10 класс ответы
КДР по Математике 9 класс официальные ответы
КДР по русскому языку для 9 классов
КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
Кенгуру 2017 9 класс ответы
Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
Контакты
Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
Корзина
Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
Куда поступить после 11 класса в 2017 году
Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
Литература ОГЭ 2018 платно
Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
Математика 10 класс (вероятность и статистика)
Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
Математика 10 класс ответы и задания 18.05
Математика 10 класс ответы и задания статград
Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
Математика 11 класс профиль 56 рег
Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
Математика 5 класс платно
Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
Математика 8 класс 56 регион 17.03
Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
Математика 8 класс статград ответы и задания
Математика 9 класс — 64 регион ответы
Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
Математика 9 класс 13. 02
Математика 9 класс 56 рег ответы
Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
Математика База платно
Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
Материалы за 2016-2021 учебный год
Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
Мой аккаунт
Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
МЦКО 8 класс ответы 15. 03
МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
МЦКО математика 3 класс задания
Мцко математика 7 класс 02.03.17
МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
МЦКО по физике для 9 классов
МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
Направления тем итогового сочинения 2017-2018
Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
О нас
ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
Обществознание 11 класс 04.05
Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
Обществознание ОГЭ 2018 платно
ОГЭ
ОГЭ 2017 закрытый раздел
ОГЭ 2018 Математика платно
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
- Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
Оплата заказа
Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 12. 04.2018
Ответы и задания 2 класс пегас 2019
Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
Ответы и задания биология 11 класс статград
Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
Ответы и задания для работ 15.02.2017
Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс статград
Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
Ответы ОГЭ 2018 английский язык
Ответы ОГЭ 2018 русский язык
Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
Ответы по географии для 9 классов 11 регион
Ответы по информатике 11 класс 12. 05
Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по истории 9 класс статград
Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по математике 7-8 класс КДР
Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
Ответы по математике 9 класс 64 регион
Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Отзывы прошлых лет
Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
- РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
- РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
Оформление заказа
Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
Платно русский язык 9 класс
Поддержать проект
Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
Проект математическая вертикаль ответы и задания
Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
Работы (задания+ответы) Февраль 2017
Работы (задания+ответы) Январь 2017
Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
Работы для Оренбургской области
Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
Работы задания и ответы по регионам
Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
Работы СтатГрад, КДР за май 2017
Работы СтатГрад, КДР за март 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
- Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
- Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
- Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
- Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
Разговоры о важном цикл внеурочных занятий 2022-2023
Расписание
- ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
- ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
- ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
- Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
- Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
- Расписание работ КДР 2019
- Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
- Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
Расписание ГИА ОГЭ 2017
Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
Расписание итогового сочинения 2017-2018
Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
- Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
Региональный экзамен по математике 7 класс
Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
Региональный этап по математике ответы и задания 2019
Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
Русский язык 11 класс 03.06.2019
Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
Русский язык 11 класс 56 регион ответы
Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
Русский язык 7 класс 56 регион ответы
Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
Русский язык 7 класс статград ответы и задания
Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
Русский язык 8 класс статград ответы и задания
Русский язык 9 класс 11.05 ответы
Русский язык 9 класс 74 регион ответы
Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
Русский язык платно
Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
СтатГрад
- Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
- Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
- Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
- Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
- Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
- Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
- Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
- Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
- Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
Статград задания и ответы январь 2018-2019
Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
СтатГрад по математике для 11 классов
Статград работы май 2018 ответы и задания
Статград работы ответы и задания май 2019
СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
Темы итогового сочинения 2017
Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Тренировочная работа по биологии 11 класс
Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
Тренировочная работа по информатике 11 класс
Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
- 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
- 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
- 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
- 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
- Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
- Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Условия перепечатки материалов | Правообладателям
Устная часть английский язык 2018 платно
Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
Устное собеседование 9 класс 2019
Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
Физика ОГЭ 2018 платно
Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
Химия 9 класс ответы и задания 16.05
Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Частная группа
ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
Школьные конкурсы расписание 2017-2018
Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
Экзамен по географии ОГЭ 2019
Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

его свойства, признаки и определение с примерами решения

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны — соседние для стороны а сторона — противолежащая стороне вершины — соседние с вершиной а вершина — противолежащая вершине

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить или но нельзя обозначать

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике (рис. 2) диагоналями являются отрезки Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике эти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике прямые проходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник на рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника при вершине называется угол

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна

Доказательство:

В данном четырехугольнике проведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку сумма углов четырехугольника равна сумме всех углов треугольников и то есть равна Теорема доказана.

Пример:

Углы четырехугольника соседние с углом равны, а противолежащий угол в два раза больше угла (см. рис. 1). Найдите угол если

Решение:

Углами, соседними с углом являются углы а углом, противолежащим к — угол По условию задачи Поскольку сумма углов четырехугольника равна то Если градусная мера угла равна то градусная мера угла по условию равна Отсюда имеем: Следовательно,

Ответ:

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм в котором

Пример:

На рисунке 8 Докажите, что четырехугольник — параллелограмм.

Решение:

Из равенства треугольников следует равенство углов: Углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей Аналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей По признаку параллельности прямых имеем: Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. — параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

противолежащие стороны равны;
противолежащие углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Доказательство:

Проведем в параллелограмме диагональ (рис. 11) и рассмотрим треугольники

У них сторона — общая, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что и А поскольку то Следовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме диагонали которые пересекаются в точке (рис. 12).

Рассмотрим треугольники У них по доказанному, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку. Отсюда следует, что т. е. точка является серединой каждой из диагоналей и Теорема доказана полностью.

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Тогда по свойству углов параллелограмма Сумма всех углов параллелограмма равна поэтому

Ответ:

Пример №2

В параллелограмме биссектриса угла делит сторону пополам. Найдите периметр параллелограмма, если

Решение:

Пусть в параллелограмме биссектриса угла пересекает сторону в точке (рис. 13). Заметим, что поскольку — биссектриса угла как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Отсюда т.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник — равнобедренный с основанием значит, По условию Следовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике (рис. 15).

Проведем диагональ и рассмотрим треугольники и Они имеют общую сторону по условию, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей Тогда по признаку параллельности прямых Таким образом, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что — параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике (рис. 16).

Снова проведем диагональ и рассмотрим треугольники и В этом случае они равны по третьему признаку: сторона — общая, и по условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых и секущей По признаку параллельности прямых Следовательно, в четырехугольнике стороны параллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике диагонали пересекаются в точке и (рис. 17). Рассмотрим треугольники Эти треугольники равны по первому признаку: как вертикальные, а и по условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Тогда и — параллелограмм по признаку 1.

Теорема доказана полностью.

Пример №3

В параллелограмме точки — середины сторон соответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник —параллелограмм.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Стороны и параллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Кроме того, как половины равных сторон параллелограмма Таким образом, в четырехугольнике две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если то утверждение является достаточным условием для утверждения а утверждение — необходимым условием для утверждения Схематически это можно представить так:

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т. д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник с диагоналями (рис. 29). Треугольники и прямоугольные и равны по двум катетам — общий, как противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. что и требовалось доказать.

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике (см. рис. 28). Углы являются внутренними односторонними при прямых и секущей Поскольку сумма этих углов составляет то по признаку параллельности прямых Аналогично доказываем параллельность сторон Следовательно, по определению параллелограмма — параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то — прямоугольник по определению.

Ромб

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Доказательство:

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке (рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник равнобедренный с основанием а по свойству диагоналей параллелограмма точка — середина Следовательно, отрезок — медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что т.е. диагонали ромба перпендикулярны, и— биссектриса угла

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана.

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции стороны являются основаниями, а — боковыми сторонами.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна На рисунке 37

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция с боковыми сторонами и Иногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

Пусть — данная трапеция,

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что

Проведем высоты из вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники (рис. 41). У них как боковые стороны равнобедренной трапеции, как расстояния между параллельными прямыми Следовательно, по гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Углы трапеции также равны, поскольку они дополняют равные углы

Теорема доказана.

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция в которой (рис. 42). По условию задачи треугольник равнобедренный с основанием с другой стороны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Пусть градусная мера угла 1 равна тогда в данной трапеции Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет имеем: Следовательно,

Ответ:

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть — данные диагонали параллелограмма, — угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм построен (рис. 43).

Треугольник можно построить по двум сторонам и углу между ними

Таким образом, мы получим вершины искомого параллелограмма.

Вершины можно получить, «удвоив» отрезки

Построение

1. Разделим отрезки пополам.

2. Построим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

3. На лучах отложим отрезки и

4. Последовательно соединим точки

Доказательство:

Четырехугольник — параллелограмм, поскольку по построению его диагонали точкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме (по построению),

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть — основания искомой трапеции, — ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция построена (рис. 44).

Проведем через вершину прямую параллельную Тогда — параллелограмм по определению, следовательно, Кроме того, следовательно, Вспомогательный треугольник можно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин надо отложить на луче и на луче с началом в точке параллельном отрезки длиной

Построение

1. Построим отрезок

2. Построим треугольник по трем сторонам

3. Построим луч, проходящий через точку и параллельный При этом построенный луч и луч должны лежать по одну сторону от прямой

4. На луче от точки отложим отрезок на луче с началом — отрезок

5. Соединим точки

Доказательство:

По построению следовательно, — параллелограмм по признаку. Отсюда Кроме того, Следовательно, — искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа удовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Доказательство:

Пусть — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если то (рис. 46).

Проведем через точку прямую параллельную (рис. 47).

Четырехугольники — параллелограммы по определению. Тогда а поскольку

Рассмотрим треугольники У них по доказанному, как вертикальные, a как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку, откуда

Теорема доказана.

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на равных частей.

Решение:

Решим задачу для т.е. разделим данный отрезок на три равные части (рис. 48).

Для этого проведем из точки произвольный луч, не дополнительный к лучу и отложим на нем равные отрезки Проведем прямую и параллельные ей прямые через точки По теореме Фалеса эти прямые делят отрезок на три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок — средняя линия треугольника В любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство:

Пусть — средняя линия треугольника (рис. 50). Докажем сначала, что Проведем через точку прямую, параллельную По теореме Фалеса она пересечет отрезок в его середине, т.е. будет содержать отрезок Следовательно,

Проведем теперь среднюю линию По только что доказанному она будет параллельна стороне Четырехугольник с попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда А поскольку точка — середина то

Теорема доказана.

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки — середины сторон четырехугольника (рис. 51). Проведем диагональ Отрезки — средние линии треугольников соответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне и равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник — параллелограмм.

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок — средняя линия трапеции

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть — средняя линия трапеции с основаниями (рис. 53).

Проведем прямую и отметим точку — точку пересечения прямых Рассмотрим треугольники У них поскольку — середина как вертикальные, a как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, по второму признаку, откуда Тогда по определению — средняя линия треугольника По свойству средней линии треугольника поэтому и Кроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что откуда По свойству средней линии треугольника

Теорема доказана.

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции (рис. 54).

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки отсекают на боковой стороне равные отрезки, т.е. Тогда по определению — средняя линия трапеции — средняя линия трапеции Пусть По свойству средней линии трапеции имеем систему:

Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

На рисунке 58 угол делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности пересекают данную окружность в точках При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка рис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка рис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу обозначенному дужкой, соответствует дуга а на рисунке 59, б — дуга В случае, когда лучи дополнительные, соответствующая дуга является полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Например, на рисунке 59, в т. е. градусная мера полуокружности составляет Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет

Концы хорды делят окружность на две дуги — (рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 60 изображен вписанный угол Его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках и Дуга (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть в окружности с центром вписанный угол опирается на дугу Докажем, что Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол является внешним углом при вершине равнобедренного треугольника По теореме о внешнем угле треугольника А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то

т.е.

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла (рис. 61, б). Луч делит угол на два угла. По только что доказанному следовательно,

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Теорема доказана.

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол если (рис. 62).

Решение:

Для того чтобы найти угол необходимо найти градусную меру дуги на которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги на которую опирается угол из теоремы о вписанном угле Заметим, что дуги вместе составляют полуокружность, т.е. следовательно, Тогда по теореме о вписанном угле

Ответ:

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна то угол который опирается на полуокружность, равен (рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике угол прямой (рис. 65, а), то дуга на которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Тогда гипотенуза — диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол если (см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду (рис. 66).

Поскольку вписанный угол опирается на полуокружность, то по следствию 2 Значит, треугольник прямоугольный, тогда По следствию 1 углы равны, поскольку оба они опираются на дугу Следовательно,

Ответ:

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник на рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна (свойство вписанного четырехугольника).
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

Доказательство:

1) Свойство. Пусть четырехугольник вписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле

Следовательно,

Аналогично доказываем, что

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Опишем окружность около треугольника и докажем от противного, что вершина не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка лежит внутри окружности, а точка — точка пересечения луча с дугой (рис. 73).

Тогда четырехугольник — вписанный. По условию а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника т.е. Но угол четырехугольника — внешний угол треугольника и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Следовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка не может лежать вне окружности. Тогда точка лежит на окружности, т.е. около четырехугольника можно описать окружность.

Теорема доказана.

Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Описанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник на рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

Доказательство:

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника касаются вписанной окружности в точках (рис. 76).

По свойству отрезков касательных С учетом обозначений на рисунке

2) Признак. Пусть в четырехугольнике с наименьшей стороной Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка (точка пересечения биссектрис углов равноудалена от сторон то можно построить окружность с центром которая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны

Предположим, что это не так. Тогда прямая либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку касательную к окружности, которая пересекает сторону в точке Тогда по свойству описанного четырехугольника Но по условию Вычитая из второго равенства первое, имеем: т.е. что противоречит неравенству треугольника для треугольника

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны т. е. четырехугольник описанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть — данная равнобедренная трапеция с основаниями По свойству описанного четырехугольника Средняя линия трапеции равна т.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Доказательство:

Обозначим на сторонах произвольного угла точки и проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам соответственно (рис. 79).

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку — точку пересечения перпендикуляров.

Через точки не лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника существует и является единственной). Обозначим точки — точки пересечения этой окружности со сторонами угла Прямые углы являются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки являются диаметрами окружности, которые имеют общий конец но не совпадают. Тогда их середины являются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике т.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки обязательно пройдет через точку В таком случае отрезки совпадут с отрезком середина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция (рис. 80).

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника значит, ее центром является середина гипотенузы Тогда В треугольнике как катет, противолежащий углу Поскольку в прямоугольном треугольнике то углы при большем основании трапеции равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей Следовательно, в треугольнике два угла равны, т. е. он является равнобедренным с основанием откуда Тогда

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки лежащей на катете прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр к гипотенузе (рис. 81). Докажите, что

Решение:

В четырехугольнике значит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы будут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство:

Пусть в треугольнике проведены медианы (рис. 85).

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке причем

Пусть — точка пересечения медиан и точки — середины отрезков и соответственно. Отрезок — средняя линия треугольника и по свойству средней линии треугольника Кроме того, — средняя линия треугольника и по тому же свойству Значит, в четырехугольнике две стороны параллельны и равны. Таким образом, — параллелограмм, и его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, т.е. точка делит медианы в отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана точкой пересечения с каждой из медиан делится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике медианы равны и пересекаются в точке (рис. 87).

Рассмотрим треугольники Поскольку точка делит каждую из равных медиан и в отношении Кроме того, как вертикальные. Значит, по первому признаку. Отсюда следует, что

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Следовательно, т.е. треугольник равнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть — высоты треугольника (рис. 88).

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник стороны которого перпендикулярны высотам треугольника По построению четырехугольники — параллелограммы, откуда Следовательно, точка — середина отрезка Аналогично доказываем, что — середина — середина

Таким образом, высоты лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника которые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника.

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Сумма углов четырехугольника равна

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Признак ромба

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Все углы квадрата прямые

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Теорема Фалеса

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Вписанные четырехугольники

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность

Около любого прямоугольника можно описать окружность

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Свойство вписанного четырехугольника

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна
Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

В любой ромб можно вписать окружность

Свойство описанного четырехугольника

В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Историческая справка

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

Q4 Назовите четырехугольник, диагонали которого i делят друг друга пополам ii являются перпендикулярными биссектрисами каждого…

Перейти к

Упражнение 3.1
Упражнение 3.2
Упражнение 3.3
Упражнение 3.4

Рациональное число
Линейные уравнения с одной переменной
Понимание четырехугольников
Практическая геометрия
Обработка данных
Квадраты и квадратные корни
Кубы и кубические корни
Сравнение количеств
Алгебраические выражения и тождества
Визуализация твердых фигур
Измерение
Показатели и силы
Прямые и обратные пропорции
Факторизация
Введение в графики
Игра с числами

Главная > Решения НЦЭРТ Класс 8 Математика > Глава 3. Понимание четырехугольников > Упражнение 3.4 > Вопрос 14

Вопрос 14 Упражнение 3.4

Q4) Назовите четырехугольник, диагонали которого:

(i) делят друг друга пополам.

(ii) перпендикулярны друг другу.

(iii) равны.

Ответ:

Решение:

(i) Если диагонали четырехугольника делятся пополам, то это ромб, параллелограмм, прямоугольник или квадрат.

(ii) Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то это ромб или квадрат.

(iii) Если диагонали равны, то это квадрат или прямоугольник.

Связанные вопросы

**Укажите, верно это или нет:** **Все ромбы — воздушные змеи.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все параллелограммы являются трапециями.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все прямоугольники являются квадратами. **

**Укажите, верно это или нет:** **Все ромбы являются параллелограммами.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все квадраты не являются параллелограммами.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все воздушные змеи представляют собой ромбы.**

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнение 3.1

Упражнение 3.2

Упражнение 3.3

Упражнение 3.4

Главы

Рациональные числа

Линейные уравнения в одной вариабельной

СПАСПЛАТНОЙ КВКАРТАЛА

ПРАКТИЧЕСКАЯ ГЕЙОМЕТРИЯ

HADSLING HADSLIND

и HADSLILLDALLALLALLALS

Практическая Геометрия

. Корни

Кубы и кубические корни

Сравнение величин

Алгебраические выражения и идентичности

Визуализация сплошных форм

Мужене.

Курсы

Быстрые ссылки

Условия и политика

Диагонали параллелограммов, прямоугольников и ромбов (видео и практика)

TranscriptPractice

Привет и добро пожаловать на это видео о диагоналях! Сегодня мы собираемся исследовать диагонали параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов и посмотреть, как эти фигуры соотносятся друг с другом в целом. Давайте начнем!

Все фигуры, которые мы сегодня рассмотрим, являются четырехугольниками , то есть все они четырехсторонние многоугольники. А 9Многоугольник 0153 — это фигура с несколькими сторонами.

Типы четырехугольников

Свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник с двумя наборами параллельных сторон. Синие стрелки обозначают, какие стороны параллельны друг другу. Противоположные стороны параллелограмма, отмеченные зелеными галочками, конгруэнтны, что означает, что они имеют одинаковую меру.

Свойства прямоугольника

Прямоугольник — это форма, которую мы все хорошо знаем, поскольку она так часто встречается в реальном мире. Но одна вещь, о которой мы обычно не задумываемся, это то, что прямоугольники — это просто особый вид параллелограмма. Это означает, что противоположные стороны параллельны и конгруэнтны, как и в нашем первом параллелограмме. Что делает прямоугольник специальный параллелограмм состоит в том, что его внутренние углы одинаковы. На самом деле все они прямых угла , что означает, что они измеряют 90 градусов.

Свойства ромба

Другой особый параллелограмм — ромб. Он обладает всеми свойствами параллелограмма, но все стороны ромба равны. Обратите внимание, что все деления одинаковые, что говорит нам о том, что все стороны имеют одинаковую длину.

Свойства квадрата

Наш последний специальный параллелограмм является прямоугольником и ромбом одновременно, поэтому он имеет прямые углы прямоугольника и конгруэнтные стороны ромба. Это еще одна форма, которую мы все хорошо знаем: квадрат!

Как видите, противоположные стороны параллельны, все углы прямые и все стороны равны.

Итак, давайте вспомним наши четырехугольники, прежде чем мы начнем исследовать их диагонали:

Здесь мы расположили наши четырехугольники в виде «дерева», начиная с квадрата в качестве ствола. Каждый квадрат — это ромб, а каждый ромб — параллелограмм. Каждый квадрат также является прямоугольником, а каждый прямоугольник является параллелограммом. Вот как это работает, поднимаясь по дереву. Но спуститься не получится. Не каждый параллелограмм является прямоугольником и не каждый ромб является квадратом.

Хорошо, теперь давайте исследуем диагонали этих четырех четырехугольников. Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины или углы четырехугольника.

Диагонали параллелограмма

Вот наш обычный неспециальный параллелограмм с показанными диагоналями:

Как видите, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Другими словами, они разрезают друг друга пополам. Мы могли бы добавить несколько цифр, чтобы лучше проиллюстрировать это…

, или мы могли бы использовать галочки, чтобы показать, что диагонали были разделены пополам:

Поскольку все три специальных четырехугольника, о которых мы говорим, являются параллелограммами, все они будут иметь диагонали, делящие пополам.

Диагонали прямоугольника

Теперь давайте посмотрим на прямоугольник. Вот прямоугольник с его диагоналями:

Диагонали прямоугольника конгруэнтны, и, опять же, поскольку прямоугольник является параллелограммом, диагонали делят друг друга пополам, делая каждую половину одинаковой длины:

Каждая диагональ прямоугольника также делит прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника:

Это означает, что при желании мы могли бы вычислить длину диагонали, используя Теорему Пифагора .

Диагонали ромба

Теперь, когда мы разобрались с прямоугольниками, давайте посмотрим, что произойдет с другим специальным параллелограммом, ромбом:

Опять же, поскольку каждый ромб является параллелограммом, его диагонали делят друг друга пополам. Однако диагонали НЕ одинакового размера, так что же в этом особенного? Посмотрите на углы, под которыми пересекаются диагонали. Эти углы выглядят так, как будто все они могут быть одинаковыми, и поскольку здесь четыре угла, это должно означать…

Каждый угол равен 90 градусов! Это означает, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу 90 239 в дополнение к тому, что 90 240 делят друг друга пополам.

Диагонали квадрата

Итак, остался только один четырехугольник, квадрат. Помните, что квадрат является параллелограммом, прямоугольником и ромбом, поэтому он должен обладать всеми свойствами этих фигур:

Диагонали будут делиться пополам.
Диагонали будут одинаковой длины.
Диагонали будут перпендикулярны друг другу.

Посмотрим, правы ли мы:

Мы были правы! Если мы посмотрим внимательно, то также увидим, что две диагонали делят квадрат на четыре конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обзор

Теперь, когда мы рассмотрели наши четыре параллелограмма и их диагонали, давайте закончим обзор, чтобы посмотреть, что вы можете вспомнить.

Какое из следующих утверждений неверно?

Каждый прямоугольник является параллелограммом.
Каждый ромб является квадратом.
Каждый квадрат является прямоугольником.
Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.
Четырехугольник, диагонали которого делятся пополам, пересекаются под прямым углом и равны, должен быть квадратом.

Спасибо за просмотр и приятного изучения!

Практические вопросы

Вопрос № 1:

Какое утверждение относительно диагональных линий, проведенных через квадрат, неверно?

Диагональные линии будут одинаковой длины.

Получится четыре конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Диагональные линии разделят друг друга пополам.

Будут сформированы четыре разносторонних треугольника.

Показать ответ

Ответ:

Когда диагональные линии проведены через квадрат, будут верны три вещи: диагональные линии разделят друг друга пополам в своих серединах, диагональные линии будут одинаковой длины, а диагональные линии образуют четыре равные треугольники, все из которых являются прямоугольными равнобедренными треугольниками. Четыре разносторонних треугольника не будут результатом диагональных линий, проведенных через квадрат.

Скрыть ответ

Вопрос №2:

Какое утверждение верно?

Параллелограмм всегда является прямоугольником.

Прямоугольник всегда является квадратом.

Ромб всегда является параллелограммом.

Параллелограмм всегда является ромбом.

Показать Ответ

Ответ:

Верно, что ромб всегда является параллелограммом. У ромба длины сторон равны, а диагональные линии перпендикулярны друг другу. Каждый квадрат — ромб, но не всякий ромб — квадрат.

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

Какое определение не соответствует для фигуры ниже?

Прямоугольник

Четырехугольник

Ромб

Параллелограмм

Показать Ответ

Ответ:

Эту фигуру можно классифицировать как прямоугольник или параллелограмм. Однако это не ромб. У ромба длины всех сторон равны.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

Дом мальчиков сэра Джона — историческое здание в Кентербери. Сейчас это здание известно своей красной входной дверью с уникальным наклоном. Плотник хочет задокументировать некоторые размеры двери. Какое утверждение будет верным в отношении двух диагональных линий, идущих от угла к углу?

Обе диагональные линии будут одинаковой длины.

Диагональные линии будут пересекаться пополам в середине каждой линии.

Диагональные линии разделятся пополам, образуя углы в 90 градусов.

Диагональные линии образуют четыре прямоугольных треугольника.

Показать Ответ

Ответ:

Диагонали параллелограмма пересекаются пополам в середине каждой прямой. Это означает, что каждая строка будет разрезана пополам другой строкой.

Скрыть Ответ

Вопрос № 5:

Град повредил прямоугольные ставни в доме Шона, поэтому он хочет сделать небольшой ремонт. Прежде чем приступить к ремонтным работам, он хочет сделать несколько замеров. Какое утверждение о диагональных линиях, проведенных через окна, равно 9?0239 неправильно ?

Диагональные линии образуют четыре угла по 90 градусов в центре окна, где они делятся пополам.

Обе диагональные линии будут конгруэнтными.

Диагональные линии будут пересекаться пополам в середине каждой линии.

Каждая из диагональных линий делит прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника.

Показать Ответ

Ответ:

Если бы оконная рама была квадратной или ромбической, то биссектрисы образовали бы четыре 9Углы 0 градусов в центре окна. Однако эта конкретная оконная рама представляет собой прямоугольный параллелограмм, поэтому биссектрисы не образуют углов 90 градусов.

Скрыть ответ

Вернуться к видео о геометрии

320040

Четырехугольники Свойства | Параллелограммы, трапеции, ромбы

13 ноября 2015 г. от MBA Crystal Ball

Щелкните здесь, чтобы посмотреть это полезное видео.

Лучшие университеты мира

В этом уроке по основным понятиям геометрии мы рассмотрим типы и свойства четырехугольников: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция.

Определение:

Четырехугольник — простая замкнутая фигура с четырьмя сторонами.

Типы четырехугольников

Четырехугольники бывают пяти типов.

Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Ромб
Трапеция

Общее свойство всех четырехугольников состоит в том, что сумма всех их углов равна 360°.

Давайте посмотрим на свойства различных четырехугольников.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны.
Противоположные углы равны.
Смежные углы являются дополнительными.
диагоналей делят друг друга пополам, и каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы прямые и параллелограмм становится прямоугольником.

Важные формулы параллелограммов

Площадь = L * H
Периметр = 2(L+B)

Прямоугольники

Свойства прямоугольника

Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны.
Все углы правильные.
Диагонали равны и делят друг друга пополам (делят друг друга поровну).
Противоположные углы, образованные при пересечении диагоналей, равны.
Прямоугольник — это особый вид параллелограмма, у которого углы прямые.

Важные формулы для прямоугольников

Если длина равна L, а ширина равна B, то

Длина диагонали прямоугольника = √(L ² + B ² )

Площадь = L * B
Периметр = 2(L+B)

Квадраты

Свойства квадрата

Все стороны и углы равны.
Противоположные стороны параллельны друг другу.
Диагонали равны.
Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Квадрат — это особый тип параллелограмма, у которого все углы и стороны равны.
Также параллелограмм становится квадратом, когда диагонали равны и являются прямыми биссектрисами друг друга.

Важные формулы для квадратов

Если L — длина стороны квадрата, то длина диагонали = L √2.
Площадь = L ² .
Периметр = 4 л

Ромб

Свойства ромба

Все стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Смежные углы являются дополнительными (например, ∠A + ∠B = 180°).
Ромб – это параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны друг другу.

Важные формулы для ромба

Если a и b длины диагоналей ромба,

Площадь = (a*b) / 2
Периметр = 4 л

Трапеция

Свойства трапеции

Основания трапеции параллельны друг другу (MN ⫽ OP).
Стороны, углы и диагонали не равны.

Важные формулы для трапеции

Площадь = (1/2) h (L+L ₂ )
Периметр = L + L ₁ + L ₂ + L ₃

Краткое описание свойств

Обобщая то, что мы узнали до сих пор, для удобства использования и запоминания:

S. No.	Свойство	Параллелограмм	Прямоугольник	Ромб	Квадрат
1	Все стороны равны	✕	✕	&проверить;	&проверить;
2	Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны	&проверить;	&проверить;	&проверить;	&проверить;
3	Все углы равны	✕	&проверить;	✕	&проверить;
4	Противоположные углы равны	&проверить;	&проверить;	&проверить;	&проверить;
5	Диагонали равны	✕	&проверить;	✕	&проверить;
6	Диагонали перпендикулярны	✕	✕	&проверить;	&проверить;
7	Диагонали делят друг друга пополам	&проверить;	&проверить;	&проверить;	&проверить;
8	Смежные углы являются дополнительными	&проверить;	&проверить;	&проверить;	&проверить;

Продолжайте узнавать больше о:
– Свойства линий и углов
– Свойства и формулы окружностей
– Типы треугольников и свойства

Вы серьезно относитесь к высшему образованию? Следите за нами:

▷Почему диагонали параллелограмма пересекаются в своих серединах? ✔️ lizengo.

Используя определение: Если у четырехугольника противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм . Если у четырехугольника 90 777 диагоналей, 90 778 которых пересекаются в середине, то это 9-угольник.0777 параллелограмм .

В связи с этим, как расположены диагонали параллелограмма?

Свойства: Если четырехугольник равен параллелограмму , то он обладает всеми следующими свойствами: — противоположные стороны параллельны ; — противоположные стороны имеют одинаковую длину; — диагоналей пересекаются посередине; — противоположные углы равны одной и той же мере.

Можно также спросить, как показать, что диагонали параллелограмма перпендикулярны? Недвижимость — Противоположные стороны параллельны . Диагонали пересекаются посередине, являются равной длины, а перпендикулярны . Если параллелограмм имеет диагоналей, перпендикулярных , и одинаковую длину, то это квадрат.

Также знать, как показать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом?

Чтобы показать, что четырехугольник является параллелограммом, мы используем, в зависимости от данных в задаче, одно из следующих свойств:

диагонали имеют одну и ту же середину;
противоположные стороны параллельны;
противоположные стороны имеют одинаковую длину;
две противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину.

Каковы диагонали ромба?

Лозанж — это четырехугольник, четыре стороны которого равны, а противоположные стороны параллельны. диагоналей лепестков перпендикулярны и пересекаются посередине; 9Диагонали 0777 являются осями симметрии лозанжи .

Каковы характеристики параллелограмма?

Четырехугольник, диагонали которого пересекаются в середине, является параллелограммом . Четырёхугольник, две стороны которого параллельны по и имеют одинаковую длину, является параллелограммом. Четырехугольник, у которого противоположные углы имеют одинаковую меру, называется параллелограммом .

Как узнать, пересекаются ли диагонали посередине?

Если четырехугольник имеет диагоналей , которые пересекаются в своих серединах , то это параллелограмм. 3. Используя стороны: Если четырехугольник (не пересекающийся) имеет противоположные стороны, равные 2 к 2, то это параллелограмм.

Как вычислить диагональ?

Вы можете использовать теорему Пифагора, потому что диагональ прямоугольника делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Длина и ширина представляют стороны треугольника, а 9Диагональ 0777 представляет собой гипотенузу.

Какими свойствами обладает четырехугольник?

Свойства : (начиная с четырехугольника ) — Если четырехугольник имеет три прямых угла (как минимум) и две последовательные стороны одинаковой длины, то это квадрат. — Если четырехугольник имеет три прямых угла (как минимум) и перпендикулярные диагонали, то это квадрат.

Как найти длину параллелограмма?

Площадь ( параллелограмм ABCD) = Площадь (прямоугольник ABFE) = AB × AE = AB × h. Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту относительно этой стороны.

Как построить параллелограмм?

Вот , как построить с помощью компаса вершину D параллелограмма ABCD, вершины которого A, B и C известны. Отверстием ВА, сухой точкой С, проводим дугу окружности. Отверстием ВС, сухой точкой в А, проводим вторую дугу окружности. D — точка пересечения двух дуг.

Как назвать вершины параллелограмма?

Центр симметрии этого параллелограмма является точкой пересечения его диагоналей. О — центр симметрии параллелограмма ABCD. Примечание: Чтобы назвать параллелограмм , мы читаем, а затем пишем, не пересекая, его вершины по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Как построить параллелограмм, используя линейку и угольник?

Конструкция с квадратом

Перпендикуляр А.
Две параллели.
Две параллели: чередующиеся внутренние углы, соответствующие углы.
Одна параллель с квадратом, скользящим по линейке.
Параллелограмм, середина отрезка.
Серединный перпендикуляр: градуированная линейка и угольник.
Ромб, биссектриса только с квадратом.

Каков вид четырехугольника ABCD?

ABCD имеет четыре стороны одинаковой длины, поэтому это ромб. Также его диагонали имеют одинаковую длину, так что это квадрат. Из приведенных направлений не ясно, что ABCD — это параллелограмм. Противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны два к двум, поэтому ABCD — это параллелограмм.

Как показать, что два вектора в параллелограмме равны?

Как показано на схеме параллелограмма:

Стороны [AB] [CD] и [AC][BD] имеют равные стороны два на два соответственно.
Углы , и , равны.
Отрезки [AD] и [CB] пересекаются посередине.
Сумма углов , а также сумма углов , и так далее равна 180 градусов.

Почему ABCD параллелограмм?

Свойство 3: Если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом . Свойство 4: если диагонали четырехугольника пересекаются в середине, то этот четырехугольник это параллелограмм .

Как показать, что это прямоугольник?

Как показать, что ‘четырехугольник является прямоугольником ? Если в четырехугольнике три прямых угла, то это прямоугольник . Если у параллелограмма один прямой угол, то это прямоугольник . Если параллелограмм имеет диагонали одинаковой длины, то это прямоугольник .

Как узнать, является ли фигура трапецией?

ТРАПЕЦИЯ.
Плоский четырехугольник с двумя (точно) параллельными сторонами, называемыми основаниями трапеции.
Выпуклый четырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда он имеет пару последовательных углов в сумме 180°
Равнобедренная трапеция: две непараллельные стороны имеют одинаковую длину.

Как определить природу четырехугольника?

Метод 5. Распознайте природу четырехугольника

Его противоположные стороны параллельны два к двум.
Его диагонали пересекаются посередине.
Противоположные стороны равны.
Две противоположные стороны параллельны и равны.

Как мы можем показать, что четырехугольник является ромбом в ортонормированной системе отсчета?

Мы можем сказать, что ABCD является параллелограммом, потому что его противоположные стороны параллельны. Кроме того, ABCD является ромбом , потому что у него есть две последовательные стороны, [AB] и [BC], которые имеют одинаковую длину. Нарисуйте параллелограмм ABCD с центром O. Затем дополните каждое предложение соответствующим свойством.

Как найти координаты точки?

Если у нас есть функция и мы ищем координаты точки на ее репрезентативной кривой:

мы выбираем значение x и вычисляем y = f(x), заменяя x в заданном выражении f( Икс).
Это дает координаты ( x ; y = f(x) ) точки на графическом представлении функции f.

Какие четырехугольники?

В плоской геометрии а 9Четырехугольник 0777 (иногда называемый тетраплевром или тетрагоном) представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами. Трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты и воздушные змеи являются частными четырехугольниками .

5.8: Классификация параллелограммов — K12 LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 4992

Прямоугольники, ромбы и квадраты представляют собой параллелограммы, определяемые их диагоналями, углами и сторонами.

Классификация параллелограммов

Прямоугольники, ромбы (также называемые ромбами) и квадраты являются более специфическими версиями параллелограммов, также называемыми специальными параллелограммами.

Четырехугольник равен прямоугольник тогда и только тогда, когда он имеет четыре прямых (конгруэнтных) угла.

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

\(ABCD\) является прямоугольником тогда и только тогда, когда \(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D\).

Четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда у него четыре равные стороны.

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

\(ABCD\) является ромбом тогда и только тогда, когда \(\overline{AB}\cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{ ОБЪЯВЛЕНИЕ}\).

Четырехугольник равен квадрат тогда и только тогда, когда у него четыре прямых угла и четыре равные стороны. По определению квадрат — это прямоугольник и ромб.

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

\(ABCD\) является квадратом тогда и только тогда, когда \(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D\) и \(\overline{AB}\cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{AD}\).

Всегда можно показать, что параллелограмм представляет собой прямоугольник, ромб или квадрат, используя определения этих форм. Есть несколько дополнительных способов доказать, что параллелограммы являются прямоугольниками и ромбами, показанными ниже:

1. Параллелограмм — это прямоугольник , если диагонали конгруэнтны.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

\(ABCD\) представляет собой параллелограмм. Если \(\overline{AC}\cong \overline{BD}\), то \(ABCD\) также является прямоугольником.

2. Параллелограмм является ромбом , если его диагонали перпендикулярны.

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

\(ABCD\) — параллелограмм. Если \(\overline{AC}\perp \overline{BD}\), то \(ABCD\) тоже ромб.

3. Параллелограмм является ромбом , если диагонали делят каждый угол пополам.

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

\(ABCD\) — параллелограмм. Если \(\overline{AC}\) делит пополам \(\угол BAD\) и \(\угол BCD\) и \(\overline{BD}\) делит пополам \(\угол ABC\) и \ (\угол ADC\), то \(ABCD\) тоже ромб.

Что, если бы вам дали параллелограмм и информацию о его диагоналях? Как вы могли бы использовать эту информацию, чтобы классифицировать параллелограмм как прямоугольник, ромб и/или квадрат?

Пример \(\PageIndex{1}\)

Является ли прямоугольник ИНОГДА, ВСЕГДА или НИКОГДА не параллелограммом? Объяснить, почему.

Решение

У прямоугольника две пары параллельных сторон, поэтому он ВСЕГДА является параллелограммом.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Является ли четырехугольник ИНОГДА, ВСЕГДА или НИКОГДА пятиугольником? Объяснить, почему.

Решение

Четырехугольник имеет четыре стороны, поэтому он НИКОГДА не будет пятиугольником с пятью сторонами. 9{\circ}\), поэтому углы не равны. Это ромб.

У второй фигуры все четыре угла равны, а стороны нет. Это прямоугольник.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Является ли ромб ИНОГДА, ВСЕГДА или НИКОГДА квадратом? Объяснить, почему.

Решение

У ромба четыре равные стороны, а у квадрата четыре равные стороны и углы. Следовательно, ромб является квадратом, если его углы равны. Это означает, что ромб ИНОГДА является квадратом.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Список все что вы знаете о квадрате \(SQRE\).

Рисунок \(\PageIndex{9}\)

Решение

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

9{\circ}\)

*Свойства параллелограмма*	*Свойства ромба*
\(\overline{SE}\параллельный \overline{QR}\)	\(\overline{SR}\perp \overline{QE}\)
	\(\угол SEQ\конг \угол QER\конг \угол SQE\конг \угол EQR\)	\(\overline{SR}\cong \overline{QE}\)
	\(\угол QSR\конг \угол RSE\конг \угол QRS\конг \угол SRE\)	\(\overline{SA}\cong \overline{AR}\cong \overline{QA}\cong \overline{AE}\)

Все углы, разделенные пополам, равны \(45^{\circ}\).

Обзор

\(RACE\) представляет собой прямоугольник. Находить:
1. \(РГ\)
2. \(AE\)
3. \(АС\)
4. \(ЕС\)
5. \(м\угол RAC\)
Рисунок \(\PageIndex{10}\)
\(DIAM\) — ромб. Находить:
1. \(МА\)
2. \(МИ\)
3. \(ДА\)
4. \(м\угол DIA\)
5. \(м\угол МОА\)
Рисунок \(\PageIndex{11}\)
\(КУБ\) — это квадрат. Находить:
1. \(м\угол ВКЭ\)
2. \(м\угол EYB\)
3. \(м\угол UBY\)
4. \(м\угол УЭБ\)
Рисунок \(\PageIndex{12}\)

В вопросах 4-15 определите, является ли четырехугольник параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом или не является таковым.

Рисунок \(\PageIndex{13}\)
Рисунок \(\PageIndex{14}\)
Рисунок \(\PageIndex{15}\)
Рисунок \(\PageIndex{16}\)
Рисунок \(\PageIndex{17}\)
Рисунок \(\PageIndex{18}\)
Рисунок \(\PageIndex{19}\)
Рисунок \(\PageIndex{20}\)
Рисунок \(\PageIndex{21}\)
Рисунок \(\PageIndex{22}\)
Рисунок \(\PageIndex{23}\)
Рисунок \(\PageIndex{24}\)

Для вопросов 16-19 определите, верно ли следующее утверждение ВСЕГДА, ИНОГДА или НИКОГДА. Объясните свои рассуждения.

Прямоугольник — это ромб.
Квадрат — это параллелограмм.
Параллелограмм правильный.
Квадрат — это прямоугольник.

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 6.5.

Словарь

Срок	Определение
прямоугольник	Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре прямых (конгруэнтных) угла
ромб	Параллелограмм является *ромбом* тогда и только тогда, когда у него четыре равные стороны
квадратный	Параллелограмм – это квадрат тогда и только тогда, когда у него четыре прямых угла и четыре равные стороны.
конверс	Если условное выражение имеет вид \(p\стрелка вправо q\) (если \(p\), то \(q\)), то обратное выражение имеет вид \(q\стрелка вправо p\) (если \(q\), тогда \(p\). Обратите внимание, что обратное утверждение неверно только потому, что исходное утверждение истинно.
Параллелограмм	Параллелограмм – это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон.
Рефлексивное свойство конгруэнтности	\(\overline{AB}\cong \overline{AB}\) или \(\angle B\cong \angle B\)

Дополнительные ресурсы

Интерактивный элемент

Видео: Принципы классификации параллелограммов — основы

Упражнения: Классификация параллелограммов Вопросы для обсуждения

Учебные пособия: Классификация параллелограммов: Практическое руководство

030003

Реальный мир: параллелограммы

Эта страница под названием 5.

Прямоугольник, ромб и квадрат – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Прямоугольник — презентация на Slide-Share.ru 🎓

Первый слайд презентации: Прямоугольник

Слайд 2: Упражнение 1

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); (adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); Слайд 3: Признак прямоугольника

Слайд 4: Ромб

Слайд 5: Упражнение 2

Слайд 6: Признак ромба

Слайд 7: Квадрат

Слайд 8: Упражнение 3

Слайд 9: Упражнение 4

Слайд 10: Упражнение 5

Слайд 11: Упражнение 6

Слайд 12: Упражнение 7

Слайд 13: Упражнение 8

Слайд 14: Упражнение 9

Слайд 15: Упражнение 10

Слайд 16: Упражнение 11

Слайд 17: Упражнение 12

Слайд 18: Упражнение 13

Слайд 19: Упражнение 14

Слайд 20: Упражнение 15

Слайд 21: Упражнение 16

Слайд 22: Упражнение 17

Слайд 23: Упражнение 18

Слайд 24: Упражнение 19

Слайд 25: Упражнение 20

Слайд 26: Упражнение 21

Слайд 27: Упражнение 22

Слайд 28: Упражнение 23

Последний слайд презентации: Прямоугольник: Упражнение 24

Прямоугольник — что это, признаки и свойства прямоугольника и его диагоналей

Прямоугольник — это.

Признаки прямоугольника

Диагонали прямоугольника

Свойства прямоугольника

Периметр и площадь

Прямоугольник / Четырехугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Особое свойство прямоугольника

Доказательство

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Ошибка 404 — Страница не найдена

Архивы

Рубрики

Страницы

его свойства, признаки и определение с примерами решения

Определение параллелограмма

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Необходимые и достаточные условия

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Трапеция

Частные случаи трапеций

Построение параллелограммов и трапеций

Теорема Фалеса

Средняя линия треугольника

Средняя линия трапеции

Вписанные углы

Градусная мера дуги

Вписанный угол

Следствия теоремы о вписанном угле

Вписанные четырехугольники

Описанные четырехугольники

Геометрические софизмы

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

Точка пересечения высот

Справочный материал по параллелограмму

Q4 Назовите четырехугольник, диагонали которого i делят друг друга пополам ii являются перпендикулярными биссектрисами каждого…

Диагонали параллелограммов, прямоугольников и ромбов (видео и практика)

Слайд 3: Признак прямоугольника